Насправді часто доводиться використовувати похідну у тому, щоб обчислити найбільше і найменше значення функції. Ми виконуємо цю дію тоді, коли з'ясовуємо, як мінімізувати витрати, збільшити прибуток, розрахувати оптимальне навантаження виробництва та інших., тобто у випадках, коли необхідно визначити оптимальне значення будь-якого параметра. Щоб вирішити такі завдання правильно, треба добре розуміти, що таке найбільше і найменше значенняфункції.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Зазвичай ми визначаємо ці значення в рамках деякого інтервалу x , який може своєю чергою відповідати всій області визначення функції або її частини. Це може бути як відрізок [a; b ] , і відкритий інтервал (a ; b) , (a ; b ) , [ a ; b) , нескінченний інтервал (a ; b) , (a ; b ) , [ a ; b) чи нескінченний проміжок - ∞ ; a , (- ∞ ; a ) , [ a ; + ∞) , (- ∞ ; + ∞) .

У цьому матеріалі ми розповімо, як обчислюється найбільше та найменше значення явно заданої функціїз однією змінною y = f (x) y = f (x).

Основні визначення

Почнемо, як завжди, із формулювання основних визначень.

Визначення 1

Найбільше значення функції y = f (x) на деякому проміжку x – це значення m a x y = f (x 0) x ∈ X , яке за будь-якого значення x x ∈ X , x ≠ x 0 робить справедливою нерівність f (x) ≤ f (x 0).

Визначення 2

Найменше значення функції y = f (x) на деякому проміжку x – це значення m i n x ∈ X y = f (x 0) , яке за будь-якого значення x ∈ X , x ≠ x 0 робить справедливою нерівність f(X f (x) ≥ f(x0) .

Ці визначення є досить очевидними. Ще простіше можна сказати так: найбільше значення функції – це найбільше значення на відомому інтервалі при абсцисі x 0 , а найменше – це найменше прийняте значення тому ж інтервалі при x 0 .

Визначення 3

Стаціонарними точками називаються такі значення аргументу функції, у яких її похідна звертається до 0 .

Для чого нам потрібно знати, що таке стаціонарні точки? Для відповіді це питання треба згадати теорему Ферма. З неї випливає, що стаціонарна точка – це така точка, в якій знаходиться екстремум функції, що диференціюється (тобто її локальний мінімум або максимум). Отже, функція прийматиме найменше або найбільше значення на певному проміжку саме в одній зі стаціонарних точок.

p align="justify"> Ще функція може приймати найбільше або найменше значення в тих точках, в яких сама функція є певною, а її першої похідної не існує.

Перше питання, яке виникає при вивченні цієї теми: чи у всіх випадках ми можемо визначити найбільше чи найменше значення функції на заданому відрізку? Ні, ми не можемо цього зробити тоді, коли межі заданого проміжку збігатимуться з межами області визначення, або якщо ми маємо справу з нескінченним інтервалом. Буває і так, що функція в заданому відрізку або на нескінченності прийматиме нескінченно малі або нескінченно великі значення. У цих випадках визначити найбільше та/або найменше значення неможливо.

Зрозумілішими ці моменти стануть після зображення на графіках:

Перший малюнок показує нам функцію, яка набуває найбільшого і найменшого значення (m a x y і m i n y) в стаціонарних точках, розташованих на відрізку [ - 6 ; 6].

Докладно розберемо випадок, зазначений на другому графіку. Змінимо значення відрізка на [1; 6] і отримаємо, що найбільше значення функції досягатиметься в точці з абсцисою у правій межі інтервалу, а найменше – у стаціонарній точці.

На третьому малюнку абсциси точок являють собою граничні точки відрізка [-3; 2]. Вони відповідають найбільшому та найменшому значенню заданої функції.

Тепер подивимось на четвертий малюнок. У ньому функція приймає m a x y (найбільше значення) і m i n y (найменше значення) у стаціонарних точках на відкритому інтервалі (-6; 6).

Якщо ми візьмемо інтервал [1; 6) то можна сказати, що найменше значення функції на ньому буде досягнуто в стаціонарній точці. Найбільшого значення нам буде невідомо. Функція могла б прийняти найбільше значення при x , що дорівнює 6 якщо б x = 6 належала інтервалу. Саме цей випадок намальовано на графіку 5 .

На графіку 6 найменше значення дана функція набуває у правій межі інтервалу (- 3 ; 2 ] , а про найбільше значення ми не можемо зробити певних висновків.

На малюнку 7 бачимо, що функція буде мати m a x y в стаціонарній точці, що має абсцису, рівну 1 . Найменшого значення функція досягне на межі інтервалу з правої сторони. На мінус нескінченності значення функції асимптотично наближатимуться до y = 3 .

Якщо ми візьмемо інтервал x ∈ 2; + ∞ , то побачимо, що задана функція не прийматиме на ньому ні найменшого, ні найбільшого значення. Якщо x прагне 2 , то значення функції прагнутимуть мінус нескінченності, оскільки пряма x = 2 – це вертикальна асимптота. Якщо ж абсцис прагне до плюс нескінченності, то значення функції асимптотично наближатимуться до y = 3 . Саме це випадок зображено малюнку 8 .

У цьому пункті ми наведемо послідовність дій, яку потрібно виконати знаходження найбільшого чи найменшого значення функції на певному відрізку.

1. Спочатку знайдемо область визначення функції. Перевіримо, чи входить до неї заданий за умови відрізок.
2. Тепер обчислимо точки, що містяться в даному відрізку, в яких немає першої похідної. Найчастіше їх можна зустріти у функцій, аргумент яких записаний під знаком модуля, або у статечних функцій, показник яких є дрібно раціональним числом.
3. Далі з'ясуємо, які стаціонарні точки потраплять у заданий відрізок. Для цього треба обчислити похідну функції, потім прирівняти її до 0 і вирішити рівняння, що вийшло в результаті, після чого вибрати відповідне коріння. Якщо у нас не вийде жодної стаціонарної точки або вони не потраплятимуть у заданий відрізок, ми переходимо до наступного кроку.
4. Визначимо, які значення прийматиме функція в заданих стаціонарних точках (якщо вони є), або в тих точках, в яких не існує першої похідної (якщо вони є), або обчислюємо значення для x = a і x = b.
5. 5. У нас вийшов ряд значень функції, з яких тепер потрібно вибрати найбільше і найменше. Це й будуть найбільше та найменше значення функції, які нам потрібно знайти.

Подивимося, як правильно застосувати цей алгоритм під час вирішення завдань.

Приклад 1

Умова:задана функція y = x3+4x2. Визначте її найбільше та найменше значення на відрізках [1; 4] і [-4; -1].

Рішення:

Почнемо з знаходження області визначення цієї функції. У цьому випадку їй буде багато всіх дійсних чиселкрім 0 . Іншими словами, D (y) : x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ 0 ; + ∞. Обидва відрізки, задані в умові, будуть знаходитися всередині області визначення.

Тепер обчислюємо похідну функції згідно з правилом диференціювання дробу:

y " = x 3 + 4 x 2 " = x 3 + 4 " · x 2 - x 3 + 4 · x 2 " x 4 = = 3 x 2 · x 2 - (x 3 - 4) · 2 x x 4 = x 3 - 8 x 3

Ми дізналися, що похідна функції існуватиме у всіх точках відрізків [1; 4] і [-4; -1].

Тепер треба визначити стаціонарні точки функції. Зробимо це за допомогою рівняння x 3 – 8 x 3 = 0 . У нього є тільки один дійсний корінь, що дорівнює 2 . Він буде стаціонарною точкою функції і потрапить у перший відрізок [1; 4].

Обчислимо значення функції кінцях першого відрізка й у цій точці, тобто. для x = 1, x = 2 і x = 4:

y(1) = 1 3 + 4 1 2 = 5 y (2) = 2 3 + 4 2 2 = 3 y (4) = 4 3 + 4 4 2 = 4 1 4

Ми отримали, що найбільше значення функції m a x y x ∈ [1; 4 ] = y (2) = 3 буде досягнуто за x = 1 , а найменше m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 – за x = 2 .

Другий відрізок не включає жодної стаціонарної точки, тому нам треба обчислити значення функції тільки на кінцях заданого відрізка:

y(-1) = (-1) 3 + 4 (-1) 2 = 3

Значить, m a x y x ∈ [- 4; - 1] = y (- 1) = 3, m i n y x ∈ [- 4; - 1] = y(-4) = - 3 3 4 .

Відповідь:Для відрізка [1; 4] - m a x y x ∈ [1; 4 ] = y (2) = 3 , m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 для відрізка [ - 4 ; - 1 ] - m a x y x ∈ [ - 4; - 1] = y (- 1) = 3, m i n y x ∈ [- 4; - 1] = y(-4) = - 3 3 4 .

на малюнку:

Перед тим як вивчити цей спосіб, радимо вам повторити, як правильно обчислювати односторонню межу та межу на нескінченності, а також дізнатися про основні методи їх знаходження. Щоб знайти найбільше та/або найменше значення функції на відкритому або нескінченному інтервалі, виконуємо послідовно такі дії.

1. Для початку потрібно перевірити, чи буде заданий інтервал бути підмножиною області визначення цієї функції.
2. Визначимо всі точки, які містяться в потрібному інтервалі та в яких не існує першої похідної. Зазвичай вони бувають у функцій, де аргумент укладений у знаку модуля, і у статечних функцій з дрібно раціональним показником. Якщо ж ці точки відсутні, можна переходити до наступного кроку.
3. Тепер визначимо, які стаціонарні точки потраплять до заданого проміжку. Спочатку прирівняємо похідну до 0, розв'яжемо рівняння і підберемо відповідне коріння. Якщо ми не маємо жодної стаціонарної точки або вони не потрапляють у заданий інтервал, то відразу переходимо до подальших дій. Їх визначає вигляд інтервалу.

• Якщо інтервал має вигляд [a; b) то нам треба обчислити значення функції в точці x = a і одностороння межа lim x → b - 0 f (x) .
• Якщо інтервал має вигляд (a; b], то нам треба обчислити значення функції в точці x = b і одностороння межа lim x → a + 0 f (x).
• Якщо інтервал має вигляд (a; b), то нам треба обчислити односторонні межі lim x → b - 0 f (x), lim x → a + 0 f (x).
• Якщо інтервал має вигляд [a; + ∞) , то треба обчислити значення в точці x = a і межа плюс нескінченності lim x → + ∞ f (x) .
• Якщо інтервал виглядає як (- ∞ ; b ) , обчислюємо значення в точці x = b і межа на мінус нескінченності lim x → - ∞ f (x) .
• Якщо - ∞; b , то вважаємо односторонню межу lim x → b - 0 f (x) і межу на мінус нескінченності lim x → - ∞ f (x)
• Якщо ж - ∞; + ∞ , то вважаємо межі на мінус і плюс нескінченності lim x → + f (x) , lim x → - ∞ f (x) .

1. Наприкінці потрібно зробити висновок на основі отриманих значень функції та меж. Тут можлива безліч варіантів. Так, якщо одностороння межа дорівнює мінус нескінченності або плюс нескінченності, то відразу зрозуміло, що про найменше і найбільше значення функції сказати нічого не можна. Нижче ми розберемо один типовий приклад. Детальний описдопоможуть вам зрозуміти, що до чого. За потреби можна повернутися до малюнків 4 - 8 у першій частині матеріалу.

Умова: дана функція y = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 . Обчисліть її найбільше та найменше значення в інтервалах - ∞ ; - 4, - ∞; - 3, (-3; 1], (-3; 2), [1; 2), 2; + ∞, [4; + ∞).

Рішення

Насамперед знаходимо область визначення функції. У знаменнику дробу стоїть квадратний тричлен, який не повинен звертатися до 0:

x 2 + x - 6 = 0 D = 1 2 - 4 · 1 · (- 6) = 25 x 1 = - 1 - 5 2 = - 3 x 2 = - 1 + 5 2 = 2 ⇒ D (y) : x ∈ (- ∞ ; - 3) ∪ (- 3 ; 2) ∪ (2 ; + ∞)

Ми отримали область визначення функції, до якої належать всі зазначені в інтервалі.

Тепер виконаємо диференціювання функції та отримаємо:

y " = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 " = 3 · e 1 x 2 + x - 6 " = 3 · e 1 x 2 + x - 6 · 1 x 2 + x - 6 " = = 3 · e 1 x 2 + x - 6 · 1 " · x 2 + x - 6 - 1 · x 2 + x - 6 "(x 2 + x - 6) 2 = - 3 · (2 ​​x + 1) · e 1 x 2 + x - 6 x 2 + x - 6 2

Отже, похідні функції існують по всій області її визначення.

Перейдемо до знаходження стаціонарних точок. Похідна функції звертається до 0 при x = - 1 2 . Це стаціонарна точка, яка знаходиться в інтервалах (-3; 1] і (-3; 2).

Обчислимо значення функції при x = - 4 для проміжку (- ∞ ; - 4 ] , а також межа на мінус нескінченності:

y (- 4) = 3 e 1 (- 4) 2 + (- 4) - 6 - 4 = 3 e 1 6 - 4 ≈ - 0 . 456 lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 = 3 e 0 - 4 = - 1

Оскільки 3 e 1 6 - 4 > - 1 , значить, m a x y x ∈ (- ∞ ; - 4 ) = y (- 4) = 3 e 1 6 - 4. Це не дає нам можливості однозначно визначити найменше значення функції. зробити висновок, що внизу є обмеження - 1, оскільки саме до цього значення функція наближається асимптотично до мінус нескінченності.

Особливістю другого інтервалу є те, що в ньому немає жодної стаціонарної точки та жодної суворої межі. Отже, ні найбільшого, ні найменшого значення функції ми не зможемо обчислити. Визначивши межу на мінус нескінченності та при прагненні аргументу до - 3 з лівого боку, ми отримаємо лише інтервал значень:

lim x → - 3 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 - 0 3 e 1 (x + 3) (x - 3) - 4 = 3 e 1 (- 3 - 0 + 3) (- 3 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

Значить значення функції будуть розташовані в інтервалі - 1 ; + ∞

Щоб знайти найбільше значення функції у третьому проміжку, визначимо її значення стаціонарної точці x = - 1 2 , якщо x = 1 . Також нам треба буде знати односторонню межу для того випадку, коли аргумент прагне до - 3 з правого боку:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 y (1) = 3 e 1 1 2 + 1 - 6 - 4 ≈ - 1 . 644 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 - 3 + 0 + 3 (-3 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (- 0) - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 · 0 - 4 = - 4

У нас вийшло, що найбільше значення функція набуде в стаціонарній точці m a x y x ∈ (3 ; 1 ] = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4. Що стосується найменшого значення, то його ми не можемо визначити. Все, що нам відомо , – це наявність обмеження знизу до -4.

Для інтервалу (-3; 2) візьмемо результати попереднього обчислення і ще раз підрахуємо, чому дорівнює одностороння межа при прагненні до 2 з лівого боку:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e - 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = - 4 lim x → 2 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 - 0 + 3) (2 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 - 0 - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 · 0 - 4 = - 4

Отже, m a x y x ∈ (- 3 ; 2) = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4 а найменше значення визначити неможливо, і значення функції обмежені знизу числом - 4 .

Виходячи з того, що у нас вийшло у двох попередніх обчисленнях, ми можемо стверджувати, що на інтервалі [1; 2) найбільше значення функція прийме при x = 1, а знайти найменше неможливо.

На проміжку (2 ; + ∞) функція досягне ні найбільшого, ні найменшого значення, тобто. вона прийматиме значення з проміжку - 1; + ∞.

lim x → 2 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 + 0 + 3 ) (2 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → + ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

Обчисливши, чому дорівнює значення функції при x = 4 , з'ясуємо, що m a x y x ∈ [ 4 ; + ∞) = y (4) = 3 e 1 14 - 4 і задана функція на плюс нескінченності буде асимптотично наближатися до прямої y = - 1 .

Порівняємо те, що в нас вийшло в кожному обчисленні, з графіком заданої функції. На малюнку асимптоти показано пунктиром.

Це все, що ми хотіли розповісти про знаходження найбільшого та найменшого значення функції. Ті послідовності дій, які ми привели, допоможуть зробити необхідні обчислення максимально швидко та просто. Але пам'ятайте, що часто буває корисно спочатку з'ясувати, на яких проміжках функція зменшуватиметься, а на яких зростатиме, після чого можна робити подальші висновки. Так можна більш точно визначити найбільше та найменше значення функції та обґрунтувати отримані результати.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Іноді завдання B14 трапляються «погані» функції, котрим складно знайти похідну. Раніше таке було лише на пробниках, але зараз ці завдання настільки поширені, що вже не можуть бути ігноровані під час підготовки до ЄДІ. І тут працюють інші прийоми, одне із яких монотонність. Визначення Функція f (x) називається монотонно зростаючою на відрізку , якщо для будь-яких точок x 1 і x 2 цього відрізка виконується таке: x 1

Визначення. Функція f (x) називається монотонно спадаючою на відрізку , якщо для будь-яких точок x 1 і x 2 цього відрізка виконується таке: x 1 f (x 2). Іншими словами, для зростання функції чим більше x, тим більше f (x). Для спадної функції все навпаки: що більше x, то менше f (x).

приклади. Логарифм монотонно зростає, якщо основа a > 1, і монотонно зменшується, якщо 0 0. f(x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0) 1 і монотонно зменшується, якщо 0 0. f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0)"> 1, і монотонно зменшується, якщо 0 0. f (x) = log a x (a > 0; a 1; 1, і монотонно зменшується, якщо 0 0. f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0)" title="Приклади .Логарифм монотонно зростає, якщо основа a > 1, і монотонно зменшується, якщо 0 0. f(x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0)"> title="приклади. Логарифм монотонно зростає, якщо основа a > 1, і монотонно зменшується, якщо 0 0. f(x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0)"> !}

приклади. Показова функція поводиться аналогічно логарифму: зростає при a > 1 і зменшується при 0 0: 1 і убуває при 0 0:"> 1 і убуває при 0 0:"> 1 і убуває при 0 0:" title="Приклади. Показова функція поводиться аналогічно логарифму: росте при a > 1 і убуває при 0 0:"> title="приклади. Показова функція поводиться аналогічно логарифму: зростає при a > 1 і зменшується при 0 0:"> !}

0) або вниз (a 0) або вниз (a 9Координати вершини параболи Найчастіше аргумент функції замінюється на квадратний тричлен виду. 0) або вниз (a 0) або найбільше (a 0) або вниз (a 0) або вниз (a title="Координати вершини параболи Найчастіше аргумент функції замінюється на квадратний тричлен виду Його графік стандартна парабола, в якій нас цікавлять гілки: Гілки параболи можуть йти вгору (при a > 0) або вниз (a

Відрізок за умови завдання відсутня. Отже, обчислювати f(a) та f(b) не потрібно. Залишається розглянути лише точки екстремуму; Але таких точок лише одна це вершина параболи x 0, координати якої обчислюються буквально усно і без будь-яких похідних.

Таким чином, розв'язання задачі різко спрощується і зводиться до двох кроків: Виписати рівняння параболи і знайти її вершину за формулою: Знайти значення вихідної функції в цій точці: f (x 0). Якщо жодних додаткових умовні, це і буде відповіддю.

0. Вершина параболи: x 0 = b/(2a) = 6/(2 · 1) = 6/2 = 3" title="Знайди найменше значення функції: Рішення: Під коренем стоїть квадратична функціяГрафік цієї функції парабола гілками вгору, оскільки коефіцієнт a = 1 > 0. Вершина параболи: x 0 = b/(2a) = 6/(2 · 1) = 6/2 = 3" 18Знайдіть найменше значення функції: Рішення: Під коренем стоїть квадратична функція Графік цієї функції парабола гілками вгору, оскільки коефіцієнт a = 1 > 0. Вершина параболи: x 0 = b/(2a) = 6/(2 · 1) = 6/2 = 3 0. Вершина параболи: x 0 = b/(2a) = 6/(2 · 1) = 6/2 = 3"> 0. Вершина параболи: x 0 = b/(2a) = 6/(2 · 1) = 6/2 = 3"> 0. Вершина параболи: x 0 = b/(2a) = 6/(2 · 1) = 6/2 = 3" title="Знайди найменше значення функції: Рішення: Під коренем стоїть квадратична функція Графік цієї функції парабола гілками вгору, оскільки коефіцієнт a = 1 > 0. Вершина параболи: x 0 = b/(2a) = 6/(2 · 1) = 6/2 = 3"> title="Знайдіть найменше значення функції: Рішення: Під коренем стоїть квадратична функція Графік цієї функції парабола гілками вгору, оскільки коефіцієнт a = 1 > 0. Вершина параболи: x 0 = b/(2a) = 6/(2 · 1) = 6/2 = 3"> !}

Знайдіть найменше значення функції: Рішення Під логарифмом знову квадратична функція. Графік парабола гілками вгору, т.к. a = 1 > 0. Вершина параболи: x 0 = b/(2a) = 2/(2 · 1) = 2/2 = 1 0. Вершина параболи: x 0 = b/(2a) = 2/(2 · 1) = 2/2 = 1"> 0. Вершина параболи: x 0 = b/(2a) = 2/(2 · 1) = 2/2 = 1"> 0. Вершина параболи: x 0 = b/(2a) = 2/(2 · 1) = 2/2 = 1" title="Знайди найменше значення функції: Рішення Під логарифмом знову квадратична функція. Графік парабола гілками вгору, т.к."> title="Знайдіть найменше значення функції: Рішення Під логарифмом знову квадратична функція. Графік парабола гілками вгору, т.к. a = 1 > 0. Вершина параболи: x 0 = b/(2a) = 2/(2 · 1) = 2/2 = 1"> !}

Знайдіть найбільше значення функції: Рішення: У показнику стоїть квадратична функція Перепишемо її у нормальному вигляді: Очевидно, що графік цієї функції парабола, гілки вниз (a = 1

Наслідки з області визначення функції Іноді для вирішення завдання B14 недостатньо просто знайти вершину параболи. Шукане значення може лежати на кінці відрізка, а зовсім не в точці екстремуму. Якщо завдання взагалі не зазначений відрізок, дивимося на область допустимих значень вихідної функції. А саме:

0 2. Арифметичний квадратний коріньіснує тільки з невід'ємних чисел: 3.Знаменник дробу не повинен дорівнювати нулю:" тільки з невід'ємних чисел: 3.Знаменник дробу не повинен дорівнювати нулю:" class="link_thumb"> 26 !} 1. Аргумент логарифму має бути позитивним: y = log a f (x) f (x) > 0 2. Арифметичний квадратний корінь існує тільки з невід'ємних чисел: 3.Знаменник дробу не повинен дорівнювати нулю: 0 2. Арифметичний квадратний корінь існує тільки з невід'ємних чисел: 3.Знаменник дробу не повинен дорівнювати нулю:"> 0 2. Арифметичний квадратний корінь існує тільки з невід'ємних чисел: 3.Знаменник дробу не повинен дорівнювати нулю:"> 0 2.Арифметичний квадратний корінь існує тільки з невід'ємних чисел: 3.Знаменник дробу не повинен дорівнювати нулю:" корінь існує тільки з невід'ємних чисел: 3.Знаменник дробу не повинен дорівнювати нулю:"> title="1. Аргумент логарифму має бути позитивним: y = log a f (x) f (x) > 0 2. Арифметичний квадратний корінь існує тільки з невід'ємних чисел: 3.Знаменник дробу не повинен дорівнювати нулю:"> !}

Рішення Під коренем знову квадратична функція. Її графік парабола, але гілки спрямовані вниз, оскільки a = 1
Тепер знайдемо вершину параболи: x 0 = b/(2a) = (2)/(2 · (1)) = 2/(2) = 1 Точка x 0 = 1 належить відрізку ОДЗ і це добре. Тепер вважаємо значення функції в точці x 0, а також на кінцях ОДЗ: y(3) = y(1) = 0 Отже, отримали числа 2 і 0. Нас просять знайти найбільше число 2. Відповідь: 2

Зверніть увагу: нерівність сувора, тому кінці не належать ОДЗ. Цим логарифм відрізняється від кореня, де кінці нас повністю влаштовують. Шукаємо вершину параболи: x 0 = b/(2a) = 6/(2 · (1)) = 6/(2) = 3 Вершина параболи підходить за ОДЗ: x 0 = 3 (1; 5). Але оскільки кінці відрізка нас не цікавлять, вважаємо значення функції лише у точці x 0:

Y min = y(3) = log 0,5 (6 ·) = = log 0,5 (18 9 5) = log 0,5 4 = 2 Відповідь: -2

Мініатюрне і досить просте завдання з розряду тих, які служать рятівним колом студенту, що плаває. На природі сонне царство середини липня, тому саме час влаштуватися з ноутбуком на пляжі. Рано-вранці заграв сонячний зайчик теорії, щоб незабаром сфокусуватися на практиці, яка, незважаючи на заявлену легкість, містить уламки скла в піску. У зв'язку з цим рекомендую сумлінно розглянути нечисленні приклади цієї сторінки. Для вирішення практичних завдань необхідно вміти знаходити похідніта розуміти матеріал статті Інтервали монотонності та екстремуми функції.

Спочатку коротко про головне. На уроці про безперервності функціїя наводив визначення безперервності у точці та безперервності на інтервалі. Зразково-показова поведінка функції на відрізку формулюється таким чином. Функція безперервна на відрізку якщо:

1) вона безперервна на інтервалі;
2) безперервна у точці справаі в точці зліва.

У другому пункті мова зайшла про так звану односторонньої безперервностіфункції у точці. Існує кілька підходів до її визначення, але я дотримуватимуся розпочатої раніше лінії:

Функція безперервна у точці справа, якщо вона визначена в цій точці та її правостороння межа збігається зі значенням функції у цій точці: . Вона ж безперервна у точці зліва, якщо визначена в даній точці та її лівостороння межа дорівнює значенню у цій точці:

Уявіть, що зелені крапки – це цвяхи, на яких закріплена чарівна гумка:

Подумки візьміть червону лінію до рук. Очевидно, що як далеко ми не розтягували графік вгору і вниз (вздовж осі), функція все одно залишиться обмеженою– огорожа зверху, огорожа знизу, і наш виріб пасеться в загоні. Таким чином, безперервна на відрізку функція обмежена на ньому. У курсі матаналізу цей начебто простий факт констатується і суворо доводиться першою теоремою Вейєрштраса.…Багато хто дратує, що в математиці нудно обґрунтовуються елементарні твердження, однак у цьому є важливий сенс. Припустимо, якийсь житель махрового середньовіччя витягував графік у небо поза видимості ось це вставляло. До винаходу телескопа обмеженість функції у космосі була зовсім очевидна! Справді, звідки ви знаєте, що на нас чекає за обрієм? Адже колись і Земля вважалася плоскою, тому сьогодні навіть звичайна телепортація потребує доказів.

Згідно другий теоремі Вейєрштраса, безперервна на відрізкуфункція досягає своєї точної верхньої граніі своєю точної нижньої грані .

Число також називають максимальним значенням функції на відрізкуі позначають через , а число – мінімальним значенням функції на відрізкуз позначкою .

У нашому випадку:

Примітка : у теорії поширені записи .

Грубо кажучи, найбільше значення є там, де найвища точка графіка, а найменше – де найнижча точка.

Важливо!Як уже загострювалася увага у статті про екстремумах функції, найбільше значення функціїі найменше значення функції – НЕ ТЕ Ж САМЕ, що максимум функціїі мінімум функції. Так, у прикладі число є мінімумом функції, але не мінімальним значенням.

До речі, а що відбувається поза відрізком? Та хоч потоп, у контексті завдання це нас зовсім не цікавить. Завдання передбачає лише знаходження двох чисел і все!

Більше того, рішення чисто аналітичне, отже, креслення робити не треба!

Алгоритм лежить на поверхні та напрошується з наведеного малюнка:

1) Знаходимо значення функції у критичних точках, які належать даному відрізку.

Ловіть ще одну плюшку: тут відпадає необхідність перевіряти достатню умову екстремуму, оскільки, щойно було показано, наявність мінімуму або максимуму ще не гарантуєщо там мінімальне або максимальне значення. Демонстраційна функція досягає максимуму і волею долі це число є найбільшим значенням функції на відрізку. Але, зрозуміло, такий збіг має місце далеко не завжди.

Отже, на першому кроці швидше і простіше обчислити значення функції в критичних точках, що належать відрізку, не заморочуючись їсти в них екстремуми чи ні.

2) Обчислюємо значення функції кінцях відрізка.

3) Серед знайдених у 1-му та 2-му пунктах значень функції вибираємо найменше і найбільше число, записуємо відповідь.

Сідаємо на берег синього моря і б'ємо п'ятами по мілководді:

Приклад 1

Знайти найбільше та найменше значення функції на відрізку

Рішення:
1) Обчислимо значення функції у критичних точках, що належать даному відрізку:

Обчислимо значення функції у другій критичній точці:

2) Обчислимо значення функції на кінцях відрізка:

3) «Жирні» результати отримані з експонентами та логарифмами, що суттєво ускладнює їх порівняння. Тому озброїмося калькулятором або Екселем і обчислимо наближені значення, не забуваючи, що :

Ось тепер все зрозуміло.

Відповідь:

Дробно-раціональний екземпляр для самостійного вирішення:

Приклад 6

Знайти максимальне та мінімальне значення функції на відрізку

На уроці на тему «Застосування похідної для знаходження найбільшого та найменшого значень безперервної функції на проміжку» будуть розглянуті відносно прості завдання на знаходження найбільшого та найменшого значень функції на заданому проміжку за допомогою похідної.

Тема: Похідна

Урок: Застосування похідної знаходження найбільшого і найменшого значень безперервної функції на проміжку

На цьому занятті розглянемо простішу завдання, а саме, буде заданий проміжок, буде задана безперервна функція на цьому проміжку. Потрібно дізнатися найбільше та найменше значення заданої функціїна заданому проміжку.

№32.1 (б). Дано: , . Намалюємо графік функції (див. рис.1).

Мал. 1. Графік функції.

Відомо, що ця функція зростає на проміжку, отже, вона зростає і на відрізку. Отже, якщо визначити значення функції в точках і , то будуть відомі межі зміни цієї функції, її найбільше і найменше значення.

Коли аргумент збільшується від до 8, функція збільшується від до .

Відповідь: ; .

№ 32.2 (а) Дано: Знайти найбільше та найменше значення функції на заданому проміжку.

Побудуємо графік цієї функції (див. рис.2).

Якщо аргумент змінюється на проміжку , то функція збільшується від -2 до 2. Якщо аргумент збільшується від , то функція зменшується від 2 до 0.

Мал. 2. Графік функції.

Знайдемо похідну.

, . Якщо , то це значення належить заданому відрізку . Якщо то . Легко перевірити, якщо набуває інших значень, відповідні стаціонарні точки виходять за межі заданого відрізка. Порівняємо значення функції на кінцях відрізка та у відібраних точках, у яких похідна дорівнює нулю. Знайдемо

;

Відповідь: ;.

Отже, відповідь отримано. Похідну в даному випадкуможна використовувати, можна не використовувати, застосувати властивості функції, які були вивчені раніше. Так буває не завжди, іноді застосування похідної – це єдиний метод, який дозволяє вирішувати подібні завдання.

Дано: , . Знайти найбільше та найменше значення функції на даному відрізку.

Якщо в попередньому випадку можна було обійтися без похідної - ми знали, як поводиться функція, то в даному випадку функція досить складна. Тому ту методику, яку ми згадали на попередньому завданні, застосуємо в повному обсязі.

1. Знайдемо похідну. Знайдемо критичні точки, звідси - критичні точки. З них вибираємо ті, що належать даному відрізку: . Порівняємо значення функції у точках , , . Для цього знайдемо

Проілюструємо результат малюнку (див. рис.3).

Мал. 3. Межі зміни значень функції

Бачимо, якщо аргумент змінюється від 0 до 2, функція змінюється не більше від -3 до 4. Функція змінюється не монотонно: вона або зростає, або зменшується.

Відповідь: ;.

Отже, на трьох прикладах було продемонстровано загальну методику знаходження найбільшого та найменшого значення функції на проміжку, в даному випадку - на відрізку.

Алгоритм розв'язання задачі на знаходження найбільшого та найменшого значень функції:

1. Знайти похідну функцію.

2. Знайти критичні точки функції та відібрати ті точки, що знаходяться на заданому відрізку.

3. Знайти значення функції на кінцях відрізка та у відібраних точках.

4. Порівняти ці значення, і вибрати найбільше та найменше.

Розглянемо ще один приклад.

Знайти найбільше та найменше значення функції , .

Раніше було розглянуто графік цієї функції (див. рис.4).

Мал. 4. Графік функції.

На проміжку область значення цієї функції . Крапка - точка максимуму. При – функція зростає, при – функція зменшується. З креслення видно, що - не існує.

Отже, на уроці розглянули завдання про найбільше та найменше значення функції, коли заданим проміжком є ​​відрізок; сформулювали алгоритм розв'язання таких завдань.

1. Алгебра та початку аналізу, 10 клас (у двох частинах). Підручник для загальноосвітніх установ (профільний рівень) за ред. А. Г. Мордковича. -М: Менімозіна, 2009.

2. Алгебра та початку аналізу, 10 клас (у двох частинах). Задачник для загальноосвітніх установ (профільний рівень) за ред. А. Г. Мордковича. -М.: Мнемозіна, 2007.

3. Віленкін Н.Я., Івашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.І. Алгебра та математичний аналіз для 10 класу ( навчальний посібникдля учнів шкіл та класів з поглибленим вивченнямматематики).-М.: Просвітництво, 1996.

4. Галицький М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.І. Поглиблене вивчення алгебри та математичного аналізу.-М.: Просвітництво, 1997.

5. Збірник завдань з математики для вступників до ВТУЗи (під ред. М.І.Сканаві).-М.: Вища школа, 1992.

6. Мерзляк А.Г., Полонський В.Б., Якір М.С. Алгебраїчний тренажер.-К.: А.С.К., 1997.

7. ЗвавичЛ.І., Капелюшник Л.Я., Чинкіна Алгебра та початку аналізу. 8-11 кл.: Посібник для шкіл та класів з поглибленим вивченням математики (дидактичні матеріали).-М.: Дрофа, 2002.

8. Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Завдання з алгебри та початку аналізу (посібник учнів 10-11 класів общеобразов. установ).-М.: Просвітництво, 2003.

9. Карп А.П. Збірник завдань з алгебри та початків аналізу: навч. посібник для 10-11 кл. з поглибл. вивч. математики.-М.: Просвітництво, 2006.

10. Глейзер Г.І. Історія математики у школі. 9-10 класи (посібник для вчителів).-М.: Просвітництво, 1983

Додаткові веб-ресурси

2. Портал Природних Наук ().

Зроби вдома

№ 46.16, 46.17 (в) (Алгебра та початки аналізу, 10 клас (у двох частинах). Задачник для загальноосвітніх установ (профільний рівень) під ред. А. Г. Мордковича. -М.: Мнемозіна, 2007.)