Obiettivi della lezione

Consolidare le conoscenze degli studenti sull'argomento rettangolo;
Continuare a presentare agli studenti le definizioni e le proprietà di un rettangolo;
Insegna agli scolari a utilizzare le conoscenze acquisite su questo argomento quando risolvono i problemi;
Sviluppare interesse per la matematica, l'attenzione, il pensiero logico;
Sviluppare la capacità di autoanalisi e disciplina.

Obiettivi della lezione

Ripetere e consolidare la conoscenza degli studenti su un concetto come un rettangolo, basandosi sulle conoscenze acquisite nelle classi precedenti;
Continuare a migliorare la conoscenza degli scolari sulle proprietà e le caratteristiche dei rettangoli;
Continuare a sviluppare competenze nel processo di risoluzione dei compiti;
Suscitare interesse per le lezioni di matematica;
Coltivare l'interesse per le scienze esatte e un atteggiamento positivo nei confronti delle lezioni di matematica.

Piano di lezione

1. Parte teorica, informazioni generali, definizioni.
2. Ripetizione del tema “Rettangoli”.
3. Proprietà di un rettangolo.
4. Segni di un rettangolo.
5. Fatti interessanti dalla vita dei triangoli.
6. Rettangolo aureo, concetti generali.
7. Domande e compiti.

Cos'è un rettangolo

Nelle lezioni precedenti hai già studiato argomenti sui rettangoli. Ora rinfreschiamo la nostra memoria e ricordiamo che tipo di figura è chiamata rettangolo.

Un rettangolo è un parallelogramma i cui quattro angoli sono retti e uguali a 90 gradi.

Un rettangolo è così figura geometrica, composto da 4 lati e quattro angoli retti.

I lati opposti di un rettangolo sono sempre uguali.

Se consideriamo la definizione di rettangolo secondo la geometria euclidea, allora affinché un quadrilatero possa essere considerato un rettangolo, è necessario che in questa figura geometrica almeno tre angoli siano retti. Ne consegue che anche il quarto angolo sarà di novanta gradi.

Sebbene sia chiaro che quando la somma degli angoli di un quadrilatero non è di 360 gradi, allora questa figura non è un rettangolo.

Se un rettangolo regolare ha tutti i lati uguali tra loro, tale rettangolo si chiama quadrato.

In alcuni casi, un quadrato può fungere da rombo se tale rombo, oltre ai lati uguali, ha tutti gli angoli retti.

Per dimostrare il coinvolgimento di qualsiasi figura geometrica in un rettangolo, è sufficiente che tale figura geometrica soddisfi almeno uno di questi requisiti:

1. il quadrato della diagonale di questa figura deve essere uguale alla somma dei quadrati di 2 lati che hanno un punto in comune;
2. le diagonali della figura geometrica devono avere la stessa lunghezza;
3. tutti gli angoli di una figura geometrica devono essere pari a novanta gradi.

Se queste condizioni soddisfano almeno un requisito, allora hai un rettangolo.

Un rettangolo in geometria è la figura di base principale, che ha molti sottotipi, con le loro proprietà e caratteristiche speciali.

Esercizio: Dai un nome alle forme geometriche che appartengono ai rettangoli.

Rettangolo e sue proprietà

Ora ricordiamo le proprietà di un rettangolo:

Un rettangolo ha tutte le diagonali uguali;
Un rettangolo è un parallelogramma con i lati opposti paralleli;
I lati del rettangolo saranno anche le sue altezze;
Un rettangolo ha uguale lati opposti e angoli;
Un cerchio può essere circoscritto attorno a un rettangolo qualsiasi e la diagonale del rettangolo sarà uguale al diametro del cerchio circoscritto.
Le diagonali di un rettangolo lo dividono in 2 triangoli uguali;
Seguendo il teorema di Pitagora, il quadrato della diagonale di un rettangolo è uguale alla somma dei quadrati dei suoi 2 lati non opposti;

Esercizio:

1. Un rettangolo ha due possibilità in cui può essere diviso in 2 rettangoli uguali. Disegna due rettangoli sul tuo quaderno e dividili in modo da ottenere 2 rettangoli uguali.

2. Disegna un cerchio attorno al rettangolo, il cui diametro sarà uguale alla diagonale rettangolo.

3. È possibile inscrivere un cerchio in un rettangolo in modo che tocchi tutti i suoi lati, ma a condizione che questo rettangolo non sia un quadrato?

Segni rettangolari

Il parallelogramma sarà un rettangolo a condizione che:

1. se almeno uno dei suoi angoli è retto;
2. se tutti e quattro i suoi angoli sono retti;
3. se i lati opposti sono uguali;
4. se almeno tre angoli sono retti;
5. se le sue diagonali sono uguali;
6. se il quadrato della diagonale è uguale alla somma dei quadrati dei lati non opposti.

È interessante saperlo

Sapevi che se disegni le bisettrici degli angoli in un rettangolo che ha lati adiacenti irregolari, quando si intersecano, ti ritroverai con un rettangolo.

Ma se la bisettrice disegnata di un rettangolo interseca uno dei suoi lati, allora taglia un triangolo isoscele da questo rettangolo.

Sapevi che anche prima che Malevich dipingesse il suo eccezionale "Quadrato nero", nel 1882, in una mostra a Parigi, fu presentato un dipinto di Paul Bilo, sulla cui tela raffigurava un rettangolo nero con il nome peculiare "Battaglia dei negri in la galleria".

Questa idea con un rettangolo nero ha ispirato altre figure culturali. Lo scrittore e umorista francese Alphonse Allais pubblicò un'intera serie delle sue opere e col tempo apparve un paesaggio rettangolare di colore rosso radicale chiamato "Raccolta di pomodori sulle rive del Mar Rosso da parte di cardinali apoplettici", anch'esso privo di immagine.

Esercizio

1. Nomina una proprietà che è inerente solo a un rettangolo?
2. Qual è la differenza tra un parallelogramma arbitrario e un rettangolo?
3. È vero che qualsiasi rettangolo può essere un parallelogramma? Se è così, allora dimostrarne il motivo?
4. Elenca i quadrilateri che sono rettangoli.
5. Indicare le proprietà di un rettangolo.

Fatto storico

Il rettangolo di Euclide

Sapevi che il rettangolo di Euclide, chiamato rapporto aureo, per un lungo periodo di tempo è stato per qualsiasi edificio di significato religioso, una base perfetta e proporzionale per la costruzione di quei tempi. Con il suo aiuto furono costruiti la maggior parte degli edifici rinascimentali e dei templi classici nell'antica Grecia.

Un rettangolo "aureo" è solitamente chiamato rettangolo geometrico, il rapporto tra il lato maggiore e il lato minore è uguale al rapporto aureo.

Il rapporto tra i lati di questo rettangolo era 382:618, o circa 19:31. Il rettangolo euclideo, a quel tempo, era il rettangolo più conveniente, sicuro e regolare di tutte le forme geometriche. A causa di questa caratteristica, è stato utilizzato ovunque il rettangolo euclideo, o approssimazioni ad esso. Veniva utilizzato in case, dipinti, mobili, finestre, porte e persino libri.

Tra gli indiani Navajo, il rettangolo era paragonato alla forma femminile, poiché era considerata la forma abituale e standard della casa, a simboleggiare la donna che possiede questa casa.

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Un rettangolo è Innanzitutto figura piatta geometrica. È costituito da quattro punti collegati tra loro da due coppie di segmenti uguali che si intersecano perpendicolarmente solo in questi punti.

Un rettangolo è definito da un parallelogramma. In altre parole, un rettangolo è un parallelogramma i cui angoli sono tutti retti, cioè uguali a 90 gradi. Nella geometria euclidea, se una figura geometrica ha 3 angoli su 4 pari a 90 gradi, allora il quarto angolo è automaticamente uguale a 90 gradi e tale figura può essere chiamata rettangolo. Dalla definizione di parallelogramma è chiaro che un rettangolo è costituito da molte varietà di questa figura su un piano. Ne consegue che le proprietà di un parallelogramma si applicano a un rettangolo. Ad esempio: in un rettangolo i lati opposti hanno la stessa lunghezza.

Quando costruisci una diagonale in un rettangolo, dividerà la figura in due triangoli identici. Questa è la base del teorema di Pitagora, il quale afferma che il quadrato dell'ipotenusa in un triangolo rettangolo è uguale alla somma dei quadrati dei suoi cateti.

Se tutti i lati di un rettangolo regolare sono uguali, tale rettangolo si chiama quadrato. Un quadrato è anche definito come un rombo in cui tutti i suoi lati sono uguali e tutti i suoi angoli sono retti.

Piazza rettangolo si trova dalla formula: S=a*b, dove a è la lunghezza di questo rettangolo, b è la larghezza. Ad esempio: l'area di un rettangolo con lati 4 e 6 cm sarà pari a 4*6 = 24 centimetri quadrati.

Perimetro ecceterapitagorico calcolato con la formula: P= (a+b)*2, dove a è la lunghezza dei rettangoli, b è la larghezza del dato rettangolo. Ad esempio: il perimetro di un rettangolo con lati 4 e 8 cm è 24 cm.

In geometria, un rettangolo è una forma base. Esistono molti sottotipi di rettangoli che hanno proprietà e caratteristiche speciali.

Geografia, biologia, chimica, algebra, geometria... Gli scolari devono confrontarsi con molte informazioni provenienti da un'ampia varietà di scienze. Tuttavia, ci sono aree di conoscenza che sono abbastanza facili da comprendere familiarizzando con le loro leggi fondamentali. Ciò include anche la geometria. Per apprendere tutte le complessità di questa scienza, devi acquisire familiarità con le sue basi e i suoi assiomi. Dopotutto, in geometria non c'è nulla che non contenga i fondamenti.

Definizione di rettangolo

Un rettangolo è una figura geometrica con quattro angoli retti. La definizione è abbastanza semplice, ma non dovresti pensare che uno studente non avrà problemi a studiare un argomento del genere, perché qui ci sono una serie di funzionalità. Le dimensioni di un rettangolo dipendono dalla lunghezza dei suoi lati, che nella maggior parte dei casi vengono indicati con lettere latine aeb.

Proprietà del rettangolo

• i lati opposti sono uguali e paralleli;
• le diagonali della figura sono uguali;
• il punto di intersezione delle diagonali le divide a metà;
• un rettangolo può essere diviso in due uguali

Segni rettangolari

Ci sono solo tre caratteristiche che ha un rettangolo. Eccoli:

• parallelogramma con diagonali uguali- questo è un rettangolo;
• un parallelogramma con un angolo retto è un rettangolo;
• un quadrilatero con tre angoli retti è un rettangolo.

Un po' più interessante

Quindi, cosa sia un rettangolo ormai è chiaro, ma resta da capire quale ruolo giochi nei problemi geometrici e nelle misurazioni pratiche. Quindi, prima di tutto, va detto che questa è la figura geometrica più conveniente, con l'aiuto della quale è possibile dividere l'area in sezioni sia in aree aperte che interne. Cos'è un rettangolo? Come sai, è un quadrilatero. Esistono molte varietà di quest'ultimo, tra cui trapezio (solo due lati sono uguali), parallelogramma (i lati opposti sono paralleli), quadrato (tutti gli angoli e i lati sono uguali), rombo (parallelogramma con lati uguali) e altri. Un caso particolare di rettangolo è il quadrato, in cui tutti gli angoli sono retti e i lati sono uguali.

Non puoi parlare di cosa sia un rettangolo senza menzionare come determinarne le dimensioni. Quest'area è solitamente considerata il prodotto della sua larghezza e lunghezza e il perimetro, come quello di qualsiasi figura, è uguale alla somma delle lunghezze di tutti i lati. IN in questo casoè anche uguale al doppio della somma della lunghezza e della larghezza, poiché i lati opposti del rettangolo sono uguali. Ora sai cos'è un rettangolo e cosa farne, risolvendo problemi e comprendendo i segreti di una scienza così misteriosa e misteriosa come la geometria.

4. Formula per il raggio di un cerchio, che è descritto attorno a un rettangolo attraverso la diagonale di un quadrato:

5. Formula per il raggio di un cerchio, che è descritto attorno a un rettangolo attraverso il diametro del cerchio (descritto):

6. Formula per il raggio di un cerchio, che è descritto attorno a un rettangolo attraverso il seno dell'angolo adiacente alla diagonale e la lunghezza del lato opposto a questo angolo:

7. Formula per il raggio di un cerchio, che è descritto attorno a un rettangolo attraverso il coseno dell'angolo adiacente alla diagonale e la lunghezza del lato di questo angolo:

8. Formula per il raggio di un cerchio, che è descritto attorno a un rettangolo attraverso il seno dell'angolo acuto tra le diagonali e l'area del rettangolo:

L'angolo tra il lato e la diagonale di un rettangolo.

Formule per determinare l'angolo tra il lato e la diagonale di un rettangolo:

1. Formula per determinare l'angolo tra il lato e la diagonale di un rettangolo attraverso la diagonale e il lato:

2. Formula per determinare l'angolo tra il lato e la diagonale di un rettangolo attraverso l'angolo tra le diagonali:

L'angolo compreso tra le diagonali di un rettangolo.

Formule per determinare l'angolo tra le diagonali di un rettangolo:

1. Formula per determinare l'angolo tra le diagonali di un rettangolo attraverso l'angolo tra il lato e la diagonale:

β = 2α

2. Formula per determinare l'angolo tra le diagonali di un rettangolo passante per l'area e la diagonale.

Risolvere i problemi con i quadrilateri è una delle sezioni più estese della geometria, che crea molte difficoltà agli scolari. Ti suggeriamo di affrontare i problemi tipici in cui devi trovare la larghezza di un rettangolo.

Prima di tutto, devi ricordare che tipo di figura è e quali sono le sue proprietà principali. Un rettangolo è un quadrilatero in cui tutti gli angoli sono retti e i lati opposti sono uguali. Il lato orizzontale è chiamato larghezza del rettangolo, mentre il lato verticale è chiamato lunghezza.

Problema 1. Calcola la larghezza, conoscendo il perimetro

Esaminiamo questo tipo di attività utilizzando l'attività seguente come esempio. Dato un rettangolo il cui perimetro è 36 cm e lunghezza è 16 cm Devi trovare la larghezza. Il perimetro è la somma dei lati di una figura. Poiché i lati opposti del rettangolo sono uguali, la formula per il suo perimetro è la seguente: P = 2(a+b), dove aeb sono i lati del rettangolo.

Noi abbiamo:

• b = P:2 - a = 36:2-16=2 (cm)

Risposta: La larghezza del rettangolo è 2 cm.

Problema 2. Trova la larghezza, conoscendo la lunghezza e il perimetro

Complichiamo un po' il compito. Ora devi trovare la larghezza del rettangolo se sai che è 5 volte inferiore alla sua lunghezza e il perimetro del triangolo è 120 cm.

Dalla dichiarazione del problema:

• un = 5b

Sappiamo già che b = P:2 - a. Sostituiamo i valori di P e a. Noi abbiamo:

• b = 120:2 - 5b;
• 6b = 60;
• b = 60:6
• b = 10 (cm).

Risposta: La larghezza del rettangolo è 10 cm.

Problema 3. Determina la larghezza se l'area è nota

Condizione problematica: il giardino ha una forma rettangolare. La sua superficie è di 400.000 m2 e la sua lunghezza è di 400 m. Qual è la larghezza dell'orto?

Il giardino secondo le condizioni è un rettangolo. L'area di un rettangolo è uguale al prodotto dei suoi lati. Se conosciamo la lunghezza e l'area, la larghezza sarà uguale a:

• b = P:a = 400.000:400 = 1000 (m)

Risposta: la larghezza dell'orto è di 1000 m.

Problema 4. Come trovare la larghezza conoscendo la diagonale

Questo compito è un po' più difficile dei precedenti. In esso, oltre alle proprietà del rettangolo, dovrai ricordare le formule dei triangoli rettangoli. Supponiamo che la diagonale AC del rettangolo ABCD sia 54,6 cm e che il rapporto lunghezza-larghezza sia 16:9. Devi trovare la larghezza della figura.

Il triangolo ABC ha un angolo retto ed è quindi rettangolo. La diagonale è la sua ipotenusa e i lati sono i suoi cateti.

Dalla condizione:

• 16AB = 9BC, quindi AB = 9BC:16

Secondo il teorema di Pitagora:

• AC2 = AB2 + BC2

Sostituiamo i numeri:

• 54.62 = (9Dom:16) 2 +Dom 2
• 2981.16 = 81Dom 2:256+Dom 2
• 2981,16 = 337ВС 2:256
• 337ВС 2 = 763176,96
• aC 2 = 2264,62
• BC = 47,59 (cm)

Risposta: La larghezza del triangolo è 47,59 cm.

Problema 5. La diagonale e l'angolo sono noti

Dato un rettangolo ABCD la cui diagonale AC è 8 cm e l'angolo BAC è 30 gradi. Devi trovare la larghezza del rettangolo.

Soluzione: poiché l'angolo ABC è retto, allora il triangolo ABC è rettangolo, per cui AC lo è ipotenusa e AB e BC sono cateti. È noto che una gamba opposta ad un angolo di 30 gradi è uguale alla metà dell'ipotenusa. Si scopre:

• BC = AC:2 = 8:2 = 4 (cm)

Risposta: La larghezza del rettangolo è 4 cm.

Come puoi vedere, i problemi tipici per trovare la larghezza di un rettangolo sono abbastanza semplici. La cosa principale è conoscere le formule e le proprietà del rettangolo e dei triangoli rettangoli.