1. Sistēmas risināšana, izmantojot aizstāšanas metodi.
2. Sistēmas atrisināšana, saskaitot (atņemot) sistēmas vienādojumus.

Lai atrisinātu vienādojumu sistēmu ar aizstāšanas metodi jums jāievēro vienkāršs algoritms:
1. Izteikt. No jebkura vienādojuma mēs izsakām vienu mainīgo.
2. Aizstājējs. Izteiktā mainīgā vietā iegūto vērtību aizstājam ar citu vienādojumu.
3. Atrisiniet iegūto vienādojumu ar vienu mainīgo. Mēs atrodam sistēmas risinājumu.

Atrisināt sistēma pēc terminu saskaitīšanas (atņemšanas) metodes vajag:
1. Izvēlieties mainīgo, kuram veidosim identiskus koeficientus.
2. Mēs saskaitām vai atņemam vienādojumus, iegūstot vienādojumu ar vienu mainīgo.
3. Atrisiniet iegūto lineāro vienādojumu. Mēs atrodam sistēmas risinājumu.

Sistēmas risinājums ir funkciju grafiku krustošanās punkti.

Ļaujiet mums sīkāk apsvērt sistēmu risinājumu, izmantojot piemērus.

1. piemērs:

Atrisināsim ar aizstāšanas metodi

2x+5y=1 (1 vienādojums)
x-10y=3 (2. vienādojums)

1. Izteikt
Var redzēt, ka otrajā vienādojumā ir mainīgais x ar koeficientu 1, kas nozīmē, ka visvieglāk ir izteikt mainīgo x no otrā vienādojuma.
x=3+10g

2. Pēc tam, kad esam to izteikuši, mainīgā x vietā pirmajā vienādojumā aizstājam 3+10y.
2(3+10g)+5y=1

3. Atrisiniet iegūto vienādojumu ar vienu mainīgo.
2(3+10g)+5y=1 (atveriet iekavas)
6+20g+5g=1
25 g = 1-6
25 g = -5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2

Vienādojumu sistēmas atrisinājums ir grafu krustošanās punkti, tāpēc jāatrod x un y, jo krustošanās punkts sastāv no x un y, pirmajā punktā, kur to izteicām, aizvietojam ar y.
x=3+10g
x=3+10*(-0,2)=1

Punktus ir pieņemts rakstīt pirmajā vietā rakstām mainīgo x, bet otrajā vietā mainīgo y.
Atbilde: (1; -0,2)

2. piemērs:

Risināsim, izmantojot pa vārda saskaitīšanas (atņemšanas) metodi.

3x-2y=1 (1 vienādojums)
2x-3y=-10 (2. vienādojums)

1. Mēs izvēlamies mainīgo, pieņemsim, ka izvēlamies x. Pirmajā vienādojumā mainīgajam x ir koeficients 3, otrajā - 2. Mums ir jāpadara koeficienti vienādi, šim nolūkam mums ir tiesības vienādojumus reizināt vai dalīt ar jebkuru skaitli. Mēs reizinām pirmo vienādojumu ar 2, bet otro ar 3 un iegūstam kopējais koeficients 6.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3g=-10 |*3
6x-9g=-30

2. Atņemiet otro no pirmā vienādojuma, lai atbrīvotos no mainīgā x Atrisiniet lineāro vienādojumu.
__6x-4y=2

5g=32 | :5
y=6,4

3. Atrodiet x. Mēs aizvietojam atrasto y jebkurā no vienādojumiem, teiksim, pirmajā vienādojumā.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4,6

Krustošanās punkts būs x=4,6; y=6,4
Atbilde: (4.6; 6.4)

Vai vēlaties sagatavoties eksāmeniem bez maksas? Pasniedzējs tiešsaistē par brīvu. Bez jokiem.

Lineāro vienādojumu sistēma ar diviem nezināmiem ir divi vai vairāki lineāri vienādojumi, kuriem jāatrod visi to kopējie risinājumi. Mēs aplūkosim divu lineāru vienādojumu sistēmas divos nezināmajos. Divu lineāru vienādojumu sistēmas ar diviem nezināmajiem vispārējais skatījums ir parādīts zemāk esošajā attēlā:

( a1*x + b1*y = c1,
( a2*x + b2*y = c2

Šeit x un y ir nezināmi mainīgie, a1, a2, b1, b2, c1, c2 ir daži reāli skaitļi. Divu lineāru vienādojumu sistēmas risinājums divos nezināmajos ir skaitļu pāris (x,y), ja mēs šos skaitļus aizstājam sistēmas vienādojumos, tad katrs sistēmas vienādojums pārvēršas par patiesu vienādojumu. Apsveriet vienu no veidiem, kā atrisināt lineāro vienādojumu sistēmu, proti, aizstāšanas metodi.

Risinājuma algoritms pēc aizstāšanas metodes

Algoritms lineāro vienādojumu sistēmas risināšanai, izmantojot aizstāšanas metodi:

1. Izvēlieties vienu vienādojumu (labāk izvēlēties to, kur skaitļi ir mazāki) un izsakiet no tā vienu mainīgo ar citu, piemēram, x ar y. (varat arī izmantot no y līdz x).

2. Aizstājiet iegūto izteiksmi atbilstošā mainīgā vietā ar citu vienādojumu. Tādējādi mēs iegūstam lineāru vienādojumu ar vienu nezināmu.

3. Atrisiniet iegūto lineāro vienādojumu un iegūstiet risinājumu.

4. Iegūto risinājumu aizstājam pirmajā rindkopā iegūtajā izteiksmē un no risinājuma iegūstam otro nezināmo.

5. Pārbaudiet iegūto šķīdumu.

Piemērs

Lai padarītu to skaidrāku, atrisināsim nelielu piemēru.

1. piemērs. Atrisiniet vienādojumu sistēmu:

(x+2*y =12
(2*x-3*y=-18

Risinājums:

1. No šīs sistēmas pirmā vienādojuma izsakām mainīgo x. Mums ir x= (12 -2*y);

2. Aizstāj šo izteiksmi otrajā vienādojumā, iegūstam 2*x-3*y=-18; 2*(12 -2*y) - 3*y = -18; 24 - 4y - 3*y = -18;

3. Atrisiniet iegūto lineāro vienādojumu: 24 - 4y - 3*y = -18; 24-7*y =-18; -7*y = -42; y=6;

4. Iegūto rezultātu aizstāj pirmajā rindkopā iegūtajā izteiksmē. x= (12 -2*y); x=12-2*6 = 0; x=0;

5. Mēs pārbaudām iegūto risinājumu, lai to izdarītu, mēs aizstājam atrastos skaitļus sākotnējā sistēmā.

(x+2*y =12;
(2*x-3*y=-18;

{0+2*6 =12;
{2*0-3*6=-18;

{12 =12;
{-18=-18;

Mēs saņēmām pareizos vienādības, tāpēc mēs atradām pareizo risinājumu.

Vienādojumu sistēmu risināšana, izmantojot aizstāšanas metodi

Atcerēsimies, kas ir vienādojumu sistēma.

Divu vienādojumu sistēma ar diviem mainīgajiem ir divi vienādojumi, kas uzrakstīti viens zem otra un savienoti ar cirtainu figūriekava. Sistēmas risināšana nozīmē atrast skaitļu pāri, kas vienlaikus atrisinās gan pirmo, gan otro vienādojumu.

Šajā nodarbībā iepazīsimies ar tādu sistēmu risināšanas metodi kā aizstāšanas metode.

Apskatīsim vienādojumu sistēmu:

Jūs varat atrisināt šo sistēmu grafiski. Lai to izdarītu, mums būs jākonstruē katra vienādojuma grafiki vienā koordinātu sistēmā, pārveidojot tos formā:

Pēc tam atrodiet grafiku krustošanās punkta koordinātas, kas būs sistēmas risinājums. Bet grafiskā metode ne vienmēr ir ērta, jo atšķiras ar zemu precizitāti vai pat nepieejamību. Mēģināsim tuvāk apskatīt mūsu sistēmu. Tagad tas izskatās šādi:

Varat pamanīt, ka vienādojumu kreisās puses ir vienādas, kas nozīmē, ka arī labajām pusēm jābūt vienādām. Tad mēs iegūstam vienādojumu:

Šis ir pazīstams vienādojums ar vienu mainīgo, ko mēs varam atrisināt. Pārvietosim nezināmos terminus uz kreiso pusi, bet zināmos pa labi, neaizmirstot pārsūtot nomainīt + un - zīmes. Mēs iegūstam:

Tagad aizstāsim atrasto x vērtību jebkurā sistēmas vienādojumā un atradīsim y vērtību. Mūsu sistēmā ērtāk ir izmantot otro vienādojumu y = 3 - x pēc aizstāšanas iegūstam y = 2. Tagad analizēsim paveikto darbu. Pirmkārt, pirmajā vienādojumā mēs izteicām y mainīgo kā mainīgo x. Tad iegūtā izteiksme - 2x + 4 tika aizstāta ar otro vienādojumu mainīgā y vietā. Tad mēs atrisinājām iegūto vienādojumu ar vienu mainīgo x un atradām tā vērtību. Visbeidzot, mēs izmantojām atrasto x vērtību, lai atrastu citu mainīgo y. Šeit rodas jautājums: vai bija nepieciešams izteikt mainīgo y no abiem vienādojumiem uzreiz? Protams, nē. Mēs varētu izteikt vienu mainīgo ar citu tikai vienā sistēmas vienādojumā un izmantot to atbilstošā mainīgā vietā otrajā. Turklāt jūs varat izteikt jebkuru mainīgo no jebkura vienādojuma. Šeit izvēle ir atkarīga tikai no konta ērtībām. Matemātiķi šo procedūru sauca par algoritmu divu vienādojumu sistēmu atrisināšanai ar diviem mainīgajiem, izmantojot aizstāšanas metodi.

1. Izsakiet vienu no mainīgajiem ar citu vienā no sistēmas vienādojumiem.

2.Aizvietojiet iegūto izteiksmi atbilstošā mainīgā vietā ar citu sistēmas vienādojumu.

3.Atrisiniet iegūto vienādojumu ar vienu mainīgo.

4.Aizvietojiet atrasto mainīgā vērtību pirmajā solī iegūtajā izteiksmē un atrodiet cita mainīgā vērtību.

5. Uzrakstiet atbildi skaitļu pāra veidā, kas tika atrasti trešajā un ceturtajā solī.

Apskatīsim citu piemēru. Atrisiniet vienādojumu sistēmu:

Šeit ir ērtāk izteikt mainīgo y no pirmā vienādojuma. Mēs iegūstam y = 8 - 2x. Rezultātā iegūtā izteiksme ir jāaizstāj ar y otrajā vienādojumā. Mēs iegūstam:

Uzrakstīsim šo vienādojumu atsevišķi un atrisināsim. Vispirms atvērsim iekavas. Iegūstam vienādojumu 3x - 16 + 4x = 5. Savācam nezināmos vārdus vienādojuma kreisajā pusē, bet zināmos - labajā un uzrādīsim līdzīgus terminus. Mēs iegūstam vienādojumu 7x = 21, tātad x = 3.

Tagad, izmantojot atrasto x vērtību, varat atrast:

Atbilde: skaitļu pāris (3; 2).

Tādējādi šajā nodarbībā mēs mācījāmies analītiski, precīzi atrisināt vienādojumu sistēmas ar diviem nezināmiem, neizmantojot apšaubāmas grafiskās metodes.

Izmantotās literatūras saraksts:

1. Mordkovičs A.G., Algebra 7. klase 2 daļās, 1. daļa, Mācību grāmata vispārējās izglītības iestādēm / A.G. Mordkovičs. – 10. izd., pārstrādāts – Maskava, “Mnemosyne”, 2007. gads.
2. Mordkovičs A.G., Algebra 7. klase 2 daļās, 2. daļa, Problēmu grāmata izglītības iestādēm / [A.G. Mordkovičs un citi]; rediģēja A.G. Mordkovičs - 10. izdevums, pārskatīts - Maskava, “Mnemosyne”, 2007.
3. VIŅA. Tulčinskaja, Algebra 7. klase. Blitz aptauja: rokasgrāmata vispārējās izglītības iestāžu skolēniem, 4. izdevums, pārstrādāts un paplašināts, Maskava, Mnemosyne, 2008.
4. Aleksandrova L.A., Algebra 7.kl. Tematiskais pārbaudes darbs jauna forma vispārējās izglītības iestāžu audzēkņiem A.G. redakcijā. Mordkovičs, Maskava, "Mnemosyne", 2011.
5. Aleksandrova L.A. Algebra 7. klase. Patstāvīgie darbi vispārējās izglītības iestāžu audzēkņiem A.G. redakcijā. Mordkovičs - 6. izdevums, stereotipisks, Maskava, “Mnemosyne”, 2010.

Vienādojumu izmantošana mūsu dzīvē ir plaši izplatīta. Tos izmanto daudzos aprēķinos, konstrukciju būvniecībā un pat sportā. Cilvēks izmantoja vienādojumus senos laikos, un kopš tā laika to lietojums ir tikai palielinājies. Aizvietošanas metode ļauj viegli atrisināt jebkuras sarežģītības lineāro vienādojumu sistēmas. Metodes būtība ir tāda, ka, izmantojot sistēmas pirmo izteiksmi, mēs izsakām “y”, un pēc tam iegūto izteiksmi aizstājam ar sistēmas otro vienādojumu, nevis “y”. Tā kā vienādojumā jau ir nevis divi nezināmie, bet tikai viens, mēs varam viegli atrast šī mainīgā vērtību un pēc tam izmantot to, lai noteiktu otrā vērtību.

Pieņemsim, ka mums ir dota šādas formas lineāro vienādojumu sistēma:

\[\left\(\begin(matrix) 3x-y-10=0\\ x+4y-12=0 \end(matrix)\right.\]

izteiksim \

\[\left\(\begin(matrix) 3x-10=y\\ x+4y-12=0 \end(matrix)\right.\]

Aizstāsim iegūto izteiksmi ar 2. vienādojumu:

\[\left\(\begin(matrix) y=3x-10\\ x+4(3x-10)-12=0 \end(matrix)\right.\]

Atradīsim vērtību \

Vienkāršosim un atrisināsim vienādojumu, atverot iekavas un ņemot vērā terminu pārsūtīšanas noteikumus:

Tagad mēs zinām vērtību \ Izmantosim to, lai atrastu vērtību \

Atbilde: \[(4;2).\]

Kur es varu atrisināt vienādojumu sistēmu tiešsaistē, izmantojot aizstāšanas metodi?

Jūs varat atrisināt vienādojumu sistēmu mūsu vietnē. Bezmaksas tiešsaistes risinātājs ļaus jums dažu sekunžu laikā atrisināt jebkuras sarežģītības tiešsaistes vienādojumus. Viss, kas jums jādara, ir vienkārši ievadīt savus datus risinātājā. Mūsu vietnē varat arī uzzināt, kā atrisināt vienādojumu. Un, ja jums joprojām ir jautājumi, varat tos uzdot mūsu VKontakte grupā.

Jūsu privātuma saglabāšana mums ir svarīga. Šī iemesla dēļ mēs esam izstrādājuši Privātuma politiku, kurā aprakstīts, kā mēs izmantojam un uzglabājam jūsu informāciju. Lūdzu, pārskatiet mūsu privātuma praksi un informējiet mūs, ja jums ir kādi jautājumi.

Personiskās informācijas vākšana un izmantošana

Personiskā informācija attiecas uz datiem, kurus var izmantot, lai identificētu vai sazinātos ar konkrētu personu.

Jums var tikt lūgts sniegt savu personisko informāciju jebkurā laikā, kad sazināsieties ar mums.

Tālāk ir sniegti daži piemēri par to, kāda veida personas informāciju mēs varam vākt un kā mēs varam izmantot šādu informāciju.

Kādu personas informāciju mēs apkopojam:

• Kad jūs iesniedzat pieteikumu vietnē, mēs varam apkopot dažādu informāciju, tostarp jūsu vārdu, tālruņa numuru, adresi E-pasts utt.

Kā mēs izmantojam jūsu personisko informāciju:

• Mūsu apkopotā personas informācija ļauj mums sazināties ar jums par unikāliem piedāvājumiem, akcijām un citiem notikumiem un gaidāmajiem pasākumiem.
• Laiku pa laikam mēs varam izmantot jūsu personisko informāciju, lai nosūtītu svarīgus paziņojumus un paziņojumus.
• Mēs varam izmantot personas informāciju arī iekšējiem mērķiem, piemēram, auditu, datu analīzes un dažādu pētījumu veikšanai, lai uzlabotu mūsu sniegtos pakalpojumus un sniegtu jums ieteikumus par mūsu pakalpojumiem.
• Ja jūs piedalāties balvu izlozē, konkursā vai līdzīgā akcijā, mēs varam izmantot jūsu sniegto informāciju šādu programmu administrēšanai.

Informācijas izpaušana trešajām personām

Mēs neizpaužam no jums saņemto informāciju trešajām personām.

Izņēmumi:

• Ja nepieciešams, saskaņā ar likumu, tiesas process, tiesvedībā un/vai pamatojoties uz publiskiem pieprasījumiem vai pieprasījumiem no valdības aģentūras Krievijas Federācijas teritorijā - atklājiet savu personīgo informāciju. Mēs varam arī izpaust informāciju par jums, ja konstatēsim, ka šāda izpaušana ir nepieciešama vai piemērota drošības, tiesībaizsardzības vai citiem sabiedrībai svarīgiem mērķiem.
• Reorganizācijas, apvienošanas vai pārdošanas gadījumā mēs varam nodot apkopoto personas informāciju attiecīgajai trešajai pusei.

Personiskās informācijas aizsardzība

Mēs veicam piesardzības pasākumus, tostarp administratīvus, tehniskus un fiziskus, lai aizsargātu jūsu personisko informāciju pret pazaudēšanu, zādzību un ļaunprātīgu izmantošanu, kā arī no nesankcionētas piekļuves, izpaušanas, pārveidošanas un iznīcināšanas.

Jūsu privātuma ievērošana uzņēmuma līmenī

Lai nodrošinātu jūsu personiskās informācijas drošību, mēs saviem darbiniekiem paziņojam par privātuma un drošības standartiem un stingri īstenojam privātuma praksi.