Diametro del cerchio circoscritto di un triangolo. Riassunto della lezione "cerchio circoscritto". Come trovare il raggio di un cerchio circoscritto a un triangolo - la formula generale
In questa parte discuteremo del cerchio circoscritto attorno (spesso detto "vicino") a un triangolo. Prima di tutto, diamo una definizione.
1. Esistenza e centro del cerchio circoscritto
Qui sorge la domanda: esiste un tale cerchio per qualsiasi triangolo? Si scopre che sì, per tutti. E inoltre, formuleremo ora un teorema che risponde anche alla domanda, dov'è il centro del cerchio circoscritto.
Formule per trovare la lunghezza della diagonale di un rettangolo
Formula sul lato di un rettangolo di diametro e angolo β. Si chiama diagonale di un rettangolo per qualsiasi segmento che collega due vertici di angoli opposti del rettangolo. La formula per la diagonale di un rettangolo in termini dei due lati del rettangolo.
La formula per la diagonale di un rettangolo in area e su entrambi i lati. La formula per la diagonale di un rettangolo lungo il perimetro e su entrambi i lati. La formula per la diagonale di un rettangolo in termini di raggio del cerchio circoscritto. La formula per la diagonale di un rettangolo lungo la circonferenza di un cerchio.
Assomiglia a questo:
Facciamoci coraggio e dimostriamo questo teorema. Se hai già letto l'argomento "", hai capito perché le tre bisettrici si intersecano a un certo punto, allora sarà più facile per te, ma se non l'hai letto, non preoccuparti: ora capiremo tutto fuori.
Eseguiremo la dimostrazione utilizzando il concetto di luogo dei punti (LPT).
La formula per la diagonale di un rettangolo in termini di seno dell'angolo adiacente alla diagonale e la lunghezza del lato opposto a tale angolo. La formula per la diagonale di un rettangolo in termini di coseno dell'angolo adiacente alla diagonale e la lunghezza del lato adiacente a quell'angolo. La formula per la diagonale di un rettangolo in termini di seno dell'angolo acuto tra le diagonali e l'area del rettangolo.
Formule per determinare la lunghezza del perimetro di un rettangolo
Il perimetro di un rettangolo si dice somma delle lunghezze di tutti i lati del rettangolo. La formula per il perimetro di un rettangolo in termini dei due lati del rettangolo. La formula per il perimetro di un rettangolo data l'area ed entrambi i lati. La formula per il perimetro di un rettangolo lungo la diagonale e su entrambi i lati.
Ebbene, ad esempio, l'insieme delle palline è un "luogo geometrico" di oggetti rotondi? No, certo, perché ci sono rotonde ... angurie. Ma un insieme di persone, un “luogo geometrico”, è in grado di parlare? Nessuno dei due, perché ci sono bambini che non possono parlare. Nella vita è generalmente difficile trovare un esempio di un vero "luogo geometrico di punti". La geometria è più facile. Ecco, ad esempio, proprio quello di cui abbiamo bisogno:
La formula per il perimetro di un rettangolo in termini di raggio del cerchio circoscritto e su entrambi i lati. La formula per il perimetro di un rettangolo dato il diametro del cerchio circoscritto e di entrambi i lati. Si chiama l'area del rettangolo nello spazio delimitato dai lati del rettangolo, cioè all'interno dell'area perimetrale del rettangolo.
Formule per determinare l'area di un rettangolo
Formula per l'area di un rettangolo con due lati. La formula per l'area di un rettangolo lungo il perimetro e su entrambi i lati. La formula per l'area di un rettangolo lungo la diagonale e su entrambi i lati. La formula per l'area di un rettangolo lungo la diagonale e il seno dell'angolo acuto tra le diagonali.
Qui l'insieme è la perpendicolare media e la proprietà "" è "essere equidistante (punto) dalle estremità del segmento".
Controlliamo? Quindi, devi assicurarti di due cose:
Connettiti con e con. Quindi la linea è la mediana e l'altezza in. Quindi, - isoscele, - ci siamo assicurati che qualsiasi punto che giace sulla bisettrice perpendicolare sia ugualmente distante dai punti e.
Cerchio delimitato da un rettangolo
La formula per l'area di un rettangolo dato il raggio del cerchio circoscritto e qualsiasi lato. La formula per l'area di un rettangolo in un cerchio è un cerchio di un cerchio e su entrambi i lati. Si chiama cerchio delimitato attorno a un rettangolo, a un cerchio passante per i quattro vertici del rettangolo, il cui centro è l'intersezione delle diagonali del rettangolo.
Formule per trovare il raggio di un cerchio circoscritto a un rettangolo
La formula per il raggio di un cerchio delimitato da un rettangolo passante per due lati. La formula per il raggio di un cerchio circoscritto attorno a un rettangolo lungo il perimetro del quadrato e su entrambi i lati. La formula per il raggio di un cerchio descritto attorno a un rettangolo in termini di area del rettangolo e lunghezza di uno dei suoi lati.
Prendi - il mezzo e connettiti e. Ho la mediana. Ma - isoscele per condizione, non solo la mediana, ma anche l'altezza, cioè la perpendicolare mediana. Ciò significa che il punto giace esattamente sulla bisettrice perpendicolare.
Tutto! Abbiamo pienamente verificato il fatto che la bisettrice perpendicolare a un segmento è il luogo dei punti equidistanti dagli estremi del segmento.
La formula per il raggio di un cerchio circoscritto attorno a un rettangolo lungo la diagonale del rettangolo. La formula per il raggio di un cerchio descritto attorno a un rettangolo dal diametro circonferenziale del cerchio. La formula per il raggio di un cerchio descritto attorno a un rettangolo in termini di seno dell'angolo adiacente alla diagonale e la lunghezza del lato opposto a questo angolo.
Il cerchio che circonda il poligono dato è il cerchio circoscritto. La maggior parte delle persone ha sentito i termini circonferenza e raggio, ma il cerchio delimitato è un termine meno familiare. Immagina un poligono 2D con lati dritti, come un triangolo. Immagina un cerchio attorno a un triangolo in modo che tocchi tutti e tre i suoi vertici; è un cerchio limitato. Per calcolare il tuo raggio, basta usare un po' di semplice algebra e una calcolatrice.
Va tutto bene, ma ci siamo dimenticati del cerchio circoscritto? Niente affatto, ci siamo solo preparati una "testa di ponte per l'attacco".
Considera un triangolo. Disegniamo due perpendicolari mediane e, diciamo, ai segmenti e. Si intersecheranno ad un certo punto, che nomineremo.
Controlla tutte le tue misurazioni e assicurati che la bussola indichi che non cambia mentre stai girando.
- È estremamente importante misurare in modo accurato e accurato.
- Non tutti i poligoni possono avere un cerchio delimitato.
Pertanto, l'area di un cerchio inscritto in un esagono è uguale a. Passiamo ora al quadrato inscritto. Poiché la diagonale del quadrato è uguale al lato della radice volte, abbiamo. Allora il raggio di un cerchio inscritto in un quadrato avrà la metà della misura del lato. Così vedrai che il raggio di un cerchio inscritto in un triangolo è la metà del raggio di un cerchio circoscritto in un triangolo, poiché la circonferenza di un cerchio è descritta da un mezzo diviso in due parti proporzionali a 1, e quindi il raggio del cerchio inscritto sarà.
E ora, attenzione!
Il punto giace sulla bisettrice perpendicolare;
il punto giace sulla bisettrice perpendicolare.
E questo significa e.
Ne derivano diverse cose:
In primo luogo, il punto deve trovarsi sulla terza bisettrice perpendicolare, al segmento.
Misura e approssimazione del cerchio
Pertanto, l'area del cerchio inscritto sarà. E il problema è dimostrare che la somma di queste aree è uguale all'area del cerchio interno. Quindi, facciamo la somma delle aree delle corone. Questa è la somma delle aree delle corone. Puoi vedere che abbiamo 3 cerchi di raggi. Questo articolo propone un'ipotesi, un pretesto per considerare alcuni punti della matematica di questo periodo in Mesopotamia.
Formando un cerchio tra due esagoni, il cui perimetro può essere facilmente calcolato, poi raddoppiando successivamente il numero dei lati, ottiene una cornice con poligoni di 96 lati. Probabilmente è più semplice valutare le prestazioni specificando valori numerici.
Cioè, anche la bisettrice perpendicolare deve passare per il punto e tutte e tre le bisettrici perpendicolari si intersecano in un punto.
In secondo luogo: se disegniamo un cerchio con centro in un punto e raggio, allora anche questo cerchio passerà per il punto e per il punto, cioè sarà il cerchio circoscritto. Ciò significa che esiste già che l'intersezione delle tre bisettrici perpendicolari è il centro del cerchio circoscritto per qualsiasi triangolo.
Vediamo qui l'interesse e l'efficacia dei metodi osservativi: da un lato forniscono un'approssimazione e dall'altro consentono di controllare un errore perfetto. Per quanto ne so, Archimede è il primo a giustificare esplicitamente i suoi risultati riguardo al cerchio, e fornisce passo dopo passo una serie di argomenti che spiegano perché ciò che afferma è vero. Ma non è il primo a interessarsi del cerchio e della sua misura. Abbiamo testimonianze molto antiche, una in Egitto e altre in Mesopotamia, che vanno in quella direzione.
E ci sono alcune tavolette d'argilla "babilonesi" risalenti allo stesso periodo e lungo il perimetro o area del disco. Questo è l'oggetto di questo articolo. La passeggiata può iniziare ma prima di partire per Babilonia XVII o XVIII secolo a.C. È stata ritrovata una tavoletta d'argilla babilonese che dà il rapporto tra il perimetro di un esagono e il perimetro del suo cerchio circoscritto.
E l'ultima cosa: sull'unicità. È chiaro (quasi) che il punto si può ottenere in un modo unico, e quindi anche il cerchio è unico. Bene, "quasi" - lo lasceremo a te. Qui abbiamo dimostrato il teorema. Puoi gridare "Evviva!".
E se il problema è la domanda "trova il raggio del cerchio circoscritto"? O viceversa, il raggio è dato, ma devi trovare qualcos'altro? Esiste una formula che metta in relazione il raggio del cerchio circoscritto con gli altri elementi di un triangolo?
E spesso vengono aggiunti in una forma o nell'altra. Questo è stato il secondo che mi ha dato un problema: i babilonesi potevano davvero trovare sperimentalmente questo valore? Attualmente l'esperienza è di facile utilizzo, con un metro da sarta e oggetti di uso quotidiano di diversi diametri: padella, casseruola, barattoli di latta. Si misurano il perimetro e il diametro e si fa la divisione. Le differenze erano al terzo decimale. Certo, non esistono articoli industriali così precisi, né metri da sarta graduati in millimetri.
Per la misurazione, è più sottile: corda, cinturino in pelle, può allungarsi sotto tensione e contrarsi a proprio agio. D'altra parte, la corteccia di papiro essiccata non si allunga. Purtroppo non l'avevo. Ovviamente non sono graduate, ma questo non è grave: a noi interessa il rapporto tra due lunghezze: dal perimetro e dal diametro, e non dalle lunghezze stesse. È facile aggirare un oggetto con il rattan e tagliarlo. Curiosamente, è meno facile tagliare con precisione il filo di rattan in modo che corrisponda al diametro. Infatti, il bordo superiore della ceramica è spesso arrotondato.
Molto spesso, quando si risolvono problemi geometrici, è necessario eseguire azioni con figure ausiliarie. Ad esempio, trova il raggio di un cerchio inscritto o circoscritto, ecc. Questo articolo ti mostrerà come trovare il raggio di un cerchio che circoscrive un triangolo. O, in altre parole, il raggio del cerchio in cui è inscritto il triangolo.
Pertanto, è necessario fissare il rattan attorno al perimetro, quindi tagliare il secondo coltello in rattan, corrispondente al diametro interno del primo. Resta da calcolare il rapporto tra le due lunghezze senza conoscerle valori esatti, cosa che si può fare tornando all'origine stessa della divisione. 
La mia prestazione migliore è stata 6, 8 volte, cioè 6 volte, con un meraviglioso riposo. Tuttavia, questi esperimenti mi hanno convinto che i babilonesi non hanno ricevuto valore sperimentale, almeno non da questa via. Ma in questo caso, sorgono due domande.
Come trovare il raggio di un cerchio circoscritto a un triangolo - la formula generale
La formula generale è la seguente: R = abc/4√p(p - a)(p - b)(p - c), dove R è il raggio del cerchio circoscritto, p è il perimetro del triangolo diviso 2 (mezzo perimetro). a, b, c sono i lati del triangolo.
Trova il raggio del cerchio circoscritto del triangolo se a = 3, b = 6, c = 7.
Domanda 1: Se non è sperimentale, è teorica, geometrica. 
Pertanto, il perimetro P di un cerchio è maggiore di quello di un esagono e il rapporto tra loro è uguale. È del tutto naturale per noi stimare il perimetro di un cerchio, sconosciuto in relazione a ciò che è noto all'esagono stesso.
Più avanti vedremo cosa pensarne. Ipotesi 1: I babilonesi conoscevano il teorema di Pitagora mille anni prima. Ipotesi 2: Sapevano di aver trovato rettangoli di lati interi. Forse non tutti, ma almeno quelli la cui ipotenusa e uno dei lati sono numeri interi.
Pertanto, in base alla formula precedente, calcoliamo il semiperimetro:
p = (a + b + c)/2 = 3 + 6 + 7 = 16. => 16/2 = 8.
Sostituisci i valori nella formula e ottieni:
R = 3 x 6 x 7/4√8(8 - 3)(8 - 6)(8 - 7) = 126/4√(8 x 5 x 2 x 1) = 126/4√80 = 126/16 √5.
Risposta: R = 126/16√5
Come trovare il raggio di un cerchio circoscritto a un triangolo equilatero
Per trovare il raggio di un cerchio circoscritto a un triangolo equilatero, esiste una formula abbastanza semplice: R = a/√3, dove a è la dimensione del suo lato.
Naturalmente, non ci sono prove che i babilonesi abbiano fatto questo. Solo la scoperta di una nuova tavoletta di argilla può farlo. Inoltre, questa idea si basa sull'ipotesi 1 e i babilonesi sapevano davvero come trovare tali triangoli? 
Le ultime 15 righe sono suddivise in 4 colonne, le prime due righe delle quali definiscono il contenuto. La colonna 4 contiene il segno seguito dai numeri da 1 a.
Esempio: il lato di un triangolo equilatero è 5. Trova il raggio del cerchio circoscritto.
Poiché tutti i lati di un triangolo equilatero sono uguali, per risolvere il problema è sufficiente inserire il suo valore nella formula. Otteniamo: R = 5/√3.
Risposta: R = 5/√3.
Come trovare il raggio di una circonferenza circoscritta a un triangolo rettangolo
La formula è la seguente: R = 1/2 × √(a² + b²) = c/2, dove a e b sono le gambe e c è l'ipotenusa. Se aggiungiamo i quadrati delle gambe in un triangolo rettangolo, otteniamo il quadrato dell'ipotenusa. Come si può vedere dalla formula, questa espressione è sotto la radice. Calcolando la radice del quadrato dell'ipotenusa, otteniamo la lunghezza stessa. Moltiplicando l'espressione risultante per 1/2 alla fine si ottiene l'espressione 1/2 × c = c/2.
Le colonne 1, 2 e 3 si riferiscono ai triangoli rettangoli. Le colonne 2 e 3 danno rispettivamente il lato e l'ipotenusa più piccoli di ogni triangolo. La colonna 1 fornisce il quadrato del rapporto su entrambi i lati dell'angolo destro. Ad esempio, la linea 5 inizia nel sistema sessuale.
Questo è troppo preciso per essere vero, ma puoi verificare che sia lo stesso per altre stringhe. C'è controversia sui metodi che i babilonesi potrebbero aver usato per compilare questa tabella. Ci sono anche errori nella copia dello scrivano e piccoli misteri, come la riga 11, che dà come lati 45 e 1 15, cioè nella numerazione decimale: 45, ed entrambi sono multipli di 15, e questo triangolo non è altro che un triangolo di lati. Perché non è dato in questa forma, molto più semplice? E quale potrebbe essere il vantaggio di dare il quadrato del pendio piuttosto che il pendio stesso?
Esempio: calcola il raggio del cerchio circoscritto se le gambe del triangolo sono 3 e 4. Sostituisci i valori nella formula. Otteniamo: R = 1/2 × √(3² + 4²) = 1/2 × √25 = 1/2 × 5 = 2,5.
In questa espressione, 5 è la lunghezza dell'ipotenusa.
Risposta: R = 2,5.
Come trovare il raggio di una circonferenza circoscritta a un triangolo isoscele
La formula è la seguente: R = a² / √ (4a² - b²), dove a è la lunghezza della coscia del triangolo e b è la lunghezza della base.
Esempio: calcola il raggio di un cerchio se il suo fianco = 7 e la sua base = 8.
Soluzione: sostituiamo questi valori nella formula e otteniamo: R \u003d 7² / √ (4 × 7² - 8²).
R = 49/√(196 - 64) = 49/√132. La risposta può essere scritta direttamente in questo modo.
Risposta: R = 49/√132
Risorse online per il calcolo del raggio di un cerchio
È molto facile confondersi in tutte queste formule. Pertanto, se necessario, puoi utilizzare calcolatrici online, che ti aiuterà a risolvere i problemi sulla ricerca del raggio. Il principio di funzionamento di tali mini-programmi è molto semplice. Sostituisci il valore del lato nel campo appropriato e ottieni una risposta già pronta. Puoi scegliere diverse opzioni per arrotondare la risposta: a decimali, centesimi, millesimi, ecc.
