Gli studenti si chiedono sempre: “Perché non posso usare la calcolatrice nell’esame di matematica? Come estrarre la radice quadrata di un numero senza calcolatrice? Proviamo a rispondere a questa domanda.

Come estrarre la radice quadrata di un numero senza l'aiuto di una calcolatrice?

Azione radice quadrata inversa all'azione di quadratura.

√81= 9 9 2 =81

Se prendi la radice quadrata di un numero positivo e eleva il risultato al quadrato, ottieni lo stesso numero.

Dai piccoli numeri che sono quadrati esatti dei numeri naturali, ad esempio 1, 4, 9, 16, 25, ..., 100, si possono estrarre oralmente le radici quadrate. Di solito a scuola insegnano una tavola di quadrati di numeri naturali fino a venti. Conoscendo questa tabella, è facile estrarre radici quadrate dai numeri 121,144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400. Dai numeri maggiori di 400 puoi estrarle utilizzando il metodo di selezione utilizzando alcuni suggerimenti. Proviamo a vedere questo metodo con un esempio.

Esempio: Estrai la radice del numero 676.

Notiamo che 20 2 = 400 e 30 2 = 900, che significa 20< √676 < 900.

I quadrati esatti dei numeri naturali terminano con 0; 1; 4; 5; 6; 9.
Il numero 6 è dato da 4 2 e 6 2.
Ciò significa che se la radice viene presa da 676, allora sarà 24 o 26.

Resta da verificare: 24 2 = 576, 26 2 = 676.

Risposta: √676 = 26 .

Di più esempio: √6889 .

Poiché 80 2 = 6400 e 90 2 = 8100, allora 80< √6889 < 90.
Il numero 9 è dato da 3 2 e 7 2, quindi √6889 è uguale a 83 o 87.

Controlliamo: 83 2 = 6889.

Risposta: √6889 = 83 .

Se trovi difficile risolverlo utilizzando il metodo di selezione, puoi fattorizzare l'espressione radicale.

Per esempio, trova √893025.

Prendiamo in considerazione il numero 893025, ricorda, l'hai fatto in prima media.

Otteniamo: √893025 = √3 6 ∙5 2 ∙7 2 = 3 3 ∙5 ∙7 = 945.

Di più esempio: √20736. Consideriamo il numero 20736:

Otteniamo √20736 = √2 8 ∙3 4 = 2 4 ∙3 2 = 144.

Naturalmente, la fattorizzazione richiede la conoscenza dei segni di divisibilità e capacità di fattorizzazione.

E finalmente c'è regola per l'estrazione delle radici quadrate. Facciamo conoscenza con questa regola con esempi.

Calcola √279841.

Per estrarre la radice di un numero intero a più cifre, lo dividiamo da destra a sinistra in facce contenenti 2 cifre (il bordo più a sinistra può contenere una cifra). Lo scriviamo così: 27’98’41

Per ottenere la prima cifra della radice (5), prendiamo la radice quadrata del quadrato perfetto più grande contenuto nella prima faccia a sinistra (27).
Quindi il quadrato della prima cifra della radice (25) viene sottratto dalla prima faccia e la faccia successiva (98) viene aggiunta alla differenza (sottratta).
A sinistra del numero risultante 298, scrivi la doppia cifra della radice (10), dividi per essa il numero di tutte le decine del numero precedentemente ottenuto (29/2 ≈ 2), verifica il quoziente (102 ∙ 2 = 204 non dovrebbe essere superiore a 298) e scrivere (2) dopo la prima cifra della radice.
Quindi il quoziente risultante 204 viene sottratto da 298 e il bordo successivo (41) viene aggiunto alla differenza (94).
A sinistra del numero risultante 9441, scrivi il doppio prodotto delle cifre della radice (52 ∙2 = 104), dividi il numero di tutte le decine del numero 9441 (944/104 ≈ 9) per questo prodotto, prova la il quoziente (1049 ∙9 = 9441) dovrebbe essere 9441 e scriverlo (9) dopo la seconda cifra della radice.

Abbiamo ricevuto la risposta √279841 = 529.

Estrarre in modo simile radici delle frazioni decimali. Solo il numero radicale deve essere diviso in facce in modo che la virgola sia tra le facce.

Esempio. Trova il valore √0.00956484.

Ricorda solo che se una frazione decimale ha un numero dispari di cifre decimali, non è possibile estrarne la radice quadrata.

Quindi ora hai visto tre modi per estrarre la radice. Scegli quello più adatto a te e fai pratica. Per imparare a risolvere i problemi, è necessario risolverli. E se hai domande, iscriviti alle mie lezioni.

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MKU "Dipartimento dell'istruzione del distretto di Zakamensky"

MBOU "Scuola Secondaria Kholtosonskaya"

Conferenza scientifica e pratica scolastica

"Primi passi"

Nomina: matematica

Metodi per estrarre la radice quadrata di numeri a più cifre.

MBOU "Scuola secondaria Kholtosonskaya", 6a elementare

Indirizzo di casa: Repubblica di Bielorussia, distretto di Zakamensky,

Villaggio di Kholtoson, st. Komsomolskaja, casa 41

Telefono di contatto: 8-924-352-8322

Responsabile: Kharakshinova Irina Vyacheslavovna

Anno di realizzazione: 2016

Introduzione…………………..…………….…………3

Storia della radice quadrata…………………….4

Metodi per l'estrazione delle radici quadrate………………………6

2.1. Scomposizione dell'espressione radicale in fattori primi……………6

2.2. Estrazione di una radice quadrata utilizzando un angolo……………………6

2.3. Metodo per estrarre rapidamente le radici quadrate…………….7

Conclusioni.................................................... .................................................... ......................................9

Riferimenti……………..………..………...10

Introduzione.

È possibile immaginare un mondo senza numeri? Senza numeri non puoi fare un acquisto, non puoi sapere l’ora, non puoi comporre un numero di telefono. UN astronavi, laser e tutti gli altri progressi tecnologici? Sarebbero semplicemente impossibili se non fosse per la scienza dei numeri.

Nella nostra epoca di alta tecnologia e di uso diffuso dei computer, la capacità di eseguire calcoli complessi in modo rapido e corretto non ha affatto perso la sua rilevanza. La flessibilità mentale è motivo di orgoglio per le persone e la capacità, ad esempio, di eseguire rapidamente calcoli è decisamente sorprendente. Tali abilità aiuteranno una persona a scuola, nella vita di tutti i giorni, in attività professionale. Inoltre, il conteggio veloce è una vera ginnastica per la mente, che ti insegna a trovare le situazioni della vita più difficili. tempo più breve soluzioni buone e non standard.

Quest'anno ho sentito per caso "guarigione della radice quadrata". Mi chiedevo cos'è una radice quadrata e come ottenerla? Esistono algoritmi per estrarre le radici quadrate?

Mi sono rivolto alla mia insegnante di matematica con questa domanda, lei ha risposto che tali algoritmi esistono e mi ha consigliato di ricercare io stesso questo problema. Mi sono interessato e ho deciso di studiare questo problema più a fondo di quanto sia trattato nel curriculum scolastico.

Il lavoro presenta semplici algoritmi per l'estrazione delle radici quadrate che chiunque può padroneggiare.

Obiettivo del lavoro: Ricerca vari modi calcoli di radici quadrate.

Compiti:

Analizza la letteratura matematica su questo argomento e utilizza anche le risorse Internet.

Creare algoritmi per il calcolo della radice quadrata nei casi di calcolo “interamente”.

Fornisci esempi di come estrarre rapidamente le radici quadrate.

Capitolo 1. Storia della radice quadrata.

La necessità delle azioni di esponenziazione e di estrazione della radice è stata causata, come le altre quattro operazioni aritmetiche, dalla vita pratica. Quindi, insieme al problema del calcolo dell'area di un quadrato il cui lato UN noto, da tempo si incontra il problema inverso: “Quale lunghezza deve avere il lato di un quadrato affinché la sua area sia uguale a V?»

Il segno della radice utilizzato deriva dalla designazione usata dai matematici tedeschi dei secoli XV-XVI, che chiamavano l'algebra “Koss”, e dagli algebristi “Kossisti”. Dal XVII secolo, i numeri sconosciuti iniziarono ad essere denotati dalle ultime lettere dell'alfabeto latino x, y, z. Tuttavia, per molto tempo, l'ancora sconosciuto nell'equazione è stato scritto con la lettera R (da "Radix" - "radice"), e il suo quadrato - con la lettera q ("quadratus"). Questa spiegazione non è generalmente accettata. Nei manoscritti più antichi davanti al numero da cui si doveva estrarre la radice veniva posto un punto, e successivamente un punto o un diamante stretto con un trattino rivolto verso destra e verso l'alto. Ecco come si è formato il segno.

Conoscere l'ora , puoi trovare il percorso in caduta libera utilizzando la formula:

Risolviamo il problema inverso.

Compito. Quanti secondi impiega una pietra lasciata cadere da un'altezza di 122,5 m per cadere?

Soluzione: Per trovare la risposta, devi risolvere l'equazione. Da essa troviamo che Ora resta da trovare un numero positivo t tale che il suo quadrato sia 25. Questo numero è 5, poiché

Ciò significa che la pietra cadrà per 5 s.

Devi anche cercare un numero positivo in base al suo quadrato quando risolvi altri problemi, ad esempio quando trovi la lunghezza di un lato di un quadrato in base alla sua area. Introduciamo la seguente definizione:

Definizione. Un numero non negativo il cui quadrato è uguale a un numero non negativo a si chiama radice quadrata di UN.

Questo numero sta per

. Così

Esempio. Perché

Non puoi ricavare radici quadrate da numeri negativi, poiché il quadrato di qualsiasi numero è positivo o uguale a zero. Ad esempio, l'espressione

non ha valore numerico.

Nella scrittura, il segno è chiamato segno radicale (dal latino "radix" - radice) e numero UN- numero radicale. Ad esempio, nella notazione il numero radicale è 25. Poiché Ciò significa che la radice quadrata del numero scritto da uno e 2n zeri, è uguale al numero scritto da uno e N zeri:

.

Mentre lavoravo a questo studio, ho scoperto alcune informazioni interessanti. Si scopre che esiste una festività non ufficiale dedicata alla radice quadrata.

Il Square Root Day è una festa celebrata nove volte al secolo: il giorno in cui sia la data che il numero progressivo del mese sono radici quadrate

dalle ultime due cifre dell'anno (ad esempio, 2 febbraio 2004: 02-02-04).

Questa festa è stata celebrata per la prima volta il 9 settembre 1981 (09-09-81).

Il fondatore della vacanza è l'insegnante di scuola Ron Gordon di Redwood City, California, USA. A partire dal 2010, Gordon continua

pubblicare appunti sulla vacanza da lui inventata, contattando quindi attivamente i media al riguardo.

Il piatto principale di questo " tavola festiva» solitamente vengono bolliti

cubetti di verdure e prodotti da forno a forma di simbolo matematico di radice quadrata

Per ragioni matematiche oggettive, questa festività potrebbe

festeggiato rigorosamente nove volte al secolo (sette volte nella prima metà del secolo e

due volte - il secondo), sempre negli stessi giorni:

1 gennaio xx01

2 febbraio xx04

3 marzo xx09

4 aprile xx16

5 maggio xx25

6 giugno xx36

7 luglio xx49

8 agosto xx64

9 settembre xx81

È interessante notare che l'intervallo (in anni) tra

festività è una sequenza continua di numeri dispari: 3, 5,

Capitolo II . Metodi della radice quadrata

Primo modo- un tavolo di quadrati, telefoni e calcolatrici, puoi usarli, ma se non sono a portata di mano.

2.1. Fattorizzazione di un'espressione radicale.

Secondo modo– fattorizzazione dell'espressione radicale. Ad esempio, troviamo .Il numero 6561 è divisibile per 3. Fattorizziamo 6561: 6561=3· 3 3 3 81 = 81 81, 81

2.2. Estrazione delle radici quadrate utilizzando un angolo.

Terza via. Estrazione delle radici quadrate utilizzando un angolo.
1° passo. Il numero 8649 è suddiviso in bordi da destra a sinistra; ognuno dei quali deve contenere due cifre. Otteniamo due facce: .
2° passo. Prendiamo la radice quadrata della prima faccia 86, otteniamo uno svantaggio. Il numero 9 è la prima cifra della radice.
3° passo. Eleviamo al quadrato il numero 9 (9 2 = 81) e sottraiamo il numero 81 dalla prima faccia, otteniamo 86-81 = 5. Il numero 5 è il primo resto.
4° passo. Al resto 5 aggiungiamo il secondo lato 49, otteniamo il numero 549.

5° passo. Raddoppiamo la prima cifra della radice 9 e, scrivendo da sinistra, otteniamo -18

Dobbiamo assegnare la cifra più grande al numero in modo che il prodotto del numero che otteniamo da questa cifra sia uguale al numero 549 o inferiore a 549. Questo è il numero 3. Si trova per selezione: il numero di decine del numero 549, cioè il numero 54 diviso 18, otteniamo 3, poiché 183 ∙ 3 = 549. Il numero 3 è la seconda cifra della radice.

6° passo. Troviamo il resto 549 – 549 = 0. Poiché il resto è zero, otteniamo valore esatto radice – 93.

Esempio:

Per verificare, abbiamo elevato al quadrato 63 e aggiunto 113 al risultato; poiché il risultato totale è questo numero 4082, l'azione è stata eseguita correttamente.

2.3. Metodo per estrarre rapidamente le radici quadrate

1+3+5+7=4 2 ecc.

Esempio: troviamo √529

Soluzione: 1)_529

Come estrarre la radice dal numero. In questo articolo impareremo come calcolare la radice quadrata dei numeri a quattro e cinque cifre.

Prendiamo come esempio la radice quadrata del 1936.

Quindi, .

L'ultima cifra del numero 1936 è il numero 6. Il quadrato del numero 4 e del numero 6 termina con 6. Pertanto, 1936 può essere il quadrato del numero 44 o del numero 46. Resta da verificare utilizzando la moltiplicazione.

Significa,

Prendiamo la radice quadrata del numero 15129.

Quindi, .

L'ultima cifra del numero 15129 è il numero 9. Il quadrato del numero 3 e del numero 7 termina con 9. Pertanto, 15129 può essere il quadrato del numero 123 o del numero 127. Controlliamo utilizzando la moltiplicazione.

Significa,

Come estrarre la radice - video

E ora vi consiglio di guardare il video di Anna Denisova - "Come estrarre la radice ", autore del sito" Fisica semplice", in cui spiega come trovare radici quadrate e cubiche senza calcolatrice.

Il video illustra diversi modi per estrarre le radici:

1. Il modo più semplice per estrarre la radice quadrata.

2. Per selezione utilizzando il quadrato della somma.

3. Metodo babilonese.

4. Metodo per estrarre la radice quadrata di una colonna.

5. Un modo rapido per estrarre la radice cubica.

6. Metodo per estrarre la radice cubica in una colonna.

In matematica, la questione su come estrarre una radice è considerata relativamente semplice. Se eleviamo al quadrato i numeri della serie naturale: 1, 2, 3, 4, 5...n, otteniamo la seguente serie di quadrati: 1, 4, 9, 16...n 2. La fila di quadrati è infinita e, se la guardi da vicino, vedrai che non contiene molti numeri interi. Spiegheremo perché questo accade un po' più tardi.

Radice di un numero: regole di calcolo ed esempi

Quindi abbiamo quadrato il numero 2, cioè lo abbiamo moltiplicato per se stesso e abbiamo ottenuto 4. Come estrarre la radice del numero 4? Diciamo subito che le radici possono essere quadrate, cubiche e qualsiasi grado all'infinito.

Grado della radice – sempre numero naturale, cioè è impossibile risolvere un'equazione del genere: una radice elevata a 3,6 di n.

Radice quadrata

Torniamo alla domanda su come estrarre la radice quadrata di 4. Dato che abbiamo quadrato il numero 2, estrarremo anche la radice quadrata. Per estrarre correttamente la radice di 4, devi solo scegliere il numero giusto che, al quadrato, darebbe il numero 4. E questo, ovviamente, è 2. Guarda l'esempio:

• 2 2 =4
• Radice di 4 = 2

Questo esempio è abbastanza semplice. Proviamo a estrarre la radice quadrata di 64. Quale numero, moltiplicato per se stesso, dà 64? Ovviamente sono le 8.

• 8 2 =64
• Radice di 64=8

radice cubica

Come già detto in precedenza le radici non sono solo quadrate, cercheremo di spiegare più chiaramente come si estrae una radice cubica o una radice di terzo grado. Il principio per estrarre una radice cubica è lo stesso di una radice quadrata, l'unica differenza è che il numero desiderato inizialmente veniva moltiplicato per se stesso non una, ma due volte. Cioè, diciamo che abbiamo preso il seguente esempio:

• 3x3x3=27
• Naturalmente la radice cubica di 27 è tre:
• Radice 3 di 27 = 3

Diciamo che devi trovare la radice cubica di 64. Per risolvere questa equazione è sufficiente trovare un numero che, elevato alla terza potenza, dia 64.

• 4 3 =64
• Radice 3 di 64 = 4

Estrarre la radice di un numero su una calcolatrice

Naturalmente, è meglio imparare ad estrarre le radici del quadrato, del cubo e delle altre radici attraverso la pratica, risolvendo molti esempi e memorizzando le tabelle dei quadrati e dei cubi di piccoli numeri. In futuro, ciò faciliterà e ridurrà notevolmente il tempo necessario per risolvere le equazioni. Tuttavia, va notato che a volte è necessario estrarre la radice di un numero così grande che è impossibile trovarla numero corretto, al quadrato, costerà molto lavoro, se possibile, costerà del tutto. Una normale calcolatrice verrà in soccorso per estrarre la radice quadrata. Come estrarre la radice su una calcolatrice? Inserisci molto semplicemente il numero da cui vuoi trovare il risultato. Ora dai un'occhiata da vicino ai pulsanti della calcolatrice. Anche il più semplice ha una chiave con l'icona della radice. Cliccandoci sopra, otterrai immediatamente il risultato finale.

Non tutti i numeri possono avere una radice intera; considera il seguente esempio:

Radice di 1859 = 43.116122…

Puoi provare contemporaneamente a risolvere questo esempio su una calcolatrice. Come puoi vedere, il numero risultante non è un intero inoltre l'insieme delle cifre dopo la virgola non è finito; Speciali calcolatori tecnici possono fornire risultati più accurati, ma il risultato completo semplicemente non si adatta alla visualizzazione di quelli ordinari. E se continui la serie di quadrati che hai iniziato prima, non troverai in essa il numero 1859 proprio perché il numero che è stato elevato al quadrato per ottenerlo non è un intero.

Se devi estrarre la terza radice su una semplice calcolatrice, devi fare doppio clic sul pulsante con il segno della radice. Ad esempio, prendi il numero 1859 usato sopra e prendine la radice cubica:

Radice 3 del 1859 = 6.5662867…

Cioè, se il numero 6.5662867... viene elevato alla terza potenza, otteniamo circa 1859. Pertanto, estrarre le radici dai numeri non è difficile, devi solo ricordare gli algoritmi di cui sopra.