Gioco pareto bimatrice

Un gioco è un modello matematico idealizzato di comportamento collettivo: diversi individui (partecipanti, giocatori) influenzano la situazione (il risultato del gioco) e i loro interessi (le loro vincite in diverse occasioni). situazioni possibili) sono diversi. L'antagonismo degli interessi dà origine al conflitto, mentre la coincidenza degli interessi riduce il gioco al puro coordinamento, per la cui attuazione l'unico comportamento ragionevole è la cooperazione. Nella maggior parte dei giochi che nascono dall'analisi delle situazioni socioeconomiche, gli interessi non sono né strettamente antagonisti né esattamente coincidenti. Il venditore e l'acquirente concordano che è nel loro interesse reciproco concordare una vendita, a condizione, ovviamente, che la transazione sia vantaggiosa per entrambi. Tuttavia, contrattano vigorosamente quando scelgono un prezzo specifico entro i limiti determinati dalle condizioni di reciproco vantaggio della transazione. Allo stesso modo, gli elettori ordinari sono generalmente disposti a respingere i candidati che rappresentano punti di vista estremi.

Tuttavia, quando si elegge uno dei due candidati che offrono soluzioni di compromesso diverse, si scatena una feroce battaglia. Non si può non essere d'accordo sul fatto che la maggior parte dei giochi si assomigliano situazioni di conflitto La vita sociale dà origine sia a comportamenti conflittuali che cooperativi. Pertanto, possiamo concludere che la teoria dei giochi è un utile apparato logico per analizzare le motivazioni del comportamento dei partecipanti in tali situazioni. Dispone di un intero arsenale di scenari comportamentali formalizzati, che vanno dal comportamento non cooperativo agli accordi cooperativi che utilizzano minacce reciproche. Per ogni gioco in forma normale, l’utilizzo di diversi concetti di equilibrio cooperativo e non cooperativo porterà tipicamente a risultati diversi. Il loro confronto è il principio fondamentale dell'analisi teorica dei giochi e, a quanto pare, la fonte di un ragionamento rigoroso e allo stesso tempo significativo sui motivi incentivanti del comportamento derivanti solo dalla struttura del gioco in forma normale.

In molti Scienze sociali disponibile un gran numero di modelli, la cui analisi richiede lo studio delle modalità di scelta delle strategie. Le applicazioni della teoria dei giochi sono sviluppate prevalentemente in connessione con lo studio dell'economia.

Ciò corrisponde ai principi dei fondatori della teoria dei giochi, von Neumann e Morgenstern. Tuttavia, la forte reputazione dell’approccio teorico dei giochi si è affermata solo dopo il teorema di Debreu-Scarfe, che consente di considerare l’equilibrio competitivo come il risultato di azioni cooperative. Da allora, intere sezioni teoria economica(come la teoria della concorrenza imperfetta o la teoria degli incentivi economici) sono sviluppati in stretto contatto con la teoria dei giochi.

La ricerca di concetti di equilibrio, che sono idealizzazioni di un intero spettro di modelli di comportamento non cooperativi e cooperativi, è strettamente correlata ai fondamenti della sociologia. Nella moderna ricerca sociologica, i modelli formali della teoria dei giochi sono molto rari e, da un punto di vista matematico, elementari. Eppure l’influenza della teoria dei giochi ci sembra irreversibile, almeno nella fase di apprendimento.

Per risolvere questi problemi, la teoria matematica propone la teoria dei giochi, definita come una branca della matematica focalizzata sulla costruzione di modelli formali per prendere decisioni ottimali in una situazione di interazione competitiva. Questa definizione Il compito principale della teoria dei giochi è la sequenza di azioni di comportamento efficace in condizioni di competizione e conflitto.

Nella teoria dei giochi, i partecipanti alle interazioni concorrenti sono chiamati giocatori; ognuno di loro ha un insieme non vuoto di azioni consentite che esegue durante il corso del gioco, chiamate mosse o scelte. L'insieme di tutte le mosse possibili, una alla volta, dall'elenco delle mosse possibili per ciascun giocatore (partecipando a mosse a coppie, triplette, ecc.) è chiamato strategia. Le strategie ben costruite si escludono a vicenda, vale a dire esauriscono reciprocamente tutti i modi di comportamento dei giocatori. Il risultato del gioco è l'implementazione da parte del giocatore della strategia scelta. Ad ogni risultato del gioco corrisponde un valore di utilità (vincente) determinato dai giocatori, chiamato payoff.

I giochi possono essere classificati in base al numero di giocatori, al numero di strategie, alla natura dell'interazione tra i giocatori, alla natura della vincita, al numero di mosse, alla disponibilità di informazioni, ecc.

• 1. A seconda del numero di giocatori si distinguono i giochi a coppie e i giochi a n giocatori. L'apparato matematico per l'implementazione dei giochi di coppia è il più sviluppato. I giochi con tre o più giocatori sono più difficili da studiare a causa delle difficoltà nell'implementazione tecnica degli algoritmi risolutivi.
• 2. A seconda del numero di strategie, i giochi possono essere finiti o infiniti. Un gioco con un numero finito di possibili strategie dei giocatori è detto gioco finito. Se almeno uno dei giocatori ha un numero infinito di strategie possibili, il gioco si dice infinito.
• 3. In base alla natura dell'interazione, i giochi si dividono in:
  • · non coalizionale: i giocatori non hanno il diritto di stipulare accordi o formare coalizioni;
  • · coalizione (cooperativa): i giocatori possono unirsi alle coalizioni.

IN giochi cooperativi Le coalizioni sono rigorosamente definite nella fase di definizione del problema e non possono cambiare durante il gioco.

• 4. In base alla natura delle vincite, i giochi si dividono in:
  • · giochi a somma zero (il capitale totale di tutti i giocatori non cambia, ma viene ridistribuito tra i giocatori; la somma delle vincite di tutti i giocatori è zero);
  • · giochi a somma diversa da zero.
• 5. In base alla tipologia delle funzioni vincenti i giochi si dividono in: a matrice, bimatrice, continui, convessi, separabili, duelli, ecc.

Un gioco a matrice è un gioco a coppie finite di due giocatori con somma zero, in cui il profitto del giocatore 1 è specificato sotto forma di matrice (la riga della matrice corrisponde al numero della strategia applicata del giocatore 2, la riga colonna - il numero della strategia applicata del giocatore 2; all'intersezione della riga e della colonna della matrice c'è il profitto del giocatore 1, corrispondente alle strategie applicate).

Per i giochi a matrice, è stato dimostrato che ognuno di essi ha una soluzione e questa può essere facilmente trovata riducendo il gioco a un problema di programmazione lineare.

Un gioco bimatrice lo è fine del gioco due giocatori con somma diversa da zero, in cui i guadagni di ciascun giocatore sono specificati da matrici separatamente per il giocatore corrispondente (in ciascuna matrice, la riga corrisponde alla strategia del giocatore 1, la colonna alla strategia del giocatore 2, a all'intersezione della riga e della colonna nella prima matrice c'è la vincita del giocatore 1, nella seconda matrice - la vincita del giocatore 2.)

Una teoria del comportamento ottimale del giocatore è stata sviluppata anche per i giochi bimatrice, ma risolvere tali giochi è più difficile dei normali giochi a matrice.

Un gioco è considerato continuo se la funzione di profitto di ciascun giocatore è continua a seconda delle strategie. Nella teoria matematica è stato dimostrato che i giochi di questa classe hanno soluzioni, ma non sono ancora stati sviluppati metodi praticamente accettabili per trovarle.

L'obiettivo di ogni gioco è che ogni giocatore massimizzi il proprio guadagno. Il significato della teoria matematica dei giochi, costruita sulla classificazione di cui sopra, è formalizzare (semplificare) e facilitare la scelta ottimale. L'insieme di tutte le possibili strategie di gioco è un numero elevato, che cresce tanto più quanto più sono i giocatori e l'insieme delle mosse a disposizione di ciascuno. Quindi per una coppia di giocatori, se le condizioni del gioco consentono a ciascuno di effettuare n mosse, ci sono 2n strategie nel gioco.

Enumerare e valutare (confrontare) semplicemente un tale numero di strategie è un compito tecnicamente molto difficile e inaccettabile nella pratica. L'apparato matematico consente di ridurre notevolmente il numero di strategie che necessitano di analisi e confronto, scartando quelle evidentemente inefficaci. Quando si ottiene un insieme limitato di punti di equilibrio, ragionevoli per l’analisi (egualmente preferiti da tutti i giocatori riguardo ai risultati del gioco), sulla base di un’analisi dei payoff dei giocatori, viene selezionato il risultato più razionale. Quando si sceglie un risultato, ci sono due approcci principali che danno il nome alla strategia finale del gioco:

• · Strategia Minimax (scelta delle perdite massime (peggiori) e minime (migliori).
• · Strategia massima (scegliendo dalla vincita minima (peggiore) alla vincita massima (migliore).

Lo sviluppo della teoria dei giochi utilizzando metodi di analisi probabilistica è la teoria matematica del processo decisionale. Questa teoria non funziona con una soluzione reale (attuale), ma con una soluzione media, che è la soluzione attesa dal gioco durante la sua ripetuta ripetizione. Questa proprietà è rilevante per risolvere problemi giuridici, poiché la natura normativa della legge significa che si concentra su un argomento incerto e comporta la ripetizione ripetuta dei rapporti giuridici. Per non addentrarci in calcoli matematici profondi, notiamo solo che la teoria del processo decisionale offre un sistema di criteri (ad esempio, il criterio di Hurwitz, Hadji-Lehman, il criterio del valore atteso), che, utilizzando l'analisi probabilistica dei risultati del gioco , consentono di selezionare la soluzione ottimale in condizioni di rischio e incertezza .

65. Nel metodo grafico per risolvere giochi 3*3 per trovare strategie ottimali per i giocatori:
a) si costruiscono due triangoli (*risposta*)
b) viene costruito un triangolo.
c) i triangoli non sono affatto costruiti.
66. Il grafico dell'inviluppo inferiore per il metodo grafico di risoluzione dei giochi 2*m rappresenta nel caso generale la funzione:
a) monotonicamente decrescente.
b) monotonicamente crescente.
c) non motorio.
67. Se in un gioco antagonista su un segmento la funzione di payoff del 1° giocatore F(x,y) è uguale a 2*x+C, allora a seconda di C:
a) non ci sono mai punti di sella.
b) ci sono sempre dei punti di sella (*risposta*)
c) un'altra opzione
68. Come si può impostare un problema decisionale in condizioni di incertezza su insiemi finiti:
a) due matrici.
b) vincite.
c) qualcos'altro (*risposta*)
69. In un gioco antagonistico di dimensione arbitraria, il profitto del primo giocatore è:
un numero.
b) molti.
c) vettore, o insieme ordinato.
d) funzione (*risposta*)
70.V gioco di matrici 3*3 due componenti della strategia mista di un giocatore:
a) determinare la terza (*risposta*)
b) non definire.
71. Un gioco bimatrice può essere definito:
a) due matrici della stessa dimensione con elementi arbitrari,
b) due matrici non necessariamente della stessa dimensione,
c) una matrice.
72. In un gioco di matrici, l'elemento aij è:
a) perdita del 2° giocatore quando usa la strategia j-esima, e del 2° - i-esima strategia(*risposta*)
B) strategia ottimale 2° giocatore quando utilizzato nemico i o j-esima strategia,
c) le vincite del 1° giocatore quando utilizza la strategia j-esima e del 2° - la strategia i-esima,
73. L'elemento di matrice aij corrisponde al punto di sella. Sono possibili le seguenti situazioni:
a) ottimale.
b) pulito.
c) non esiste una risposta chiara (*risposta*)
84. Se tutte le colonne nella matrice sono uguali e hanno la forma (4 3 0 2), allora quale strategia è ottimale per il 2° giocatore?
un primo. b) terzo. c) qualsiasi (*risposta*)
85. Qual è il numero massimo di punti di sella in un gioco 3*3 (la matrice può contenere qualsiasi numero):
a)3.
b)9.
c)27 (*risposta*)
86. Sia X=(1;5) l'insieme delle strategie della 1a
giocatore, Y=(2;8) - insieme di strategie del 2° giocatore. La coppia (1,2)
essere un punto di sella in questo gioco:
a) sempre.
b) qualche volta (*risposta*)
c) mai.
87. Ci sono esattamente 2 situazioni di equilibrio in un gioco bimatrice di dimensione 3*3?
a) Sempre.
b) qualche volta (*risposta*)
c) mai.
88. Inseriamo in un gioco di matrici di dimensione 2*3 uno di strategie miste La strategia del Giocatore 1 è (0.3, 0.7) e una delle strategie miste del Giocatore 2 è (0.3, x, x). Qual è il numero x?
a)0,7 b)0,4 c)qualcos'altro (*risposta*)
89. Il gioco Matrix è caso speciale bimatrice, in cui vale sempre quanto segue:
a) la matrice A è uguale alla matrice B, presa con il segno opposto.
b) la matrice A è uguale alla matrice B.
c) Il prodotto delle matrici A e B è la matrice identità.
90. In un gioco bimatrice, l'elemento by rappresenta:
a) le vincite del 2° giocatore quando utilizza la strategia i-esima e del 1° - la strategia j-esima,
b) la strategia ottimale del 2° giocatore quando l'avversario utilizza la strategia i-esima o j-esima/
c) qualcos'altro (*risposta*)
91. In un gioco bimatrice, l'elemento ac corrisponde a una situazione di equilibrio. Sono possibili le seguenti situazioni:
a) la colonna ha elementi uguali a questo elemento (*risposta*)
b) questo elemento è più piccolo di alcuni nella colonna.
c) questo elemento è il più piccolo della colonna.
92. In un gioco a matrice, conoscendo le strategie di ciascun giocatore e la funzione di payoff,
il prezzo del gioco in strategie pure può essere trovato:
a) sempre.
b) qualche volta (*risposta*)
c) la domanda non è corretta.

Prove per il controllo finale

1. È possibile impostare un gioco antagonista:

a) un insieme di strategie per entrambi i giocatori e un punto di sella.

b) un insieme di strategie per entrambi i giocatori e la funzione di payoff del primo giocatore.

2. Il prezzo del gioco esiste sempre per i giochi a matrice in strategie miste.

a) sì.

3.Se tutte le colonne nella matrice dei payoff sono uguali e hanno la forma (4 5 0 1), quale strategia è ottimale per il primo giocatore?

un primo.

b) secondo.

c) uno qualsiasi dei quattro.

4. Supponiamo che in un gioco a matrice una delle strategie miste del 1° giocatore abbia la forma (0.3, 0.7), e una delle strategie miste del 2° giocatore abbia la forma (0.4, 0, 0.6). Qual è la dimensione di questa matrice?

a) 2*3.

c) un'altra dimensione.

5. Il principio della dominanza consente di rimuovere dalla matrice in un solo passaggio:

a) intere linee.

b) numeri individuali.

6. Nel metodo grafico per la risoluzione dei giochi 2*m, si trova direttamente dal grafico:

a) strategie ottimali di entrambi i giocatori.

b) il prezzo del gioco e le strategie ottimali del 2° giocatore.

c) il prezzo del gioco e le strategie ottimali del 1° giocatore.

7. Il grafico dell'inviluppo inferiore per il metodo grafico di risoluzione dei giochi 2*m è nel caso generale:

un rotto.

b) dritto.

c) parabola.

8. In un gioco a matrice 2*2 ci sono due componenti della strategia mista del giocatore:

a) determinare i valori reciproci.

b) indipendente.

9. In un gioco di matrici, l'elemento aij è:

a) le vincite del 1° giocatore quando utilizza la strategia i-esima e del 2° - la strategia j-esima.

b) la strategia ottimale del 1° giocatore quando l'avversario utilizza la strategia i-esima o j-esima.

c) la perdita del 1° giocatore quando utilizza la j-esima strategia e del 2° - la i-esima strategia.

10.L'elemento di matrice aij corrisponde al punto di sella. Sono possibili le seguenti situazioni:

a) questo elemento è rigorosamente il più piccolo di tutti nella riga.

b) questo elemento è il secondo in ordine nella riga.

11. Nel metodo Brown-Robinson, ogni giocatore, quando sceglie una strategia nella fase successiva, è guidato da:

a) le strategie del nemico nelle fasi precedenti.

b) le tue strategie nei passaggi precedenti.

c) qualcos'altro.

12. Secondo il criterio dell'aspettativa matematica, ogni giocatore parte dal fatto che:

a) accadrà la situazione peggiore per lui.

c) tutte o alcune situazioni sono possibili con alcune probabilità date.

13. Sia un gioco di matrici dato da una matrice in cui tutti gli elementi sono negativi. Il prezzo del gioco è positivo:

b) no.

c) non esiste una risposta chiara.

14. Il prezzo del gioco è:

un numero.

b) vettore.

c) matrice.

15.Qual è il numero massimo di punti di sella che possono esserci in un gioco di dimensione 5*5 (la matrice può contenere qualsiasi numero):

16. Supponiamo che in un gioco a matrice di dimensione 2*3 una delle strategie miste del 1° giocatore abbia la forma (0.3, 0.7), e una delle strategie miste del 2° giocatore abbia la forma (0.3, x, 0.5) . Qual è il numero x?

c) un altro numero.

17. Per quale dimensione della matrice del gioco il criterio di Wald si trasforma nel criterio di Laplace?

c) solo negli altri casi.

18. Il prezzo massimo del gioco è sempre inferiore al prezzo minimo del gioco.

b) no.

b) la domanda non è corretta.

19. Quali strategie ci sono in un gioco a matrice:

a) pulito.

b) misto.

c) entrambi.

20. Può in alcuni antagonista gioco, i valori della funzione di profitto di entrambi i giocatori per alcuni valori delle variabili sono pari a 1?

a) sempre.

b) a volte.

c) mai.

21. In un gioco a matrice, supponiamo che una delle strategie miste del 1° giocatore sia della forma (0.3, 0.7), e che una delle strategie miste del 2° giocatore sia della forma (0.4, 0.1,0.1,0.4) . Qual è la dimensione di questa matrice?

c) un'altra dimensione.

22. Il principio della dominanza consente di rimuovere dalla matrice in un solo passaggio:

a) intere colonne,

b) numeri individuali.

c) sottomatrici di dimensioni minori.

23. In un gioco a matrice 3*3 ci sono due componenti della strategia mista del giocatore:

a) determinare il terzo.

b) non definire.

24. In un gioco di matrici, l'elemento aij è:

a) perdita del 2° giocatore quando utilizza la strategia j-esima e del 2° - la strategia i-esima.

b) la strategia ottimale del 2° giocatore quando l'avversario utilizza la strategia i-esima o j-esima,

c) le vincite del 1° giocatore quando utilizza la strategia j-esima e del 2° - la strategia i-esima,

25. L'elemento di matrice aij corrisponde al punto di sella. Sono possibili le seguenti situazioni:

a) questo elemento è il più grande della colonna.

b) questo elemento è rigorosamente il più grande in ordine nella riga.

c) la stringa contiene elementi sia maggiori che minori di questo elemento.

26. Secondo il criterio di Wald, ciascun giocatore presuppone che:

a) accadrà la situazione peggiore per lui.

b) tutte le situazioni sono ugualmente possibili.

c) tutte le situazioni sono possibili con determinate probabilità.

27. Il prezzo più basso è inferiore al prezzo più alto del gioco:

b) non sempre.

c) mai.

28. La somma delle componenti di una strategia mista per un gioco a matrice è sempre:

a) equivale a 1.

b) non negativo.

c) positivo.

d) non sempre.

29. Supponiamo che in un gioco a matrice di dimensione 2*3 una delle strategie miste del 1° giocatore abbia la forma (0.3, 0.7), e una delle strategie miste del 2° giocatore abbia la forma (0.2, x, x) . Qual è il numero x?