Nav nepieciešams apgūt apļa sektora laukumu un segmenta laukumu! Dārgie draugi!Jūs, iespējams, ne reizi vien esat pārlūkojis uzziņu grāmatu ar matemātiskām formulām, un, iespējams, radās doma: "Vai tiešām ir iespējams tās visas apgūt?" Es jums pateikšu, kas ir iespējams, bet kāpēc? Kāpēc piebāzt galvu ar daudzām formulām, nemitīgi tās atkārtot, šausmināties, ka dažas aizmirsāt un atkārtot tās vēlreiz? Nav vajadzības!

Patiesībā pietiek atcerēties trešdaļu no visām formulām, pamatformulām vai pat mazāk. Tālāk jūs sapratīsit, par ko mēs runājam. Visas pārējās formulas var ātri izsecināt, zinot pamatus, pielietojot loģiku un atceroties principus, kas jāievēro.

Ļaujiet man sniegt jums piemēru: ir 32 samazināšanas formulas, kas ir bezjēdzīgas. Kā ātri atcerēties kādu no tiem, ir aprakstīts rakstā “”, ieskatieties.

Šajā rakstā mēs apskatīsim, kā ātri atjaunot atmiņā formulas apļa sektora laukumam, tā segmenta laukumam un apļa loka garumam. Šīs formulas būs nepieciešamas, lai atrisinātu sērijas planimetrijā, kuras mēs analizēsim nākamajā rakstā.Tātad, “pamata” formulas, tās ir jāiemācās un jāzina!

Apļa laukums (formula):

Apkārtmēra formula:

Attēlosim sektoru, kas atbilst noteiktam centrālajam leņķim n:

Mēs domājam loģiski: ja apļa laukums ir S= PR 2 , tad laukums, kas atbilst viena grāda sektoram, būs vienāds ar 1/360 no apļa laukuma (mēs zinām, ka viss aplis ir 360 grādu leņķis), tas ir

Turklāt ir skaidrs, ka sektora laukums, kas atbilst n grādu centrālajam leņķim, ir vienāds ar vienas trīssimt sešdesmitās daļas apļa laukuma un centrālā leņķa n (kas atbilst sektoram) reizinājumu. , tas ir

Šeit ir sektora apgabala formula.

Vai arī varat strukturēt savu argumentāciju šādi:

1 grādu sektors ir attiecīgi 1/360 no apļa, n grādu sektors ir n/360 no apļa. Tas ir, sektora laukums būs vienāds ar apļa laukuma un šīs daļas reizinājumu:

Tas ir vienkārši. No sektora laukuma ir jāatņem trijstūra laukums (tas ir apzīmēts dzeltens). Trijstūra laukums, kā mēs zinām, ir vienāds ar pusi no blakus esošo malu reizinājuma un leņķa sinusa starp tām (jums jāzina šī formula, tā navkomplekss). IN šajā gadījumāŠis:

nozīmē,

Tik daudz par segmenta apgabalu!

Segmenta laukums, kurā centrālais leņķis ir lielāks par 180 grādiem, ir vienkārši:

No apļa laukuma atņemiet iegūtā segmenta laukumu:

Leņķis 360–n grādi ir leņķis, kas atbilst attēlotajam sektoram (dzeltens):

Tas ir, citiem vārdiem sakot, mēs pievienojam trīsstūra laukumu tā laukumam un iegūstam norādītā segmenta laukumu.

Līdzīgi mēs nosakām apļa loka garumu. Kā jau minēts, apkārtmērs ir vienāds ar:

Tas nozīmē, ka apļa loka garums, kas atbilst vienam grādam, būs vienāds ar vienu trīssimt sešdesmito daļu no 2πR, tas ir

Mēs iegūstam apļa loka garumu. noteikti, šo informāciju skolotāji dod skolēniem, un jūs neko tik slepenu neesat iemācījušies. Bet esmu pārliecināts, ka raksts jums noderēs.

Es atkārtoju, ka vissvarīgākais ir zināt apļa laukuma un apkārtmēra formulas, un tad darbojas tikai loģika.

Iesaku noskatīties Dmitrija Tarasova papildu nodarbību par šo tēmu. Tiek ņemtas vērā formulas apļa loka garumam un sektora laukumam, kur centrālais leņķis ir norādīts radiānā.

Tas ir viss. Novēlu veiksmi!!

Ar cieņu Aleksandrs Krutickhs.

P.S. Būšu pateicīgs, ja pastāstīsiet par vietni sociālajos tīklos.

Aplis, tā daļas, to izmēri un attiecības ir lietas, ar kurām juvelieris pastāvīgi saskaras. Gredzeni, rokassprādzes, kastes, tūbiņas, bumbiņas, spirāles - jātaisa daudz apaļu lietu. Kā to visu var aprēķināt, it īpaši, ja skolā paveicās izlaist ģeometrijas stundas?..

Vispirms apskatīsim, kādas ir apļa daļas un kā tās sauc.

• Aplis ir līnija, kas aptver apli.
• Loka ir apļa daļa.
• Rādiuss ir segments, kas savieno apļa centru ar jebkuru apļa punktu.
• Horda ir segments, kas savieno divus riņķa punktus.
• Nogrieznis ir apļa daļa, ko ierobežo horda un loka.
• Sektors ir apļa daļa, ko ierobežo divi rādiusi un loka.

Mūs interesējošie daudzumi un to apzīmējumi:

Tagad apskatīsim, kādas problēmas, kas saistītas ar apļa daļām, ir jāatrisina.

• Atrodiet jebkuras gredzena daļas (rokassprādzes) attīstības garumu. Ņemot vērā diametru un hordu (opcija: diametrs un centrālais leņķis), atrodiet loka garumu.
• Ir zīmējums uz plaknes, pēc saliekšanas lokā jānoskaidro tā izmērs projekcijā. Ņemot vērā loka garumu un diametru, atrodiet horda garumu.
• Noskaidrojiet detaļas augstumu, kas iegūts, saliekot plakanu sagatavi lokā. Avota datu iespējas: loka garums un diametrs, loka garums un horda; atrodiet segmenta augstumu.

Dzīve jums sniegs citus piemērus, bet es tos sniedzu tikai tāpēc, lai parādītu nepieciešamību iestatīt dažus divus parametrus, lai atrastu visus pārējos. To mēs darīsim. Proti, ņemsim piecus segmenta parametrus: D, L, X, φ un H. Pēc tam, izvēloties no tiem visus iespējamos pārus, tos uzskatīsim par sākuma datiem un visus pārējos atradīsim prāta vētras ceļā.

Lai lieki nenoslogotu lasītāju, detalizētus risinājumus nesniegšu, bet formulu veidā izklāstīšu tikai rezultātus (tos gadījumus, kur formāla risinājuma nav, apspriedīšu pa ceļam).

Un vēl viena piezīme: par mērvienībām. Visi lielumi, izņemot centrālo leņķi, tiek mērīti tajās pašās abstraktajās vienībās. Tas nozīmē, ka, ja, piemēram, norādāt vienu vērtību milimetros, tad otra nav jānorāda centimetros, un iegūtās vērtības tiks mērītas tajos pašos milimetros (un laukumi kvadrātmilimetros). To pašu var teikt par collām, pēdām un jūras jūdzēm.

Un tikai centrālais leņķis visos gadījumos tiek mērīts grādos un nekas cits. Jo, kā parasti, cilvēki, kas veido kaut ko apaļu, nemēdz leņķus mērīt radiānos. Frāze “leņķis pi ar četriem” daudzus mulsina, savukārt “leņķis četrdesmit pieci grādi” ir saprotams ikvienam, jo ​​tas ir tikai par pieciem grādiem augstāks nekā parasti. Tomēr visās formulās kā starpvērtība būs vēl viens leņķis - α. Pēc nozīmes tas ir puse no centrālā leņķa, ko mēra radiānos, taču jūs varat droši neiedziļināties šajā nozīmē.

1. Dots diametrs D un loka garums L

; akorda garums ;
segmenta augstums ; centrālais leņķis .

2. Dotais diametrs D un hordas garums X

; loka garums;
segmenta augstums ; centrālais leņķis .

Tā kā horda sadala apli divos segmentos, šai problēmai ir nevis viens, bet divi risinājumi. Lai iegūtu otro, iepriekš minētajās formulās leņķis α jāaizstāj ar leņķi .

3. Dots diametrs D un centrālais leņķis φ

; loka garums;
akorda garums ; segmenta augstums .

4. Dots diametrs D un segmenta H augstums

; loka garums;
akorda garums ; centrālais leņķis .

6. Dotais loka garums L un centrālais leņķis φ

; diametrs;
akorda garums ; segmenta augstums .

8. Dots hordas garums X un centrālais leņķis φ

; loka garums ;
diametrs; segmenta augstums .

9. Dots hordas X garums un nogriežņa H augstums

; loka garums ;
diametrs; centrālais leņķis .

10. Dots centrālais leņķis φ un nogriežņa H augstums

; diametrs ;
loka garums; akorda garums .

Uzmanīgais lasītājs nevarēja nepamanīt, ka es palaidu garām divas iespējas:

5. Dotais loka garums L un horda garums X

7. Dots loka garums L un nogriežņa H augstums

Tie ir tikai tie divi nepatīkamie gadījumi, kad problēmai nav risinājuma, ko varētu uzrakstīt formulas formā. Un uzdevums nav tik rets. Piemēram, jums ir plakans gabals ar garumu L, un jūs vēlaties to saliekt tā, lai tā garums kļūtu par X (vai tā augstums būtu H). Kāda diametra man vajadzētu ņemt serdi (šķērsstieni)?

Šī problēma ir saistīta ar vienādojumu atrisināšanu:
; - 5. variantā
; - 7. variantā
un, lai gan tos nevar atrisināt analītiski, tos var viegli atrisināt programmatiski. Un es pat zinu, kur iegūt šādu programmu: tieši šajā vietnē ar nosaukumu . Viņa mikrosekundēs dara visu, ko es jums šeit gari stāstu.

Lai pabeigtu attēlu, aprēķinu rezultātiem pievienosim apkārtmēru un trīs laukuma vērtības - apli, sektoru un segmentu. (Labības mums ļoti palīdzēs, aprēķinot visu apaļo un pusapaļu daļu masu, bet vairāk par to atsevišķā rakstā.) Visi šie lielumi tiek aprēķināti, izmantojot tās pašas formulas:

apkārtmērs;
apļa laukums ;
sektora jomā ;
segmenta apgabals ;

Un nobeigumā vēlreiz atgādināšu par absolūtā eksistenci bezmaksas programma, kas veic visus iepriekš minētos aprēķinus, atbrīvojot jūs no nepieciešamības atcerēties, kas ir arktangenss un kur to meklēt.

UN aplis - ģeometriskas figūras, savstarpēji saistīti. ir robežlīnija (līkne) aplis,

Definīcija. Aplis ir slēgta līkne, kuras katrs punkts atrodas vienādā attālumā no punkta, ko sauc par apļa centru.

Lai izveidotu apli, tiek izvēlēts patvaļīgs punkts O, kas tiek ņemts par apļa centru, un, izmantojot kompasu, tiek novilkta slēgta līnija.

Ja apļa centra punkts O ir savienots ar patvaļīgiem apļa punktiem, tad visi iegūtie segmenti būs vienādi viens ar otru, un šādus segmentus sauc par rādiusiem, saīsināti kā latīņu mazs vai lielais burts"ēē" ( r vai R). Aplī var uzzīmēt tik daudz rādiusu, cik punktu ir apļa garumā.

Segmentu, kas savieno divus riņķa punktus un iet caur tā centru, sauc par diametru. Diametrs sastāv no diviem rādiusi, kas atrodas uz vienas taisnas līnijas. Diametrs ir norādīts ar latīņu mazo vai lielo burtu “de” ( d vai D).

Noteikums. Diametrs aplis ir vienāds ar diviem tā rādiusi.

d = 2r
D=2R

Apļa apkārtmērs tiek aprēķināts pēc formulas un ir atkarīgs no apļa rādiusa (diametra). Formulā ir skaitlis ¶, kas parāda, cik reižu apkārtmērs ir lielāks par tā diametru. Skaitlim ¶ ir bezgalīgs skaits decimālzīmju. Aprēķiniem tika ņemts ¶ = 3,14.

Apļa apkārtmēru apzīmē ar latīņu lielo burtu “tse” ( C). Apļa apkārtmērs ir proporcionāls tā diametram. Formulas apļa apkārtmēra aprēķināšanai, pamatojoties uz tā rādiusu un diametru:

C = ¶d
C = 2¶r

• Piemēri
• Dots: d = 100 cm.
• Apkārtmērs: C=3,14*100cm=314cm
• Dots: d = 25 mm.
• Apkārtmērs: C = 2 * 3,14 * 25 = 157 mm

Apļveida sekants un apļveida loks

Katrs sekants (taisne) krusto apli divos punktos un sadala to divos lokos. Apļa loka lielums ir atkarīgs no attāluma starp centru un sekantu, un to mēra pa slēgtu līkni no pirmā sekanta krustošanās punkta ar apli līdz otrajam.

Arcs apļi ir sadalīti sekants mazajā un minorā, ja nogrieznis nesakrīt ar diametru, un divos vienādos lokos, ja sekants iet gar apļa diametru.

Ja sekants iet caur apļa centru, tad tā segments, kas atrodas starp krustošanās punktiem ar apli, ir apļa diametrs jeb lielākā apļa horda.

Jo tālāk sekants atrodas no apļa centra, jo mazāks ir mazākā apļa loka pakāpes mērs un jo lielāks ir lielākais riņķa loka loks, un nogriežņa segments, t.s. akords, samazinās, kad sekants attālinās no apļa centra.

Definīcija. Aplis ir plaknes daļa, kas atrodas apļa iekšpusē.

Apļa centrs, rādiuss un diametrs vienlaikus ir arī attiecīgā apļa centrs, rādiuss un diametrs.

Tā kā aplis ir daļa no plaknes, viens no tā parametriem ir laukums.

Noteikums. Apļa laukums ( S) ir vienāds ar rādiusa kvadrāta reizinājumu ( r 2) uz numuru ¶.

• Piemēri
• Dots: r = 100 cm
• Apļa laukums:
• S = 3,14 * 100 cm * 100 cm = 31 400 cm 2 ≈ 3 m 2
• Dots: d = 50 mm
• Apļa laukums:
• S = ¼ * 3,14 * 50 mm * 50 mm = 1963 mm 2 ≈ 20 cm 2

Ja aplī uzzīmē divus rādiusus uz dažādiem riņķa punktiem, tad veidojas divas riņķa daļas, kuras sauc nozarēs. Ja velk akordu aplī, tad tiek izsaukta plaknes daļa starp loku un hordu apļa segments.

“Trijstūru vienādības zīmes” - Trijstūru veidi. Trijstūra augstums Trijstūra vienādības zīmes. Leņķa trīssektori. Jebkuram trīsstūrim ir trīs mediānas. Mēs atrodam pirmo pieminējumu par trīsstūri un tā īpašībām Ēģiptes papirusos. Trīsstūru mediānu, bisektoru un augstumu īpašības. Vienādmalu un vienādsānu trīsstūris.

“Papīra loksne” - ģeometrijā papīru izmanto, lai: rakstītu, zīmētu; griezt; locīt. Plaši zināmais papīra dedzināšanas fakts ģeometrijā netiek izmantots. Ģeometrija un papīra lapa. Paskāls. No papīra tiek izgriezts trīsstūris. Lapa no piezīmju grāmatiņas. Starp daudzajām iespējamām darbībām ar papīru svarīgu vietu ieņem fakts, ka to var griezt.

"Ģeometrijas vēsture" - Senā Ēģipte. Viduslaiki. "Principi" sastāv no 13 grāmatām. Ģeometrijas rašanās un attīstība. Ļubačevska ģeometrijā ir trīsstūri ar pāriem paralēlas malas. Senā Grieķija. Ģeometrijā ir daudz formulu, attēlu, teorēmu, problēmu un aksiomu. Thales ieviesa kustības jēdzienu, jo īpaši pagriešanos.

“Pitagora teorēmas pierādījums” - Teorēmas nozīme ir tāda, ka lielāko daļu ģeometrijas teorēmu var secināt no tās vai ar tās palīdzību. Algebriskais pierādījums. Pitagora teorēmas nozīme. Un tagad Pitagora teorēma ir patiesa, tāpat kā viņa tālajā laikmetā. Pitagora teorēma ir viena no svarīgākajām ģeometrijas teorēmām. Pitagora teorēma. Eiklida pierādījums.

"Thales of Miletus" - THALES - sengrieķu domātājs, sencis senā filozofija un zinātne. Dažreiz ir nepieciešams izmērīt attālumu līdz nepieejamam objektam. Attāluma noteikšana, izmantojot sērkociņu. Thales atklāja gada garumu un sadalīja to 365 dienās. Milētas Tales. Thales prognozēja saules aptumsums 585. gada 28. maijs pirms mūsu ēras

“Parastais daudzskaldnis” — ikozaedrs ir racionālākais. Modelis Saules sistēma I.Keplers. Regulāri daudzskaldņi ir sastopami dzīvajā dabā. Keplera "Kosmiskais kauss". Regulārais dodekaedrs ir atstāts no divpadsmit regulāriem piecstūriem. Ikozaedra plaknes leņķu summa katrā virsotnē ir 300?. Regulārs ikosaedrs.

Kopā ir 41 prezentācija