Перетин діагоналей у ромбі. Ромб. Повні уроки – Гіпермаркет знань. Це цікаво знати
Ромб – це особлива постать у геометрії. Завдяки його особливим властивостям існує не одна, а кілька формул, за допомогою яких обчислюється площа ромба. Що це за властивості та які найпоширеніші формули для пошуку площі цієї фігури існують? Давайте розберемося.
Яка геометрична фігура називається ромбом
Перш ніж з'ясувати, чому дорівнює площа ромба, варто дізнатися, що це за фігура.
Ромб - чотиристоронній чотирикутник, де всі сторони мають однакову довжину, а діагоналі ділять один одного навпіл під прямим кутом. Протилежні сторониромба паралельні, а протилежні кути ромба рівні. Іноді ромб також називають ромбічним алмазом.
Подвійний багатокутник ромба називається прямокутником. Сума суміжних сторін будь-якого ромба дорівнює 180 градусів. Тобто, суміжні кути ромба є додатковими.
- Протилежні кути ромба мають рівну міру.
- Діагоналі ромба перетинаються один з одним під прямим кутом.
- Ромб симетричний уздовж діагоналей.
- Кожен ромб є паралелограмом.
Ромбом з часів Евклідової геометрії називається симетричний чотирикутник, всі чотири сторони якого є рівними між собою по довжині і паралельно паралельними.
Походження терміна
Назва цієї фігури прийшла у більшість сучасних мов з грецької, через посередництво латині. «Батьком» слова «ромб», стало грецьке іменник ῥόμβος (бубен). Хоча жителям ХХ століття, які звикли до круглих бубнів, важко уявити їх іншої форми, але в еллінів ці музичні інструменти традиційно виготовлялися не круглої, а ромбовидної форми.
Підставою ромба є довжина однієї з його сторін, а висота – перпендикулярна відстань між протилежними сторонами. По периметру ромба загальна сума всіх бічних довжин. Усі сторони мають рівну довжину у Ромбі. Отже, Периметр Формули Ромба має такий вигляд.
Ромб – це особливий тип паралелограма з усіма сторонами. Якщо кожен кут ромба становить 90 градусів, це квадрат.
- Усі чотири сторони мають однакову довжину.
- Перпендикулярні діагоналі та діагональні бісектні вершинні кути.
У більшості сучасних мов цей математичний термін вживається, як і латиною: rombus. Однак у англійською мовоюіноді ромби називають алмаз (діамант або алмаз). Таке прізвисько ця фігура отримала через свою особливу форму, що нагадує дорогоцінний камінь. Як правило, подібний термін використовують не для всіх ромбів, а тільки для тих, у яких кут перетину двох сторін дорівнює шістдесяти або сорока п'яти градусам.
Першим із цих паралелограмів є ромб або ромбі в множині. Якщо це дивно, подумайте восьминіг → восьминоги. Звичайно, всі октеноп проти осфопії ще більш заплутані. Ромб - це тип паралелограма із чотирма конгруентними сторонами.
Ромбі йде вище і далі від того, що очікувалося від паралелограм. У них є всі властивості паралелограмів та багато іншого. Загальновідомо, що діагоналі паралелограма ділять навпіл одне одного. Це все добре і чудово, але діагоналі ромбі роблять цей хет-трик ще крок. Вони не тільки є бісектрисами один одного, вони також перпендикулярні один до одного.
Вперше ця фігура була згадана у працях грецького математика, який жив у першому столітті нової ери- Герона Олександрійського.
Які властивості має ця геометрична фігура
Щоб знайти площу ромба, в першу чергу потрібно знати, які особливості має дана геометрична фігура. 
Іншим дивним аспектом діагоналі ромба є те, що вони поділяють його кути навпіл. Іншими словами, діагоналі ромба також є кутовими бісектрисами. Таким чином, діагоналі ромба є кутовими бісектрисами та перпендикулярними бісектрисами.
Ці три кути утворюють внутрішні кути трикутника, який має становити до 180°, відповідно до теореми кутових сум для трикутників. Доведіть, що діагоналі ромба ділять його на чотири конгруентні трикутники. Звичайно, є більш ніж один спосіб зробити це. Ми могли б використовувати будь-яку кількість різних теорем та визначень про ромбі, але перш ніж ми це зробимо, чому ми не малюємо діагоналі? Ймовірно, це допоможе нам небагато.
За яких умов паралелограм є ромбом
Як відомо, кожен ромб є паралелограмом, але при цьому не всякий паралелограм – це ромб. Щоб точно стверджувати, що представлена фігура дійсно є ромбом, а не простим паралелограмом, вона повинна відповідати одній із трьох основних ознак, що виділяють ромб. Або всім трьом одразу.
Можливо, ви самі це зробите, тому ми не витрачаємо ваш час на це. Але що якщо чотирикутники повинні довести, що вони ромбі? Він ромб, але як він може проявити себе? Але члени чотиристороннього комітету досить прямолінійні. Вони взагалі не розгойдуються від його плазунів. Їм знадобиться доказ того, що він сумлінний ромб, тому маючи внутрішню кутову суму 360° або двополюсну діагональ, не збирається її розрізати. Будь-який старий паралелограм може так само легко задовольнити ці вимоги, чи не так?
Йому потрібно буде переконати їх одним із таких способів.
- Доведіть, що він паралелограм із 4 конгруентними сторонами.
- Доведіть, що він паралелограм із перпендикулярними діагоналями.
- Діагоналі паралелограма перетинаються під кутом дев'яносто градусів.
- Діагоналі поділяють кути надвоє, виступаючи їх бісектрис.
- Не лише паралельні, а й суміжні сторони мають однакову довжину. У цьому, до речі, одна з основних відмінностей між ромбом та паралелограмом, оскільки у другої фігури однакові за довжиною лише паралельні сторони, але не суміжні.
За яких умов ромб є квадратом
За своїми властивостями в окремих випадках ромб може одночасно ставати квадратом. Щоб наочно підтвердити це твердження, досить просто повернути квадрат у будь-який бік сорок п'ять градусів. Фігура, що вийшла, виявиться ромбом, кожен з кутів якого дорівнює дев'яноста градусам.
Таким чином, ця сторона дорівнює цій стороні, яка дорівнює цій стороні, яка дорівнює цій стороні прямо там. Тепер є інші цікаві речі, які ми знаємо про діагоналі паралелограма, які ми знаємо, всі ромбі є паралелограмами, а навпаки – не обов'язково вірно. Ми знаємо, що для будь-якого паралелограма – і ромб – паралелограм – що діагоналі ділять один одного навпіл. Так, наприклад, дозвольте мені намітити цю точку в центрі. Так цікавий спосібдовести це - і ви можете подивитися на нього, просто глянувши на нього, - якщо ми зможемо показати, що цей трикутник порівняємо з цим трикутником і що ці два кути прямо тут відповідають один одному, тоді вони однакові.
Також, щоб підтвердити, що квадрат є ромбом, можна зіставити ознаки цих фігур: в обох випадках усі сторони рівні, а діагоналі є бісектрисами і перетинаються під кутом дев'яносто градусів.
Як дізнатися площу ромба за допомогою його діагоналей
У сучасному світів інтернеті можна знайти практично всі матеріали для виконання необхідних розрахунків. Так, існує маса ресурсів, оснащених програмами для автоматичного обчислення площі тієї чи іншої фігури. Причому, якщо (як у випадку з ромбом) є кілька формул для цього, тобто можливість вибирати, який з них найзручніше буде скористатися. Однак, перш за все, необхідно самим вміти обчислювати площу ромба без допомоги комп'ютера та орієнтуватися у формулах. Для ромба їх існує чимало, але найвідоміші з них чотири. 
Яка геометрична фігура називається ромбом
І вони будуть додатковими, а потім вони будуть на 90 градусів. Тож давайте просто доведемо це самим собі. Отже, перше, що ми бачимо, це сторона, сторона та сторона: сторона, сторона та сторона. Таким чином, ми можемо бачити трикутник - дозвольте мені написати це тут. І ми знаємо це за допомогою конгруентності сторони. У нас є сторона, сторона та сторона: сторона, сторона та сторона. І тоді, коли ми це знаємо, ми знаємо, що всі відповідні кути конгруентні, тому що вони відповідають кутам конгруентних трикутників, тому цей кут прямо тут дорівнюватиме цьому куту.
Одним із найпростіших і найпоширеніших способів дізнатися площу цієї фігури, якщо є інформація про довжину його діагоналей. Якщо завдання ці дані, у разі можна застосувати таку формулу знаходження площі: S = КМ x LN/2 (КМ і LN - це діагоналі ромба KLMN).
Можна перевірити достовірність цієї формули практично. Допустимо, у ромба KLMN довжина однієї його діагоналі КМ - 10 см, а другий LN - 8 см. Тоді підставляємо ці дані у зазначену вище формулу, і отримуємо наступний результат: S = 10 х 8/2 = 40 см 2 .
Які властивості має ця геометрична фігура
І ми також знаємо, що вони відповідають один одному, і вони доповнюють один одного. Ці два матимуть однаковий захід, і їм потрібно додати до 180 градусів. Отже, якщо я маю дві речі, які є однією і тією ж, і вони становлять до 180 градусів, що це говорить мені? Вони є одним і тим же заходом, і вони є додатковими, тому це правильний кут, а потім прямий кут. І, очевидно, якщо це прямий кут, цей кут є вертикальним кутом. бути прямим кутом. Якщо це прямий кут, тут буде вертикальний кут.
Формула для обчислення площі паралелограма
Існує й інша формула. Як було зазначено вище у визначенні ромба, він є не просто чотирикутником, а й паралелограмом, і має всі особливості цієї фігури. У такому разі для знаходження її площі цілком доцільно використовувати формулу, що застосовується для паралелограма: S = KL х Z. У даному випадку KL - це довжина сторони паралелограма (ромба), а Z - це довжина висоти, проведеної до цієї сторони. 
Визначення ромба як геометричної фігури
І ви бачите, що діагоналі перетинаються під кутом 90 градусів. Отже, ми щойно довели, то це цікаво. Паралелограма діагоналей ділить навпіл одне одного. Для ромба, де всі сторони рівні, ми показали, що вони не тільки ділять один одного навпіл, а й перпендикулярні бісектриси один одного. Двовимірні фігури мають розміри лише у двох напрямках - ширину та довжину.
Формула для обчислення площі паралелограма
Регулярні багатокутники – багатокутники з усіма сторонами рівної довжини, наприклад. рівносторонній трикутник та квадрат. Гепт – грецька мова для «семи». Вересень – латинь для «семи». Відповіді Рівносторонній трикутник Ромба Кайт. Характеристики контр-кута ромба.
В окремих завданнях довжина сторони не надана, проте відомий периметр ромба. Оскільки вище було зазначено формулу його знаходження, з її допомогою можна дізнатися і про довжину сторони. Отже, периметр фігури - 10 см. Довжину сторони можна дізнатися, інвертувавши формулу периметра і розділивши 10 на 4. Результатом виявиться 2,5 см - це і є довжина сторони ромба, що шукається.
Це цікаво знати
Розміри ромбів. Крім площі, алмаз немає периметра. Діамант дається двома розмірами. З них можна розрахувати інші розміри. Випадок: дано бічні а та внутрішній кут α. Фігурки з діамантів ромбів 60° Цей алмаз має внутрішні кути 60° та 120°.
У наступному тексті ми пояснюємо вам усе, що потрібно знати про тему ромба. Тут ми пояснюємо характеристики ромба і пояснюємо формули для кола та змісту області. Діамант - плоский квадрат зі сторонами однакової довжини. Протилежні сторони паралельні, а протилежні кути однакові.
Тепер варто спробувати підставити це число у формулу, знаючи, що довжина висоти, проведеної до сторони, також дорівнює 2,5 см. Тепер спробуємо поставити ці значення у вищезгадану формулу площі паралелограма. Виходить, що площа ромба дорівнює S = 2,5 х 2,5 = 6,25 см2.
Інші способи обчислення площі ромба
Ті, хто вже освоїли синуси та косинуси, можуть використовувати для знаходження площі ромба формули, що їх містять. Класичним прикладом є така формула: S = КМ 2 х Sin KLM. У даному випадкуплоща фігури дорівнює добутку двох сторін ромба, помноженого на синус кута між ними. А оскільки в ромбі всі сторони однакові, то простіше відразу зробити одну сторону квадрат, як і було показано у формулі.
Теореми та їх доказ
Ромб - широко поширений математичний символ у нашій повсякденному житті. Ми бачимо це у карткових іграхабо коли дивимось якісь футбольні логотипи. Прапори країни, такі як прапор баварської держави, також включали ромб як геометричну фігуру.
Ромб має особливі властивості порівняно з паралелограмом або звичайним чотирикутником. Протилежні сторони завжди паралельні. Діагоналі утворюють дві осі симетрії. Діагоналі ортогональні один одному, тому вони перпендикулярні один до одного і точно в точності половину.
Перевіряємо на практиці цю схему, причому не просто до ромба, а до квадрата, у якого, як відомо, всі кути прямі, а отже, дорівнюють дев'яносто градусам. Припустимо, одна зі сторін дорівнює 15 см. Також відомо, що синус кута 90° дорівнює одиниці. Тоді, згідно з формулою, S = 15 х 15 х Sin 90°= 255х1=255 см 2 .
Крім перерахованих вище, в окремих випадках використовується ще одна формула, з використанням синуса для визначення площі ромба: S = 4 х R 2 /Sin KLM. У даному варіанті використовується радіус вписаного в ромб кола. Він підноситься в ступінь квадрата і множиться на чотири. А весь результат ділитися на синус кута, що наближається до вписаної фігури.
Діагоналі ділять ромб на чотири часткові трикутники з прямим кутом на перетині. Протилежні кути в точках завжди однакові. Кут внутрішнього кута дорівнює 360°. Суміжні кути разом завжди дають 180°. Як і трикутники, прямокутники чи інші геометричні фігури, ми можемо розрахувати поверхневий зміст, а також коло.
За яких умов паралелограм є ромбом
Якщо ми помножимо їх разом, ми отримаємо подвійне поверхневе зміст, тому це має враховуватися двома. У період окупації регіону голландською Ост-Індською компанією було звичайною практикою протистояти іноземним валютам з різними ударами та легендами, щоб гарантувати їхнє поширення та цінність у всій колонії. Перша контрамарка, що використовується на острові, містила коня з вершником усередині ромба.
Як приклад для простоти обчислень візьмемо знову квадрат (синус його кута завжди дорівнює одиниці). Радіус вписаного до нього кола - 4,4 см. Тоді площа ромба обчислюватиметься так: S= 4 х 4,4 2 / Sin 90 °= 77,44 см 2
Наведені вище формули знаходження радіуса ромба - далеко не єдині у своєму роді, проте вони є найпростішими для розуміння та проведення обчислень.
Паралелограми, а не прямокутники, - це ті, які мають два гострі внутрішні кути і два тупі внутрішні кути. Ця класифікація включає: Ромб, що має всі його сторони рівної довжини і дві пари рівних кутів. Переклад, поворот паралелограма, зберігає форму та розмір. Паралельнокутник "квадрат" має симетрію обертання порядку 4. Паралельнограми "ромбоїд", "ромб" і "прямокутник" мають симетрію обертання порядку 2 Якщо ні не має симетрії осей відображення, то це "ромбоїдний" паралелограм.
Кут зв'язку відхиляється від 109 º до 88 º. Скелет молекули є злегка вигнутим алмазом, молекула не плоска. Саме це слово походить від латинського ромба, тобто геометричні форми, які поєднують, вказують різні можливі напрямки у трояні вітрів.
Цілі уроку
Продовжувати знайомити учнів про таку геометричну фігуру, як ромб;
Закріпити знання про такі поняття, як ромб і квадрат, а також навчитися визначати їхню різницю;
Освіжити знання школярів про властивості та ознаки ромба;
Продовжувати вдосконалювати знання учнів про геометричні фігури у процесі розв'язання задач.
Викликати зацікавленість уроками геометрії.
Після окупації Каракаса 6 серпня він служитиме офіційним прапором Другої Республіки доти, доки його розірвання в цьому прапорі не складатиметься з чорного прямокутника, встановленого всередині білого ромба, в свою чергу, на червоному тлі.
За яких умов ромб є квадратом
Якщо він має дві осі діагональної відбивної симетрії, то це «ромб» паралелограм. Якщо у вас є дві осі симетрії відображення, перпендикулярні її сторонам, це паралелограм прямокутника. У ній точки перетину нервів прикрашені п'ятьма клавішами, у яких позначені зірки шести пунктів, крім одного, прикрашеного хрестом усередині ромба.
Завдання уроку
Повторити, узагальнити та закріпити отримані знання про таку геометричну фігуру, як ромб;
Продовжувати формувати вміння та навички побудови геометричних фігур;
Удосконалити навички побудови ромба за допомогою креслярських інструментів;
Продовжувати закріплювати знання школярів із використанням практичних завдань;
Продовжувати розвивати увагу, посидючість та прагнення до пізнавального процесу.
План уроку
1. Розкриття головної теми уроку, визначення геометричної фігури «Ромб».
2. Ознайомлення з властивостями та ознаками ромба.
3. Теореми та їх доказ.
4. Як намалювати ромб. Методи зображення ромба.
5. Як знайти площу ромба?
6. Повторення пройденого матеріалу.
7. Цікаві факти.
8. Домашнє завдання.
Визначення ромба як геометричної фігури
Ромб - це паралелограм, у якого всі сторони рівні. Якщо ж ромб має прямі кути, він називається квадратом.
Сам термін "Ромб" у перекладі з грецької мови, позначає "бубон". Звичайно ж у нашому розумінні бубон, як музичний інструмент, має круглу форму. Але це зараз бубни роблять круглими, а в давнину він якраз і мав квадратну форму або форму ромба.
Давайте зупинимося на основних визначеннях ромба і спробуємо зрозуміти, що таке геометрична фігура.
Ромб – це такий рівносторонній паралелограм, у якого рівні сторониале нерівні кути.
На відміну від квадрата, ромб – це рівносторонній косокутник.
Як завжди, ми отримуємо безліч визначень тієї чи іншої геометричної фігури, але це не означає, що кожен учень повинен сісти і «зазубрити» саме ці визначення. Відмінність у визначеннях – це як широко вони описують нашу геометричну фігуру. Найголовніше, це розуміння про що йдеться у визначенні та можливість уявити фігуру. Якщо ви дотримуватиметеся цих двох правил, то й самі зможете написати або доповнити кілька визначень.
Властивості ромба
2. Другим його властивістю і те, що це діагоналі ромба перетинаються під прямим кутом. У точці перетину діагоналі ромба діляться навпіл.
3. Бісектрисами кутів ромба є його діагоналі.
4. Щоб знайти суму квадратів діагоналей ромба, необхідно квадрат його сторони помножити на чотири.
5. Протилежні сторони ромба рівні;
6. Сума кутів ромба, що належать до однієї сторони, дорівнює 180 градусів.
Ознаки ромба
Паралелограм є ромбом у тому випадку, якщо він відповідає наступним умовам:
1. По-перше, у нього всі сторони рівні між собою;
2. По-друге, діагоналі ромба перетинаються під прямим кутом.
3. По-третє, якщо діагоналі його кутів є бісектрисами.
4. По-четверте, якщо дві суміжні сторони рівні між собою.
5. По-п'яте, якщо хоча б одна з діагоналей є бісектрисою паралелограма.
Теореми та їх доказ
Тепер давайте детальніше розглянемо властивості та ознаки ромба, довівши теореми:
Теорема 1
Теорема 2
З цього випливає, що:
1. У ромба дві осі симетрії – діагоналі AC та BD.
2. Його діагоналі взаємно перпендикулярні.
3. А також є бісектрисами його кутів.
Площа ромбу
Площа ромба дорівнює половині твору його діагоналей. Але так як ромб, по суті, це паралелограм, то його площу можна дізнатися, помноживши його сторони на висоту.
Формули площі ромба:
Де: a – є стороною ромба
D – позначається його велика діагональ
d – має позначення менша діагональ
α – це гострий кут
β – є тупим кутом
Площа будь-якої геометричної фігури є частиною поверхні, яка обмежується замкнутим контуром цієї фігури. А величина площі ромба виражається числом квадратних одиниць, що укладаються в нього.
Як намалювати ромб
Щоб намалювати ромб скористаємось властивостями діагоналей ромба. Нам уже відомо, що діагоналі нашої геометричної фігури взаємно перпендикулярні і діляться навпіл у точці перетину. Тому побудова ромба найпростіше розпочати з побудови його діагоналей.
Перший спосіб
І так, в першу чергу вибираємо точку, від якої відкладаємо вліво і право відрізки однієї довжини, вгору і вниз однакові відрізки іншої довжини.
Тепер нам залишається лише з'єднати кінці цих відрізків, і в результаті отримаємо ромб.
Другий спосіб
Ромб можна накреслити без використання діагоналей. І тут потрібно визначити лише кінці діагоналей і потім з'єднати точки відрізками.
Третій спосіб
І нарешті, третій спосіб, креслення ромба можна виконати за допомогою лінійки. Оскільки ми з вами знаємо, що ромб має рівні сторони, спочатку треба намалювати його нижню частину. Потім потрібно відкласти від неї рівний відрізок. Оскільки третя сторона паралельна першої, то з'єднавши кінці першого і третього відрізків, ми отримаємо ромб.
Повторення
Ви вже познайомилися з такою геометричною фігурою, як ромб і розумієте, що квадрат є його окремим випадком.
1. Тож давайте згадаємо визначення, що таке квадрат? Дайте самостійно визначення квадрата.
2. Які властивості має квадрат? Назвіть їх.
3. У чому ж різниця між ромбом і квадратом, якщо квадрат є його окремим випадком?
4. Яку фігуру називають чотирикутником, і чи належить ромб до цієї геометричної фігури?
5. Які види чотирикутників ви вже вивчали? Назвіть їх.
6. Які між ними існують відмінності?
Це цікаво знати
Чи знаєте ви, що якщо взяти прямокутник і з'єднати відрізками середини його сторін, то в результаті ми отримаємо ромб.
А якщо, навпаки, ми з вами візьмемо ромб і спробуємо з'єднати його середини сторін відрізками, ми отримаємо таку геометричну фігуру, як прямокутник.
Якщо ви візьмете паралелограм із рівними висотами, то такий паралелограм є ромбом.
А ви знаєте, що назвою карткової масті бубни, що має ромбічну форму, з'явилося ще в ті часи, коли бубон мав далеко не круглу форму, а вид ромба або квадрата.
Вперше слово "ромб" у своєму лексиконі був використаний Герроном та Паппою Олександрійським.
Домашнє завдання
1. Як ви вважаєте, чи є ромбом паралелограм, який має хоча б один прямий кут?
2. Чи правильне твердження, що кожен паралелограм є ромбом?
3. Якщо діагоналі паралелограма дорівнюють 5 см та 7см, чи може бути ромбом цей паралелограм?
4. Якщо діагоналі паралелограма дорівнюють, то чи може він бути ромбом?
5. Назвіть особливу властивість ромба, яким володіють його діагоналі, крім того, що вони точкою перетину діляться навпіл?
6. Подумайте, де у повсякденному житті застосовується така геометрична фігура, як ромб?
