गणित में समाधानों का उपयोग करें - 2013
हमारी वेबसाइट पर
समाधानों को अन्य साइटों पर कॉपी करना प्रतिबंधित है।
आप इस पेज का लिंक डाल सकते हैं.

परीक्षा के लिए परीक्षण और तैयारी की हमारी प्रणाली मैं रूसी संघ की एकीकृत राज्य परीक्षा को हल करूंगा।

2001 से 2009 तक, रूस ने स्कूल छोड़ने की परीक्षाओं को उच्च शिक्षा संस्थानों में प्रवेश परीक्षाओं के साथ जोड़ने का एक प्रयोग शुरू किया। 2009 में यह प्रयोग पूरा हुआ और तब से यह एकल है राज्य परीक्षास्कूल की तैयारी पर नियंत्रण का मुख्य रूप बन गया है।

2010 में, परीक्षा लेखकों की पुरानी टीम को एक नई टीम से बदल दिया गया। डेवलपर्स के साथ, परीक्षा की संरचना भी बदल गई है: समस्याओं की संख्या कम हो गई है, ज्यामितीय समस्याओं की संख्या बढ़ गई है, और एक ओलंपियाड-प्रकार की समस्या सामने आई है।

एक महत्वपूर्ण नवाचार परीक्षा कार्यों के एक खुले बैंक की तैयारी थी, जिसमें डेवलपर्स ने लगभग 75 हजार कार्य पोस्ट किए थे। समस्याओं की इस खाई को कोई भी नहीं सुलझा सकता, लेकिन यह जरूरी नहीं है। वास्तव में, मुख्य प्रकार के कार्यों को तथाकथित प्रोटोटाइप द्वारा दर्शाया जाता है, उनमें से लगभग 2400 हैं। अन्य सभी समस्याएँ कंप्यूटर क्लोनिंग का उपयोग करके उनसे प्राप्त की जाती हैं; वे केवल विशिष्ट संख्यात्मक डेटा में प्रोटोटाइप से भिन्न होते हैं।

जारी रखते हुए, हम आपके ध्यान में ओपन बैंक में मौजूद सभी प्रोटोटाइप परीक्षा कार्यों के समाधान प्रस्तुत करते हैं। प्रत्येक प्रोटोटाइप के बाद स्वतंत्र अभ्यासों के लिए उस पर आधारित क्लोन कार्यों की एक सूची होती है।

दो कारखाने समान उत्पादन करते हैं कार हेडलाइट्स के लिए ग्लास. पहली फैक्ट्री इन ग्लासों का 30% उत्पादन करती है, दूसरी - 70%। पहला कारखाना 3% दोषपूर्ण ग्लास का उत्पादन करता है, और दूसरा - 4%। इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि किसी दुकान से गलती से खरीदा गया ग्लास ख़राब हो जाए।

समाधान। % को भिन्न में बदलें.

घटना ए - "पहली फैक्ट्री से ग्लास खरीदा गया था।" पी(ए)=0.3

इवेंट बी - "दूसरे कारखाने से ग्लास खरीदा गया था।" पी(बी)=0.7

इवेंट एक्स - "दोषपूर्ण ग्लास"।

पी(ए और एक्स) = 0.3*0.03=0.009

पी(बी और एक्स) = 0.7*0.04=0.028

सूत्र के अनुसार पूर्ण संभावना:

पी = 0.009+0.028 = 0.037

उत्तर: 0.037

काउबॉय जॉन एक मक्खी को मारता हैयदि वह शून्य रिवॉल्वर से गोली चलाता है तो 0.9 की संभावना के साथ दीवार पर। यदि जॉन बिना फायर की हुई रिवॉल्वर से फायर करता है, तो वह प्रायिकता 0.2 के साथ मक्खी को मारता है।

मेज पर 10 रिवॉल्वर हैं, जिनमें से केवल 4 पर गोली चली है। काउबॉय जॉन को दीवार पर एक मक्खी दिखाई देती है, वह अचानक सामने आने वाली पहली रिवॉल्वर को पकड़ लेता है और मक्खी पर गोली चला देता है। जॉन के चूकने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

समाधान।

बंदूक दिखने की संभावना 0.4 है, और नहीं दिखने की संभावना 0.6 है।

यदि पिस्तौल से मक्खी पर निशाना साधा जाए तो उससे मक्खी को मारने की प्रायिकता 0.4*0.9=0.36 है।

यदि बंदूक से गोली नहीं चलाई गई तो मक्खी से टकराने की प्रायिकता 0.6*0.2=0.12 है।

मारने की संभावना: 0.36+0.12=0.48.

चूकने की संभावना P=1-0.48=0.52

तोपखाने की आग के दौरानस्वचालित प्रणाली लक्ष्य पर गोली चलाती है। यदि लक्ष्य नष्ट नहीं होता है, तो सिस्टम दूसरा शॉट फायर करता है। लक्ष्य नष्ट होने तक शॉट दोहराए जाते हैं। पहले शॉट से एक निश्चित लक्ष्य को नष्ट करने की संभावना 0.4 है, और प्रत्येक बाद के शॉट के साथ यह 0.6 है। यह सुनिश्चित करने के लिए कितने शॉट्स की आवश्यकता होगी कि लक्ष्य को नष्ट करने की संभावना कम से कम 0.98 है?

समाधान। किसी लक्ष्य को भेदने की प्रायिकता उसे पहले या दूसरे या... पर मारने की प्रायिकताओं के योग के बराबर होती है। केथ शॉट.

हम kवें शॉट से विनाश की संभावना की गणना करेंगे, k=1,2,3... मान सेट करेंगे और प्राप्त संभावनाओं को संक्षेप में प्रस्तुत करेंगे

के=1 पी=0.4 एस=0.4

k=2 P=0.6*0.6=0.36 - पहली गोली चूक जाती है, दूसरी बार लक्ष्य नष्ट हो जाता है

एस=0.4+0.36=0.76

k=3 P=0.6*0.4*0.6 = 0.144 - तीसरे शॉट पर लक्ष्य नष्ट हो जाता है

एस=0.76+0.144=0.904

k=4 P=0.6*0.4*0.4*0.6= 0.0576 - चौथे पर

एस=0.904+0.0576=0.9616

के=5 पी=0.6*0.4 3 *0.6 = 0.02304

S=0.9616+0.02304=0.98464 - k=5 पर आवश्यक संभाव्यता तक पहुँच गया।

उत्तर: 5.

प्रतियोगिता के अगले दौर में आगे बढ़ने के लिए, फुटबॉल टीम को दो मैचों में कम से कम 4 अंक हासिल करने होंगे। यदि कोई टीम जीतती है, तो उसे 3 अंक मिलते हैं, ड्रॉ होने की स्थिति में - 1 अंक, यदि वह हारती है - 0 अंक। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि टीम प्रतियोगिता के अगले दौर में पहुँच जाएगी। विचार करें कि प्रत्येक खेल में जीत और हार की संभावनाएँ समान और 0.4 के बराबर हैं।

समाधान। दो खेलों में 4 अंक या अधिक निम्नलिखित तरीकों से अर्जित किए जा सकते हैं:

3+1 जीत, ड्रा

1+3 ड्रा, जीता

दोनों बार 3+3 से जीत हासिल हुई

जीतने की संभावना 0.4 है, हारने की संभावना - 0.4, ड्रा की संभावना 1-0.4-0.4 = 0.2 है।

पी = 0.4*0.2 + 0.2*0.4 + 0.4*0.4 = 2*0.08+0.16 = 0.32

उत्तर: 0.32

स्वयं निर्णय लेने का प्रयास करें:

800 ईंटों के एक बैच में 14 ख़राब ईंटें हैं। लड़का इस ढेर में से यादृच्छिक रूप से एक ईंट चुनता है और उसे निर्माण स्थल की आठवीं मंजिल से फेंक देता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि फेंकी गई ईंट ख़राब होगी?

कक्षा 11 के लिए भौतिकी की परीक्षा पुस्तक में 75 टिकट हैं। उनमें से 12 में लेज़रों के बारे में एक प्रश्न है। इसकी क्या प्रायिकता है कि स्टाइलोपा का छात्र, यादृच्छिक रूप से टिकट चुनते समय, लेज़रों के बारे में एक प्रश्न पूछेगा?

100 मीटर दौड़ चैंपियनशिप में इटली के 3 एथलीट, जर्मनी के 5 एथलीट और रूस के 4 एथलीट हैं। प्रत्येक एथलीट के लिए लेन नंबर लॉटरी निकालकर निर्धारित किया जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि इटली का कोई एथलीट दूसरी लेन में होगा?

मॉस्को के कीवस्की रेलवे स्टेशन पर 28 टिकट कार्यालय खिड़कियां हैं, जिनके बगल में 4,000 यात्रियों की भीड़ है, जो ट्रेन टिकट खरीदना चाहते हैं। सांख्यिकीय रूप से, इनमें से 1,680 यात्री अपर्याप्त हैं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि 17वीं खिड़की पर बैठे कैशियर को एक अपर्याप्त यात्री का सामना करना पड़ेगा (इस बात को ध्यान में रखते हुए कि यात्री यादृच्छिक रूप से टिकट कार्यालय चुनते हैं)।

व्लादिवोस्तोक में, एक स्कूल का नवीनीकरण किया गया और 1,200 नए स्कूल स्थापित किए गए प्लास्टिक की खिड़कियाँ. 11वीं कक्षा का एक छात्र जो गणित में एकीकृत राज्य परीक्षा नहीं देना चाहता था, उसे लॉन पर 45 पत्थर मिले और उसने उन्हें खिड़कियों पर बेतरतीब ढंग से फेंकना शुरू कर दिया। अंत में, उसने 45 खिड़कियाँ तोड़ दीं। इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि निदेशक के कार्यालय की खिड़की नहीं तोड़ी जाएगी।

दादी इसे अपनी अटारी में रखती हैं बहुत बड़ा घरखीरे के 2400 जार. यह ज्ञात है कि उनमें से 870 बहुत पहले ही सड़ चुके हैं। जब उनकी पोती उनसे मिलने आई, तो उन्होंने अपने संग्रह में से यादृच्छिक रूप से चुनकर उसे एक जार दिया। इसकी क्या प्रायिकता है कि आपकी पोती को सड़े हुए खीरे का एक जार मिला?

7 प्रवासी निर्माण श्रमिकों की एक टीम अपार्टमेंट नवीकरण सेवाएं प्रदान करती है। गर्मी के मौसम के दौरान, उन्होंने 360 ऑर्डर पूरे किए, और 234 मामलों में उन्होंने प्रवेश द्वार से निर्माण कचरा नहीं हटाया। उपयोगिता सेवाएँ यादृच्छिक रूप से एक अपार्टमेंट का चयन करती हैं और गुणवत्ता की जाँच करती हैं मरम्मत का काम. प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि उपयोगिता कर्मचारी जाँच करते समय निर्माण अपशिष्ट पर ठोकर नहीं खाएंगे।

स्थिति

काउबॉय जॉन के पास शून्य रिवॉल्वर से फायर करने पर दीवार पर मक्खी मारने की 0.9 संभावना है। यदि जॉन बिना फायर किए रिवॉल्वर से फायर करता है, तो वह प्रायिकता 0.2 के साथ मक्खी को मारता है। मेज पर 10 रिवॉल्वर हैं, जिनमें से केवल 4 पर गोली चली है। काउबॉय जॉन को दीवार पर एक मक्खी दिखाई देती है, वह अचानक सामने आने वाली पहली रिवॉल्वर को पकड़ लेता है और मक्खी पर गोली चला देता है। जॉन के चूक जाने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

समाधान

घटना ए पर विचार करें: "जॉन टेबल से देखी हुई रिवॉल्वर लेगा और चूक जाएगा।" सशर्त संभाव्यता प्रमेय के अनुसार (दो आश्रित घटनाओं के उत्पाद की संभावना उनमें से एक की संभावना के दूसरे की सशर्त संभावना के उत्पाद के बराबर है, इस धारणा के तहत पाया जाता है कि पहली घटना पहले ही घटित हो चुकी है)

$=\frac(4)(10)\cdot (1-0.9)=0.04$,

जहां $=\frac(m)(n)=\frac(4)(10)$ टेबल से एक देखी हुई पिस्तौल लेने की संभावना है, और इसके गायब होने की संभावना (लक्ष्य को मारने की विपरीत घटना) बराबर है को \

घटना बी पर विचार करें: "जॉन टेबल से बिना फायर की हुई रिवॉल्वर लेता है और चूक जाता है।" पहले वाले के समान, आइए संभाव्यता की गणना करें

$=\frac(10-4)(10)\cdot (1-0.2)=$0.48.

घटनाएँ A और B असंगत हैं (एक ही समय में नहीं हो सकतीं), जिसका अर्थ है कि उनके योग की संभावना इन घटनाओं की संभावनाओं के योग के बराबर है:

चलिए दूसरा उपाय बताते हैं

यदि जॉन एक शून्य रिवॉल्वर पकड़ता है और उससे गोली चलाता है, या यदि वह एक बिना गोली लगी रिवॉल्वर लेता है और उससे गोली चलाता है, तो वह मक्खी को मारता है। सशर्त संभाव्यता सूत्र के अनुसार, इन घटनाओं की संभावनाएँ क्रमशः \ और \ के बराबर हैं। ये घटनाएँ असंगत हैं, उनके योग की संभावना इन घटनाओं की संभावनाओं के योग के बराबर है: 0.36 + 0.12 = 0.48। जॉन जिस घटना को मिस करता है वह इसके विपरीत है। इसकी प्रायिकता 1 − 0.48 = 0.52 है.

काउबॉय जॉन के पास दीवार पर मक्खी मारने की 0.7 संभावना है यदि वह शून्य रिवॉल्वर से गोली चलाता है। यदि जॉन बिना फायर किए रिवॉल्वर से फायर करता है, तो उसके गोली लगने की संभावना 0.3 है। मेज पर 10 रिवॉल्वर हैं, जिनमें से केवल 2 पर ही गोली चली है। काउबॉय जॉन पहली बार रिवॉल्वर लेता है और एक मक्खी को मारता है। जॉन के चूक जाने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

समाधान

काउबॉय जॉन केवल तभी चूकेंगे जब निम्नलिखित में से कोई एक घटना घटती है:

• इवेंट ए - काउबॉय जॉन एक लक्षित रिवॉल्वर से चूक जाएगा
• इवेंट बी - काउबॉय जॉन बिना फायर वाली रिवॉल्वर से चूक जाएगा

घटना ए तब घटित होती है जब जॉन शॉट रिवॉल्वर पकड़ लेता है, यानी। संभावना बराबर है \frac(2)(10)और यदि जॉन इससे चूक जाता है, अर्थात संभावना 1 − 0.7 है.

इसका मतलब है कि घटना A के घटित होने की प्रायिकता है:

P(A)=\frac(2)(10)\cdot(1-0.7)=\frac(2)(10)\cdot\frac(3)(10)=\frac(6)(100) =0.06

घटना बी तब घटित होती है जब जॉन फायर की गई रिवॉल्वर को पकड़ लेता है, यानी। संभावना बराबर है \frac(8)(10)और यदि जॉन इससे चूक जाता है, अर्थात संभावना 1 − 0.3 है.

इसका मतलब है कि घटना बी के घटित होने की संभावना है:

P(B)=\frac(8)(10)\cdot(1-0.3)=\frac(8)(10)\cdot\frac(7)(10)=\frac(56)(100) =0.56

यदि घटना A या घटना B घटित होती है तो जॉन चूक जाएगा, इसलिए उत्तर इन घटनाओं का योग होगा:

पी=पी(ए)+पी(बी)=0.06+0.56=0.62