पाठ मकसद

आयत विषय पर छात्रों के ज्ञान को समेकित करना;
विद्यार्थियों को आयत की परिभाषाओं और गुणों से परिचित कराना जारी रखें;
स्कूली बच्चों को समस्याओं को हल करते समय इस विषय पर अर्जित ज्ञान का उपयोग करना सिखाएं;
गणित, ध्यान, तार्किक सोच के विषय में रुचि विकसित करें;
आत्म-विश्लेषण एवं अनुशासन की क्षमता विकसित करें।

पाठ मकसद

आयत जैसी अवधारणा के बारे में छात्रों के ज्ञान को दोहराना और समेकित करना, पिछली कक्षाओं में अर्जित ज्ञान के आधार पर;
आयतों के गुणों और विशेषताओं के बारे में स्कूली बच्चों के ज्ञान में सुधार करना जारी रखें;
कार्यों को हल करने की प्रक्रिया में कौशल विकसित करना जारी रखें;
गणित के पाठों में रुचि जगाना;
सटीक विज्ञान में रुचि और गणित के पाठों के प्रति सकारात्मक दृष्टिकोण पैदा करें।

शिक्षण योजना

1. सैद्धांतिक भाग, सामान्य जानकारी, परिभाषाएँ।
2. विषय "आयत" की पुनरावृत्ति।
3. एक आयत के गुण.
4. एक आयत के लक्षण.
5. रोचक तथ्यत्रिकोण के जीवन से.
6. स्वर्ण आयत, सामान्य अवधारणाएँ।
7. प्रश्न और कार्य.

आयत क्या है

पिछली कक्षाओं में आप आयतों के बारे में पहले ही पढ़ चुके हैं। आइए अब अपनी याददाश्त को ताज़ा करें और याद करें कि यह किस प्रकार की आकृति है जिसे आयत कहा जाता है।

आयत एक समांतर चतुर्भुज है जिसके चारों कोण समकोण और 90 डिग्री के बराबर होते हैं।

एक आयत इस प्रकार है ज्यामितीय आकृति, जिसमें 4 भुजाएँ और चार समकोण हैं।

एक आयत की सम्मुख भुजाएँ हमेशा बराबर होती हैं।

यदि हम यूक्लिडियन ज्यामिति के अनुसार आयत की परिभाषा पर विचार करें तो एक चतुर्भुज को आयत मानने के लिए यह आवश्यक है कि इस ज्यामितीय आकृति में कम से कम तीन कोण समकोण हों। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि चौथा कोण भी नब्बे अंश का होगा।

हालाँकि यह स्पष्ट है कि जब किसी चतुर्भुज के कोणों का योग 360 डिग्री नहीं होता है, तो यह आकृति आयत नहीं होती है।

यदि किसी नियमित आयत की सभी भुजाएँ एक दूसरे के बराबर हों, तो ऐसे आयत को वर्ग कहा जाता है।

कुछ मामलों में, एक वर्ग एक समचतुर्भुज के रूप में कार्य कर सकता है यदि ऐसे समचतुर्भुज में, समान भुजाओं के अलावा, सभी समकोण हों।

किसी आयत में किसी ज्यामितीय आकृति की भागीदारी को साबित करने के लिए, यह पर्याप्त है कि यह ज्यामितीय आकृति इनमें से कम से कम एक आवश्यकता को पूरा करती हो:

1. इस आकृति के विकर्ण का वर्ग उन दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होना चाहिए जिनमें एक उभयनिष्ठ बिंदु है;
2. ज्यामितीय आकृति के विकर्णों की लंबाई समान होनी चाहिए;
3. एक ज्यामितीय आकृति के सभी कोण नब्बे डिग्री के बराबर होने चाहिए।

यदि ये शर्तें कम से कम एक आवश्यकता को पूरा करती हैं, तो आपके पास एक आयत है।

ज्यामिति में एक आयत मुख्य मूल आकृति है, जिसके अपने विशेष गुणों और विशेषताओं के साथ कई उपप्रकार होते हैं।

व्यायाम:उन ज्यामितीय आकृतियों के नाम बताइए जो आयतों से संबंधित हैं।

आयत और उसके गुण

आइए अब एक आयत के गुणों को याद करें:

एक आयत के सभी विकर्ण बराबर होते हैं;
एक आयत विपरीत भुजाओं वाला एक समांतर चतुर्भुज है;
आयत की भुजाएँ भी उसकी ऊँचाई होंगी;
एक आयत का मान बराबर होता है विपरीत दिशाएंऔर कोने;
किसी भी आयत के चारों ओर एक वृत्त परिचालित किया जा सकता है, और आयत का विकर्ण परिबद्ध वृत्त के व्यास के बराबर होगा।
एक आयत के विकर्ण इसे 2 समान त्रिभुजों में विभाजित करते हैं;
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, एक आयत के विकर्ण का वर्ग उसकी 2 गैर-विपरीत भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है;

व्यायाम:

1. एक आयत की दो संभावनाएँ होती हैं जिससे उसे 2 बराबर आयतों में विभाजित किया जा सकता है। अपनी नोटबुक में दो आयत बनाएं और उन्हें इस प्रकार विभाजित करें कि आपको 2 बराबर आयतें मिलें।

2. आयत के चारों ओर एक वृत्त बनाएं, जिसका व्यास होगा विकर्ण के बराबरआयत।

3. क्या किसी आयत में एक वृत्त इस प्रकार अंकित करना संभव है कि वह उसकी सभी भुजाओं को स्पर्श करे, लेकिन बशर्ते कि यह आयत एक वर्ग न हो?

आयताकार चिन्ह

समांतर चतुर्भुज एक आयत होगा बशर्ते:

1. यदि इसका कम से कम एक कोण समकोण है;
2. यदि इसके चारों कोण समकोण हों;
3. यदि सम्मुख भुजाएँ बराबर हों;
4. यदि कम से कम तीन कोण समकोण हों;
5. यदि इसके विकर्ण बराबर हों;
6. यदि विकर्ण का वर्ग गैर-विपरीत भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर है।

यह जानना दिलचस्प है

क्या आप जानते हैं कि यदि आप एक आयत में कोनों के समद्विभाजक खींचते हैं जिसकी आसन्न भुजाएँ असमान हैं, तो जब वे प्रतिच्छेद करते हैं, तो आपको एक आयत प्राप्त होगा।

लेकिन यदि किसी आयत का खींचा गया समद्विभाजक उसकी एक भुजा को काटता है, तो यह इस आयत से एक समद्विबाहु त्रिभुज को काट देता है।

क्या आप जानते हैं कि इससे पहले भी मालेविच ने 1882 में पेरिस में एक प्रदर्शनी में अपने उत्कृष्ट "ब्लैक स्क्वायर" को चित्रित किया था, पॉल बिलो की एक पेंटिंग प्रस्तुत की गई थी, जिसके कैनवास पर अजीब नाम "नीग्रोज़ की लड़ाई" के साथ एक काले आयत को दर्शाया गया था। सुरंग"।

काले आयत वाले इस विचार ने अन्य सांस्कृतिक हस्तियों को प्रेरित किया। फ्रांसीसी लेखक और हास्यकार अल्फोंस अल्लाइस ने अपने कार्यों की एक पूरी श्रृंखला जारी की और समय के साथ एक कट्टरपंथी लाल रंग में एक आयताकार परिदृश्य दिखाई दिया, जिसे "एपोप्लेक्टिक कार्डिनल्स द्वारा लाल सागर के तट पर टमाटर की कटाई" कहा गया, जिसमें कोई छवि भी नहीं थी।

व्यायाम

1. उस संपत्ति का नाम बताइए जो केवल एक आयत में निहित है?
2. एक मनमाना समांतर चतुर्भुज और एक आयत के बीच क्या अंतर है?
3. क्या यह सत्य है कि कोई भी आयत एक समांतर चतुर्भुज हो सकता है? यदि ऐसा है तो सिद्ध करो क्यों?
4. उन चतुर्भुजों की सूची बनाएं जो आयत हैं।
5. एक आयत के गुण बताइये।

ऐतिहासिक तथ्य

यूक्लिड का आयत

क्या आप जानते हैं कि यूक्लिड आयत, जिसे स्वर्णिम अनुपात कहा जाता है, लंबे समय तक धार्मिक महत्व की किसी भी इमारत के लिए था, उन दिनों निर्माण के लिए एक आदर्श और आनुपातिक आधार था। इसकी मदद से, प्राचीन ग्रीस में अधिकांश पुनर्जागरण इमारतों और शास्त्रीय मंदिरों का निर्माण किया गया था।

एक "सुनहरा" आयत को आमतौर पर एक ज्यामितीय आयत कहा जाता है, बड़ी भुजा और छोटी भुजा का अनुपात सुनहरे अनुपात के बराबर होता है।

इस आयत की भुजाओं का यह अनुपात 382 से 618, या लगभग 19 से 31 था। यूक्लिडियन आयत, उस समय, सभी ज्यामितीय आकृतियों में सबसे समीचीन, सुविधाजनक, सुरक्षित और नियमित आयत था। इस विशेषता के कारण, यूक्लिडियन आयत, या उसके सन्निकटन का उपयोग हर जगह किया गया था। इसका उपयोग घरों, पेंटिंग, फर्नीचर, खिड़कियों, दरवाजों और यहां तक ​​कि किताबों में भी किया जाता था।

नवाजो भारतीयों के बीच, आयत की तुलना महिला रूप से की जाती थी, क्योंकि इसे घर का सामान्य, मानक आकार माना जाता था, जो उस महिला का प्रतीक था जो इस घर की मालिक है।

विषय > गणित > गणित 8वीं कक्षा

एक आयत है पहले तोज्यामितीय सपाट आकृति. इसमें चार बिंदु होते हैं जो समान खंडों के दो जोड़े द्वारा एक दूसरे से जुड़े होते हैं जो केवल इन बिंदुओं पर लंबवत रूप से प्रतिच्छेद करते हैं।

एक आयत को एक समांतर चतुर्भुज के माध्यम से परिभाषित किया जाता है। दूसरे शब्दों में, आयत एक समांतर चतुर्भुज है जिसके सभी कोण समकोण होते हैं, अर्थात 90 डिग्री के बराबर होते हैं। यूक्लिडियन ज्यामिति में, यदि किसी ज्यामितीय आकृति के 4 में से 3 कोण 90 डिग्री के बराबर होते हैं, तो चौथा कोण स्वचालित रूप से 90 डिग्री के बराबर होता है और ऐसी आकृति को आयत कहा जा सकता है। समांतर चतुर्भुज की परिभाषा से यह स्पष्ट है कि एक आयत एक समतल पर इस आकृति के कई प्रकार हैं। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि समांतर चतुर्भुज के गुण एक आयत पर लागू होते हैं। उदाहरण के लिए: एक आयत में, विपरीत भुजाओं की लंबाई बराबर होती है।

एक आयत में विकर्ण बनाते समय, यह आकृति को दो समान त्रिभुजों में विभाजित कर देगा। यह पाइथागोरस प्रमेय का आधार है, जो बताता है कि एक समकोण त्रिभुज में कर्ण का वर्ग उसके पैरों के वर्गों के योग के बराबर होता है।

यदि किसी नियमित आयत की सभी भुजाएँ बराबर हों तो ऐसे आयत को वर्ग कहा जाता है। एक वर्ग को एक समचतुर्भुज के रूप में भी परिभाषित किया जाता है जिसकी सभी भुजाएँ बराबर होती हैं और इसके सभी कोण समकोण होते हैं।

वर्ग आयतसूत्र द्वारा पाया जाता है: S=a*b, जहां a इस आयत की लंबाई है, b चौड़ाई है। उदाहरण के लिए: 4 और 6 सेमी भुजा वाले एक आयत का क्षेत्रफल 4 * 6 = 24 सेमी वर्ग के बराबर होगा।

परिमाप वगैरहपिटागोनसूत्र द्वारा गणना की गई: P= (a+b)*2, जहां a आयतों की लंबाई है, b दिए गए आयतों की चौड़ाई है आयत. उदाहरण के लिए: 4 और 8 सेमी भुजाओं वाले एक आयत का परिमाप 24 सेमी है।

ज्यामिति में, आयत एक मूल आकृति है। आयतों के कई उपप्रकार होते हैं जिनमें विशेष गुण और विशेषताएँ होती हैं।

भूगोल, जीव विज्ञान, रसायन विज्ञान, बीजगणित, ज्यामिति... स्कूली बच्चों को विभिन्न प्रकार के विज्ञानों से बहुत सारी जानकारी से निपटना पड़ता है। हालाँकि, ज्ञान के ऐसे क्षेत्र हैं जिनके बुनियादी कानूनों से खुद को परिचित करके समझना काफी आसान है। इसमें ज्यामिति भी शामिल है. इस विज्ञान की सभी जटिलताओं को सीखने के लिए, आपको इसकी मूल बातें और सिद्धांतों से परिचित होना चाहिए। आख़िरकार, बुनियादी बातों के बिना ज्यामिति में कहीं भी नहीं है।

आयत की परिभाषा

आयत चार समकोण वाली एक ज्यामितीय आकृति है। परिभाषा काफी सरल है, लेकिन आपको यह नहीं सोचना चाहिए कि किसी छात्र को ऐसे विषय का अध्ययन करने में समस्या नहीं होगी, क्योंकि यहां कई विशेषताएं हैं। एक आयत के आयाम उसकी भुजाओं की लंबाई पर निर्भर करते हैं, जिन्हें अक्सर निर्दिष्ट किया जाता है लैटिन अक्षरों के साथए और बी.

आयत गुण

• एक दूसरे के विपरीत स्थित भुजाएँ समान और समानांतर हैं;
• आकृति के विकर्ण बराबर हैं;
• विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु उन्हें आधे में विभाजित करता है;
• एक आयत को दो बराबर भागों में विभाजित किया जा सकता है

आयताकार चिन्ह

एक आयत में केवल तीन विशेषताएँ होती हैं। वे यहाँ हैं:

• समांतर चतुर्भुज के साथ समान विकर्ण- यह एक आयत है;
• एक समकोण वाला समांतर चतुर्भुज एक आयत है;
• तीन समकोण वाला चतुर्भुज एक आयत है।

थोड़ा और दिलचस्प

तो, एक आयत क्या है यह अब स्पष्ट है, लेकिन ज्यामितीय समस्याओं और व्यावहारिक मापों में इसकी क्या भूमिका है, यह समझना बाकी है। तो, सबसे पहले, यह कहा जाना चाहिए कि यह सबसे सुविधाजनक ज्यामितीय आकृति है, जिसकी मदद से आप खुले क्षेत्रों और घर के अंदर दोनों जगह क्षेत्र को खंडों में विभाजित कर सकते हैं। आयत क्या है? जैसा कि आप जानते हैं, यह एक चतुर्भुज है। उत्तरार्द्ध की कई किस्में हैं, जिनमें ट्रेपेज़ॉइड (केवल दो भुजाएँ समान हैं), समांतर चतुर्भुज (विपरीत भुजाएँ समानांतर हैं), वर्ग (सभी कोण और भुजाएँ समान हैं), समचतुर्भुज (समान भुजाओं वाला समांतर चतुर्भुज) और अन्य शामिल हैं। आयत का एक विशेष मामला एक वर्ग होता है, जिसमें सभी कोण समकोण होते हैं और भुजाएँ बराबर होती हैं।

आप इसके आयामों को निर्धारित करने के तरीके का उल्लेख किए बिना इस बारे में बात नहीं कर सकते कि एक आयत क्या है। इस क्षेत्र को आम तौर पर इसकी चौड़ाई और लंबाई का उत्पाद माना जाता है, और परिधि, किसी भी आकृति की तरह, सभी पक्षों की लंबाई के योग के बराबर होती है। में इस मामले मेंयह लंबाई और चौड़ाई के योग के दोगुने के बराबर भी है, क्योंकि आयत की विपरीत भुजाएँ बराबर हैं। अब आप जानते हैं कि एक आयत क्या है और इसके साथ क्या करना है, समस्याओं को हल करना और ज्यामिति जैसे रहस्यमय और रहस्यमय विज्ञान के रहस्यों को समझना।

4. एक वृत्त की त्रिज्या का सूत्र, जिसे एक वर्ग के विकर्ण के माध्यम से एक आयत के चारों ओर वर्णित किया गया है:

5. एक वृत्त की त्रिज्या का सूत्र, जिसे वृत्त के व्यास के माध्यम से एक आयत के चारों ओर वर्णित किया गया है (वर्णित):

6. एक वृत्त की त्रिज्या का सूत्र, जो एक आयत के चारों ओर विकर्ण से सटे कोण की ज्या और इस कोण के विपरीत भुजा की लंबाई के माध्यम से वर्णित है:

7. एक वृत्त की त्रिज्या का सूत्र, जिसे एक आयत के चारों ओर विकर्ण से सटे कोण की कोज्या और इस कोण की भुजा की लंबाई के माध्यम से वर्णित किया गया है:

8. एक वृत्त की त्रिज्या का सूत्र, जो एक आयत के चारों ओर विकर्णों और आयत के क्षेत्रफल के बीच न्यून कोण की ज्या के माध्यम से वर्णित है:

एक आयत की भुजा और विकर्ण के बीच का कोण.

एक आयत की भुजा और विकर्ण के बीच का कोण निर्धारित करने के सूत्र:

1. विकर्ण और भुजा के माध्यम से एक आयत की भुजा और विकर्ण के बीच के कोण को निर्धारित करने का सूत्र:

2. विकर्णों के बीच के कोण के माध्यम से एक आयत की भुजा और विकर्ण के बीच के कोण को निर्धारित करने का सूत्र:

एक आयत के विकर्णों के बीच का कोण.

आयत के विकर्णों के बीच का कोण ज्ञात करने के सूत्र:

1. किसी आयत के विकर्णों के बीच के कोण को भुजा और विकर्ण के बीच के कोण से ज्ञात करने का सूत्र:

β = 2α

2. क्षेत्रफल और विकर्ण के माध्यम से एक आयत के विकर्णों के बीच के कोण को निर्धारित करने का सूत्र।

चतुर्भुजों के साथ समस्याओं को हल करना ज्यामिति के सबसे व्यापक वर्गों में से एक है, जिससे स्कूली बच्चों को बहुत सारी कठिनाइयाँ होती हैं। हमारा सुझाव है कि आप उन विशिष्ट समस्याओं से निपटें जिनमें आपको एक आयत की चौड़ाई ज्ञात करने की आवश्यकता होती है।

सबसे पहले, आपको यह याद रखना होगा कि यह किस प्रकार की आकृति है और इसके मुख्य गुण क्या हैं। आयत एक चतुर्भुज है जिसके सभी कोण समकोण होते हैं और सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं। क्षैतिज भुजा को आयत की चौड़ाई कहा जाता है, और ऊर्ध्वाधर भुजा को लंबाई कहा जाता है।

समस्या 1. परिधि जानकर, चौड़ाई की गणना करें

आइए एक उदाहरण के रूप में निम्नलिखित कार्य का उपयोग करके इस प्रकार के कार्य को देखें। एक आयत दिया गया है जिसकी परिधि 36 सेमी है और लंबाई 16 सेमी है। आपको चौड़ाई ज्ञात करने की आवश्यकता है। परिधि किसी आकृति की भुजाओं का योग है। चूँकि आयत की विपरीत भुजाएँ बराबर हैं, इसकी परिधि का सूत्र इस प्रकार है: P = 2(a+b), जहाँ a और b आयत की भुजाएँ हैं।

हम पाते हैं:

• बी = पी:2 - ए = 36:2-16=2 (सेमी)

उत्तर: आयत की चौड़ाई 2 सेमी है।

समस्या 2. लंबाई और परिधि जानकर चौड़ाई ज्ञात करें

आइए कार्य को थोड़ा जटिल करें। अब आपको आयत की चौड़ाई ज्ञात करने की आवश्यकता है यदि यह ज्ञात हो कि यह इसकी लंबाई से 5 गुना कम है, और त्रिभुज की परिधि 120 सेमी है।

समस्या कथन से:

• ए = 5बी

हम पहले से ही जानते हैं कि b = P:2 - a. हम P और a के मानों को प्रतिस्थापित करते हैं। हम पाते हैं:

• बी = 120:2 - 5बी;
• 6बी = 60;
• बी = 60:6
• बी = 10 (सेमी)।

उत्तर: आयत की चौड़ाई 10 सेमी है।

समस्या 3. यदि क्षेत्रफल ज्ञात हो तो चौड़ाई निर्धारित करें

समस्या की स्थिति: बगीचे का आकार आयताकार है। इसका क्षेत्रफल 400,000 वर्ग मीटर है और इसकी लंबाई 400 मीटर है। वनस्पति उद्यान की चौड़ाई कितनी है?

स्थिति के अनुसार बगीचा एक आयत है। एक आयत का क्षेत्रफल उसकी भुजाओं के गुणनफल के बराबर होता है। यदि हम लंबाई और क्षेत्रफल जानते हैं, तो चौड़ाई बराबर होगी:

• बी = पी:ए = 400,000:400 = 1000 (एम)

उत्तर: वनस्पति उद्यान की चौड़ाई 1000 मीटर है।

समस्या 4. विकर्ण जानकर चौड़ाई कैसे ज्ञात करें

यह कार्य पिछले वाले से थोड़ा अधिक कठिन है। इसमें आपको आयत के गुणों के अलावा समकोण त्रिभुज के सूत्र भी याद रखने होंगे। आइए मान लें कि आयत ABCD का विकर्ण AC 54.6 सेमी है, और लंबाई-चौड़ाई का अनुपात 16:9 है। आपको आकृति की चौड़ाई ज्ञात करनी होगी।

त्रिभुज ABC का कोण समकोण है और इसलिए यह समकोण है। विकर्ण इसका कर्ण है, और भुजाएँ इसके पैर हैं।

शर्त से:

• 16AB = 9BC, इसलिए AB = 9BC:16

पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:

• एसी 2 = एबी 2 + बीसी 2

आइए संख्याओं को प्रतिस्थापित करें:

• 54.62 = (9रविवार:16) 2 +रविवार 2
• 2981.16 = 81रविवार 2:256+रविवार 2
• 2981.16 = 337ВС 2:256
• 337ВС 2 = 763176.96
• बीसी 2 = 2264.62
• बीसी = 47.59 (सेमी)

उत्तर: त्रिभुज की चौड़ाई 47.59 सेमी है।

समस्या 5. विकर्ण और कोण ज्ञात हैं

एक आयत ABCD दिया गया है, जिसका विकर्ण AC 8 सेमी है और कोण BAC 30 डिग्री है। आपको आयत की चौड़ाई ज्ञात करनी होगी।

समाधान: चूँकि कोण ABC समकोण है, तो त्रिभुज ABC समकोण है, जिसके लिए AC समकोण है कर्ण और AB और BC पैर हैं। यह ज्ञात है कि 30 डिग्री के कोण के विपरीत स्थित एक पैर कर्ण के आधे के बराबर होता है। यह पता चला है:

• बीसी = एसी:2 = 8:2 = 4 (सेमी)

उत्तर: आयत की चौड़ाई 4 सेमी है।

जैसा कि आप देख सकते हैं, आयत की चौड़ाई ज्ञात करने की सामान्य समस्याएँ काफी सरल हैं। मुख्य बात आयत और समकोण त्रिभुज के सूत्र और गुणों को जानना है।