Come trovare i valori più grandi e più piccoli di una funzione su un segmento?

Per questo seguiamo un algoritmo ben noto:

1 . Trovare le funzioni ODZ.

2 . Trovare la derivata della funzione

3 . Uguagliando la derivata a zero

4 . Troviamo gli intervalli su cui la derivata mantiene il segno e da essi determiniamo gli intervalli di aumento e diminuzione della funzione:

Se nell'intervallo I la derivata della funzione è 0" title="f^(prime)(x)>0">, то функция !} aumenta in questo intervallo.

Se sull'intervallo I la derivata della funzione , allora la funzione diminuisce in questo intervallo.

5 . Noi troviamo Punti di massimo e minimo della funzione.

IN nel punto massimo della funzione la derivata cambia segno da “+” a “-”.

IN punto minimo della funzionela derivata cambia segno da "-" a "+".

6 . Troviamo il valore della funzione alle estremità del segmento,

• quindi confrontiamo il valore della funzione alle estremità del segmento e nei punti massimi, e scegli il più grande se devi trovare il valore più grande della funzione
• oppure confrontare il valore della funzione alle estremità del segmento e nei punti minimi, e scegli il più piccolo se devi trovarlo valore più piccolo funzioni

Tuttavia, a seconda di come si comporta la funzione sul segmento, questo algoritmo può essere notevolmente ridotto.

Considera la funzione . Il grafico di questa funzione è simile al seguente:

Diamo un'occhiata a diversi esempi di risoluzione dei problemi dalla Open Task Bank per

1 . Compito B15 (n. 26695)

Sul segmento.

1. La funzione è definita per tutti i valori reali di x

Ovviamente questa equazione non ha soluzioni e la derivata è positiva per tutti i valori di x. Di conseguenza la funzione aumenta e assume il valore massimo all'estremità destra dell'intervallo, cioè in x=0.

Risposta: 5.

2 . Compito B15 (n. 26702)

Trova il valore più grande della funzione sul segmento.

1. Funzioni ODZ titolo="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

La derivata è uguale a zero in , però in questi punti non cambia segno:

Pertanto, title="3/(cos^2(x))>=3">, значит, title="3/(cos^2(x))-3>=0">, то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция !} aumenta e assume il valore massimo all'estremità destra dell'intervallo, a .

Per rendere ovvio il motivo per cui la derivata non cambia segno, trasformiamo l'espressione della derivata come segue:

Titolo="y^(prime)=3/(cos^2(x))-3=(3-3cos^2(x))/(cos^2(x))=(3peccato^2 (x))/(cos^2(x))=3tg^2(x)>=0">!}

Risposta: 5.

3. Compito B15 (n. 26708)

Trova il valore più piccolo della funzione sul segmento.

1. Funzioni ODZ: title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

Posizioniamo le radici di questa equazione sul cerchio trigonometrico.

L'intervallo contiene due numeri: e

Mettiamo i cartelli. Per fare ciò determiniamo il segno della derivata nel punto x=0: . Passando per i punti e la derivata cambia segno.

Rappresentiamo il cambio di segno della derivata di una funzione sulla linea delle coordinate:

Ovviamente il punto è un punto di minimo (in cui la derivata cambia segno da “-” a “+”), e per trovare il valore più piccolo della funzione sul segmento è necessario confrontare i valori della funzione in il punto minimo e all'estremità sinistra del segmento, .

Il processo di ricerca dei valori più piccoli e più grandi di una funzione su un segmento ricorda un affascinante volo attorno a un oggetto (grafico della funzione) in un elicottero, sparando in determinati punti da un cannone a lungo raggio e selezionando punti molto speciali da questi punti per i tiri di controllo. I punti vengono selezionati in un certo modo e secondo determinate regole. Con quali regole? Ne parleremo ulteriormente.

Se la funzione sì = F(X) è continua nell'intervallo [ UN, B] , quindi raggiunge questo segmento meno E valori più alti . Ciò può accadere sia in punti estremi o alle estremità del segmento. Pertanto, per trovare meno E i valori più grandi della funzione , continuo sull'intervallo [ UN, B] , è necessario calcolarne i valori in tutto punti critici e alle estremità del segmento, quindi scegli tra questi il ​​più piccolo e il più grande.

Supponiamo, ad esempio, di voler determinare il valore più grande della funzione F(X) sul segmento [ UN, B] . Per fare questo, devi trovare tutti i suoi punti critici che giacciono su [ UN, B] .

Punto critico chiamato il punto in cui funzione definita, e lei derivato o è uguale a zero o non esiste. Quindi dovrebbero essere calcolati i valori della funzione nei punti critici. E infine, si dovrebbero confrontare i valori della funzione nei punti critici e alle estremità del segmento ( F(UN) E F(B)). Il più grande di questi numeri sarà il valore più grande della funzione sul segmento [UN, B] .

Problemi di reperimento valori di funzione più piccoli .

Cerchiamo insieme i valori più piccoli e più grandi della funzione

Esempio 1. Trova i valori più piccoli e più grandi di una funzione sul segmento [-1, 2] .

Soluzione. Trova la derivata di questa funzione. Uguagliamo la derivata a zero () e otteniamo due punti critici: e . Per trovare i valori più piccoli e più grandi di una funzione su un dato segmento, è sufficiente calcolarne i valori alle estremità del segmento e nel punto, poiché il punto non appartiene al segmento [-1, 2]. Questi valori di funzione sono: , , . Ne consegue che valore della funzione più piccolo(indicato in rosso nel grafico sottostante), pari a -7, si ottiene all'estremità destra del segmento - nel punto , e più grande(anche rosso nel grafico), equivale a 9, - nel punto critico.

Se una funzione è continua in un certo intervallo e questo intervallo non è un segmento (ma è, ad esempio, un intervallo; la differenza tra un intervallo e un segmento: i punti di confine dell'intervallo non sono compresi nell'intervallo, ma i i punti di confine del segmento sono inclusi nel segmento), allora tra i valori della funzione potrebbe non esserci quello più piccolo e quello più grande. Quindi, ad esempio, la funzione mostrata nella figura sotto è continua su ]-∞, +∞[ e non ha il valore massimo.

Tuttavia, per qualsiasi intervallo (chiuso, aperto o infinito), vale la seguente proprietà delle funzioni continue.

Esempio 4. Trova i valori più piccoli e più grandi di una funzione sul segmento [-1, 3] .

Soluzione. Troviamo la derivata di questa funzione come derivata del quoziente:

.

Identifichiamo la derivata a zero, il che ci fornisce un punto critico: . Appartiene al segmento [-1, 3]. Per trovare i valori più piccoli e più grandi di una funzione su un dato segmento, troviamo i suoi valori alle estremità del segmento e nel punto critico trovato:

Confrontiamo questi valori. Conclusione: pari a -5/13, al punto e valore più alto uguale a 1 al punto .

Continuiamo a cercare insieme i valori più piccoli e più grandi della funzione

Ci sono insegnanti che, riguardo alla ricerca dei valori più piccoli e più grandi di una funzione, non danno agli studenti esempi da risolvere più complessi di quelli appena discussi, cioè quelli in cui la funzione è un polinomio o un frazione, il cui numeratore e denominatore sono polinomi. Ma non ci limiteremo a tali esempi, poiché tra gli insegnanti ci sono quelli a cui piace costringere gli studenti a pensare per intero (la tabella delle derivate). Verranno quindi utilizzati il ​​logaritmo e la funzione trigonometrica.

Esempio 6. Trova i valori più piccoli e più grandi di una funzione sul segmento .

Soluzione. Troviamo la derivata di questa funzione come derivato del prodotto :

Uguagliamo la derivata a zero, il che fornisce un punto critico: . Appartiene al segmento. Per trovare i valori più piccoli e più grandi di una funzione su un dato segmento, troviamo i suoi valori alle estremità del segmento e nel punto critico trovato:

Risultato di tutte le azioni: la funzione raggiunge il suo valore minimo, uguale a 0, al punto e al punto e valore più alto, uguale e², al punto.

Esempio 7. Trova i valori più piccoli e più grandi di una funzione sul segmento .

Soluzione. Trova la derivata di questa funzione:

Uguagliamo la derivata a zero:

L'unico punto critico appartiene al segmento. Per trovare i valori più piccoli e più grandi di una funzione su un dato segmento, troviamo i suoi valori alle estremità del segmento e nel punto critico trovato:

Conclusione: la funzione raggiunge il suo valore minimo, uguale a , nel punto e valore più alto, uguale , al punto .

Nei problemi estremi applicati, trovare i valori più piccoli (massimi) di una funzione, di regola, si riduce a trovare il minimo (massimo). Ma non sono i minimi o i massimi in sé ad essere di maggiore interesse pratico, ma quei valori dell’argomentazione con cui vengono raggiunti. Quando si risolvono problemi applicati, sorge un'ulteriore difficoltà: comporre funzioni che descrivono il fenomeno o il processo in esame.

Esempio 8. Deve essere stagnata una vasca della capacità di 4 persone, avente forma di parallelepipedo a base quadrata e aperta superiormente. Che dimensioni deve avere il serbatoio affinché venga utilizzata la minor quantità di materiale per coprirlo?

Soluzione. Permettere X- lato base, H- altezza del serbatoio, S- la sua superficie senza copertura, V- il suo volume. La superficie del serbatoio è espressa dalla formula, cioè è una funzione di due variabili. Esprimere S come funzione di una variabile, usiamo il fatto che , da dove . Sostituendo l'espressione trovata H nella formula per S:

Esaminiamo questa funzione fino al suo estremo. È definito e differenziabile ovunque in ]0, +∞[ , e

.

Uguagliamo la derivata a zero () e troviamo il punto critico. Inoltre, quando la derivata non esiste, ma questo valore non è compreso nel dominio di definizione e quindi non può essere un punto estremo. Quindi questo è l’unico punto critico. Controlliamo la presenza di un estremo utilizzando il secondo segno sufficiente. Troviamo la derivata seconda. Quando la derivata seconda è maggiore di zero (). Ciò significa che quando la funzione raggiunge il minimo . Da questo minimo è l'unico estremo di questa funzione, è il suo valore più piccolo. Quindi, il lato della base del serbatoio dovrebbe essere di 2 me la sua altezza dovrebbe essere di .

Esempio 9. Dal punto UN situato sulla linea ferroviaria, al punto CON, situato a distanza da esso l, il carico deve essere trasportato. Il costo del trasporto di un'unità di peso per unità di distanza su rotaia è pari a , mentre su autostrada è pari a . Fino a che punto M la linea ferroviaria dovrebbe essere costruita come un'autostrada in modo da poter trasportare le merci UN V CON era il più economico (sez AB si presuppone che la ferrovia sia diritta)?

In pratica, è abbastanza comune utilizzare la derivata per calcolare il valore massimo e minimo di una funzione. Eseguiamo questa azione quando capiamo come minimizzare i costi, aumentare i profitti, calcolare il carico ottimale sulla produzione, ecc., cioè nei casi in cui dobbiamo determinare il valore ottimale di un parametro. Per risolvere correttamente tali problemi, è necessario comprendere bene quali sono i valori più grandi e più piccoli di una funzione.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Tipicamente definiamo questi valori entro un certo intervallo x, che a sua volta può corrispondere all'intero dominio della funzione o a parte di essa. Può essere come un segmento [a; b ] , e intervallo aperto (a ; b), (a ; b ], [ a ; b), intervallo infinito (a ; b), (a ; b ], [ a ; b) o intervallo infinito - ∞ ; un , (- ∞ ; un ] , [ un ; + ∞) , (- ∞ ; + ∞) .

In questo articolo ti spiegheremo come calcolare esplicitamente il valore più grande e quello più piccolo data funzione con una variabile y=f(x) y = f (x) .

Definizioni di base

Cominciamo, come sempre, con la formulazione delle definizioni di base.

Definizione 1

Il valore più grande della funzione y = f (x) su un certo intervallo x è il valore m a x y = f (x 0) x ∈ X, che per qualsiasi valore x x ∈ X, x ≠ x 0 rende la disuguaglianza f (x) ≤ f (x) valido 0) .

Definizione 2

Il valore più piccolo della funzione y = f (x) su un certo intervallo x è il valore m i n x ∈ X y = f (x 0) , che per qualsiasi valore x ∈ X, x ≠ x 0 rende la disuguaglianza f(X f (x) ≥ f (x 0) .

Queste definizioni sono abbastanza ovvie. Ancora più semplice, possiamo dire questo: il valore più grande di una funzione è il suo massimo Grande importanza su un intervallo noto in ascissa x 0, e il più piccolo è il valore più piccolo accettato sullo stesso intervallo in x 0.

Definizione 3

I punti stazionari sono quei valori dell'argomento di una funzione in cui la sua derivata diventa 0.

Perché abbiamo bisogno di sapere cosa sono i punti stazionari? Per rispondere a questa domanda dobbiamo ricordare il teorema di Fermat. Ne consegue che un punto stazionario è il punto in cui si trova l'estremo della funzione differenziabile (cioè il suo minimo o massimo locale). Di conseguenza la funzione assumerà il valore più piccolo o più grande su un certo intervallo proprio in uno dei punti stazionari.

Una funzione può anche assumere il valore più grande o più piccolo nei punti in cui la funzione stessa è definita e la sua derivata prima non esiste.

La prima domanda che sorge quando si studia questo argomento: in tutti i casi possiamo determinare il valore più grande o più piccolo di una funzione su un dato intervallo? No, non possiamo farlo quando i confini di un dato intervallo coincidono con i confini dell'area di definizione, oppure se si tratta di un intervallo infinito. Accade anche che una funzione in un dato segmento o all'infinito assuma valori infinitamente piccoli o infinitamente grandi. In questi casi non è possibile determinare il valore più grande e/o più piccolo.

Questi punti diventeranno più chiari dopo essere stati rappresentati nei grafici:

La prima figura ci mostra una funzione che assume i valori più grande e più piccolo (m a x y e m i n y) nei punti stazionari situati sul segmento [ - 6 ; 6].

Esaminiamo in dettaglio il caso indicato nel secondo grafico. Cambiamo il valore del segmento in [ 1 ; 6] e troviamo che il valore massimo della funzione sarà raggiunto nel punto con l'ascissa al limite destro dell'intervallo, e il valore minimo nel punto stazionario.

Nella terza figura, le ascisse dei punti rappresentano i punti di confine del segmento [ - 3 ; 2]. Corrispondono al valore più grande e più piccolo di una data funzione.

Ora diamo un'occhiata alla quarta immagine. In esso, la funzione prende m a x y (il valore più grande) e m i n y (il valore più piccolo) nei punti stazionari dell'intervallo aperto (- 6; 6).

Se prendiamo l'intervallo [ 1 ; 6), allora possiamo dire che il valore più piccolo della funzione su di esso sarà raggiunto in un punto stazionario. Il valore più grande ci sarà sconosciuto. La funzione potrebbe assumere il suo valore massimo in x pari a 6 se x = 6 appartenesse all'intervallo. Questo è esattamente il caso mostrato nel grafico 5.

Nel grafico 6, questa funzione assume il suo valore più piccolo al limite destro dell'intervallo (- 3; 2 ], e non possiamo trarre conclusioni definitive sul valore più grande.

Nella Figura 7 vediamo che la funzione avrà m a x y in un punto stazionario avente ascissa pari a 1. La funzione raggiungerà il suo valore minimo al confine dell'intervallo c lato destro. A meno infinito, i valori della funzione si avvicineranno asintoticamente a y = 3.

Se prendiamo l'intervallo x ∈ 2 ; + ∞ , allora vedremo che la funzione data non assumerà né il valore più piccolo né quello più grande. Se x tende a 2, allora i valori della funzione tenderanno a meno infinito, poiché la retta x = 2 è un asintoto verticale. Se l'ascissa tende a più infinito, i valori della funzione si avvicineranno asintoticamente a y = 3. Questo è esattamente il caso mostrato nella Figura 8.

In questo paragrafo presenteremo la sequenza di azioni che devono essere eseguite per trovare il valore più grande o più piccolo di una funzione su un determinato segmento.

1. Per prima cosa troviamo il dominio di definizione della funzione. Controlliamo se il segmento specificato nella condizione è incluso in essa.
2. Calcoliamo ora i punti contenuti in questo segmento in cui non esiste la derivata prima. Molto spesso si possono trovare in funzioni il cui argomento è scritto sotto il segno del modulo o in funzioni di potenza il cui esponente è un numero frazionario razionale.
3. Successivamente, scopriremo quali punti stazionari cadranno nel segmento dato. Per fare ciò, è necessario calcolare la derivata della funzione, quindi equipararla a 0 e risolvere l'equazione risultante, quindi selezionare le radici appropriate. Se non otteniamo un singolo punto stazionario o non rientrano nel segmento indicato, passiamo al passaggio successivo.
4. Determiniamo quali valori assumerà la funzione in determinati punti stazionari (se presenti), o in quei punti in cui la derivata prima non esiste (se ce ne sono), oppure calcoliamo i valori per x = a e x = b.
5. 5. Abbiamo una serie di valori di funzione, dai quali ora dobbiamo selezionare il più grande e il più piccolo. Questi saranno i valori più grande e più piccolo della funzione che dobbiamo trovare.

Vediamo come applicare correttamente questo algoritmo durante la risoluzione dei problemi.

Esempio 1

Condizione:è data la funzione y = x 3 + 4 x 2. Determinare i suoi valori più grandi e più piccoli sui segmenti [ 1 ; 4] e [-4; -1] .

Soluzione:

Cominciamo trovando il dominio di definizione di una determinata funzione. In questo caso, avrà molti di tutti numeri reali, tranne 0 . In altre parole, D (y) : x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ 0 ; + ∞ . Entrambi i segmenti specificati nella condizione saranno all'interno dell'area di definizione.

Ora calcoliamo la derivata della funzione secondo la regola della differenziazione delle frazioni:

y " = x 3 + 4 x 2 " = x 3 + 4 " x 2 - x 3 + 4 x 2 " x 4 = = 3 x 2 x 2 - (x 3 - 4) 2 x x 4 = x 3 - 8 x3

Abbiamo imparato che la derivata di una funzione esiste in tutti i punti dei segmenti [ 1 ; 4] e [-4; -1] .

Ora dobbiamo determinare i punti stazionari della funzione. Facciamolo utilizzando l'equazione x 3 - 8 x 3 = 0. Ha una sola radice reale, che è 2. Sarà un punto stazionario della funzione e cadrà nel primo segmento [1; 4] .

Calcoliamo i valori della funzione agli estremi del primo segmento e a questo punto, cioè per x = 1, x = 2 e x = 4:

y (1) = 1 3 + 4 1 2 = 5 y (2) = 2 3 + 4 2 2 = 3 y (4) = 4 3 + 4 4 2 = 4 1 4

Abbiamo scoperto che il valore più grande della funzione m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 sarà raggiunto in x = 1, e il più piccolo m i n y x ∈ [ 1 ; 4] = y (2) = 3 – in x = 2.

Il secondo segmento non comprende un singolo punto stazionario, quindi dobbiamo calcolare i valori della funzione solo alle estremità del segmento dato:

y (- 1) = (- 1) 3 + 4 (- 1) 2 = 3

Ciò significa m a x y x ∈ [-4; - 1 ] = y (- 1) = 3 , m io n y X ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .

Risposta: Per il segmento [ 1 ; 4 ] - m a x y x ∈ [ 1 ; 4] = y (2) = 3 , m io n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 , per il segmento [ - 4 ; - 1 ] - m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , m io n y X ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .

Guarda l'immagine:

Prima di studiare questo metodo, ti consigliamo di rivedere come calcolare correttamente il limite unilaterale e il limite all'infinito, nonché di apprendere i metodi di base per trovarli. Per trovare il valore più grande e/o più piccolo di una funzione su un intervallo aperto o infinito, eseguire i seguenti passaggi in sequenza.

1. Innanzitutto, è necessario verificare se l'intervallo dato sarà un sottoinsieme del dominio della funzione data.
2. Determiniamo tutti i punti contenuti nell'intervallo richiesto e in cui la derivata prima non esiste. Di solito si verificano per funzioni in cui l'argomento è racchiuso nel segno del modulo e per funzioni di potenza con esponente frazionario razionale. Se questi punti mancano, puoi procedere al passaggio successivo.
3. Ora determiniamo quali punti stazionari rientreranno nell'intervallo dato. Per prima cosa uguagliamo la derivata a 0, risolviamo l'equazione e selezioniamo le radici adatte. Se non abbiamo un solo punto stazionario o non rientrano nell'intervallo specificato, procediamo immediatamente ad ulteriori azioni. Sono determinati dal tipo di intervallo.

• Se l'intervallo è della forma [ a ; b) , allora dobbiamo calcolare il valore della funzione nel punto x = a e il limite unilaterale lim x → b - 0 f (x) .
• Se l'intervallo ha la forma (a; b ], allora dobbiamo calcolare il valore della funzione nel punto x = b e il limite unilaterale lim x → a + 0 f (x).
• Se l'intervallo ha la forma (a; b), allora dobbiamo calcolare i limiti unilaterali lim x → b - 0 f (x), lim x → a + 0 f (x).
• Se l'intervallo è della forma [ a ; + ∞), allora dobbiamo calcolare il valore nel punto x = a e il limite a più infinito lim x → + ∞ f (x) .
• Se l'intervallo è simile a (- ∞ ; b ] , calcoliamo il valore nel punto x = b e il limite in meno infinito lim x → - ∞ f (x) .
• Se - ∞ ; b , allora consideriamo il limite unilaterale lim x → b - 0 f (x) e il limite a meno infinito lim x → - ∞ f (x)
• Se - ∞; + ∞ , allora consideriamo i limiti su meno e più infinito lim x → + ∞ f (x) , lim x → - ∞ f (x) .

1. Alla fine, è necessario trarre una conclusione in base ai valori e ai limiti della funzione ottenuti. Ci sono molte opzioni disponibili qui. Quindi, se il limite unilaterale è uguale a meno infinito o più infinito, è immediatamente chiaro che non si può dire nulla sui valori più piccoli e più grandi della funzione. Di seguito vedremo un esempio tipico. Descrizioni dettagliate ti aiuterà a capire cosa è cosa. Se necessario, puoi tornare alle Figure 4 - 8 nella prima parte del materiale.

Condizione: data funzione y = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 . Calcola il suo valore massimo e minimo negli intervalli - ∞ ; - 4, - ∞; - 3 , (- 3 ; 1] , (- 3 ; 2) , [ 1 ; 2) , 2 ; + ∞, [4; + ∞) .

Soluzione

Innanzitutto troviamo il dominio di definizione della funzione. Il denominatore della frazione contiene un trinomio quadratico, che non dovrebbe andare a 0:

x 2 + x - 6 = 0 D = 1 2 - 4 1 (- 6) = 25 x 1 = - 1 - 5 2 = - 3 x 2 = - 1 + 5 2 = 2 ⇒ D (y) : x ∈ (- ∞ ; - 3) ∪ (- 3 ; 2) ∪ (2 ; + ∞)

Abbiamo ottenuto il dominio di definizione della funzione a cui appartengono tutti gli intervalli specificati nella condizione.

Ora differenziamo la funzione e otteniamo:

y" = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 " = 3 e 1 x 2 + x - 6 " = 3 e 1 x 2 + x - 6 1 x 2 + x - 6 " = = 3 · e 1 x 2 + x - 6 · 1 " · x 2 + x - 6 - 1 · x 2 + x - 6 " (x 2 + x - 6) 2 = - 3 · (2 ​​x + 1) · e 1 x2 + x - 6 x 2 + x - 6 2

Di conseguenza, le derivate di una funzione esistono in tutto il suo dominio di definizione.

Passiamo alla ricerca dei punti stazionari. La derivata della funzione diventa 0 in x = - 1 2 . Questo è un punto stazionario che si trova negli intervalli (- 3 ; 1 ] e (- 3 ; 2) .

Calcoliamo il valore della funzione in x = - 4 per l'intervallo (- ∞ ; - 4 ], nonché il limite a meno infinito:

y (- 4) = 3 e 1 (- 4) 2 + (- 4) - 6 - 4 = 3 e 1 6 - 4 ≈ - 0 . 456 lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 = 3 e 0 - 4 = - 1

Poiché 3 e 1 6 - 4 > - 1, significa che m a x y x ∈ (- ∞ ; - 4 ] = y (- 4) = 3 e 1 6 - 4. Ciò non permette di determinare univocamente il valore più piccolo della funzione. Possiamo solo concludere che esiste un vincolo inferiore a - 1, poiché è a questo valore che la funzione si avvicina asintoticamente a meno infinito.

La particolarità del secondo intervallo è che in esso non esiste un singolo punto stazionario e nemmeno un unico confine rigido. Di conseguenza, non saremo in grado di calcolare né il valore più grande né quello più piccolo della funzione. Avendo definito il limite a meno infinito e poiché l'argomento tende a - 3 a sinistra, otteniamo solo un intervallo di valori:

lim x → - 3 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 - 0 3 e 1 (x + 3) (x - 3) - 4 = 3 e 1 (- 3 - 0 + 3) (- 3 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

Ciò significa che i valori della funzione si troveranno nell'intervallo - 1; +∞

Per trovare il valore più grande della funzione nel terzo intervallo, determiniamo il suo valore nel punto stazionario x = - 1 2 se x = 1. Dovremo anche conoscere il limite unilaterale per il caso in cui l'argomento tende a - 3 a destra:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 y (1) = 3 e 1 1 2 + 1 - 6 - 4 ≈ - 1 . 644 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 - 3 + 0 + 3 (- 3 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (- 0) - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4

Si è scoperto che la funzione assumerà il valore massimo in un punto stazionario m a x y x ∈ (3; 1 ] = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4. Quanto al valore più piccolo, non possiamo determinarlo. Tutto ciò che sappiamo , è la presenza di un limite inferiore a -4 .

Per l'intervallo (- 3 ; 2), prendiamo i risultati del calcolo precedente e calcoliamo ancora una volta a quanto equivale il limite unilaterale quando tende a 2 sul lato sinistro:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e - 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = - 4 lim x → 2 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 - 0 + 3) (2 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 - 0 - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 · 0 - 4 = - 4

Ciò significa che m a x y x ∈ (- 3 ; 2) = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4, e il valore più piccolo non può essere determinato, e i valori della funzione sono limitati dal basso dal numero - 4 .

In base a quanto ottenuto nei due calcoli precedenti, possiamo dire che sull'intervallo [ 1 ; 2) la funzione assumerà il suo valore massimo in x = 1, ma è impossibile trovare il minimo.

Nell'intervallo (2 ; + ∞) la funzione non raggiungerà né il valore più grande né quello più piccolo, cioè prenderà valori dall'intervallo - 1; + ∞ .

lim x → 2 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 + 0 + 3 ) (2 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → + ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

Avendo calcolato quale sarà il valore della funzione in x = 4, scopriamo che m a x y x ∈ [ 4 ; + ∞) = y (4) = 3 e 1 14 - 4 , e la funzione data a più infinito si avvicinerà asintoticamente alla retta y = - 1 .

Confrontiamo ciò che abbiamo ottenuto in ciascun calcolo con il grafico della funzione data. Nella figura gli asintoti sono rappresentati da linee tratteggiate.

Questo è tutto ciò che volevamo dirti sulla ricerca dei valori più grandi e più piccoli di una funzione. Le sequenze di azioni che abbiamo fornito ti aiuteranno a eseguire i calcoli necessari nel modo più rapido e semplice possibile. Ma ricorda che spesso è utile scoprire prima con quali intervalli la funzione diminuirà e con quali aumenterà, dopodiché potrai trarre ulteriori conclusioni. In questo modo puoi determinare con maggiore precisione i valori più grandi e più piccoli della funzione e giustificare i risultati ottenuti.

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A volte nei problemi B14 ci sono funzioni “cattive” per le quali è difficile trovare una derivata. In precedenza, ciò accadeva solo durante i test di esempio, ma ora questi compiti sono così comuni che non possono più essere ignorati durante la preparazione al vero Esame di Stato Unificato. In questo caso funzionano altre tecniche, una delle quali è la monotonia. Definizione Una funzione f (x) si dice monotonicamente crescente sul segmento se per qualsiasi punto x 1 ex 2 di questo segmento vale: x 1

Definizione. Una funzione f (x) si dice monotonicamente decrescente sul segmento se per qualsiasi punto x 1 ex 2 di tale segmento vale: x 1 f (x 2). In altre parole, per una funzione crescente, maggiore è x, maggiore è f(x). Per una funzione decrescente è vero il contrario: maggiore è x, minore è f(x).

Esempi. Il logaritmo aumenta monotonicamente se la base a > 1, e diminuisce monotonicamente se 0 0. f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0) 1, e diminuisce monotonicamente se 0 0. f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0)"> 1, e diminuisce monotonicamente se 0 0. f (x) = log a x (a > 0 ; a 1; x > 0)"> 1, e diminuisce monotonicamente se 0 0. f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0)" title="Examples . Il logaritmo aumenta monotonicamente se la base a > 1, e diminuisce monotonicamente se 0 0. f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0)"> title="Esempi. Il logaritmo aumenta monotonicamente se la base a > 1, e diminuisce monotonicamente se 0 0. f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0)"> !}

Esempi. La funzione esponenziale si comporta in modo simile al logaritmo: aumenta per a > 1 e diminuisce per 0 0: 1 e diminuisce a 0 0:"> 1 e diminuisce a 0 0:"> 1 e diminuisce a 0 0:" title="Esempi. La funzione esponenziale si comporta in modo simile al logaritmo: aumenta per a > 1 e diminuisce per 0 0:"> title="Esempi. La funzione esponenziale si comporta in modo simile al logaritmo: aumenta per a > 1 e diminuisce per 0 0:"> !}

0) o giù (a 0) o giù (a 9 Coordinate del vertice della parabola Molto spesso, l'argomento della funzione è sostituito da un trinomio quadrato della forma Il suo grafico è una parabola standard, di cui siamo interessati ai rami: I rami della parabola possono salire (per a > 0) o sotto (a 0) o il massimo (a 0) o sotto (a 0) o sotto (a 0) o massimo (a 0) o sotto (a 0) o sotto (a title="(! LANG:Coordinate del vertice di una parabola Molto spesso, l'argomento della funzione è sostituito da un trinomio quadratico della forma Il suo grafico è una parabola standard, di cui siamo interessati ai rami: I rami di una parabola possono salire (per a > 0) o verso il basso (a

Non c'è alcun segmento nella dichiarazione del problema. Pertanto non è necessario calcolare f(a) e f(b). Resta da considerare solo i punti estremi; Ma esiste solo uno di questi punti: il vertice della parabola x 0, le cui coordinate sono calcolate letteralmente verbalmente e senza derivate.

Pertanto, la soluzione del problema è molto semplificata e si riduce a soli due passaggi: Scrivi l'equazione della parabola e trova il suo vertice utilizzando la formula: Trova il valore della funzione originale in questo punto: f (x 0). Se no condizioni supplementari no, quella sarà la risposta.

0. Vertice della parabola: x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3" title="Trova il valore più piccolo della funzione: Soluzione: Sotto la radice si trova funzione quadratica Il grafico di questa funzione parabola ha rami verso l'alto, poiché il coefficiente a = 1 > 0. Parte superiore della parabola: x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3" class="link_thumb ">18 Trova il valore più piccolo della funzione: Soluzione: Sotto la radice c'è una funzione quadratica. Il grafico di questa funzione è una parabola con rami verso l'alto, poiché il coefficiente a = 1 > 0. Vertice della parabola: x 0 = b/. (2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3 0. Parte superiore della parabola: x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3"> 0. Parte superiore della parabola: x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3"> 0. Vertice della parabola: x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3" title="Trova il valore più piccolo della funzione: Soluzione: Sotto la radice c'è una funzione quadratica. Il grafico di questa funzione è una parabola con rami verso l'alto, poiché il coefficiente a = 1 > 0. Il vertice della parabola: x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3"> title="Trova il valore più piccolo della funzione: Soluzione: Sotto la radice c'è una funzione quadratica. Il grafico di questa funzione è una parabola con rami verso l'alto, poiché il coefficiente a = 1 > 0. Vertice della parabola: x 0 = b/. (2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3"> !}

Trova il valore più piccolo della funzione: Soluzione Sotto il logaritmo, la funzione quadratica è di nuovo Il grafico della parabola ha rami verso l'alto, perché a = 1 > 0. Vertice della parabola: x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) = 2/2 = 1 0. Parte superiore della parabola: x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) = 2/2 = 1"> 0. Parte superiore della parabola: x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) = 2/2 = 1"> 0. Vertice della parabola: x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) = 2/2 = 1" title="Trova il valore più piccolo della funzione: Soluzione Sotto il logaritmo c'è ancora una funzione quadratica. Il grafico della parabola ha rami verso l'alto, poiché a = 1 > 0. Vertice della parabola: x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) = 2/2 = 1"> title="Trova il valore più piccolo della funzione: Soluzione Sotto il logaritmo, la funzione quadratica è di nuovo Il grafico della parabola ha rami verso l'alto, perché a = 1 > 0. Vertice della parabola: x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) = 2/2 = 1"> !}

Trovare il valore più grande della funzione: Soluzione: L'esponente contiene una funzione quadratica Riscriviamolo in forma normale: Ovviamente, il grafico di questa funzione è una parabola, si ramifica verso il basso (a = 1

Corollari dal dominio della funzione A volte per risolvere il Problema B14 non è sufficiente trovare semplicemente il vertice della parabola. Il valore desiderato potrebbe trovarsi alla fine del segmento e non nel punto estremo. Se il problema non specifica affatto un segmento, esaminiamo l'intervallo di valori consentiti della funzione originale. Vale a dire:

0 2. Aritmetica Radice quadrata esiste solo da numeri non negativi: 3. Il denominatore della frazione non deve essere zero:" title="1. L'argomento del logaritmo deve essere positivo: y = log a f (x) f (x) > 0 2. La radice quadrata aritmetica esiste solo da numeri non negativi: 3. Il denominatore della frazione non deve essere uguale a zero:" class="link_thumb"> 26 !} 1. L'argomento del logaritmo deve essere positivo: y = log a f (x) f (x) > 0 2. La radice quadrata aritmetica esiste solo da numeri non negativi: 3. Il denominatore della frazione non deve essere zero: 0 2. La radice quadrata aritmetica esiste solo dai numeri non negativi: 3. Il denominatore di una frazione non deve essere uguale a zero: "> 0 2. La radice quadrata aritmetica esiste solo dai numeri non negativi: 3. Il denominatore di una frazione non deve essere uguale a zero: "> 0 2. In aritmetica la radice quadrata esiste solo dei numeri non negativi: 3. Il denominatore della frazione non deve essere zero:" title="1. Il l'argomento del logaritmo deve essere positivo: y = log a f (x) f (x) > 0 2. Quadrato aritmetico la radice esiste solo da numeri non negativi: 3. Il denominatore della frazione non deve essere uguale a zero:"> title="1. L'argomento del logaritmo deve essere positivo: y = log a f (x) f (x) > 0 2. La radice quadrata aritmetica esiste solo da numeri non negativi: 3. Il denominatore della frazione non deve essere zero:"> !}

Soluzione Sotto la radice c'è ancora una funzione quadratica. Il suo grafico è parabolico, ma i rami sono diretti verso il basso, poiché a = 1
Troviamo ora il vertice della parabola: x 0 = b/(2a) = (2)/(2 · (1)) = 2/(2) = 1 Il punto x 0 = 1 appartiene al segmento ODZ e questo è Bene. Ora calcoliamo il valore della funzione nel punto x 0, così come alle estremità dell'ODZ: ​​y(3) = y(1) = 0 Quindi, abbiamo i numeri 2 e 0. Ci viene chiesto di trovare il numero più grande 2. Risposta: 2

Nota: la disuguaglianza è rigorosa, quindi le estremità non appartengono all'ODZ. Ciò differisce il logaritmo dalla radice, dove le estremità del segmento ci si adattano abbastanza bene. Cerchiamo il vertice della parabola: x 0 = b/(2a) = 6/(2 · (1)) = 6/(2) = 3 Il vertice della parabola si adatta all'ODZ: ​​x 0 = 3 ( 1; 5). Ma poiché non ci interessano gli estremi del segmento, calcoliamo il valore della funzione solo nel punto x 0:

Y min = y(3) = log 0,5 (6 ) = = log 0,5 (18 9 5) = log 0,5 4 = 2 Risposta: -2

Lasciamo la funzione y =F(X)è continua nell'intervallo [ un, b]. Come è noto, tale funzione raggiunge i suoi valori massimo e minimo su questo segmento. La funzione può assumere questi valori sia nel punto interno del segmento [ un, b] o sul confine del segmento.

Per trovare i valori più grandi e più piccoli di una funzione sul segmento [ un, b] necessario:

1) trovare i punti critici della funzione nell'intervallo ( un, b);

2) calcolare i valori della funzione nei punti critici trovati;

3) calcolare i valori della funzione agli estremi del segmento, cioè quando X=UN e x = B;

4) da tutti i valori calcolati della funzione, seleziona il più grande e il più piccolo.

Esempio. Trova i valori più grandi e più piccoli di una funzione

sul segmento.

Trovare i punti critici:

Questi punti si trovano all'interno del segmento; sì(1) = ‒ 3; sì(2) = ‒ 4; sì(0) = ‒ 8; sì(3) = 1;

al punto X= 3 e al punto X= 0.

Studio di una funzione per convessità e punto di flesso.

Funzione sì = F (X) chiamato convesso nel mezzo (UN, B) , se il suo grafico si trova sotto la tangente tracciata in qualsiasi punto di questo intervallo, e si chiama convesso verso il basso (concavo), se il suo grafico si trova sopra la tangente.

Si chiama il punto attraverso il quale la convessità viene sostituita dalla concavità o viceversa punto di flesso.

Algoritmo per l'esame della convessità e del punto di flesso:

1. Trova i punti critici del secondo tipo, cioè i punti in cui la derivata seconda è uguale a zero o non esiste.

2. Traccia i punti critici sulla linea numerica, dividendola in intervalli. Trova il segno della derivata seconda su ciascun intervallo; se , allora la funzione è convessa verso l'alto, se, allora la funzione è convessa verso il basso.

3. Se, passando per un punto critico del secondo tipo, cambia segno e in questo punto la derivata seconda è uguale a zero, allora questo punto è l'ascissa del punto di flesso. Trova la sua ordinata.

Asintoti del grafico di una funzione. Studio di una funzione per asintoti.

Definizione. Si chiama asintoto del grafico di una funzione Dritto, che ha la proprietà che la distanza da qualsiasi punto del grafico a questa linea tende a zero quando il punto sul grafico si sposta indefinitamente dall'origine.

Esistono tre tipi di asintoti: verticale, orizzontale e inclinato.

Definizione. Si chiama la retta asintoto verticale grafica delle funzioni y = f(x), se almeno uno dei limiti unilaterali della funzione in questo punto è uguale a infinito, cioè

dove è il punto di discontinuità della funzione, cioè non appartiene al dominio di definizione.

Esempio.

D ( sì) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)

X= 2 – punto di interruzione.

Definizione. Dritto y =UN chiamato asintoto orizzontale grafica delle funzioni y = f(x) a , se

Esempio.

Definizione. Dritto y =Kx+B (K≠ 0) viene chiamato asintoto obliquo grafica delle funzioni y = f(x) dove

Schema generale per lo studio delle funzioni e la costruzione di grafici.

Algoritmo di ricerca di funzioniy = f(x) :

1. Trova il dominio della funzione D (sì).

2. Trova (se possibile) i punti di intersezione del grafico con gli assi delle coordinate (se X= 0 e a sì = 0).

3. Esaminare la parità e la disparità della funzione ( sì (‒ X) = sì (X) ‒ parità; sì(‒ X) = ‒ sì (X) ‒ strano).

4. Trova gli asintoti del grafico della funzione.

5. Trova gli intervalli di monotonicità della funzione.

6. Trova gli estremi della funzione.

7. Trova gli intervalli di convessità (concavità) e i punti di flesso del grafico della funzione.

8. Sulla base della ricerca condotta, costruire un grafico della funzione.

Esempio. Esplora la funzione e costruisci il suo grafico.

1) D (sì) =

X= 4 – punto di interruzione.

2) Quando X = 0,

(0; ‒ 5) – punto di intersezione con OH.

A sì = 0,

3) sì(‒ X)= funzione vista generale(né pari né dispari).

4) Esaminiamo gli asintoti.

a) verticale

b) orizzontale

c) trovare gli asintoti obliqui dove

‒equazione dell'asintoto obliquo

5) In questa equazione non è necessario trovare intervalli di monotonicità della funzione.

6)

Questi punti critici dividono l'intero dominio di definizione della funzione negli intervalli (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10) e (10; +∞). È conveniente presentare i risultati ottenuti sotto forma della seguente tabella.