Molti problemi richiedono il calcolo del valore massimo o minimo di una funzione quadratica. Il massimo o il minimo si possono trovare se la funzione originaria è scritta in forma standard: oppure attraverso le coordinate del vertice della parabola: f (x) = un (x - h) 2 + k (\displaystyle f(x)=a(x-h)^(2)+k). Inoltre, il massimo o il minimo di qualsiasi funzione quadratica possono essere calcolati utilizzando operazioni matematiche.

Passi

La funzione quadratica è scritta in forma standard

Scrivi la funzione in forma standard. Funzione quadraticaè una funzione la cui equazione include una variabile x2 (\displaystyle x^(2)). L'equazione può includere o meno una variabile x (\displaystyle x). Se un'equazione include una variabile con esponente maggiore di 2, non descrive una funzione quadratica. Se necessario, fornire termini simili e riorganizzarli per scrivere la funzione in forma standard.

• Ad esempio, data la funzione f (x) = 3 x + 2 x − x 2 + 3 x 2 + 4 (\displaystyle f(x)=3x+2x-x^(2)+3x^(2)+4). Aggiungi termini con variabile x2 (\displaystyle x^(2)) e membri con variabile x (\displaystyle x) per scrivere l'equazione in forma standard:
  • f (x) = 2 x 2 + 5 x + 4 (\displaystyle f(x)=2x^(2)+5x+4)

1. Il grafico di una funzione quadratica è una parabola. I rami della parabola sono diretti verso l'alto o verso il basso. Se il coefficiente un (\displaystyle un) con variabile x2 (\displaystyle x^(2)) un (\displaystyle un)

   • f (x) = 2 x 2 + 4 x − 6 (\displaystyle f(x)=2x^(2)+4x-6). Qui un = 2 (\displaystyle un=2)
   • f (x) = − 3 x 2 + 2 x + 8 (\displaystyle f(x)=-3x^(2)+2x+8). Qui quindi la parabola è diretta verso il basso.
   • f (x) = x 2 + 6 (\displaystyle f(x)=x^(2)+6). Qui un = 1 (\displaystyle un=1), quindi la parabola è diretta verso l'alto.
   • Se la parabola è diretta verso l'alto, devi cercare il suo minimo. Se la parabola è rivolta verso il basso, cerca il suo massimo.

2. Calcola -b/2a. Senso − b 2 a (\displaystyle -(\frac (b)(2a)))è la coordinata x (\displaystyle x) vertici della parabola. Se una funzione quadratica è scritta in forma standard a x 2 + b x + c (\displaystyle ax^(2)+bx+c), utilizzare i coefficienti per x (\displaystyle x) E x2 (\displaystyle x^(2)) nel seguente modo:

   • Nei coefficienti della funzione un = 1 (\displaystyle un=1) E b = 10 (\displaystyle b=10)
     • x = − 10 (2) (1) (\displaystyle x=-(\frac (10)((2)(1))))
     • x = − 10 2 (\displaystyle x=-(\frac (10)(2)))
   • Come secondo esempio, consideriamo la funzione. Qui a = − 3 (\displaystyle a=-3) E b = 6 (\displaystyle b=6). Calcolare quindi la coordinata “x” del vertice della parabola come segue:
     • x = - b 2 un (\displaystyle x=-(\frac (b)(2a)))
     • x = - 6 (2) (- 3) (\displaystyle x=-(\frac (6)((2)(-3))))
     • x = - 6 - 6 (\displaystyle x=-(\frac (6)(-6)))
     • x = − (− 1) (\displaystyle x=-(-1))
     • x = 1 (\displaystyle x=1)

3. Trovare il valore corrispondente di f(x). Inserisci il valore trovato di “x” nella funzione originale per trovare il valore corrispondente di f(x). In questo modo troverai il minimo o il massimo della funzione.

   • Nel primo esempio f (x) = x 2 + 10 x − 1 (\displaystyle f(x)=x^(2)+10x-1) hai calcolato che la coordinata x del vertice della parabola è x = -5 (\displaystyle x=-5). Nella funzione originale, invece di x (\displaystyle x) sostituire − 5 (\displaystyle -5)
     • f (x) = x 2 + 10 x − 1 (\displaystyle f(x)=x^(2)+10x-1)
     • f (x) = (− 5) 2 + 10 (− 5) − 1 (\displaystyle f(x)=(-5)^(2)+10(-5)-1)
     • f (x) = 25 − 50 − 1 (\displaystyle f(x)=25-50-1)
     • f(x) = − 26 (\displaystyle f(x)=-26)
   • Nel secondo esempio f (x) = − 3 x 2 + 6 x − 4 (\displaystyle f(x)=-3x^(2)+6x-4) hai scoperto che la coordinata x del vertice della parabola è x = 1 (\displaystyle x=1). Nella funzione originale, invece di x (\displaystyle x) sostituire 1 (\displaystyle 1) per trovarla valore massimo:
     • f (x) = − 3 x 2 + 6 x − 4 (\displaystyle f(x)=-3x^(2)+6x-4)
     • f (x) = − 3 (1) 2 + 6 (1) − 4 (\displaystyle f(x)=-3(1)^(2)+6(1)-4)
     • f (x) = − 3 + 6 − 4 (\displaystyle f(x)=-3+6-4)
     • f(x) = − 1 (\displaystyle f(x)=-1)

4. Scrivi la tua risposta. Rileggi la dichiarazione del problema. Se devi trovare le coordinate del vertice di una parabola, scrivi entrambi i valori nella tua risposta x (\displaystyle x) E y (\displaystyle y)(O f(x) (\displaystyle f(x))). Se devi calcolare il massimo o il minimo di una funzione, scrivi solo il valore nella risposta y (\displaystyle y)(O f(x) (\displaystyle f(x))). Osserva nuovamente il segno del coefficiente un (\displaystyle un) per verificare se hai calcolato il massimo o il minimo.

   • Nel primo esempio f (x) = x 2 + 10 x − 1 (\displaystyle f(x)=x^(2)+10x-1) Senso un (\displaystyle un) positivo, quindi hai calcolato il minimo. Il vertice della parabola si trova nel punto con le coordinate (-5, -26) (\displaystyle (-5,-26)), e il valore minimo della funzione è − 26 (\displaystyle -26).
   • Nel secondo esempio f (x) = − 3 x 2 + 6 x − 4 (\displaystyle f(x)=-3x^(2)+6x-4) Senso un (\displaystyle un) negativo, quindi hai trovato il massimo. Il vertice della parabola si trova nel punto con le coordinate (1 , − 1) (\displaystyle (1,-1)), e il valore massimo della funzione è − 1 (\displaystyle -1).

5. Determina la direzione della parabola. Per fare ciò, guarda il segno del coefficiente un (\displaystyle un). Se il coefficiente un (\displaystyle un) positivo, la parabola è diretta verso l'alto. Se il coefficiente un (\displaystyle un) negativo, la parabola è diretta verso il basso. Per esempio:

   • . Qui un = 2 (\displaystyle un=2), cioè il coefficiente è positivo, quindi la parabola è diretta verso l'alto.
   • . Qui a = − 3 (\displaystyle a=-3), cioè il coefficiente è negativo, quindi la parabola è diretta verso il basso.
   • Se la parabola è diretta verso l'alto, è necessario calcolare il valore minimo della funzione. Se la parabola è diretta verso il basso, devi trovare il valore massimo della funzione.

6. Trova il valore minimo o massimo della funzione. Se la funzione si scrive attraverso le coordinate del vertice della parabola, il minimo o il massimo è uguale al valore del coefficiente k (\displaystyle k). Negli esempi sopra:

   • f (x) = 2 (x + 1) 2 − 4 (\displaystyle f(x)=2(x+1)^(2)-4). Qui k = − 4 (\displaystyle k=-4). Questo è il valore minimo della funzione perché la parabola è diretta verso l'alto.
   • f (x) = - 3 (x - 2) 2 + 2 (\displaystyle f(x)=-3(x-2)^(2)+2). Qui k = 2 (\displaystyle k=2). Questo è il valore massimo della funzione perché la parabola è diretta verso il basso.

7. Trova le coordinate del vertice della parabola. Se il problema richiede di trovare il vertice di una parabola, le sue coordinate sono (h , k) (\displaystyle (h,k)). Si tenga presente che quando si scrive una funzione quadratica attraverso le coordinate del vertice di una parabola, l'operazione di sottrazione deve essere racchiusa tra parentesi (x - h) (\displaystyle (xh)), quindi il valore h (\displaystyle h) si prende con il segno opposto.

   • f (x) = 2 (x + 1) 2 − 4 (\displaystyle f(x)=2(x+1)^(2)-4). Qui l'operazione di addizione (x+1) è racchiusa tra parentesi, che può essere riscritta come segue: (x-(-1)). Così, h = − 1 (\displaystyle h=-1). Pertanto le coordinate del vertice della parabola di questa funzione sono uguali a (- 1 , - 4) (\displaystyle (-1,-4)).
   • f (x) = - 3 (x - 2) 2 + 2 (\displaystyle f(x)=-3(x-2)^(2)+2). Qui tra parentesi c'è l'espressione (x-2). Quindi, h = 2 (\displaystyle h=2). Le coordinate del vertice sono (2,2).

Come calcolare il minimo o il massimo utilizzando le operazioni matematiche

1. Innanzitutto, diamo un'occhiata alla forma standard dell'equazione. Scrivi la funzione quadratica in forma standard: f (x) = a x 2 + b x + c (\displaystyle f(x)=ax^(2)+bx+c). Se necessario, aggiungi termini simili e riorganizzali per ottenere l'equazione standard.

   • Per esempio: .

2. Trova la derivata prima. La derivata prima di una funzione quadratica, scritta in forma standard, è uguale a f′ (x) = 2 a x + b (\displaystyle f^(\prime )(x)=2ax+b).

   • f (x) = 2 x 2 − 4 x + 1 (\displaystyle f(x)=2x^(2)-4x+1). La derivata prima di questa funzione si calcola come segue:
     • f′ (x) = 4 x − 4 (\displaystyle f^(\prime )(x)=4x-4)

3. Uguagliare la derivata a zero. Ricordiamo che la derivata di una funzione è uguale alla pendenza della funzione in un certo punto. Al minimo o al massimo la pendenza è zero. Pertanto, per trovare il valore minimo o massimo di una funzione, la derivata deve essere impostata su zero. Nel nostro esempio.

Come costruire una parabola? Esistono diversi modi per rappresentare graficamente una funzione quadratica. Ognuno di loro ha i suoi pro e contro. Consideriamo due modi.

Iniziamo tracciando una funzione quadratica della forma y=x²+bx+c e y= -x²+bx+c.

Esempio.

Rappresentare graficamente la funzione y=x²+2x-3.

Soluzione:

y=x²+2x-3 è una funzione quadratica. Il grafico è una parabola con i rami verso l'alto. Coordinate del vertice della parabola

Dal vertice (-1;-4) costruiamo un grafico della parabola y=x² (come dall'origine delle coordinate. Invece di (0;0) - vertice (-1;-4). Da (-1; -4) andiamo a destra di 1 unità e in alto di 1 unità, poi a sinistra di 1 e in alto di 1 poi: 2 - destra, 4 - su, 2 - sinistra, 3 - su, 3 -; a sinistra, 9 - in alto Se questi 7 punti non bastano, allora 4 a destra, 16 in alto, ecc.).

Il grafico della funzione quadratica y= -x²+bx+c è una parabola i cui rami sono diretti verso il basso. Per costruire un grafico cerchiamo le coordinate del vertice e da esso costruiamo una parabola y= -x².

Esempio.

Rappresentare graficamente la funzione y= -x²+2x+8.

Soluzione:

y= -x²+2x+8 è una funzione quadratica. Il grafico è una parabola con i rami verso il basso. Coordinate del vertice della parabola

Dall'alto costruiamo una parabola y= -x² (1 - a destra, 1- in basso; 1 - a sinistra, 1 - in basso; 2 - a destra, 4 - in basso; 2 - a sinistra, 4 - in basso, ecc.):

Questo metodo ti permette di costruire una parabola velocemente e non crea difficoltà se sai come rappresentare graficamente le funzioni y=x² e y= -x². Svantaggio: se le coordinate del vertice lo sono numeri frazionari, costruire un grafico non è molto conveniente. Se hai bisogno di sapere valori esatti punti di intersezione del grafico con l'asse Ox, dovrai inoltre risolvere l'equazione x²+bx+c=0 (o -x²+bx+c=0), anche se questi punti possono essere determinati direttamente dal disegno.

Un altro modo per costruire una parabola è per punti, ovvero puoi trovare diversi punti sul grafico e tracciare una parabola attraverso di essi (tenendo conto che la retta x=xₒ è il suo asse di simmetria). Di solito per questo prendono il vertice della parabola, i punti di intersezione del grafico con gli assi delle coordinate e 1-2 punti aggiuntivi.

Disegna un grafico della funzione y=x²+5x+4.

Soluzione:

y=x²+5x+4 è una funzione quadratica. Il grafico è una parabola con i rami verso l'alto. Coordinate del vertice della parabola

cioè, la parte superiore della parabola è il punto (-2,5; -2,25).

Stanno cercando. Nel punto di intersezione con l'asse del Bue y=0: x²+5x+4=0. Radici equazione quadrata x1=-1, x2=-4, cioè abbiamo due punti sul grafico (-1; 0) e (-4; 0).

Nel punto di intersezione del grafico con l'asse Oy x=0: y=0²+5∙0+4=4. Abbiamo ottenuto il punto (0; 4).

Per chiarire il grafico, puoi trovare un punto aggiuntivo. Prendiamo x=1, quindi y=1²+5∙1+4=10, ovvero un altro punto sul grafico è (1; 10). Contrassegniamo questi punti sul piano delle coordinate. Tenendo conto della simmetria della parabola rispetto alla linea che passa per il suo vertice, segniamo altri due punti: (-5; 6) e (-6; 10) e disegniamo una parabola attraverso di essi:

Rappresentare graficamente la funzione y= -x²-3x.

Soluzione:

y= -x²-3x è una funzione quadratica. Il grafico è una parabola con i rami verso il basso. Coordinate del vertice della parabola

Il vertice (-1,5; 2,25) è il primo punto della parabola.

Nei punti di intersezione del grafico con l'asse delle ascisse y=0, cioè risolviamo l'equazione -x²-3x=0. Le sue radici sono x=0 e x=-3, cioè (0;0) e (-3;0) - altri due punti sul grafico. Il punto (o; 0) è anche il punto di intersezione della parabola con l'asse delle ordinate.

A x=1 y=-1²-3∙1=-4, cioè (1; -4) è un punto aggiuntivo per il grafico.

Costruire una parabola partendo da punti è un metodo più laborioso rispetto al primo. Se la parabola non interseca l'asse del Bue, saranno necessari più punti aggiuntivi.

Prima di continuare a costruire grafici di funzioni quadratiche della forma y=ax²+bx+c, consideriamo la costruzione di grafici di funzioni utilizzando trasformazioni geometriche. È anche più conveniente costruire grafici di funzioni della forma y=x²+c utilizzando una di queste trasformazioni: la traslazione parallela.

Lezione 15.
Impatto delle probabilitàun, b ECon alla posizione
grafico della funzione quadratica

Obiettivi: continuare a sviluppare la capacità di costruire un grafico di una funzione quadratica ed elencarne le proprietà; identificare l’influenza dei coefficienti UN, B E Con sulla posizione del grafico di una funzione quadratica.

Durante le lezioni

I. Momento organizzativo.

II. Lavoro orale.

Determinare quale grafico della funzione è mostrato nella figura:

A = X 2 – 2X – 1;

A = –2X 2 – 8X;

A = X 2 – 4X – 1;

A = 2X 2 + 8X + 7;

A = 2X 2 – 1.

B)

A = X 2 – 2X;

A = –X 2 + 4X + 1;

A = –X 2 – 4X + 1;

A = –X 2 + 4X – 1;

A = –X 2 + 2X – 1.

III. Formazione di competenze e abilità.

Esercizi:

1. N. 127 (a).

Soluzione

Dritto A = 6X + B tocca una parabola A = X 2 + 8, cioè ha un solo punto in comune con sé nel caso dell'equazione 6 X + B = X 2 + 8 avranno unica decisione.

Questa equazione è quadratica, troviamo il suo discriminante:

X 2 – 6X + 8 + B = 0;

D 1 = 9 – (8 – B) = 1 + B;

D 1 = 0 se 1 + B= 0, cioè B= –1.

Risposta: B= –1.

3. Identificare l'influenza dei coefficienti UN, B E Con sulla posizione del grafico della funzione A = OH 2 + bx + Con.

Gli studenti hanno conoscenze sufficienti per completare questo compito in modo indipendente. Dovrebbero essere invitati a scrivere tutti i risultati su un quaderno, evidenziando il ruolo “principale” di ciascuno dei coefficienti.

1) Coefficiente UN influenza la direzione dei rami della parabola: quando UN> 0 – i rami sono diretti verso l'alto, con UN < 0 – вниз.

2) Coefficiente B influenza la posizione del vertice della parabola. A B= 0 vertice giace sull'asse UO.

3) Coefficiente Con mostra il punto di intersezione della parabola con l'asse UO.

Successivamente si può fare un esempio per mostrare cosa si può dire sui coefficienti UN, B E Con secondo il grafico della funzione.

Senso Con può essere chiamato appunto: poiché il grafico interseca l'asse UO nel punto (0; 1), quindi Con = 1.

Coefficiente UN può essere paragonato a zero: poiché i rami della parabola sono diretti verso il basso, allora UN < 0.

Segno del coefficiente B si ricava dalla formula che determina l'ascissa del vertice di una parabola: T= , poiché UN < 0 и T= 1, quindi B> 0.

4. Determinare quale grafico della funzione è mostrato nella figura, in base al valore dei coefficienti UN, B E Con.

A = –X 2 + 2X;

A = X 2 + 2X + 2;

A = 2X 2 – 3X – 2;

A = X 2 – 2.

Soluzione

UN, B E Con:

UN> 0, poiché i rami della parabola sono diretti verso l'alto;

B UO;

Con= –2, poiché la parabola interseca l'ordinata nel punto (0; –2).

A = 2X 2 – 3X – 2.

A = X 2 – 2X;

A = –2X 2 + X + 3;

A = –3X 2 – X – 1;

A = –2,7X 2 – 2X.

Soluzione

Sulla base del grafico mostrato, traiamo le seguenti conclusioni sui coefficienti UN, B E Con:

UN < 0, так как ветви параболы направлены вниз;

B≠ 0, poiché il vertice della parabola non giace sull'asse UO;

Con= 0, poiché la parabola interseca l'asse UO nel punto (0; 0).

Tutte queste condizioni sono soddisfatte solo dalla funzione A = –2,7X 2 – 2X.

5. Secondo il grafico della funzione A = OH 2 + bx + Con UN, B E Con:

UN) B)

Soluzione

a) I rami della parabola sono quindi diretti verso l'alto UN > 0.

La parabola interseca l'asse delle ordinate nel semipiano inferiore, quindi Con < 0. Чтобы узнать знак коэффициента B Usiamo la formula per trovare l'ascissa del vertice di una parabola: T= . Dal grafico si può vedere che T < 0, и мы определим, что UN> 0. Pertanto B> 0.

b) Allo stesso modo, determiniamo i segni dei coefficienti UN, B E Con:

UN < 0, Con > 0, B< 0.

Agli studenti accademicamente forti può essere data un'opzione aggiuntiva per completare il n. 247.

Soluzione

A = X 2 + px + Q.

a) Secondo il teorema di Vieta, è noto che se X 1 e X 2 – radici dell'equazione X 2 +
+px + Q= 0 (ovvero gli zeri di questa funzione), quindi X 1 · X 2 = Q E X 1 + X 2 = –R. Lo capiamo Q= 3 4 = 12 e R = –(3 + 4) = –7.

b) Il punto di intersezione della parabola con l'asse UO darà il valore del parametro Q, questo è Q= 6. Se il grafico di una funzione interseca l'asse OH nel punto (2; 0), allora il numero 2 è la radice dell'equazione X 2 + px + Q= 0. Sostituendo il valore X= 2 in questa equazione, otteniamo questo R = –5.

c) Questa funzione quadratica raggiunge il suo valore minimo al vertice della parabola, quindi , da dove R= –12. Per condizione, il valore della funzione A = X 2 – 12X + Q al punto X= 6 uguale 24. Sostituendo X= 6 e A= 24 in questa funzione, lo troviamo Q= 60.

IV. Lavoro di verifica.

opzione 1

1. Rappresentare graficamente la funzione A = 2X 2 + 4X– 6 e trovare utilizzando il grafico:

a) zeri della funzione;

b) intervalli in cui A> 0 e sì < 0;

G) valore più piccolo funzioni;

e) l'intervallo della funzione.

2. Senza rappresentare graficamente la funzione A = –X 2 + 4X, Trovare:

a) zeri della funzione;

c) la portata della funzione.

3. Secondo il grafico della funzione A = OH 2 + bx + Con determinare i segni dei coefficienti UN, B E Con:

opzione 2

1. Rappresentare graficamente la funzione A = –X 2 + 2X+ 3 e trova utilizzando il grafico:

a) zeri della funzione;

b) intervalli in cui A> 0 e sì < 0;

c) intervalli di funzioni crescenti e decrescenti;

d) il valore più alto della funzione;

e) l'intervallo della funzione.

2. Senza rappresentare graficamente la funzione A = 2X 2 + 8X, Trovare:

a) zeri della funzione;

b) intervalli di funzioni crescenti e decrescenti;

c) la portata della funzione.

3. Secondo il grafico della funzione A = OH 2 + bx + Con determinare i segni dei coefficienti UN, B E Con:

V. Riepilogo della lezione.

Domande frequenti:

– Descrivere l'algoritmo per costruire una funzione quadratica.

– Elencare le proprietà della funzione A = OH 2 + bx + Con A UN> 0 e a UN < 0.

– Come influiscono le probabilità UN, B E Con sulla posizione del grafico di una funzione quadratica?

Compiti a casa: N. 127 (b), N. 128, N. 248.

INOLTRE: N. 130.

Note importanti!
1. Se vedi gobbledygook invece delle formule, svuota la cache. Come farlo nel tuo browser è scritto qui:
2. Prima di iniziare a leggere l'articolo, presta attenzione al nostro navigatore per le risorse più utili per

Per capire cosa verrà scritto qui, devi sapere bene cos'è una funzione quadratica e con cosa viene utilizzata. Se ti consideri un professionista quando si tratta di funzioni quadratiche, benvenuto. Ma in caso contrario dovresti leggere il thread.

Cominciamo con uno piccolo controlli:

1. Che aspetto ha una funzione quadratica in forma generale (formula)?
2. Come si chiama il grafico di una funzione quadratica?
3. In che modo il coefficiente principale influenza il grafico di una funzione quadratica?

Se sei riuscito a rispondere subito a queste domande, continua a leggere. Se almeno una domanda ha causato difficoltà, vai a.

Quindi sai già come gestire una funzione quadratica, analizzarne il grafico e costruire un grafico per punti.

Bene, eccolo qui: .

Ricordiamo brevemente cosa fanno probabilità.

1. Il coefficiente principale è responsabile della “ripidità” della parabola, o, in altre parole, della sua larghezza: maggiore è la parabola più stretta (più ripida), mentre più piccola è la parabola più larga (piatta).
2. Il termine libero è la coordinata dell'intersezione della parabola con l'asse delle ordinate.
3. E il coefficiente è in qualche modo responsabile dello spostamento della parabola dal centro delle coordinate. Parliamo di questo in modo più dettagliato ora.

Da dove iniziamo sempre a costruire una parabola? Qual è il suo punto distintivo?

Questo vertice. Ti ricordi come trovare le coordinate del vertice?

La ricerca dell'ascissa avviene mediante la seguente formula:

In questo modo: di Di più, quelli A sinistra si muove il vertice della parabola.

L'ordinata del vertice si trova sostituendo nella funzione:

Sostituiscilo tu stesso e fai i conti. Quello che è successo?

Se fai tutto correttamente e semplifichi il più possibile l'espressione risultante, otterrai:

Si scopre che ancora di più modulo, quelli più alto Volere vertice parabole.

Passiamo finalmente a tracciare il grafico.
Il modo più semplice è costruire una parabola partendo dall'alto.

Esempio:

Costruisci un grafico della funzione.

Soluzione:

Per prima cosa determiniamo i coefficienti: .

Ora calcoliamo le coordinate del vertice:

Ora ricorda: tutte le parabole con lo stesso coefficiente principale sembrano uguali. Ciò significa che se costruiamo una parabola e ne spostiamo il vertice in un punto, otterremo il grafico che ci occorre:

Semplice, vero?

Rimane solo una domanda: come disegnare rapidamente una parabola? Anche se disegniamo una parabola con il vertice nell'origine, dobbiamo comunque costruirla punto per punto, e questo è lungo e scomodo. Ma le parabole sembrano tutte uguali, forse c'è un modo per velocizzare il loro disegno?

Quando ero a scuola, il mio insegnante di matematica disse a tutti di ritagliare dal cartone uno stencil a forma di parabola in modo che potessero disegnarlo velocemente. Ma non potrai andare in giro con uno stencil ovunque e non ti sarà permesso di portarlo all'esame. Ciò significa che non utilizzeremo oggetti estranei, ma cercheremo uno schema.

Consideriamo la parabola più semplice. Costruiamolo punto per punto:

Questo è lo schema qui. Se dal vertice ci spostiamo verso destra (lungo l'asse) di e verso l'alto (lungo l'asse) di, arriveremo al punto della parabola. Inoltre: se da questo punto ci spostiamo a destra e in alto, arriveremo nuovamente al punto della parabola. Avanti: avanti e avanti. Qual è il prossimo? Avanti e avanti. E così via: spostane uno a destra e il successivo numero dispari in alto. Quindi facciamo lo stesso con il ramo sinistro (dopo tutto, la parabola è simmetrica, cioè i suoi rami sembrano uguali):

Ottimo, questo ti aiuterà a costruire qualsiasi parabola a partire da un vertice con un coefficiente iniziale uguale a. Ad esempio, abbiamo imparato che il vertice di una parabola è in un punto. Costruisci (tu stesso, su carta) questa parabola.

Costruito?

Dovrebbe sembrare come questo:

Ora colleghiamo i punti risultanti:

È tutto.

OK, bene, ora possiamo costruire solo parabole con?

Ovviamente no. Ora scopriamo cosa fare con loro, se.

Diamo un'occhiata ad alcuni casi tipici.

Ottimo, hai imparato a disegnare una parabola, ora facciamo pratica utilizzando le funzioni reali.

Quindi, disegna i grafici di queste funzioni:

Risposte:

3. In alto: .

Ti ricordi cosa fare se il coefficiente senior è inferiore?

Guardiamo il denominatore della frazione: è uguale. Quindi ci muoveremo in questo modo:

• proprio sopra
• proprio sopra
• proprio sopra

e anche a sinistra:

4. In alto: .

Oh, cosa possiamo fare al riguardo? Come misurare le celle se il vertice si trova da qualche parte tra le linee?...

E imbrogliamo. Disegniamo prima una parabola e solo dopo spostiamo il suo vertice in un punto. No, facciamo qualcosa di ancora più astuto: disegniamo una parabola, e poi spostare gli assi:- SU giù, a - su Giusto:

Questa tecnica è molto comoda nel caso di qualsiasi parabola, ricordatelo.

Ti ricordo che possiamo rappresentare la funzione in questa forma:

Per esempio: .

Cosa ci dà questo?

Il fatto è che il numero sottratto tra parentesi () è l'ascissa del vertice della parabola, e il termine fuori parentesi () è l'ordinata del vertice.

Ciò significa che, avendo costruito una parabola, avrai semplicemente bisogno spostare l'asse a sinistra e l'asse verso il basso.

Esempio: costruiamo il grafico di una funzione.

Selezioniamo un quadrato completo:

Che numero detratto tra parentesi? Questo (e non come puoi decidere senza pensare).

Quindi, costruiamo una parabola:

Ora spostiamo l'asse verso il basso, cioè verso l'alto:

E ora - a sinistra, cioè a destra:

È tutto. È come spostare una parabola con il suo vertice dall'origine a un punto, solo che l'asse rettilineo è molto più facile da spostare rispetto a una parabola curva.

Ora, come al solito, io stesso:

E non dimenticare di cancellare i vecchi assi con una gomma!

sono come risposte Per verificare ti scrivo le ordinate dei vertici di queste parabole:

È andato tutto bene?

Se sì, allora sei fantastico! Saper maneggiare una parabola è molto importante e utile, e qui abbiamo scoperto che non è affatto difficile.

COSTRUZIONE DI UN GRAFICO DI UNA FUNZIONE QUADRATICA. BREVEMENTE SULLE COSE PRINCIPALI

Funzione quadratica- una funzione della forma, dove e sono numeri (coefficienti), - un termine libero.

Il grafico di una funzione quadratica è una parabola.

Vertice della parabola:
, cioè. Quanto più grande è \displaystyle b , tanto più a sinistra si sposta il vertice della parabola.
Lo sostituiamo nella funzione e otteniamo:
, cioè. il \displaystyle b è maggiore in valore assoluto, più alto sarà il vertice della parabola

Il termine libero è la coordinata dell'intersezione della parabola con l'asse delle ordinate.

Bene, l'argomento è finito. Se stai leggendo queste righe significa che sei molto figo.

Perché solo il 5% delle persone è in grado di padroneggiare qualcosa da solo. E se leggi fino alla fine, allora sei in questo 5%!

Ora la cosa più importante.

Hai capito la teoria su questo argomento. E, ripeto, questo... è semplicemente fantastico! Sei già migliore della stragrande maggioranza dei tuoi coetanei.

Il problema è che questo potrebbe non bastare...

Per quello?

Per aver superato con successo l'Esame di Stato Unificato, per entrare all'università con un budget limitato e, SOPRATTUTTO, per la vita.

Non ti convincerò di nulla, dirò solo una cosa...

Persone che hanno ricevuto una buona educazione, guadagna molto di più di chi non lo ha ricevuto. Questa è statistica.

Ma questa non è la cosa principale.

La cosa principale è che sono PIÙ FELICI (esistono studi del genere). Forse perché davanti a loro si aprono molte più opportunità e la vita diventa più luminosa? Non lo so...

Ma pensa tu stesso...

Cosa serve per essere sicuri di essere migliori degli altri all'Esame di Stato Unificato e, in definitiva, essere... più felici?

PRENDI LA TUA MANO RISOLVENDO PROBLEMI SU QUESTO ARGOMENTO.

Non ti verrà chiesta teoria durante l'esame.

Avrai bisogno risolvere problemi contro il tempo.

E, se non li hai risolti (MOLTO!), sicuramente commetterai uno stupido errore da qualche parte o semplicemente non avrai tempo.

È come nello sport: devi ripeterlo molte volte per vincere con certezza.

Trovi la collezione dove vuoi, necessariamente con soluzioni, analisi dettagliate e decidere, decidere, decidere!

Puoi utilizzare le nostre attività (facoltative) e noi, ovviamente, le consigliamo.

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Insomma...

Se non ti piacciono i nostri compiti, trovane altri. Basta non fermarsi alla teoria.

“Capire” e “posso risolvere” sono abilità completamente diverse. Hai bisogno di entrambi.

Trova i problemi e risolvili!