In pratica, è abbastanza comune utilizzare la derivata per calcolare il valore massimo e minimo di una funzione. Eseguiamo questa azione quando capiamo come minimizzare i costi, aumentare i profitti, calcolare il carico ottimale sulla produzione, ecc., cioè nei casi in cui dobbiamo determinare il valore ottimale di un parametro. Per risolvere correttamente tali problemi, è necessario capire bene qual è il più grande e valore più piccolo funzioni.

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Tipicamente definiamo questi valori entro un certo intervallo x, che a sua volta può corrispondere all'intero dominio della funzione o a parte di essa. Può essere come un segmento [a; b ] , e intervallo aperto (a ; b), (a ; b ], [ a ; b), intervallo infinito (a ; b), (a ; b ], [ a ; b) o intervallo infinito - ∞ ; un , (- ∞ ; un ] , [ un ; + ∞) , (- ∞ ; + ∞) .

In questo articolo ti spiegheremo come calcolare esplicitamente il valore più grande e quello più piccolo data funzione con una variabile y=f(x) y = f (x) .

Definizioni di base

Cominciamo, come sempre, con la formulazione delle definizioni di base.

Definizione 1

Il valore più grande della funzione y = f (x) su un certo intervallo x è il valore m a x y = f (x 0) x ∈ X, che per qualsiasi valore x x ∈ X, x ≠ x 0 rende la disuguaglianza f (x) ≤ f (x) valido 0) .

Definizione 2

Il valore più piccolo della funzione y = f (x) su un certo intervallo x è il valore m i n x ∈ X y = f (x 0) , che per ogni valore x ∈ X, x ≠ x 0 rende la disuguaglianza f(X f (x) ≥ f (x 0) .

Queste definizioni sono abbastanza ovvie. Ancora più semplice, possiamo dire questo: il valore più grande di una funzione è il suo valore più grande su un intervallo noto in x 0, e il più piccolo è il valore più piccolo accettato sullo stesso intervallo in x 0.

Definizione 3

I punti stazionari sono quei valori dell'argomento di una funzione in cui la sua derivata diventa 0.

Perché abbiamo bisogno di sapere cosa sono i punti stazionari? Per rispondere a questa domanda dobbiamo ricordare il teorema di Fermat. Ne consegue che un punto stazionario è il punto in cui si trova l'estremo della funzione differenziabile (cioè il suo minimo o massimo locale). Di conseguenza la funzione assumerà il valore più piccolo o più grande su un certo intervallo proprio in uno dei punti stazionari.

Una funzione può anche assumere il valore più grande o più piccolo nei punti in cui la funzione stessa è definita e la sua derivata prima non esiste.

La prima domanda che sorge quando si studia questo argomento: in tutti i casi possiamo determinare il valore più grande o più piccolo di una funzione su un dato intervallo? No, non possiamo farlo quando i confini di un dato intervallo coincidono con i confini dell'area di definizione, oppure se si tratta di un intervallo infinito. Accade anche che una funzione in un dato segmento o all'infinito assuma valori infinitamente piccoli o infinitamente grandi. In questi casi non è possibile determinare il valore più grande e/o più piccolo.

Questi punti diventeranno più chiari dopo essere stati rappresentati nei grafici:

La prima figura ci mostra una funzione che assume i valori più grande e più piccolo (m a x y e m i n y) nei punti stazionari situati sul segmento [ - 6 ; 6].

Esaminiamo in dettaglio il caso indicato nel secondo grafico. Cambiamo il valore del segmento in [ 1 ; 6 ] e troviamo che il valore massimo della funzione sarà raggiunto nel punto con l'ascissa al limite destro dell'intervallo e il minimo nel punto stazionario.

Nella terza figura, le ascisse dei punti rappresentano i punti di confine del segmento [ - 3 ; 2]. Corrispondono al valore più grande e più piccolo di una data funzione.

Ora diamo un'occhiata alla quarta immagine. In esso, la funzione prende m a x y (il valore più grande) e m i n y (il valore più piccolo) nei punti stazionari dell'intervallo aperto (- 6; 6).

Se prendiamo l'intervallo [ 1 ; 6), allora possiamo dire che il valore più piccolo della funzione su di esso sarà raggiunto in un punto stazionario. Il valore più grande ci sarà sconosciuto. La funzione potrebbe assumere il suo valore massimo in x pari a 6 se x = 6 appartenesse all'intervallo. Questo è esattamente il caso mostrato nel grafico 5.

Nel grafico 6, questa funzione assume il suo valore più piccolo al limite destro dell'intervallo (- 3; 2 ], e non possiamo trarre conclusioni definitive sul valore più grande.

Nella Figura 7 vediamo che la funzione avrà m a x y in un punto stazionario avente ascissa pari a 1. La funzione raggiungerà il suo valore minimo al confine dell'intervallo c lato destro. A meno infinito, i valori della funzione si avvicineranno asintoticamente a y = 3.

Se prendiamo l'intervallo x ∈ 2 ; + ∞ , allora vedremo che la funzione data non assumerà né il valore più piccolo né quello più grande. Se x tende a 2, allora i valori della funzione tenderanno a meno infinito, poiché la retta x = 2 è un asintoto verticale. Se l'ascissa tende a più infinito, i valori della funzione si avvicineranno asintoticamente a y = 3. Questo è esattamente il caso mostrato nella Figura 8.

In questo paragrafo presenteremo la sequenza di azioni che devono essere eseguite per trovare il valore più grande o più piccolo di una funzione su un determinato segmento.

1. Per prima cosa troviamo il dominio di definizione della funzione. Controlliamo se il segmento specificato nella condizione è incluso in essa.
2. Calcoliamo ora i punti contenuti in questo segmento in cui non esiste la derivata prima. Molto spesso si possono trovare in funzioni il cui argomento è scritto sotto il segno del modulo o in funzioni di potenza il cui esponente è un numero frazionario razionale.
3. Successivamente, scopriremo quali punti stazionari cadranno nel segmento dato. Per fare ciò, è necessario calcolare la derivata della funzione, quindi equipararla a 0 e risolvere l'equazione risultante, quindi selezionare le radici appropriate. Se non otteniamo un singolo punto stazionario o non rientrano nel segmento indicato, passiamo al passaggio successivo.
4. Determiniamo quali valori assumerà la funzione in determinati punti stazionari (se presenti), o in quei punti in cui non esiste la derivata prima (se ce ne sono), oppure calcoliamo i valori per x = a e x = b.
5. 5. Abbiamo una serie di valori di funzione, dai quali ora dobbiamo selezionare il più grande e il più piccolo. Questi saranno i valori più grande e più piccolo della funzione che dobbiamo trovare.

Vediamo come applicare correttamente questo algoritmo durante la risoluzione dei problemi.

Esempio 1

Condizione:è data la funzione y = x 3 + 4 x 2. Determinare i suoi valori più grandi e più piccoli sui segmenti [ 1 ; 4] e [-4; -1] .

Soluzione:

Cominciamo trovando il dominio di definizione di una determinata funzione. In questo caso, avrà molti di tutti numeri reali, tranne 0 . In altre parole, D (y) : x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ 0 ; + ∞ . Entrambi i segmenti specificati nella condizione saranno all'interno dell'area di definizione.

Ora calcoliamo la derivata della funzione secondo la regola della differenziazione delle frazioni:

y " = x 3 + 4 x 2 " = x 3 + 4 " x 2 - x 3 + 4 x 2 " x 4 = = 3 x 2 x 2 - (x 3 - 4) 2 x x 4 = x 3 - 8 x3

Abbiamo imparato che la derivata di una funzione esiste in tutti i punti dei segmenti [ 1 ; 4] e [-4; -1] .

Ora dobbiamo determinare i punti stazionari della funzione. Facciamolo utilizzando l'equazione x 3 - 8 x 3 = 0. Ha una sola radice reale, che è 2. Sarà un punto stazionario della funzione e cadrà nel primo segmento [1; 4] .

Calcoliamo i valori della funzione agli estremi del primo segmento e a questo punto, cioè per x = 1, x = 2 e x = 4:

y (1) = 1 3 + 4 1 2 = 5 y (2) = 2 3 + 4 2 2 = 3 y (4) = 4 3 + 4 4 2 = 4 1 4

Abbiamo scoperto che il valore più grande della funzione m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 sarà raggiunto in x = 1, e il più piccolo m i n y x ∈ [ 1 ; 4] = y (2) = 3 – in x = 2.

Il secondo segmento non comprende un singolo punto stazionario, quindi dobbiamo calcolare i valori della funzione solo alle estremità del segmento dato:

y (- 1) = (- 1) 3 + 4 (- 1) 2 = 3

Ciò significa m a x y x ∈ [-4; - 1 ] = y (- 1) = 3 , m io n y X ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .

Risposta: Per il segmento [ 1 ; 4 ] - m a x y x ∈ [ 1 ; 4] = y (2) = 3 , m io n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 , per il segmento [ - 4 ; - 1 ] - m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , m io n y X ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .

Guarda l'immagine:

Prima di studiare questo metodo, ti consigliamo di rivedere come calcolare correttamente il limite unilaterale e il limite all'infinito, nonché di apprendere i metodi di base per trovarli. Per trovare il valore più grande e/o più piccolo di una funzione su un intervallo aperto o infinito, eseguire i seguenti passaggi in sequenza.

1. Per prima cosa è necessario verificare se l'intervallo dato è un sottoinsieme del dominio di definizione di questa funzione.
2. Determiniamo tutti i punti contenuti nell'intervallo richiesto e in cui la derivata prima non esiste. Di solito si verificano per funzioni in cui l'argomento è racchiuso nel segno del modulo e per funzioni di potenza con esponente frazionario razionale. Se questi punti mancano, puoi procedere al passaggio successivo.
3. Ora determiniamo quali punti stazionari rientreranno nell'intervallo dato. Per prima cosa uguagliamo la derivata a 0, risolviamo l'equazione e selezioniamo le radici adatte. Se non abbiamo un solo punto stazionario o non rientrano nell'intervallo specificato, procediamo immediatamente ad ulteriori azioni. Sono determinati dal tipo di intervallo.

• Se l'intervallo è della forma [ a ; b) , allora dobbiamo calcolare il valore della funzione nel punto x = a e il limite unilaterale lim x → b - 0 f (x) .
• Se l'intervallo ha la forma (a; b ], allora dobbiamo calcolare il valore della funzione nel punto x = b e il limite unilaterale lim x → a + 0 f (x).
• Se l'intervallo ha la forma (a; b), allora dobbiamo calcolare i limiti unilaterali lim x → b - 0 f (x), lim x → a + 0 f (x).
• Se l'intervallo è della forma [ a ; + ∞), allora dobbiamo calcolare il valore nel punto x = a e il limite a più infinito lim x → + ∞ f (x) .
• Se l'intervallo è simile a (- ∞ ; b ] , calcoliamo il valore nel punto x = b e il limite in meno infinito lim x → - ∞ f (x) .
• Se - ∞ ; b , allora consideriamo il limite unilaterale lim x → b - 0 f (x) e il limite a meno infinito lim x → - ∞ f (x)
• Se - ∞; + ∞ , allora consideriamo i limiti su meno e più infinito lim x → + ∞ f (x) , lim x → - ∞ f (x) .

1. Alla fine, è necessario trarre una conclusione in base ai valori e ai limiti della funzione ottenuti. Ci sono molte opzioni disponibili qui. Quindi, se il limite unilaterale è uguale a meno infinito o più infinito, allora è immediatamente chiaro che non si può dire nulla sui valori più piccoli e più grandi della funzione. Di seguito vedremo un esempio tipico. Descrizioni dettagliate ti aiuterà a capire cosa è cosa. Se necessario, puoi tornare alle Figure 4 - 8 nella prima parte del materiale.

Condizione: data funzione y = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 . Calcola il suo valore massimo e minimo negli intervalli - ∞ ; - 4, - ∞; - 3 , (- 3 ; 1] , (- 3 ; 2) , [ 1 ; 2) , 2 ; + ∞, [4; + ∞) .

Soluzione

Innanzitutto troviamo il dominio di definizione della funzione. Il denominatore della frazione contiene un trinomio quadratico, che non dovrebbe andare a 0:

x 2 + x - 6 = 0 D = 1 2 - 4 1 (- 6) = 25 x 1 = - 1 - 5 2 = - 3 x 2 = - 1 + 5 2 = 2 ⇒ D (y) : x ∈ (- ∞ ; - 3) ∪ (- 3 ; 2) ∪ (2 ; + ∞)

Abbiamo ottenuto il dominio di definizione della funzione a cui appartengono tutti gli intervalli specificati nella condizione.

Ora differenziamo la funzione e otteniamo:

y" = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 " = 3 e 1 x 2 + x - 6 " = 3 e 1 x 2 + x - 6 1 x 2 + x - 6 " = = 3 · e 1 x 2 + x - 6 · 1 " · x 2 + x - 6 - 1 · x 2 + x - 6 " (x 2 + x - 6) 2 = - 3 · (2 ​​x + 1) · e 1 x2 + x - 6 x 2 + x - 6 2

Di conseguenza, le derivate di una funzione esistono in tutto il suo dominio di definizione.

Passiamo alla ricerca dei punti stazionari. La derivata della funzione diventa 0 in x = - 1 2 . Questo è un punto stazionario che si trova negli intervalli (- 3 ; 1 ] e (- 3 ; 2) .

Calcoliamo il valore della funzione in x = - 4 per l'intervallo (- ∞ ; - 4 ], nonché il limite a meno infinito:

y (- 4) = 3 e 1 (- 4) 2 + (- 4) - 6 - 4 = 3 e 1 6 - 4 ≈ - 0 . 456 lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 = 3 e 0 - 4 = - 1

Poiché 3 e 1 6 - 4 > - 1, significa che m a x y x ∈ (- ∞ ; - 4 ] = y (- 4) = 3 e 1 6 - 4. Ciò non permette di determinare univocamente il valore più piccolo della funzione. Possiamo solo concludere che esiste un vincolo inferiore a - 1, poiché è a questo valore che la funzione si avvicina asintoticamente a meno infinito.

La particolarità del secondo intervallo è che in esso non esiste un singolo punto stazionario e nemmeno un unico confine rigido. Di conseguenza, non saremo in grado di calcolare né il valore più grande né quello più piccolo della funzione. Avendo definito il limite a meno infinito e poiché l'argomento tende a - 3 a sinistra, otteniamo solo un intervallo di valori:

lim x → - 3 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 - 0 3 e 1 (x + 3) (x - 3) - 4 = 3 e 1 (- 3 - 0 + 3) (- 3 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

Ciò significa che i valori della funzione si troveranno nell'intervallo - 1; +∞

Per trovare il valore massimo della funzione nel terzo intervallo, determiniamo il suo valore nel punto stazionario x = - 1 2 se x = 1. Dovremo anche conoscere il limite unilaterale per il caso in cui l'argomento tende a - 3 a destra:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 y (1) = 3 e 1 1 2 + 1 - 6 - 4 ≈ - 1 . 644 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 - 3 + 0 + 3 (- 3 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (- 0) - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4

Si è scoperto che la funzione assumerà il valore massimo in un punto stazionario m a x y x ∈ (3; 1 ] = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4. Per quanto riguarda il valore più piccolo, non possiamo determinarlo. Tutto ciò che sappiamo , è la presenza di un limite inferiore a -4 .

Per l'intervallo (- 3 ; 2), prendiamo i risultati del calcolo precedente e calcoliamo ancora una volta a quanto equivale il limite unilaterale quando tende a 2 sul lato sinistro:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e - 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = - 4 lim x → 2 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 - 0 + 3) (2 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 - 0 - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 · 0 - 4 = - 4

Ciò significa che m a x y x ∈ (- 3 ; 2) = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4, e il valore più piccolo non può essere determinato, e i valori della funzione sono limitati dal basso dal numero - 4 .

In base a quanto ottenuto nei due calcoli precedenti, possiamo dire che sull'intervallo [ 1 ; 2) la funzione assumerà il valore più grande in x = 1, ma è impossibile trovare il più piccolo.

Nell'intervallo (2 ; + ∞) la funzione non raggiungerà né il valore più grande né quello più piccolo, cioè prenderà valori dall'intervallo - 1; + ∞ .

lim x → 2 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 + 0 + 3 ) (2 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → + ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

Avendo calcolato quale sarà il valore della funzione in x = 4, scopriamo che m a x y x ∈ [ 4 ; + ∞) = y (4) = 3 e 1 14 - 4 , e la funzione data a più infinito si avvicinerà asintoticamente alla retta y = - 1 .

Confrontiamo ciò che abbiamo ottenuto in ciascun calcolo con il grafico della funzione data. Nella figura gli asintoti sono rappresentati da linee tratteggiate.

Questo è tutto ciò che volevamo dirti sulla ricerca dei valori più grandi e più piccoli di una funzione. Le sequenze di azioni che abbiamo fornito ti aiuteranno a eseguire i calcoli necessari nel modo più rapido e semplice possibile. Ma ricorda che spesso è utile scoprire prima con quali intervalli la funzione diminuirà e con quali aumenterà, dopodiché potrai trarre ulteriori conclusioni. In questo modo puoi determinare con maggiore precisione i valori più grandi e più piccoli della funzione e giustificare i risultati ottenuti.

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A volte nei problemi B14 ci sono funzioni “cattive” per le quali è difficile trovare una derivata. In precedenza, ciò accadeva solo durante i test di esempio, ma ora questi compiti sono così comuni che non possono più essere ignorati durante la preparazione al vero Esame di Stato Unificato. In questo caso funzionano altre tecniche, una delle quali è la monotonia. Definizione Una funzione f (x) si dice monotonicamente crescente sul segmento se per qualsiasi punto x 1 ex 2 di questo segmento vale: x 1

Definizione. Una funzione f (x) si dice monotonicamente decrescente sul segmento se per qualsiasi punto x 1 ex 2 di tale segmento vale: x 1 f (x 2). In altre parole, per una funzione crescente, maggiore è x, maggiore è f(x). Per una funzione decrescente è vero il contrario: maggiore è x, minore è f(x).

Esempi. Il logaritmo aumenta monotonicamente se la base a > 1, e diminuisce monotonicamente se 0 0. f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0) 1, e diminuisce monotonicamente se 0 0. f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0)"> 1, e diminuisce monotonicamente se 0 0. f (x) = log a x (a > 0 ; a 1; x > 0)"> 1, e diminuisce monotonicamente se 0 0. f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0)" title="Examples . Il logaritmo aumenta monotonicamente se la base a > 1, e diminuisce monotonicamente se 0 0. f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0)"> title="Esempi. Il logaritmo aumenta monotonicamente se la base a > 1, e diminuisce monotonicamente se 0 0. f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0)"> !}

Esempi. La funzione esponenziale si comporta in modo simile al logaritmo: aumenta per a > 1 e diminuisce per 0 0: 1 e diminuisce a 0 0:"> 1 e diminuisce a 0 0:"> 1 e diminuisce a 0 0:" title="Esempi. La funzione esponenziale si comporta in modo simile al logaritmo: aumenta per a > 1 e diminuisce per 0 0:"> title="Esempi. La funzione esponenziale si comporta in modo simile al logaritmo: aumenta per a > 1 e diminuisce per 0 0:"> !}

0) o giù (a 0) o giù (a 9 Coordinate del vertice della parabola Molto spesso, l'argomento della funzione è sostituito da un trinomio quadrato della forma Il suo grafico è una parabola standard, di cui siamo interessati ai rami: I rami della parabola possono salire (per a > 0) o sotto (a 0) o il massimo (a 0) o sotto (a 0) o sotto (a 0) o massimo (a 0) o sotto (a 0) o sotto (a title="(! LANG:Coordinate del vertice di una parabola Molto spesso, l'argomento della funzione è sostituito da un trinomio quadratico della forma Il suo grafico è una parabola standard, di cui siamo interessati ai rami: I rami di una parabola possono salire (per a > 0) o verso il basso (a

Non c'è alcun segmento nella dichiarazione del problema. Pertanto non è necessario calcolare f(a) e f(b). Resta da considerare solo i punti estremi; Ma esiste solo uno di questi punti: il vertice della parabola x 0, le cui coordinate sono calcolate letteralmente verbalmente e senza derivate.

Pertanto, la soluzione del problema è molto semplificata e si riduce a soli due passaggi: Scrivi l'equazione della parabola e trova il suo vertice utilizzando la formula: Trova il valore della funzione originale in questo punto: f (x 0). Se no condizioni supplementari no, quella sarà la risposta.

0. Vertice della parabola: x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3" title="Trova il valore più piccolo della funzione: Soluzione: Sotto la radice si trova funzione quadratica Il grafico di questa funzione parabola ha rami verso l'alto, poiché il coefficiente a = 1 > 0. Parte superiore della parabola: x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3" class="link_thumb ">18 Trova il valore più piccolo della funzione: Soluzione: Sotto la radice c'è una funzione quadratica. Il grafico di questa funzione è una parabola con rami verso l'alto, poiché il coefficiente a = 1 > 0. Vertice della parabola: x 0 = b/. (2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3 0. Parte superiore della parabola: x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3"> 0. Parte superiore della parabola: x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3"> 0. Vertice della parabola: x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3" title="Trova il valore più piccolo della funzione: Soluzione: Sotto la radice c'è una funzione quadratica. Il grafico di questa funzione è una parabola con rami verso l'alto, poiché il coefficiente a = 1 > 0. Il vertice della parabola: x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3"> title="Trova il valore più piccolo della funzione: Soluzione: Sotto la radice c'è una funzione quadratica. Il grafico di questa funzione è una parabola con rami verso l'alto, poiché il coefficiente a = 1 > 0. Vertice della parabola: x 0 = b/. (2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3"> !}

Trova il valore più piccolo della funzione: Soluzione Sotto il logaritmo, la funzione quadratica è di nuovo Il grafico della parabola ha rami verso l'alto, perché a = 1 > 0. Vertice della parabola: x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) = 2/2 = 1 0. Parte superiore della parabola: x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) = 2/2 = 1"> 0. Parte superiore della parabola: x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) = 2/2 = 1"> 0. Vertice della parabola: x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) = 2/2 = 1" title="Trova il valore più piccolo della funzione: Soluzione Sotto il logaritmo c'è ancora una funzione quadratica. Il grafico della parabola ha rami verso l'alto, poiché a = 1 > 0. Vertice della parabola: x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) = 2/2 = 1"> title="Trova il valore più piccolo della funzione: Soluzione Sotto il logaritmo, la funzione quadratica è di nuovo Il grafico della parabola ha rami verso l'alto, perché a = 1 > 0. Vertice della parabola: x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) = 2/2 = 1"> !}

Trovare il valore più grande della funzione: Soluzione: L'esponente contiene una funzione quadratica Riscriviamolo in forma normale: Ovviamente, il grafico di questa funzione è una parabola, si ramifica verso il basso (a = 1

Corollari dal dominio della funzione A volte per risolvere il Problema B14 non è sufficiente trovare semplicemente il vertice della parabola. Il valore desiderato potrebbe trovarsi alla fine del segmento e non nel punto estremo. Se il problema non specifica affatto un segmento, esaminiamo l'intervallo di valori consentiti della funzione originale. Vale a dire:

0 2. Aritmetica Radice quadrata esiste solo da numeri non negativi: 3. Il denominatore della frazione non deve essere zero:" title="1. L'argomento del logaritmo deve essere positivo: y = log a f (x) f (x) > 0 2. La radice quadrata aritmetica esiste solo da numeri non negativi: 3. Il denominatore della frazione non deve essere uguale a zero:" class="link_thumb"> 26 !} 1. L'argomento del logaritmo deve essere positivo: y = log a f (x) f (x) > 0 2. La radice quadrata aritmetica esiste solo da numeri non negativi: 3. Il denominatore della frazione non deve essere zero: 0 2. La radice quadrata aritmetica esiste solo dai numeri non negativi: 3. Il denominatore di una frazione non deve essere uguale a zero: "> 0 2. La radice quadrata aritmetica esiste solo dai numeri non negativi: 3. Il denominatore di una frazione non deve essere uguale a zero: "> 0 2. In aritmetica la radice quadrata esiste solo dei numeri non negativi: 3. Il denominatore della frazione non deve essere zero:" title="1. Il l'argomento del logaritmo deve essere positivo: y = log a f (x) f (x) > 0 2. Quadrato aritmetico la radice esiste solo da numeri non negativi: 3. Il denominatore della frazione non deve essere uguale a zero:"> title="1. L'argomento del logaritmo deve essere positivo: y = log a f (x) f (x) > 0 2. La radice quadrata aritmetica esiste solo da numeri non negativi: 3. Il denominatore della frazione non deve essere zero:"> !}

Soluzione Sotto la radice c'è ancora una funzione quadratica. Il suo grafico è parabolico, ma i rami sono diretti verso il basso, poiché a = 1
Troviamo ora il vertice della parabola: x 0 = b/(2a) = (2)/(2 · (1)) = 2/(2) = 1 Il punto x 0 = 1 appartiene al segmento ODZ e questo è Bene. Ora calcoliamo il valore della funzione nel punto x 0, così come alle estremità dell'ODZ: ​​y(3) = y(1) = 0 Quindi, abbiamo i numeri 2 e 0. Ci viene chiesto di trovare il numero più grande 2. Risposta: 2

Nota: la disuguaglianza è rigorosa, quindi le estremità non appartengono all'ODZ. Ciò differisce il logaritmo dalla radice, dove le estremità del segmento ci si adattano abbastanza bene. Cerchiamo il vertice della parabola: x 0 = b/(2a) = 6/(2 · (1)) = 6/(2) = 3 Il vertice della parabola si adatta all'ODZ: ​​x 0 = 3 ( 1; 5). Ma poiché non ci interessano gli estremi del segmento, calcoliamo il valore della funzione solo nel punto x 0:

Y min = y(3) = log 0,5 (6 ) = = log 0,5 (18 9 5) = log 0,5 4 = 2 Risposta: -2

Un problema in miniatura e abbastanza semplice, del tipo che funge da salvagente per uno studente galleggiante. È metà luglio nella natura, quindi è ora di sistemarsi con il laptop in spiaggia. Al mattino presto ha cominciato a suonare il raggio di sole della teoria, per poi concentrarsi presto sulla pratica, che, nonostante la dichiarata facilità, contiene schegge di vetro nella sabbia. A questo proposito vi consiglio di considerare coscienziosamente i pochi esempi di questa pagina. Per risolvere compiti pratici devi essere in grado di farlo trovare le derivate e comprendere il materiale dell'articolo Intervalli di monotonicità ed estremi della funzione.

Innanzitutto, brevemente sulla cosa principale. Nella lezione su continuità della funzione Ho dato la definizione di continuità in un punto e di continuità in un intervallo. Il comportamento esemplificativo di una funzione su un segmento è formulato in modo simile. Una funzione è continua su un intervallo se:

1) è continua nell'intervallo;
2) continuo in un punto sulla destra e al punto Sinistra.

Nel secondo paragrafo abbiamo parlato del cosiddetto continuità unilaterale funzioni in un punto. Esistono diversi approcci per definirlo, ma mi atterrò alla linea che ho iniziato prima:

La funzione è continua nel punto sulla destra, se è definita in un dato punto e il suo limite destro coincide con il valore della funzione in un dato punto: . In questo punto è continuo Sinistra, se definito in un dato punto e il suo limite sinistro è uguale al valore in questo punto:

Immagina che i punti verdi siano chiodi a cui è attaccato un elastico magico:

Prendi mentalmente la linea rossa tra le mani. Ovviamente, non importa quanto allunghiamo il grafico su e giù (lungo l'asse), la funzione rimarrà comunque limitato– una staccionata in alto, una staccionata in basso, e il nostro prodotto pascola nel paddock. Così, su di esso è limitata una funzione continua su un intervallo. Nel corso dell'analisi matematica, questo fatto apparentemente semplice viene affermato e rigorosamente dimostrato. Primo teorema di Weierstrass....Molte persone sono infastidite dal fatto che le affermazioni elementari siano noiosamente giustificate in matematica, ma questo ha un significato importante. Supponiamo che un certo abitante del Medioevo abbia tirato un grafico nel cielo oltre i limiti della visibilità, questo è stato inserito. Prima dell'invenzione del telescopio, la funzione limitata nello spazio non era affatto ovvia! Davvero, come fai a sapere cosa ci aspetta oltre l'orizzonte? Dopotutto, una volta la Terra era considerata piatta, quindi oggi anche il normale teletrasporto richiede una prova =)

Secondo Secondo teorema di Weierstrass, continuo su un segmentola funzione raggiunge il suo limite superiore esatto e la vostra bordo inferiore esatto .

Viene anche chiamato il numero il valore massimo della funzione sul segmento e sono indicati da , e il numero è il valore minimo della funzione sul segmento segnato.

Nel nostro caso:

Nota : in teoria, le registrazioni sono comuni .

In parole povere, il valore più grande è dove si trova il punto più alto del grafico, mentre il valore più piccolo è dove si trova il punto più basso.

Importante! Come già sottolineato nell'articolo su estremi della funzione, massimo valore della funzione E valore della funzione più piccolo – NON LO STESSO, Che cosa massima funzione E funzione minima. Quindi, nell'esempio in esame, il numero è il minimo della funzione, ma non il valore minimo.

A proposito, cosa succede fuori dal segmento? Sì, anche un'alluvione, nel contesto del problema in esame, questo non ci interessa affatto. Il compito prevede solo di trovare due numeri e basta!

Inoltre, la soluzione è puramente analitica, quindi non c'è bisogno di fare un disegno!

L'algoritmo si trova in superficie e si suggerisce dalla figura sopra:

1) Trova i valori della funzione in punti critici, che appartengono a questo segmento.

Prendi un altro bonus: qui non c'è bisogno di verificare la condizione sufficiente per un estremo, poiché, come appena mostrato, la presenza di un minimo o di un massimo non garantisce ancora, qual è il minimo o valore massimo. La funzione dimostrativa raggiunge il massimo e, per volontà del destino, lo stesso numero è il valore più grande della funzione sul segmento. Ma, ovviamente, una tale coincidenza non si verifica sempre.

Quindi, nel primo passaggio, è più semplice e veloce calcolare i valori della funzione nei punti critici appartenenti al segmento, senza preoccuparsi se contengono estremi o meno.

2) Calcoliamo i valori della funzione agli estremi del segmento.

3) Tra i valori della funzione trovati nel 1° e 2° paragrafo, seleziona il numero più piccolo e quello più grande e scrivi la risposta.

Ci sediamo sulla riva del mare azzurro e colpiamo con i talloni l'acqua bassa:

Esempio 1

Trova i valori più grandi e più piccoli di una funzione su un segmento

Soluzione:
1) Calcoliamo i valori della funzione nei punti critici appartenenti a questo segmento:

Calcoliamo il valore della funzione nel secondo punto critico:

2) Calcoliamo i valori della funzione agli estremi del segmento:

3) Risultati “in grassetto” sono stati ottenuti con esponenti e logaritmi, il che complica notevolmente il loro confronto. Per questo motivo armiamoci di calcolatrice o di Excel e calcoliamo valori approssimativi, senza dimenticare che:

Adesso è tutto chiaro.

Risposta:

Istanza frazionaria-razionale per soluzione indipendente:

Esempio 6

Trova i valori massimo e minimo di una funzione su un segmento

La lezione sull'argomento "Utilizzo della derivata per trovare i valori più grandi e più piccoli di una funzione continua su un intervallo" esaminerà problemi relativamente semplici per trovare i valori più grandi e più piccoli di una funzione su un dato intervallo utilizzando la derivata .

Argomento: derivato

Lezione: Usare la derivata per trovare i valori più grandi e più piccoli di una funzione continua in un intervallo

In questa lezione considereremo un problema più semplice, ovvero verrà dato un intervallo, su questo intervallo verrà data una funzione continua. Dobbiamo scoprire il valore più grande e quello più piccolo di un dato funzioni su un dato nel mezzo.

N. 32.1 (b). Dato: , . Disegniamo un grafico della funzione (vedi Fig. 1).

Riso. 1. Grafico di una funzione.

È noto che questa funzione aumenta nell'intervallo, il che significa che aumenta anche nell'intervallo. Ciò significa che se trovi il valore di una funzione nei punti e , allora saranno noti i limiti di modifica di questa funzione, i suoi valori più grande e più piccolo.

Quando l'argomento aumenta da a 8, la funzione aumenta da a .

Risposta: ; .

N. 32.2 (a) Dato: trovare i valori più grande e più piccolo della funzione su un dato intervallo.

Tracciamo questa funzione (vedi Fig. 2).

Se l'argomento cambia nell'intervallo , la funzione aumenta da -2 a 2. Se l'argomento aumenta da , la funzione diminuisce da 2 a 0.

Riso. 2. Grafico della funzione.

Troviamo la derivata.

, . Se , anche questo valore appartiene al segmento specificato. Se poi. È facile verificare se assume altri valori e i corrispondenti punti stazionari ricadono all'esterno del segmento dato. Confrontiamo i valori della funzione alle estremità del segmento e nei punti selezionati in cui la derivata è uguale a zero. Lo troveremo

;

Risposta: ;.

Quindi la risposta è stata ricevuta. Derivata in in questo caso Puoi usarlo, non puoi usarlo, puoi applicare le proprietà della funzione studiate in precedenza. Ciò non sempre avviene; a volte l'utilizzo di un derivato è l'unico metodo che permette di risolvere tali problemi.

Dato: , . Trova i valori più grandi e più piccoli della funzione su un dato segmento.

Se nel caso precedente era possibile fare a meno della derivata, sapevamo come si comportava la funzione, in questo caso la funzione è piuttosto complessa. Pertanto, la metodologia che abbiamo menzionato nell'attività precedente è pienamente applicabile.

1. Troviamo la derivata. Troviamo i punti critici, quindi i punti critici. Da essi selezioniamo quelli che appartengono a questo segmento: . Confrontiamo il valore della funzione nei punti , , . Per questo troveremo

Illustriamo il risultato nella figura (vedi Fig. 3).

Riso. 3. Limiti delle variazioni dei valori delle funzioni

Vediamo che se l'argomento cambia da 0 a 2, la funzione cambia nell'intervallo da -3 a 4. La funzione non cambia in modo monotono: aumenta o diminuisce.

Risposta: ;.

Quindi, utilizzando tre esempi, è stata dimostrata la tecnica generale per trovare i valori più grandi e più piccoli di una funzione su un intervallo, in questo caso su un segmento.

Algoritmo per risolvere il problema di trovare i valori più grandi e più piccoli di una funzione:

1. Trova la derivata della funzione.

2. Trova i punti critici della funzione e seleziona quei punti che si trovano su un dato segmento.

3. Trova i valori della funzione alle estremità del segmento e nei punti selezionati.

4. Confronta questi valori e scegli il più grande e il più piccolo.

Diamo un'occhiata a un altro esempio.

Trova il valore più grande e più piccolo della funzione , .

Il grafico di questa funzione è stato precedentemente considerato (vedi Fig. 4).

Riso. 4. Grafico della funzione.

Nell'intervallo, l'intervallo di valori di questa funzione . Punto - punto massimo. Quando - la funzione aumenta, quando - la funzione diminuisce. Dal disegno è chiaro che , - non esiste.

Quindi, nella lezione abbiamo esaminato il problema dei valori più grandi e più piccoli di una funzione quando l'intervallo dato è un segmento; formulato un algoritmo per risolvere tali problemi.

1. Algebra e inizio dell'analisi, grado 10 (in due parti). Libro di testo per istituti di istruzione generale (livello di profilo), ed. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosine, 2009.

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9. Karp A.P. Raccolta di problemi di algebra e principi di analisi: libro di testo. indennità per 10-11 gradi. con profondità studiato Matematica.-M.: Educazione, 2006.

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Risorse web aggiuntive

2. Portale delle Scienze Naturali ().

Fallo a casa

N. 46.16, 46.17 (c) (Algebra e inizi dell'analisi, grado 10 (in due parti). Libro dei problemi per gli istituti di istruzione generale (livello del profilo) a cura di A. G. Mordkovich. - M.: Mnemozina, 2007.)