- — [] funzione quadratica Funzione della forma y= ax2 + bx + c (a ? 0). Grafico K.f. - una parabola, il cui vertice ha coordinate [ b/ 2a, (b2 4ac) / 4a], con rami a>0 della parabola ... ...

FUNZIONE QUADRATICA, FUNZIONE matematica il cui valore dipende dal quadrato della variabile indipendente x, ed è data, rispettivamente, da un POLINOMIO quadratico, ad esempio: f(x) = 4x2 + 17 oppure f(x) = x2 + 3x + 2. vedi anche QUADRARE L'EQUAZIONE... Dizionario enciclopedico scientifico e tecnico

Funzione quadratica- Funzione quadratica - una funzione della forma y= ax2 + bx + c (a ≠ 0). Grafico K.f. - una parabola, il cui vertice ha coordinate [ b/ 2a, (b2 4ac) / 4a], per a> 0 i rami della parabola sono diretti verso l'alto, per a< 0 –вниз… …

- (quadratica) Funzione avente la seguente forma: y=ax2+bx+c, dove a≠0 e massimo grado x è un quadrato. L'equazione quadratica y=ax2 +bx+c=0 può anche essere risolta utilizzando la seguente formula: x= –b+ √ (b2–4ac) /2a. Queste radici sono vere... Dizionario economico

Una funzione quadratica affine su uno spazio affine S è qualsiasi funzione Q: S→K, che in forma vettorizzata ha la forma Q(x)=q(x)+l(x)+c, dove q è una funzione quadratica, l è una funzione lineare, c è una costante. Indice 1 Spostamento del punto di riferimento 2 ... ... Wikipedia

Una funzione quadratica affine su uno spazio affine è qualsiasi funzione che ha la forma in forma vettorizzata, dove è una matrice simmetrica, una funzione lineare, una costante. Contenuti...Wikipedia

Una funzione su uno spazio vettoriale definito da un polinomio omogeneo di secondo grado nelle coordinate del vettore. Indice 1 Definizione 2 Definizioni correlate... Wikipedia

- è una funzione che, nella teoria delle decisioni statistiche, caratterizza le perdite dovute a decisioni errate basate sui dati osservati. Se si risolve il problema della stima dei parametri di un segnale rispetto ad un sottofondo di rumore, allora la funzione di perdita è una misura della discrepanza... ... Wikipedia

funzione obiettivo- - [Ya.N.Luginsky, M.S.Fezi Zhilinskaya, Yu.S.Kabirov. Dizionario inglese-russo di ingegneria elettrica ed energetica, Mosca, 1999] funzione obiettivo Nei problemi estremi, una funzione di cui è richiesto il minimo o il massimo. Questo… … Guida del traduttore tecnico

Funzione obiettivo- nei problemi estremi, una funzione di cui si deve trovare il minimo o il massimo. Questo è un concetto chiave nella programmazione ottimale. Trovato l'estremo di C.f. e, quindi, dopo aver determinato i valori delle variabili controllate che vi vanno... ... Dizionario economico-matematico

Libri

• Set di tavoli. Matematica. Grafici di funzioni (10 tabelle), . Album didattico di 10 fogli. Funzione lineare. Assegnazione grafica e analitica delle funzioni. Funzione quadratica. Trasformazione del grafico di una funzione quadratica. Funzione y=sinx. Funzione y=cosx.…
• La funzione più importante della matematica scolastica è quadratica - in problemi e soluzioni, Petrov N.N.. La funzione quadratica è la funzione principale del corso di matematica scolastica. Nessuna sorpresa. Da un lato la semplicità di questa funzione, dall’altro significato profondo. Tanti compiti della scuola...

Una funzione quadratica è una funzione della forma:
y=a*(x^2)+b*x+c,
dove a è il coefficiente per il grado più alto di incognita x,
b - coefficiente per x sconosciuto,
e c è un membro gratuito.
Il grafico di una funzione quadratica è una curva chiamata parabola. La vista generale della parabola è mostrata nella figura seguente.

Fig.1 Vista generale della parabola.

Ci sono alcuni in vari modi tracciare una funzione quadratica. Ne vedremo i principali e i più generali.

Algoritmo per tracciare una funzione quadratica y=a*(x^2)+b*x+c

1. Costruisci un sistema di coordinate, contrassegna un segmento unitario ed etichetta gli assi delle coordinate.

2. Determinare la direzione dei rami della parabola (su o giù).
Per fare ciò, devi guardare il segno del coefficiente a. Se c'è un vantaggio, i rami sono diretti verso l'alto, se c'è un meno, i rami sono diretti verso il basso.

3. Determina la coordinata x del vertice della parabola.
Per fare ciò, è necessario utilizzare la formula Xvertex = -b/2*a.

4. Determina la coordinata al vertice della parabola.
Per fare ciò, sostituisci nell'equazione Uvershiny = a*(x^2)+b*x+c invece di x, il valore di Xverhiny trovato nel passaggio precedente.

5. Traccia il punto risultante sul grafico e traccia un asse di simmetria attraverso di esso, parallelo all'asse delle coordinate Oy.

6. Trova i punti di intersezione del grafico con l'asse del bue.
Per fare questo è necessario risolvere equazione quadrata a*(x^2)+b*x+c = 0 uno di metodi conosciuti. Se l'equazione non ha radici reali, il grafico della funzione non interseca l'asse Ox.

7. Trova le coordinate del punto di intersezione del grafico con l'asse Oy.
Per fare ciò, sostituiamo il valore x=0 nell'equazione e calcoliamo il valore di y. Segniamo questo e un punto ad esso simmetrico sul grafico.

8. Trova le coordinate di un punto arbitrario A(x,y)
Per fare ciò, scegli un valore arbitrario per la coordinata x e sostituiscilo nella nostra equazione. A questo punto otteniamo il valore di y. Traccia il punto sul grafico. E segna anche un punto sul grafico che sia simmetrico al punto A(x,y).

9. Collega i punti risultanti sul grafico con una linea morbida e continua il grafico oltre i punti estremi, fino alla fine dell'asse delle coordinate. Etichetta il grafico sulla linea guida o, se lo spazio lo consente, lungo il grafico stesso.

Esempio di plottaggio

Ad esempio, tracciamo una funzione quadratica data dall'equazione y=x^2+4*x-1
1. Disegna gli assi delle coordinate, etichettali e contrassegna un segmento unitario.
2. Valori dei coefficienti a=1, b=4, c= -1. Poiché a=1, che è maggiore di zero, i rami della parabola sono diretti verso l'alto.
3. Determina la coordinata X del vertice della parabola Xvertices = -b/2*a = -4/2*1 = -2.
4. Determina la coordinata Y del vertice della parabola
Vertici = a*(x^2)+b*x+c = 1*((-2)^2) + 4*(-2) - 1 = -5.
5. Segna il vertice e disegna l'asse di simmetria.
6. Trova i punti di intersezione del grafico della funzione quadratica con l'asse Ox. Risolviamo l'equazione quadratica x^2+4*x-1=0.
x1=-2-√3 x2 = -2+√3. Contrassegniamo i valori ottenuti sul grafico.
7. Trova i punti di intersezione del grafico con l'asse Oy.
x=0; y=-1
8. Scegli un punto arbitrario B. Lascia che abbia coordinata x=1.
Allora y=(1)^2 + 4*(1)-1= 4.
9. Collega i punti ottenuti e firma il grafico.

Probabilmente tutti sanno cos'è una parabola. Ma di seguito vedremo come utilizzarlo correttamente e con competenza per risolvere vari problemi pratici.

Innanzitutto, delineamo i concetti di base che l'algebra e la geometria danno a questo termine. Consideriamo tutti i possibili tipi di questo grafico.

Scopriamo tutte le caratteristiche principali di questa funzione. Comprendiamo le basi della costruzione della curva (geometria). Impariamo come trovare il massimo e altri valori base di un grafico di questo tipo.

Scopriamo: come costruire correttamente la curva desiderata utilizzando l'equazione, a cosa devi prestare attenzione. Vediamo le basi uso pratico questo valore unico nella vita umana.

Cos'è una parabola e che aspetto ha?

Algebra: questo termine si riferisce al grafico di una funzione quadratica.

Geometria: è una curva del secondo ordine che presenta una serie di caratteristiche specifiche:

Equazione della parabola canonica

La figura mostra un sistema di coordinate rettangolari (XOY), un estremo, la direzione dei rami della funzione che disegna lungo l'asse delle ascisse.

L’equazione canonica è:

y2 = 2*p*x,

dove il coefficiente p è il parametro focale della parabola (AF).

In algebra si scriverà diversamente:

y = a x 2 + b x + c (schema riconoscibile: y = x 2).

Proprietà e grafico di una funzione quadratica

La funzione ha un asse di simmetria e un centro (estremo). Il dominio di definizione sono tutti i valori dell'asse delle ascisse.

L'intervallo di valori della funzione – (-∞, M) o (M, +∞) dipende dalla direzione dei rami della curva. Il parametro M qui indica il valore della funzione nella parte superiore della riga.

Come determinare dove sono diretti i rami di una parabola

Per trovare la direzione di una curva di questo tipo da un'espressione, è necessario determinare il segno prima del primo parametro dell'espressione algebrica. Se a ˃ 0, allora sono diretti verso l'alto. Se è il contrario, giù.

Come trovare il vertice di una parabola utilizzando la formula

Trovare l'estremo è il passo principale per risolvere molti problemi pratici. Certo, puoi aprire speciali calcolatori on-line, ma è meglio poterlo fare da soli.

Come determinarlo? C'è una formula speciale. Quando b non è uguale a 0, dobbiamo cercare le coordinate di questo punto.

Formule per trovare il vertice:

• x0 = -b/(2*a);
• y0 = y(x0).

Esempio.

Esiste una funzione y = 4 * x 2 + 16 * x – 25. Troviamo i vertici di questa funzione.

Per una riga come questa:

• x = -16 / (2 * 4) = -2;
• y = 4 * 4 - 16 * 2 - 25 = 16 - 32 - 25 = -41.

Otteniamo le coordinate del vertice (-2, -41).

Spostamento della parabola

Il caso classico è quando in una funzione quadratica y = a x 2 + b x + c, il secondo e il terzo parametro sono uguali a 0 e = 1 - il vertice è nel punto (0; 0).

Il movimento lungo l'asse delle ascisse o delle ordinate è dovuto rispettivamente alle modifiche dei parametri b e c. La linea sul piano verrà spostata esattamente del numero di unità pari al valore del parametro.

Esempio.

Abbiamo: b = 2, c = 3.

Ciò significa che la forma della curva classica si sposterà di 2 segmento unitario lungo l'asse delle ascisse e 3 lungo l'asse delle ordinate.

Come costruire una parabola utilizzando un'equazione quadratica

È importante che gli scolari imparino come disegnare correttamente una parabola utilizzando determinati parametri.

Analizzando espressioni ed equazioni, puoi vedere quanto segue:

1. Il punto di intersezione della linea desiderata con il vettore delle ordinate avrà un valore pari a c.
2. Tutti i punti del grafico (lungo l'asse x) saranno simmetrici rispetto all'estremo principale della funzione.

Inoltre i punti di intersezione con OX si possono trovare conoscendo il discriminante (D) di tale funzione:

D = (b 2 - 4 * a * c).

Per fare ciò, è necessario equiparare l'espressione a zero.

La presenza di radici di una parabola dipende dal risultato:

• D ˃ 0, quindi x 1, 2 = (-b ± D 0,5) / (2 * a);
• D = 0, quindi x 1, 2 = -b / (2 * a);
• D ˂ 0, allora non ci sono punti di intersezione con il vettore OX.

Otteniamo l'algoritmo per costruire una parabola:

• determinare la direzione dei rami;
• trovare le coordinate del vertice;
• trovare l'intersezione con l'asse delle ordinate;
• trova l'intersezione con l'asse x.

Esempio 1.

Data la funzione y = x 2 - 5 * x + 4. È necessario costruire una parabola. Seguiamo l'algoritmo:

1. a = 1, quindi i rami sono diretti verso l'alto;
2. coordinate dell'estremo: x = - (-5) / 2 = 5/2; y = (5/2) 2 - 5 * (5/2) + 4 = -15/4;
3. interseca con l'asse delle ordinate nel valore y = 4;
4. troviamo il discriminante: D = 25 - 16 = 9;
5. alla ricerca delle radici:

• X1 = (5 + 3) / 2 = 4; (4, 0);
• X2 = (5 - 3) / 2 = 1; (10).

Esempio 2.

Per la funzione y = 3 * x 2 - 2 * x - 1 devi costruire una parabola. Agiamo secondo l'algoritmo dato:

1. a = 3, quindi i rami sono diretti verso l'alto;
2. coordinate dell'estremo: x = - (-2) / 2 * 3 = 1/3; y = 3 * (1/3) 2 - 2 * (1/3) - 1 = -4/3;
3. si intersecherà con l'asse y al valore y = -1;
4. troviamo il discriminante: D = 4 + 12 = 16. Quindi le radici sono:

• X1 = (2 + 4) / 6 = 1; (1;0);
• X2 = (2 - 4) / 6 = -1/3; (-1/3; 0).

Utilizzando i punti ottenuti, puoi costruire una parabola.

Direttrice, eccentricità, fuoco di una parabola

In base all'equazione canonica, il fuoco di F ha coordinate (p/2, 0).

La retta AB è una direttrice (una specie di corda di una parabola di una certa lunghezza). La sua equazione: x = -p/2.

Eccentricità (costante) = 1.

Conclusione

Abbiamo esaminato un argomento che gli studenti studiano alle scuole superiori. Ora sai, guardando la funzione quadratica di una parabola, come trovare il suo vertice, in quale direzione saranno diretti i rami, se c'è uno spostamento lungo gli assi e, avendo un algoritmo di costruzione, puoi disegnarne il grafico.

Note importanti!
1. Se vedi gobbledygook invece delle formule, svuota la cache. Come farlo nel tuo browser è scritto qui:
2. Prima di iniziare a leggere l'articolo, presta attenzione al nostro navigatore per le risorse più utili per

Per capire cosa verrà scritto qui, devi sapere bene cos'è una funzione quadratica e con cosa viene utilizzata. Se ti consideri un professionista quando si tratta di funzioni quadratiche, benvenuto. Ma in caso contrario dovresti leggere il thread.

Cominciamo con uno piccolo controlli:

1. Che aspetto ha una funzione quadratica in forma generale (formula)?
2. Come si chiama il grafico di una funzione quadratica?
3. In che modo il coefficiente principale influenza il grafico di una funzione quadratica?

Se sei riuscito a rispondere subito a queste domande, continua a leggere. Se almeno una domanda ha causato difficoltà, vai a.

Quindi sai già come gestire una funzione quadratica, analizzarne il grafico e costruire un grafico per punti.

Bene, eccolo qui: .

Ricordiamo brevemente cosa fanno probabilità.

1. Il coefficiente principale è responsabile della “ripidezza” della parabola, o, in altre parole, della sua larghezza: maggiore è la parabola più stretta (più ripida), mentre più piccola è la parabola più larga (piatta).
2. Il termine libero è la coordinata dell'intersezione della parabola con l'asse delle ordinate.
3. E il coefficiente è in qualche modo responsabile dello spostamento della parabola dal centro delle coordinate. Parliamo di questo in modo più dettagliato ora.

Da dove iniziamo sempre a costruire una parabola? Qual è il suo punto distintivo?

Questo vertice. Ti ricordi come trovare le coordinate del vertice?

La ricerca dell'ascissa avviene mediante la seguente formula:

In questo modo: di Di più, quelli A sinistra si muove il vertice della parabola.

L'ordinata del vertice si trova sostituendo nella funzione:

Sostituiscilo tu stesso e fai i conti. Quello che è successo?

Se fai tutto correttamente e semplifichi il più possibile l'espressione risultante, otterrai:

Si scopre che ancora di più modulo, quelli più alto Volere vertice parabole.

Passiamo finalmente a tracciare il grafico.
Il modo più semplice è costruire una parabola partendo dall'alto.

Esempio:

Costruisci un grafico della funzione.

Soluzione:

Per prima cosa determiniamo i coefficienti: .

Ora calcoliamo le coordinate del vertice:

Ora ricorda: tutte le parabole con lo stesso coefficiente principale sembrano uguali. Ciò significa che se costruiamo una parabola e ne spostiamo il vertice in un punto, otterremo il grafico che ci occorre:

Semplice, vero?

Rimane solo una domanda: come disegnare rapidamente una parabola? Anche se disegniamo una parabola con il vertice nell'origine, dobbiamo comunque costruirla punto per punto, e questo è lungo e scomodo. Ma tutte le parabole sembrano uguali, forse c'è un modo per velocizzare il loro disegno?

Quando ero a scuola, il mio insegnante di matematica disse a tutti di ritagliare dal cartone uno stencil a forma di parabola in modo che potessero disegnarlo velocemente. Ma non potrai andare in giro con uno stencil ovunque e non ti sarà permesso di portarlo all'esame. Ciò significa che non utilizzeremo oggetti estranei, ma cercheremo uno schema.

Consideriamo la parabola più semplice. Costruiamolo punto per punto:

Questo è lo schema qui. Se dal vertice ci spostiamo a destra (lungo l'asse) di e verso l'alto (lungo l'asse) di, arriveremo al punto della parabola. Inoltre: se da questo punto ci spostiamo a destra e in alto, arriveremo nuovamente al punto della parabola. Avanti: avanti e avanti. Qual è il prossimo? Avanti e avanti. E così via: spostane uno a destra e il successivo numero dispari in alto. Quindi facciamo lo stesso con il ramo sinistro (dopo tutto, la parabola è simmetrica, cioè i suoi rami sembrano uguali):

Ottimo, questo ti aiuterà a costruire qualsiasi parabola a partire da un vertice con un coefficiente iniziale uguale a. Ad esempio, abbiamo imparato che il vertice di una parabola è in un punto. Costruisci (tu stesso, su carta) questa parabola.

Costruito?

Dovrebbe sembrare come questo:

Ora colleghiamo i punti risultanti:

È tutto.

OK, bene, ora possiamo costruire solo parabole con?

Ovviamente no. Ora scopriamo cosa fare con loro, se.

Diamo un'occhiata ad alcuni casi tipici.

Ottimo, hai imparato a disegnare una parabola, ora facciamo pratica utilizzando le funzioni reali.

Quindi, disegna i grafici di queste funzioni:

Risposte:

3. In alto: .

Ti ricordi cosa fare se il coefficiente senior è inferiore?

Guardiamo il denominatore della frazione: è uguale. Quindi ci muoveremo in questo modo:

• proprio sopra
• proprio sopra
• proprio sopra

e anche a sinistra:

4. In alto: .

Oh, cosa possiamo fare al riguardo? Come misurare le celle se il vertice si trova da qualche parte tra le linee?...

E imbrogliamo. Disegniamo prima una parabola e solo dopo spostiamo il suo vertice in un punto. No, facciamo qualcosa di ancora più astuto: disegniamo una parabola, e poi spostare gli assi:- SU giù, a - su Giusto:

Questa tecnica è molto comoda nel caso di qualsiasi parabola, ricordatelo.

Ti ricordo che possiamo rappresentare la funzione in questa forma:

Per esempio: .

Cosa ci dà questo?

Il fatto è che il numero sottratto tra parentesi () è l'ascissa del vertice della parabola, e il termine fuori parentesi () è l'ordinata del vertice.

Ciò significa che, avendo costruito una parabola, avrai semplicemente bisogno spostare l'asse a sinistra e l'asse verso il basso.

Esempio: costruiamo il grafico di una funzione.

Selezioniamo un quadrato completo:

Che numero detratto tra parentesi? Questo (e non come puoi decidere senza pensare).

Quindi, costruiamo una parabola:

Ora spostiamo l'asse verso il basso, cioè verso l'alto:

E ora - a sinistra, cioè a destra:

È tutto. È come spostare una parabola con il suo vertice dall'origine a un punto, solo che l'asse rettilineo è molto più facile da spostare rispetto a una parabola curva.

Ora, come al solito, io stesso:

E non dimenticare di cancellare i vecchi assi con una gomma!

sono come risposte Per verificare ti scrivo le ordinate dei vertici di queste parabole:

È andato tutto bene?

Se sì, allora sei fantastico! Saper maneggiare una parabola è molto importante e utile, e qui abbiamo scoperto che non è affatto difficile.

COSTRUZIONE DI UN GRAFICO DI UNA FUNZIONE QUADRATICA. BREVEMENTE SULLE COSE PRINCIPALI

Funzione quadratica- una funzione della forma, dove e sono numeri (coefficienti), - un termine libero.

Il grafico di una funzione quadratica è una parabola.

Vertice della parabola:
, cioè. Quanto più grande è \displaystyle b , tanto più a sinistra si sposta il vertice della parabola.
Lo sostituiamo nella funzione e otteniamo:
, cioè. il \displaystyle b è maggiore in valore assoluto, più alto sarà il vertice della parabola

Il termine libero è la coordinata dell'intersezione della parabola con l'asse delle ordinate.

Bene, l'argomento è finito. Se stai leggendo queste righe significa che sei molto figo.

Perché solo il 5% delle persone è in grado di padroneggiare qualcosa da solo. E se leggi fino alla fine, allora sei in questo 5%!

Ora la cosa più importante.

Hai capito la teoria su questo argomento. E, ripeto, questo... è semplicemente fantastico! Sei già migliore della stragrande maggioranza dei tuoi coetanei.

Il problema è che questo potrebbe non bastare...

Per quello?

Per aver superato con successo l'Esame di Stato Unificato, per entrare all'università con un budget limitato e, SOPRATTUTTO, per la vita.

Non ti convincerò di nulla, dirò solo una cosa...

Persone che hanno ricevuto una buona educazione, guadagna molto di più di chi non lo ha ricevuto. Questa è statistica.

Ma questa non è la cosa principale.

La cosa principale è che sono PIÙ FELICI (esistono studi del genere). Forse perché davanti a loro si aprono molte più opportunità e la vita diventa più luminosa? Non lo so...

Ma pensa tu stesso...

Cosa serve per essere sicuri di essere migliori degli altri all'Esame di Stato Unificato e, in definitiva, essere... più felici?

PRENDI LA TUA MANO RISOLVENDO PROBLEMI SU QUESTO ARGOMENTO.

Non ti verrà chiesta teoria durante l'esame.

Avrai bisogno risolvere problemi contro il tempo.

E, se non li hai risolti (MOLTO!), sicuramente commetterai uno stupido errore da qualche parte o semplicemente non avrai tempo.

È come nello sport: devi ripeterlo molte volte per vincere con certezza.

Trovi la collezione dove vuoi, necessariamente con soluzioni, analisi dettagliate e decidere, decidere, decidere!

Puoi utilizzare le nostre attività (facoltative) e noi, ovviamente, le consigliamo.

Per migliorare nell'utilizzo delle nostre attività, devi contribuire a prolungare la vita del libro di testo YouClever che stai attualmente leggendo.

Come? Ci sono due opzioni:

1. Sblocca tutte le attività nascoste in questo articolo -
2. Sblocca l'accesso a tutte le attività nascoste in tutti i 99 articoli del libro di testo - Acquista un libro di testo - 499 RUR

Sì, abbiamo 99 articoli di questo tipo nel nostro libro di testo e l'accesso a tutte le attività e a tutti i testi nascosti in essi contenuti può essere aperto immediatamente.

L'accesso a tutte le attività nascoste è fornito per TUTTA la vita del sito.

Insomma...

Se non ti piacciono i nostri compiti, trovane altri. Basta non fermarsi alla teoria.

“Capire” e “posso risolvere” sono abilità completamente diverse. Hai bisogno di entrambi.

Trova i problemi e risolvili!

Molti problemi richiedono il calcolo del valore massimo o minimo di una funzione quadratica. Il massimo o il minimo si possono trovare se la funzione originaria è scritta in forma standard: oppure tramite le coordinate del vertice della parabola: f (x) = un (x - h) 2 + k (\displaystyle f(x)=a(x-h)^(2)+k). Inoltre, è possibile calcolare il massimo o il minimo di qualsiasi funzione quadratica utilizzando operazioni matematiche.

Passi

La funzione quadratica è scritta in forma standard

Scrivi la funzione in forma standard. Una funzione quadratica è una funzione la cui equazione coinvolge una variabile x2 (\displaystyle x^(2)). L'equazione può includere o meno una variabile x (\displaystyle x). Se un'equazione include una variabile con esponente maggiore di 2, non descrive una funzione quadratica. Se necessario, fornire termini simili e riorganizzarli per scrivere la funzione in forma standard.

• Ad esempio, data la funzione f (x) = 3 x + 2 x − x 2 + 3 x 2 + 4 (\displaystyle f(x)=3x+2x-x^(2)+3x^(2)+4). Aggiungi termini con variabile x2 (\displaystyle x^(2)) e membri con variabile x (\displaystyle x) per scrivere l'equazione in forma standard:
  • f (x) = 2 x 2 + 5 x + 4 (\displaystyle f(x)=2x^(2)+5x+4)

1. Il grafico di una funzione quadratica è una parabola. I rami della parabola sono diretti verso l'alto o verso il basso. Se il coefficiente un (\displaystyle un) con variabile x2 (\displaystyle x^(2)) un (\displaystyle un)

   • f (x) = 2 x 2 + 4 x − 6 (\displaystyle f(x)=2x^(2)+4x-6). Qui un = 2 (\displaystyle un=2)
   • f (x) = − 3 x 2 + 2 x + 8 (\displaystyle f(x)=-3x^(2)+2x+8). Qui quindi la parabola è diretta verso il basso.
   • f (x) = x 2 + 6 (\displaystyle f(x)=x^(2)+6). Qui un = 1 (\displaystyle un=1), quindi la parabola è diretta verso l'alto.
   • Se la parabola è diretta verso l'alto, devi cercare il suo minimo. Se la parabola è rivolta verso il basso, cerca il suo massimo.

2. Calcola -b/2a. Senso − b 2 a (\displaystyle -(\frac (b)(2a)))è la coordinata x (\displaystyle x) vertici della parabola. Se una funzione quadratica è scritta in forma standard a x 2 + b x + c (\displaystyle ax^(2)+bx+c), utilizzare i coefficienti per x (\displaystyle x) E x2 (\displaystyle x^(2)) nel seguente modo:

   • Nei coefficienti della funzione un = 1 (\displaystyle un=1) E b = 10 (\displaystyle b=10)
     • x = − 10 (2) (1) (\displaystyle x=-(\frac (10)((2)(1))))
     • x = − 10 2 (\displaystyle x=-(\frac (10)(2)))
   • Come secondo esempio, consideriamo la funzione. Qui a = − 3 (\displaystyle a=-3) E b = 6 (\displaystyle b=6). Calcolare quindi la coordinata “x” del vertice della parabola come segue:
     • x = - b 2 un (\displaystyle x=-(\frac (b)(2a)))
     • x = - 6 (2) (- 3) (\displaystyle x=-(\frac (6)((2)(-3))))
     • x = - 6 - 6 (\displaystyle x=-(\frac (6)(-6)))
     • x = − (− 1) (\displaystyle x=-(-1))
     • x = 1 (\displaystyle x=1)

3. Trovare il valore corrispondente di f(x). Inserisci il valore trovato di “x” nella funzione originale per trovare il valore corrispondente di f(x). In questo modo troverai il minimo o il massimo della funzione.

   • Nel primo esempio f (x) = x 2 + 10 x − 1 (\displaystyle f(x)=x^(2)+10x-1) hai calcolato che la coordinata x del vertice della parabola è x = -5 (\displaystyle x=-5). Nella funzione originale, invece di x (\displaystyle x) sostituire − 5 (\displaystyle -5)
     • f (x) = x 2 + 10 x − 1 (\displaystyle f(x)=x^(2)+10x-1)
     • f (x) = (− 5) 2 + 10 (− 5) − 1 (\displaystyle f(x)=(-5)^(2)+10(-5)-1)
     • f (x) = 25 − 50 − 1 (\displaystyle f(x)=25-50-1)
     • f(x) = − 26 (\displaystyle f(x)=-26)
   • Nel secondo esempio f (x) = − 3 x 2 + 6 x − 4 (\displaystyle f(x)=-3x^(2)+6x-4) hai scoperto che la coordinata x del vertice della parabola è x = 1 (\displaystyle x=1). Nella funzione originale, invece di x (\displaystyle x) sostituire 1 (\displaystyle 1) per trovarla valore massimo:
     • f (x) = − 3 x 2 + 6 x − 4 (\displaystyle f(x)=-3x^(2)+6x-4)
     • f (x) = − 3 (1) 2 + 6 (1) − 4 (\displaystyle f(x)=-3(1)^(2)+6(1)-4)
     • f (x) = − 3 + 6 − 4 (\displaystyle f(x)=-3+6-4)
     • f(x) = − 1 (\displaystyle f(x)=-1)

4. Scrivi la tua risposta. Rileggi la dichiarazione del problema. Se devi trovare le coordinate del vertice di una parabola, scrivi entrambi i valori nella tua risposta x (\displaystyle x) E y (\displaystyle y)(O f(x) (\displaystyle f(x))). Se devi calcolare il massimo o il minimo di una funzione, scrivi solo il valore nella risposta y (\displaystyle y)(O f(x) (\displaystyle f(x))). Osserva nuovamente il segno del coefficiente un (\displaystyle un) per verificare se hai calcolato il massimo o il minimo.

   • Nel primo esempio f (x) = x 2 + 10 x − 1 (\displaystyle f(x)=x^(2)+10x-1) Senso un (\displaystyle un) positivo, quindi hai calcolato il minimo. Il vertice della parabola si trova nel punto con le coordinate (-5, -26) (\displaystyle (-5,-26)) e il valore minimo della funzione è − 26 (\displaystyle -26).
   • Nel secondo esempio f (x) = − 3 x 2 + 6 x − 4 (\displaystyle f(x)=-3x^(2)+6x-4) Senso un (\displaystyle un) negativo, quindi hai trovato il massimo. Il vertice della parabola si trova nel punto con le coordinate (1 , − 1) (\displaystyle (1,-1)), e il valore massimo della funzione è − 1 (\displaystyle -1).

5. Determina la direzione della parabola. Per fare ciò, guarda il segno del coefficiente un (\displaystyle un). Se il coefficiente un (\displaystyle un) positivo, la parabola è diretta verso l'alto. Se il coefficiente un (\displaystyle un) negativo, la parabola è diretta verso il basso. Per esempio:

   • . Qui un = 2 (\displaystyle un=2), cioè il coefficiente è positivo, quindi la parabola è diretta verso l'alto.
   • . Qui a = − 3 (\displaystyle a=-3), cioè il coefficiente è negativo, quindi la parabola è diretta verso il basso.
   • Se la parabola è diretta verso l'alto, è necessario calcolare il valore minimo della funzione. Se la parabola è diretta verso il basso, devi trovare il valore massimo della funzione.

6. Trova il valore minimo o massimo della funzione. Se la funzione si scrive attraverso le coordinate del vertice della parabola, il minimo o il massimo è uguale al valore del coefficiente k (\displaystyle k). Negli esempi sopra:

   • f (x) = 2 (x + 1) 2 − 4 (\displaystyle f(x)=2(x+1)^(2)-4). Qui k = − 4 (\displaystyle k=-4). Questo è il valore minimo della funzione perché la parabola è diretta verso l'alto.
   • f (x) = - 3 (x - 2) 2 + 2 (\displaystyle f(x)=-3(x-2)^(2)+2). Qui k = 2 (\displaystyle k=2). Questo è il valore massimo della funzione perché la parabola è diretta verso il basso.

7. Trova le coordinate del vertice della parabola. Se il problema richiede di trovare il vertice di una parabola, le sue coordinate sono (h , k) (\displaystyle (h,k)). Si tenga presente che quando si scrive una funzione quadratica attraverso le coordinate del vertice di una parabola, l'operazione di sottrazione deve essere racchiusa tra parentesi (x - h) (\displaystyle (xh)), quindi il valore h (\displaystyle h) si prende con il segno opposto.

   • f (x) = 2 (x + 1) 2 − 4 (\displaystyle f(x)=2(x+1)^(2)-4). Qui l'operazione di addizione (x+1) è racchiusa tra parentesi, che può essere riscritta come segue: (x-(-1)). Così, h = − 1 (\displaystyle h=-1). Pertanto le coordinate del vertice della parabola di questa funzione sono uguali (- 1 , - 4) (\displaystyle (-1,-4)).
   • f (x) = - 3 (x - 2) 2 + 2 (\displaystyle f(x)=-3(x-2)^(2)+2). Qui tra parentesi c'è l'espressione (x-2). Quindi, h = 2 (\displaystyle h=2). Le coordinate del vertice sono (2,2).

Come calcolare il minimo o il massimo utilizzando le operazioni matematiche

1. Innanzitutto, diamo un'occhiata alla forma standard dell'equazione. Scrivi la funzione quadratica in forma standard: f (x) = a x 2 + b x + c (\displaystyle f(x)=ax^(2)+bx+c). Se necessario, aggiungi termini simili e riorganizzali per ottenere l'equazione standard.

   • Per esempio: .

2. Trova la derivata prima. La derivata prima di una funzione quadratica, scritta in forma standard, è uguale a f′ (x) = 2 a x + b (\displaystyle f^(\prime )(x)=2ax+b).

   • f (x) = 2 x 2 − 4 x + 1 (\displaystyle f(x)=2x^(2)-4x+1). La derivata prima di questa funzione si calcola come segue:
     • f′ (x) = 4 x − 4 (\displaystyle f^(\prime )(x)=4x-4)

3. Uguagliare la derivata a zero. Ricordiamo che la derivata di una funzione è uguale alla pendenza della funzione in un certo punto. Al minimo o al massimo la pendenza è zero. Pertanto, per trovare il valore minimo o massimo di una funzione, la derivata deve essere impostata su zero. Nel nostro esempio.