Tra la varietà di forme geometriche, spicca notevolmente un quadrilatero come un rombo. Anche il suo nome stesso non è tipico per la designazione dei quadrangoli. E sebbene in geometria si trovi molto meno frequentemente di figure semplici come il cerchio, il triangolo, il quadrato o il rettangolo, non può essere ignorato.

Di seguito sono riportate la definizione, le proprietà e le caratteristiche dei rombi.

Definizione

Un rombo è un parallelogramma con lati uguali. Un rombo si dice quadrato se tutti i suoi angoli sono retti. L'esempio più eclatante di un rombo è l'immagine del seme di quadri giocando a carte. Inoltre, il rombo veniva spesso raffigurato su vari stemmi. Un esempio di rombo in Vita di ogni giorno potrebbe servire come campo da basket.

Proprietà

1. I lati opposti di un rombo giacciono su rette parallele e hanno la stessa lunghezza.
2. L'intersezione delle diagonali di un rombo avviene con un angolo di 90° in un punto, che è il loro punto medio.
3. Le diagonali di un rombo dividono in due l'angolo da cui hanno origine.
4. Sulla base delle proprietà di un parallelogramma, possiamo ricavare la somma dei quadrati delle diagonali. Secondo la formula è uguale al lato elevato a una potenza quadratica e moltiplicato per quattro.

Segni

Dobbiamo capire chiaramente che ogni rombo è un parallelogramma, ma allo stesso tempo non tutti i parallelogrammi hanno tutti gli indicatori di un rombo. Per distinguere queste due forme geometriche è necessario conoscere le caratteristiche di un rombo. Di seguito sono elencati caratteristiche peculiari dato figura geometrica:

1. Due lati qualsiasi con un vertice in comune sono uguali.
2. Le diagonali si intersecano con un angolo di 90°C.
3. Almeno una diagonale divide a metà gli angoli dai cui vertici emerge.

Formule di area

Formula di base:

• S = (AC*BD)/2

In base alle proprietà del parallelogramma:

• S = (AB*H AB)

In base alla dimensione dell'angolo tra due lati adiacenti del rombo:

• S = AB2*senα

Se conosciamo la lunghezza del raggio di un cerchio inscritto in un rombo:

• S = 4r 2 /(senα), dove:
  • S - zona;
  • AB, AC, BD - designazione dei lati;
  • H - altezza;
  • r - raggio del cerchio;
  • sinα - seno alfa.

Perimetro

Per calcolare il perimetro di un rombo basta moltiplicare per quattro la lunghezza di uno qualsiasi dei suoi lati.

Costruzione del disegno

Alcune persone hanno difficoltà a costruire un motivo a rombi. Anche se hai già capito cos'è un rombo, non è sempre chiaro come costruire il suo disegno in modo accurato e nel rispetto delle proporzioni necessarie.

Esistono due modi per costruire un motivo a rombi:

1. Costruisci prima una diagonale, poi una seconda diagonale perpendicolare ad essa, quindi collega le estremità dei segmenti adiacenti a coppie lati paralleli rombo
2. Metti prima da parte un lato del rombo, quindi costruisci un segmento parallelo ad esso di uguale lunghezza e collega anche le estremità di questi segmenti a coppie in parallelo.

Fai attenzione durante la costruzione: se nel disegno rendi uguale la lunghezza di tutti i lati del rombo, non otterrai un rombo, ma un quadrato.

Obiettivi della lezione

Continua a presentare agli studenti una figura geometrica come un rombo;
Consolidare la conoscenza di concetti come rombo e quadrato e anche imparare a determinarne la differenza;
Rinfrescare le conoscenze degli studenti sulle proprietà e caratteristiche di un rombo;
Continuare a migliorare la conoscenza delle forme geometriche da parte degli studenti attraverso la risoluzione dei problemi.
Suscitare interesse per le lezioni di geometria.

Obiettivi della lezione

Ripetere, generalizzare e consolidare le conoscenze acquisite su una figura geometrica come un rombo;
Continuare a sviluppare abilità nella costruzione di figure geometriche;
Migliorare le capacità di costruzione dei rombi utilizzando gli strumenti di disegno;
Continuare a consolidare le conoscenze degli studenti utilizzando compiti pratici;
Continuare a sviluppare attenzione, perseveranza e desiderio per il processo cognitivo.

Piano di lezione

1. Divulgazione dell'argomento principale della lezione, definizione della figura geometrica “Rombo”.
2. Familiarizzazione con le proprietà e le caratteristiche di un rombo.
3. Teoremi e loro dimostrazione.
4. Come disegnare un rombo. Modi per rappresentare un rombo.
5. Come trovare l'area di un rombo?
6. Ripetizione del materiale trattato.
7. Fatti interessanti.
8. Compiti a casa.

Definizione di rombo come figura geometrica

Un rombo è un parallelogramma in cui tutti i lati sono uguali. Se un rombo ha gli angoli retti si chiama quadrato.

Il termine stesso "rombo" è tradotto da lingua greca, significa "tamburello". Naturalmente, a nostro avviso, il tamburello, come strumento musicale, ha una forma rotonda. Ma ora i tamburelli sono rotondi, ma nell'antichità avevano una forma quadrata o romboidale.

Diamo un'occhiata alle definizioni di base di un rombo e proviamo a capire cos'è questa figura geometrica.

Un rombo è un parallelogramma equilatero che ha i lati uguali ma gli angoli disuguali.

A differenza del quadrato, il rombo è un angolo equilatero obliquo.

Come sempre, riceviamo molte definizioni di questa o quella figura geometrica, ma ciò non significa che ogni studente dovrebbe sedersi e “memorizzare” proprio queste definizioni. La differenza nelle definizioni è quanto ampiamente descrivono la nostra figura geometrica. La cosa più importante è capire di cosa parla la definizione e la capacità di immaginare la figura. Se rispetti queste due regole, tu stesso sarai in grado di scrivere o aggiungere un paio di definizioni.

Proprietà del rombo

2. La sua seconda proprietà è che tutte le diagonali di un rombo si intersecano ad angolo retto. Nel punto di intersezione le diagonali del rombo sono divise a metà.

3. Le bisettrici degli angoli di un rombo sono le sue diagonali.

4. Per trovare la somma dei quadrati delle diagonali di un rombo, devi moltiplicare il quadrato del suo lato per quattro.

5. I lati opposti di un rombo sono uguali;

6. La somma degli angoli di un rombo adiacenti ad un lato è 180 gradi.

Segni di un diamante

Un parallelogramma è un rombo se soddisfa le seguenti condizioni:

1. Innanzitutto, tutti i suoi lati sono uguali tra loro;
2. In secondo luogo, le diagonali di un rombo si intersecano ad angolo retto.
3. In terzo luogo, se le diagonali dei suoi angoli sono bisettrici.
4. In quarto luogo, se i suoi due lati adiacenti sono uguali tra loro.
5. In quinto luogo, se almeno una delle diagonali è bisettrice di un parallelogramma.

Teoremi e loro dimostrazione

Ora diamo uno sguardo più da vicino alle proprietà e alle caratteristiche di un rombo, dimostrando i teoremi:

Teorema 1

Teorema 2

Ne consegue che:

1. Un rombo ha due assi di simmetria: le diagonali AC e BD.
2. Le sue diagonali sono reciprocamente perpendicolari.
3. E lo sono anche le bisettrici dei suoi angoli.

Area di un rombo

L'area di un rombo è pari alla metà del prodotto delle sue diagonali. Ma poiché il rombo è essenzialmente un parallelogramma, la sua area può essere trovata moltiplicando i suoi lati per la sua altezza.

Formule per l'area di un rombo:

Dove: a – è il lato del rombo
D – è indicata la sua grande diagonale
d – designata diagonale più piccola
α è un angolo acuto
β – è un angolo ottuso

L'area di qualsiasi figura geometrica è la parte della superficie limitata dal contorno chiuso di questa figura. E l'area di un rombo è espressa dal numero di unità quadrate che contiene.

Come disegnare un rombo

Per disegnare un rombo utilizzeremo le proprietà delle diagonali di un rombo. Sappiamo già che le diagonali della nostra figura geometrica sono mutuamente perpendicolari e divise in due nel punto di intersezione. Pertanto, il modo più semplice per iniziare a costruire un rombo è costruire le sue diagonali.

Primo modo

E quindi, prima di tutto, selezioniamo un punto dal quale disponiamo segmenti della stessa lunghezza a sinistra e a destra e segmenti identici di diversa lunghezza su e giù.

Ora non dobbiamo fare altro che collegare le estremità di questi segmenti e come risultato otterremo un rombo.

Secondo modo

È possibile disegnare un rombo anche senza utilizzare le diagonali. In questo caso, devi solo determinare le estremità delle diagonali e quindi collegare i punti con i segmenti.

Terza via

E infine, il terzo metodo, disegnare un rombo, può essere eseguito utilizzando un righello. Poiché tu ed io sappiamo che un rombo ha i lati uguali, dobbiamo prima disegnarne la parte inferiore. Quindi è necessario mettere da parte un segmento uguale da esso. E poiché il terzo lato è parallelo al primo, collegando le estremità del primo e del terzo segmento, otteniamo un rombo.

Ripetizione

Hai già conosciuto una figura geometrica come un rombo e capisci che il quadrato è il suo caso speciale.

1. Ricordiamo quindi la definizione: cos'è un quadrato? Dai la tua definizione di quadrato.
2. Quali proprietà ha un quadrato? Nominali.
3. Qual è la differenza tra un rombo e un quadrato, se il quadrato è il suo caso speciale?
4. Quale figura si chiama quadrilatero e a questa figura geometrica appartiene un rombo?
5. Quali tipi di quadrilateri hai già studiato? Nominali.
6. Quali differenze esistono tra loro?

È interessante saperlo

Sapevi che se prendiamo un rettangolo e colleghiamo i punti medi dei suoi lati con dei segmenti, otterremo un rombo.

Ma se, al contrario, prendiamo un rombo e proviamo a collegare i suoi punti medi con segmenti, otterremo una figura geometrica come un rettangolo.

Se prendi un parallelogramma con uguali altezze, allora tale parallelogramma è un rombo.

Sapevi che il nome del seme della carta dei tamburelli, che ha una forma rombica, è apparso ai tempi in cui il tamburello era tutt'altro che rotondo, ma a forma di rombo o quadrato.

Per la prima volta la parola "rombo" fu usata nel suo vocabolario da Gerron e dal papa di Alessandria.

Compiti a casa

1. Pensi che un rombo sia un parallelogramma che ha almeno un angolo retto?
2. È vero che ogni parallelogramma è un rombo?
3. Se le diagonali di un parallelogramma sono 5 cm e 7 cm, questo parallelogramma può essere un rombo?
4. Se le diagonali di un parallelogramma sono uguali, allora può essere un rombo?
5. Qual è la proprietà speciale di un rombo che hanno le sue diagonali, oltre al fatto che sono divise a metà dal punto di intersezione?
6. Pensa a dove viene utilizzata una figura geometrica come un rombo nella vita di tutti i giorni?

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Un rombo è un quadrilatero i cui lati sono uguali e paralleli a due a due. A differenza del quadrato, che ha gli angoli retti, il rombo ha due angoli acuti e due ottusi, giacenti su lati opposti. Ma le diagonali si intersecano ad angolo retto e sono allo stesso tempo bisettrici. Il punto di intersezione delle diagonali le divide in parti uguali.

Esistono molte formule per trovare le diagonali di un rombo basta conoscere i dati iniziali e scegliere quella appropriata;

Come trovare la diagonale di un rombo passante per un lato e un angolo: quando si conoscono i lati e uno degli angoli di un rombo si usano le seguenti formule: Per un lato e mezzo angolo:

Attraverso il lato e l'altra diagonale:

La somma dei quadrati delle diagonali è uguale al quadrato del lato moltiplicato per quattro D^2+d^2=4a^2. Da ciò possiamo concludere che:

Attraverso un angolo e un'altra diagonale:

Area passante e un'altra diagonale: la formula tradizionale per trovare l'area di un rombo è S=a*h. Ma rispetto alle diagonali sembrerà S=1/2*D*d. Dopo le trasformazioni otteniamo:

Attraverso il perimetro e un'altra diagonale. In questo caso, ricaveremo noi stessi la formula. Perché Un rombo ha i lati uguali; per trovarne uno dividiamo il perimetro per 4: a=P/4. Le diagonali sono perpendicolari tra loro e formano un angolo retto. Quindi uno dei lati e metà delle lunghezze delle diagonali formano un triangolo rettangolo. Successivamente utilizzeremo il teorema di Pitagora. Per una diagonale grande sarà: D=2*(a^2-(d/2)^2)^1/2. Allo stesso modo per trovare la diagonale piccola: d=2*(a^2-(D/2)^2)^1/2.

Trova la diagonale minore di un rombo se il perimetro è 20 cm, la diagonale maggiore è 8 cm.

Dato: Р=20cm, D=8 cm Troviamo la lunghezza di un lato del rombo dividendo il perimetro in quattro a=20/4=5 cm Usiamo la formula del punto n. 3 e otteniamo d=(. 4*5^2-8^2) ^1/2=6cm.

Nonostante l'apparente semplicità di una figura geometrica come un rombo, è piena di molti aspetti interessanti. Ad esso sono applicabili le proprietà di un parallelogramma, di una bisettrice, di un triangolo rettangolo e talvolta isoscele. Conoscendo le formule, puoi facilmente risolvere i problemi relativi alla ricerca delle diagonali di un rombo.

Definizione

Un rombo è un quadrilatero con tutti i lati uguali.

Commento

Un rombo è un caso speciale di parallelogramma, poiché i suoi lati opposti sono uguali a coppie (terzo segno).

Commento

Un rombo eredita tutte le proprietà di un parallelogramma.

Proprietà del rombo

Le diagonali di un rombo sono tra loro perpendicolari.

Le diagonali di un rombo sono le bisettrici dei suoi angoli.

Prova

Consideriamo un rombo $ABCD$ in cui le diagonali $AC$ e $BD$ si intersecano nel punto $O$.

Dimostriamo che sono perpendicolari e sono bisettrici degli angoli del rombo.

Infatti, poiché $ABCD$ – caso speciale parallelogramma, allora le diagonali sono divise a metà dal punto di intersezione, cioè $AO=OC, BO=OD$.

Allora, poiché $AB=BC=CD=DA$, allora $\triangle AOB=\triangle BOC=\triangle COD=\triangle AOD$ per il terzo criterio di uguaglianza.

Allora $\angle 1=\angle 2=90^\circ$, poiché questi sono angoli adiacenti.

Inoltre, $\angle 3=\angle 4=\angle 5=\angle 6$, $\angle 7=\angle 8=\angle 9=\angle 10$.

Pertanto le diagonali sono perpendicolari e sono bisettrici degli angoli del rombo.

Conseguenza

Le diagonali di un rombo lo dividono in quattro triangoli rettangoli uguali.

Segni di un diamante

Se le diagonali di un parallelogramma sono tra loro perpendicolari, allora questo parallelogramma è un rombo.

Se una delle diagonali di un parallelogramma è la bisettrice del suo angolo, allora questo parallelogramma è un rombo.

Se in un quadrilatero $ABCD$ la diagonale $AC$ è la bisettrice degli angoli $\angolo A$ e $\angolo C$, e la diagonale $BD$ è la bisettrice degli angoli $B$ e $D$, allora $ABCD$ è un rombo.

Prova

Dimostriamo il primo punto del teorema.

Consideriamo un parallelogramma $ABCD$ in cui $AC\perp BD$.

Dimostriamo che $ABCD$ è un rombo.

In un parallelogramma, le diagonali sono secate in due dal punto di intersezione, quindi $AO=OC, BO=OD$.

Inoltre, $\angle 1=\angle 2=90^\circ$.

Allora $\triangle AOB=\triangle AOD$ per il primo criterio di uguaglianza.

Quindi $AB=AD$.

E poiché $ABCD$ è un parallelogramma, allora $BC=AD=AB=CD$, cioè $ABCD$ è un rombo.

Dimostriamo il secondo punto del teorema.

Consideriamo il parallelogramma $ABCD$, in cui la diagonale $AC$ è la bisettrice dell'angolo $\angolo A$, cioè $\angolo 1=\angolo 2$.

Dimostriamo che $ABCD$ è un rombo.

$\angolo 2=\angolo 3$, giacente trasversalmente, quindi $\angolo 1=\angolo 3$.

Cioè, $\triangolo ABC$ è isoscele e $AB=BC$.

E poiché $ABCD$ è un parallelogramma, allora $AB=CD, BC=AD$, cioè $AB=BC=CD=AD$, e $ABCD$ è un rombo.

Dimostriamo il terzo punto del teorema

Si noti che $\triangle ABC=\triangle ADC$ secondo il secondo criterio ($\angle 1=\angle 2, \angle 3=\angle 4$, $AC$ – generale).

Allora $\angle B=\angle D$, e quindi le loro metà sono uguali: $\angle 5=\angle 6=\angle7=\angle 8$.

Ma allora i triangoli $\triangolo ABD$ e $\triangolo BCD$ sono isosceli: $AB=AD, BC=CD$.

Inoltre, $\triangle ABD=\triangle BCD$ secondo il secondo criterio ($BD$ – generale, $\angle 5=\angle6, \angle 7=\angle 8$).

Ciò significa $AB=BC$ e $AD=CD$.

Pertanto, tutti i lati del quadrilatero sono uguali tra loro: $AB=BC=CD=DA$.