Smieklīgs spēļu teorijas pielietojuma piemērs ir Entonija Pīrsa fantāzijas grāmatā “Drosmīgais Golems”.

Daudz teksta

"Es jums visiem nodemonstrēšu būtību," iesāka Grundija, "ir savākt vajadzīgo punktu skaitu." Rezultāti var būt ļoti dažādi – viss atkarīgs no spēles dalībnieku pieņemto lēmumu kombinācijas. Piemēram, pieņemsim, ka katrs dalībnieks liecina pret savu spēles biedru. Šajā gadījumā katram dalībniekam var tikt piešķirts viens punkts!
- Viens punkts! – teica Jūras ragana, izrādot negaidītu interesi par spēli. Acīmredzot burve vēlējās pārliecināties, ka golemam nav nekādu izredžu ar viņu iepriecināt dēmonu Ksantu.
– Tagad pieņemsim, ka katrs no spēles dalībniekiem neliecina pret savu draugu! – Grundija turpināja. – Šajā gadījumā katrai personai var piešķirt trīs punktus. Īpaši vēlos atzīmēt, ka, kamēr visi dalībnieki rīkojas vienādi, viņiem tiek piešķirts vienāds punktu skaits. Nevienam nav nekādu priekšrocību pār otru.
- Trīs punkti! - teica otrā ragana.
– Bet tagad mums ir tiesības ierosināt, ka viens no spēlētājiem sāka liecināt pret otro, bet otrs joprojām klusē! - teica Grundija. - Šajā gadījumā tas, kurš sniedz šo liecību, saņem uzreiz piecus punktus, un tas, kurš klusē, nesaņem nevienu punktu!
- Jā! – abas raganas vienā balsī iesaucās, plēsīgi laizīdams lūpas. Bija skaidrs, ka abi noteikti tiks pie pieciem punktiem.
– Es turpināju zaudēt brilles! – dēmons iesaucās. – Bet jūs tikai iezīmējāt situāciju, bet vēl neesat parādījis veidu, kā to atrisināt! Tātad, kāda ir jūsu stratēģija? Nav jātērē laiks!
- Pagaidi, tagad es visu paskaidrošu! - Grundija iesaucās. “Katrs no mums četriem — divi golemi un divas raganas — cīnīsimies pret saviem pretiniekiem. Protams, raganas centīsies nevienam nepakļauties...
- Noteikti! – abas raganas atkal unisonā iesaucās. Viņi lieliski saprata golemu vienā mirklī!
"Un otrais golems sekos manai taktikai," Grundijs mierīgi turpināja. Viņš paskatījās uz savu dubultnieku. - Protams, zini?
- Jā, protams! Es esmu jūsu kopija! Es lieliski saprotu, ko tu domā!
- Tas ir lieliski! Tādā gadījumā veiksim pirmo gājienu, lai dēmons visu varētu redzēt pats. Katrā cīņā būs vairāki raundi, lai visa stratēģija varētu tikt pilnībā realizēta un radītu pilnīgas sistēmas iespaidu. Varbūt man vajadzētu sākt.

– Tagad katram no mums ir jāatzīmē savi papīri! – golems pagriezās pret raganu. - Vispirms jums vajadzētu uzzīmēt smaidošu seju. Tas nozīmēs, ka mēs neliecināsim pret ieslodzījuma biedru. Varat arī uzzīmēt sarauku seju, kas nozīmē, ka mēs domājam tikai par sevi un sniedzam nepieciešamos pierādījumus pret savu biedru. Mēs abi saprotam, ka būtu labāk, ja neviens neizrādītos tā pati sarauktā seja, bet, no otras puses, saraukta seja saņem zināmas priekšrocības salīdzinājumā ar smaidošu! Bet būtība ir tāda, ka katrs no mums nezina, ko otrs izvēlēsies! Mēs to neuzzināsim, kamēr mūsu spēles partneris neatklās savu zīmējumu!
- Sāc, necilvēks! – ragana nolamājās. Viņa, kā vienmēr, neiztika bez aizskarošiem epitetiem!
- Gatavs! - Grundijs iesaucās, uzzīmējot uz papīra lielu smaidošu seju, lai ragana neredzētu, ko viņš tur uzzīmējis. Ragana lika viņai kustēties, arī taisot seju. Jādomā, ka viņa noteikti uzlikusi nelaipnu seju!
"Nu, tagad mums atliek viens otram parādīt mūsu zīmējumus," paziņoja Grundija. Pagriezies atpakaļ, viņš atvēra zīmējumu sabiedrībai un rādīja to visos virzienos, lai visi varētu redzēt zīmējumu. Kaut ko neapmierināta kurnējot, Jūras ragana izdarīja to pašu.
Kā Grundijs bija gaidījis, no raganas zīmējuma pavērās dusmīga, neapmierināta seja.
— Tagad jūs, dārgie skatītāji, — Grundija svinīgi sacīja, — redziet, ka ragana izvēlējās liecināt pret mani. Es netaisos to darīt. Tādējādi Jūras ragana gūst piecus punktus. Un attiecīgi es nesaņemu nevienu punktu. Un šeit…
Skatītāju rindās atkal atskanēja neliels troksnis. Visi skaidri juta līdzi golemam un kaislīgi vēlējās, lai Jūras ragana zaudē.
Bet spēle ir tikko sākusies! Ja tikai viņa stratēģija būtu pareiza...
– Tagad varam pāriet uz otro kārtu! – Grundija svinīgi paziņoja. – Mums ir jāatkārto kustības vēlreiz. Katrs uzzīmē sev tuvāko seju!
Un tā viņi darīja. Grundija tagad valkāja drūmu, neapmierinātu seju.
Tiklīdz spēlētāji rādīja savus zīmējumus, skatītāji redzēja, ka viņi abi tagad veido dusmīgas sejas.
- Katrs pa diviem punktiem! - teica Grundija.
- Septiņi divi man par labu! – ragana priecīgi iesaucās. "Tu no šejienes netiksi prom, stulbi!"
- Sāksim no jauna! - Grundija iesaucās. Viņi izveidoja vēl vienu zīmējumu un parādīja to sabiedrībai. Atkal tās pašas dusmīgās sejas.
– Katrs atkārtojām iepriekšējo gājienu, uzvedāmies savtīgi, un tāpēc, man šķiet, labāk punktus nevienam nepiešķirt! - teica golems.
– Bet es tomēr vadu spēli! - teica ragana, priecīgi berzējot rokas.
- Labi, netrokšņo! - teica Grundija. - Spēle nav beigusies. Paskatīsimies, kas notiks! Tātad, cienījamā publika, sākam ceturto kārtu!
Spēlētāji atkal veidoja zīmējumus, parādot skatītājiem uzzīmēto uz savām papīra lapām. Abas papīra lapas atkal skatītājiem rādīja tās pašas ļaunās sejas.
- Astoņi - trīs! - ragana kliedza, izplūdusi ļaunos smieklos. "Tu izracis sev kapu ar savu stulbo stratēģiju, golem!"
- Piektā kārta! - Grundija kliedza. Notika tas pats, kas iepriekšējās kārtās – atkal dusmīgas sejas, mainījās tikai rezultāts – kļuva deviņi – četri par labu burvei.
– Tagad pēdējā, sestā kārta! – Grundija paziņoja. Viņa provizoriskie aprēķini liecināja, ka tieši šai kārtai jākļūst liktenīgai. Tagad teorija bija jāapstiprina vai jāatspēko praksei.
Dažas ātras un nervozas zīmuļa kustības uz papīra - un abi zīmējumi parādījās publikas acu priekšā. Atkal divas sejas, tagad pat ar atsegtiem zobiem!
– Desmit – pieci man par labu! Mana spēle! ES uzvarēju! – Jūras ragana ķeksēja.

"Tu tiešām uzvarēji," Grundija drūmi piekrita. Publika draudīgi klusēja.
Dēmons pakustināja lūpas, lai kaut ko pateiktu.

– Bet mūsu konkurss vēl nav beidzies! - Grundija skaļi iesaucās. – Šī bija tikai spēles pirmā daļa.
- Dod jums mūžību! – dēmons Ksants neapmierināts nomurmināja.
– Pareizi! - Grundijs mierīgi teica. – Bet viena kārta neko neatrisina, tikai metodiskums liecina par labāko rezultātu.
Tagad golems piegāja pie otras raganas.
– Es gribētu šo kārtu spēlēt ar citu pretinieku! - viņš paziņoja. – Katrs no mums attēlos sejas, kā tas bija iepriekšējā reizē, tad demonstrēsim, ko esam uzvilkuši publikai!
Tā viņi darīja. Rezultāts bija tāds pats kā pagājušajā reizē – Grundija uzzīmēja smaidošu seju, bet ragana tikai galvaskausu. Viņa uzreiz ieguva pilnu piecu punktu pārsvaru, aiz sevis atstājot Grundiju.
Atlikušās piecas kārtas noslēdzās ar tādiem rezultātiem, kādus varēja gaidīt. Atkal rezultāts bija desmit - pieci par labu Jūras raganai.
– Golem, man ļoti patīk tava stratēģija! - ragana iesmējās.
– Tātad, jūs, dārgie skatītāji, esat noskatījušies divus spēles apļus! - Grundija iesaucās. "Tādējādi es guvu desmit punktus, bet mani konkurenti - divdesmit!"
Publika, kas arī skaitīja punktus, sērīgi pamāja ar galvu. Viņu skaits sakrita ar golemu. Vienīgi mākonītis vārdā Frakto šķita ļoti iepriecināts, lai gan, protams, arī tas raganai nejūt līdzi.
Bet Rapunzels atzinīgi pasmaidīja golemam – viņa turpināja viņam ticēt. Viņa varētu būt vienīgā, kas viņam tagad ticēja. Grundijs cerēja, ka viņš attaisnos šo neierobežoto uzticību.
Tagad Grundijs pietuvojās savam trešajam pretiniekam – savam dubultniekam. Viņam bija jābūt viņa pēdējam pretiniekam. Ātri uzrakstot savus zīmuļus uz papīra, golemi rādīja papīra gabaliņus sabiedrībai. Visi redzēja divas smejošas sejas.
– Lūdzu, ņemiet vērā, dārgie skatītāji, katrs no mums izvēlējās būt labs kameras biedrs! - Grundija iesaucās. "Un tāpēc neviens no mums nesaņēma nepieciešamo pārsvaru pār pretiniekiem šajā spēlē." Tātad mēs abi iegūstam trīs punktus un tiekam uz nākamo kārtu!
Otrā kārta ir sākusies. Rezultāts bija tāds pats kā iepriekšējā reizē. Tad atlikušās kārtas. Un katrā kārtā abi pretinieki atkal guva trīs punktus! Tas bija vienkārši neticami, bet sabiedrība bija gatava apstiprināt visu, kas notiek.

Beidzot šī kārta beidzās, un Grundijs, ātri pārbraucis ar zīmuli pāri papīram, sāka rēķināt rezultātu. Beidzot viņš svinīgi paziņoja:
- Astoņpadsmit līdz astoņpadsmit! Kopumā es guvu divdesmit astoņus punktus, kamēr pretinieki trīsdesmit astoņus!
"Tātad jūs zaudējāt," priecīgi paziņoja Jūras ragana. – Tādējādi kāds no mums kļūs par uzvarētāju!
- Var būt! – Grundija mierīgi atbildēja. Tagad pienāca vēl viens svarīgs brīdis. Ja viss izdosies kā plānots...
– Mums ir jāizbeidz šī lieta! – iesaucās otrais golems. – Man arī vēl jācīnās ar divām Jūras raganām! Spēle vēl nav beigusies!
- Jā, protams, uz priekšu! - teica Grundija. – Bet vienkārši vadieties pēc stratēģijas!
- Jā, protams! – pārliecināja viņa dubultnieks.
Šis golems tuvojās vienai no raganām un sākās ekskursija. Tas noslēdzās ar tādu pašu rezultātu, ar kādu no līdzīga raunda izkļuva pats Grundijs - rezultāts bija desmit pret pieci par labu burvei. Ragana patiesībā staroja neizsakāmā priekā, un publika drūmi apklusa. Dēmons Ksants izskatījās nedaudz noguris, kas nebija īpaši laba zīme.
Tagad pienāca pēdējais kārts – vienai raganai bija jācīnās pret otro. Katrai bija divdesmit punkti, kurus viņa spēja iegūt, cīnoties ar golemiem.
"Un tagad, ja atļausiet man gūt vismaz dažus papildu punktus..." Jūras ragana sazvērnieciski čukstēja savam dubultniekam.
Grundijs vismaz ārēji centās saglabāt mieru, lai gan viņa dvēselē plosījās pretrunīgu jūtu viesuļvētra. Viņa veiksme tagad bija atkarīga no tā, cik pareizi viņš paredzēja abu raganu iespējamo uzvedību – galu galā viņu raksturs būtībā bija vienāds!
Tagad pienāca, iespējams, viskritiskākais brīdis. Bet ja viņš kļūdījās?
- Kāpēc, pie velna, lai es tev piekāptos! – otrā ragana ķērca pirmajai. – Es pats gribu gūt vairāk punktu un tikt prom no šejienes!
“Nu, ja tu uzvedies tik nekaunīgi,” kliedza pieteikuma iesniedzējs, “tad es tevi piekāšu, lai tu vairs nebūtu tāds kā es!”
Raganas, veltot viena otrai naidpilnu skatienu, zīmēja savus zīmējumus un rādīja tos sabiedrībai. Protams, tur nevarēja būt nekas cits kā divi galvaskausi! Katrs ieguva vienu punktu.
Raganas, apbērušas viena otru ar lāstiem, sāka otro apli. Rezultāts atkal tas pats – atkal divi neveikli uzzīmēti galvaskausi. Raganas tādējādi ieguva vēl vienu punktu. Sabiedrība cītīgi visu fiksēja.
Tas turpinājās arī turpmāk. Kad kārta beidzās, nogurušās raganas atklāja, ka katra ir ieguvusi sešus punktus. Uzzīmē vēlreiz!
– Tagad aprēķināsim rezultātus un visu salīdzināsim! – Grundija triumfējoši sacīja. – Katra no raganām ieguva divdesmit sešus punktus, bet golems – divdesmit astoņus punktus. Kas tad mums ir? Un mums ir rezultāts, ka golemiem ir vairāk punktu!
Skatītāju rindās pāršalca pārsteiguma nopūta. Satraukti skatītāji sāka rakstīt uz papīra lapiņām skaitļu kolonnas, pārbaudot aprēķinu pareizību. Šajā laikā daudzi vienkārši neskaitīja gūto punktu skaitu, uzskatot, ka jau zina spēles rezultātu. Abas raganas sāka sašutumā rūkt, nav skaidrs, kuru tieši viņas vainoja notikušajā. Dēmona Ksanta acīs atkal iedegās piesardzīga uguns. Viņa uzticība bija pamatota!
"Es lūdzu jūs, dārgā publika, pievērst uzmanību faktam," Grundijs pacēla roku, pieprasot, lai klausītāji nomierinās, "ka neviens no golemiem neuzvarēja nevienu raundu." Bet galīgā uzvara vienalga piederēs vienam no mums, golemiem. Rezultāti būs daudz izteiksmīgāki, ja sacensības turpināsies! Es gribu teikt, mani dārgie skatītāji, ka mūžīgajā duelī mana stratēģija vienmēr izrādīsies uzvaroša!
Dēmons Ksants ar interesi klausījās Grundija teiktajā. Beidzot, izlaidis tvaika mākoņus, viņš atvēra muti:
– Kāda īsti ir jūsu stratēģija?
– Es to saucu par “Esi stingrs, bet godīgs”! – Grundija paskaidroja. – Spēli sāku godīgi, bet tad sāku zaudēt, jo saskaros ar ļoti konkrētiem partneriem. Tāpēc pirmajā kārtā, kad izrādās, ka Jūras ragana sāk liecināt pret mani, es automātiski palieku zaudētājs otrajā kārtā – un tas turpinās līdz beigām. Rezultāts var atšķirties, ja ragana maina spēles taktiku. Bet, tā kā viņai tas pat nevarēja ienākt prātā, mēs turpinājām spēlēt pēc iepriekšējās shēmas. Kad sāku spēlēt ar savu dubultnieku, viņš pret mani izturējās labi, un es pret viņu izturējos labi arī nākamajā spēles kārtā. Līdz ar to arī mūsu spēle gāja savādāk un nedaudz vienmuļi, jo negribējām mainīt taktiku...
– Bet jūs neesat uzvarējis nevienu kārtu! – dēmons pārsteigts iebilda.
– Jā, un šīs raganas nav zaudējušas nevienu kārtu! – Grundija apstiprināja. – Taču uzvara automātiski netiek tam, kuram ir atlikušās kārtas. Uzvar tas, kurš gūst visvairāk punktu, bet tā ir pavisam cita lieta! Man izdevās gūt vairāk punktu, kad es spēlēju ar savu dubulto, nekā spēlējot ar raganām. Viņu savtīgā attieksme viņiem atnesa īslaicīgu uzvaru, taču ilgākā laika posmā izrādījās, ka tieši tāpēc viņi abi zaudēja visu spēli. Tas notiek bieži!

3.4.1. Spēļu teorijas pamatjēdzieni

Pašlaik daudzi ražošanas, saimnieciskās vai komercdarbības problēmu risinājumi ir atkarīgi no lēmumu pieņēmēja subjektīvajām īpašībām. Izvēloties lēmumus nenoteiktības apstākļos, patvaļas elements un līdz ar to arī risks vienmēr ir neizbēgams.

Spēļu un statistisko lēmumu teorija risina lēmumu pieņemšanas problēmas pilnīgas vai daļējas nenoteiktības apstākļos. Nenoteiktība var izpausties kā pretestība no otras puses, kas tiecas pēc pretējiem mērķiem, traucē noteiktām darbībām vai ārējās vides stāvokļiem. Šādos gadījumos ir jāņem vērā iespējamās pretējās puses uzvedības iespējas.

Abu pušu iespējamās uzvedības iespējas un to rezultātus katrai alternatīvu un stāvokļu kombinācijai var attēlot formā matemātiskais modelis, ko sauc par spēli. Abas konfliktējošās puses nevar precīzi paredzēt savstarpējo rīcību. Neskatoties uz šādu nenoteiktību, katrai konflikta pusei ir jāpieņem lēmumi.

Spēļu teorija- šī ir matemātiska teorija konfliktsituācijas. Šīs teorijas galvenie ierobežojumi ir pieņēmums par pilnīgu (“ideālu”) ienaidnieka racionalitāti un piesardzīgākā “pārapdrošināšanas” lēmuma pieņemšana, risinot konfliktu.

Tiek izsauktas konfliktējošās puses spēlētājiem, viena spēles realizācija – ballīte, spēles iznākums - uzvara vai zaudējums.

Kustībā spēļu teorijā ir vienas no noteikumos paredzētajām darbībām izvēle un tās īstenošana.

Personīgi sauca apzināta izvēle spēlētājs no viena iespējamie varianti darbības un to īstenošana.

Izlases gājiens sauc par spēlētāja izvēli, ko veic nevis spēlētāja brīvprātīgs lēmums, bet gan ar kādu nejaušas izvēles mehānismu (monētas mešana, kāršu dalīšana utt.) Viena no iespējamām darbības iespējām un tās īstenošana.

Spēlētāja stratēģija ir noteikumu kopums, kas nosaka darbības izvēli katram šī spēlētāja personīgajam gājienam atkarībā no situācijas, kas rodas spēles laikā

Optimāla stratēģija spēlētājs ir stratēģija, kas, vairākas reizes atkārtojot spēlē, kurā ir personiskas un nejaušas kustības, nodrošina spēlētājam maksimāli iespējamo vidēji laimesti (vai, kas ir tas pats, minimālais iespējamais vidēji zaudējums).

Atkarībā no iemesliem, kas izraisa rezultātu nenoteiktību, spēles var iedalīt šādās galvenajās grupās:

- Kombinatorisks spēles, kurās noteikumi principā ļauj katram spēlētājam analizēt visas dažādās uzvedības iespējas un, salīdzinot šīs iespējas, izvēlēties labāko. Šeit ir arī nenoteiktība lielos daudzumos iespējas, kas jāanalizē.

- Azartspēles spēles, kurās iznākums nav skaidrs nejaušu faktoru ietekmes dēļ.

- Stratēģisks spēles, kurās iznākuma nenoteiktību rada fakts, ka katrs spēlētājs, pieņemot lēmumu, nezina, kādu stratēģiju ievēros pārējie spēles dalībnieki, jo nav informācijas par pretinieka (partnera) turpmākajām darbībām ).

- Spēli sauc par dubultspēlēm, ja spēlē piedalās divi spēlētāji.

- Spēli sauc par vairākām, ja spēlē ir vairāk nekā divi spēlētāji.

- Spēli sauc par nulles summu, ja katrs spēlētājs uzvar uz citu rēķina, un vienas puses laimestu un zaudējumu summa ir vienāda ar otru.

- Nulles summas dubultspēle sauca antagonistiska spēle.

- Spēli sauc par ierobežotu, ja katram spēlētājam ir tikai ierobežots skaits stratēģiju. Citādi tā ir spēle bezgalīgs.

- Viena soļa spēles kad spēlētājs izvēlas vienu no stratēģijām un veic vienu gājienu.

- Daudzpakāpju spēlēs Spēlētāji veic virkni kustību, lai sasniegtu savus mērķus, kuras var ierobežot spēles noteikumi vai arī tās var turpināties, līdz kādam no spēlētājiem vairs nav resursu, lai turpinātu spēli.

- Biznesa spēles imitēt organizatorisko un ekonomisko mijiedarbību dažādās organizācijās un uzņēmumos. Spēles simulācijas priekšrocības salīdzinājumā ar reālu objektu ir šādas:

Pieņemto lēmumu seku redzamība;

Mainīga laika skala;

Esošās pieredzes atkārtošana ar iestatījumu izmaiņām;

Mainīgs parādību un objektu pārklājums.

Spēles modeļa elementi ir:

- Spēles dalībnieki.

- Spēles noteikumi.

- Informācijas masīvs, atspoguļojot modelētās sistēmas stāvokli un kustību.

Spēļu klasifikācijas un grupēšanas veikšana ļauj līdzīgām spēlēm atrast kopīgas metodes alternatīvu meklēšanai lēmumu pieņemšanā un izstrādāt ieteikumus par racionālāko rīcību konfliktsituāciju attīstības laikā dažādās darbības jomās.

3.4.2. Spēles mērķu noteikšana

Apsveriet ierobežotas nulles summas pāru spēli. Spēlētājam A ir m stratēģijas (A 1 A 2 A m), bet spēlētājam B ir n stratēģijas (B 1, B 2 Bn). Šādu spēli sauc par spēli ar izmēru m x n. Lai a ij ir spēlētāja A izmaksa situācijā, kad spēlētājs A izvēlējās stratēģiju A i, bet spēlētājs B izvēlējās stratēģiju B j. Spēlētāja izmaksa šajā situācijā tiks apzīmēta ar b ij . Nulles summas spēle, tāpēc a ij = - b ij . Lai veiktu analīzi, pietiek zināt tikai viena spēlētāja peļņu, teiksim A.

Ja spēle sastāv tikai no personīgiem gājieniem, tad stratēģijas izvēle (A i, B j) unikāli nosaka spēles iznākumu. Ja spēlē ir arī nejauši gājieni, tad sagaidāmais laimests ir vidējā vērtība (matemātiskā cerība).

Pieņemsim, ka a ij vērtības ir zināmas katram stratēģiju pārim (A i, B j). Izveidosim taisnstūra tabulu, kuras rindas atbilst spēlētāja A stratēģijām, bet kolonnas spēlē spēlētāja B stratēģijām. Šo tabulu sauc maksājumu matrica.

Spēlētāja A mērķis ir maksimāli palielināt laimestus, bet spēlētāja B mērķis ir samazināt savus zaudējumus.

Tādējādi maksājumu matrica izskatās šādi:

Uzdevums ir noteikt:

1) Spēlētāja A labākā (optimālā) stratēģija no stratēģijām A 1 A 2 A m;

2) Spēlētāja B labākā (optimālā) stratēģija no stratēģijām B 1, B 2 Bn.

Problēmas risināšanai tiek pielietots princips, pēc kura spēles dalībnieki ir vienlīdz inteliģenti un katrs dara visu, lai sasniegtu savu mērķi.

3.4.3. Spēļu problēmu risināšanas metodes

Minimax princips

Analizēsim secīgi katru spēlētāja A stratēģiju. Ja spēlētājs A izvēlas stratēģiju A 1, tad spēlētājs B var izvēlēties tādu stratēģiju B j, kurā spēlētāja A izmaksa būs vienāda ar mazāko no skaitļiem a 1j. Apzīmēsim to ar 1:

tas ir, 1 ir visu skaitļu minimālā vērtība pirmajā rindā.

To var attiecināt uz visām rindām. Tāpēc spēlētājam A ir jāizvēlas stratēģija, kurai skaitlis a i ir maksimālais.

Vērtība a ir garantēta laimesta, ko spēlētājs a var nodrošināt sev par jebkuru spēlētāja B uzvedību. Vērtību a sauc par spēles zemāko cenu.

Spēlētājs B ir ieinteresēts samazināt savu zaudējumu, tas ir, samazināt spēlētāja A laimestu līdz minimumam. Lai izvēlētos optimālo stratēģiju, viņam jāatrod maksimālā vērtība laimestu katrā kolonnā un izvēlieties mazāko no tiem.

Apzīmēsim ar b j maksimālo vērtību katrā kolonnā:

Zemākā vērtība b j apzīmē ar b.

b = min max a ij

b sauc par spēles augšējo robežu. Principu, kas nosaka, ka spēlētāji izvēlas atbilstošas ​​stratēģijas, sauc par minimax principu.

Ir matricas spēles, kurām spēles zemākā cena ir vienāda ar augšējo cenu. Šajā gadījumā g=a=b sauc par spēles neto cenu, bet stratēģijas A * i, B * j, kas ļauj sasniegt šo vērtību, sauc par optimālajām. Pāri (A * i, B * j) sauc par matricas seglu punktu, jo elements a ij .= g vienlaikus ir minimums i rindā un maksimums j kolonnā. Optimālas stratēģijas A*i, B*j un neto cena ir spēles risinājums tīrās stratēģijās, t.i., neiesaistot nejaušas atlases mehānismu.

1. piemērs.

Ļaujiet dot maksājumu matricu. Atrodi spēles risinājumu, t.i., nosaki spēles zemāko un augšējo cenu un minimax stratēģijas.

Šeit a 1 =min a 1 j = min(5,3,8,2) =2

a =max min a ij = max(2,1,4) =4

b = min max a ij = min(9,6,8,7) =6

Tādējādi spēles zemākā cena (a=4) atbilst stratēģijai A 3. Izvēloties šo stratēģiju, spēlētājs A iegūs vismaz 4 par jebkuru spēlētāja B uzvedību. Spēles augstākā cena (b= 6) atbilst spēlētāja B stratēģijai. Šīs stratēģijas ir minimax . Ja abas puses ievēro šīs stratēģijas, izmaksa būs 4 (a 33).

2. piemērs.

Tiek dota maksājumu matrica. Atrodiet spēles zemāko un augšējo cenu.

a =max min a ij = max(1,2,3) =3

b = min max a ij = min(5,6,3) =3

Tāpēc a =b=g=3. Seglu punkts ir pāris (A * 3, B * 3). Ja matricas spēle satur seglu punktu, tad tās risinājums tiek atrasts, izmantojot minimax principu.

Spēļu risināšana iekšā jauktas stratēģijas

Ja maksājumu matrica nesatur seglu punktu (a jaukta stratēģija.

Lai izmantotu jauktas stratēģijas, ir nepieciešami šādi nosacījumi:

1) Spēlē nav seglu punkta.

2) Spēlētāji izmanto nejaušu tīru stratēģiju sajaukumu ar atbilstošām varbūtībām.

3) Spēle tiek atkārtota vairākas reizes vienādos apstākļos.

4) Katra gājiena laikā spēlētājs netiek informēts par stratēģijas izvēli no otra spēlētāja puses.

5) Spēļu rezultātu vidējā noteikšana ir atļauta.

Spēļu teorijā ir pierādīts, ka katrai nulles summas pāra spēlei ir vismaz viens jauktas stratēģijas risinājums, kas nozīmē, ka katrai ierobežotai spēlei ir izmaksas g. g - vidējais laimests spēlē, atbilst nosacījumam a<=g<=b . Оптимальное решение игры в смешанных стратегиях обладает следующим свойством: каждый из игроков не заинтересован в отходе от своей оптимальной смешанной стратегии.

Spēlētāju stratēģijas to optimālajās jauktajās stratēģijās sauc par aktīvām.

Teorēma par aktīvajām stratēģijām.

Optimālas jauktas stratēģijas pielietošana nodrošina spēlētājam maksimālo vidējo uzvaru (vai minimālo vidējo zaudējumu), kas vienāds ar spēles izmaksām g, neatkarīgi no tā, kādas darbības otrs spēlētājs veic, ja vien viņš nepārsniedz spēles robežas. viņa aktīvās stratēģijas.

Ieviesīsim šādu apzīmējumu:

P 1 P 2 ... P m - varbūtība, ka spēlētājs A izmantos stratēģijas A 1 A 2 ..... A m ;

Q 1 Q 2 …Q n varbūtība, ka spēlētājs B izmantos stratēģijas B 1, B 2….. Bn

Spēlētāja A jaukto stratēģiju mēs rakstām šādā formā:

A 1 A 2… A m

Р 1 Р 2 … Р m

Spēlētāja B jaukto stratēģiju mēs rakstām šādi:

B 1 B 2… Bn

Zinot maksājumu matricu A, varat noteikt vidējo laimestu (matemātisko cerību) M(A,P,Q):

M(A,P,Q)=S Sa ij P i Q j

Spēlētāja A vidējie laimesti:

a = max minM(A,P,Q)

Spēlētāja B vidējais zaudējums:

b = min maxM(A,P,Q)

Apzīmēsim ar P A * un Q B * vektorus, kas atbilst optimālajām jauktajām stratēģijām, saskaņā ar kurām:

max minM(A,P,Q) = min maxM(A,P,Q)= M(A,PA * ,Q B *)

Šajā gadījumā ir izpildīts šāds nosacījums:

maks.M(A,P,Q B *)<=maxМ(А,P А * ,Q В *)<= maxМ(А,P А * ,Q)

Atrisināt spēli nozīmē atrast spēles cenu un optimālas stratēģijas.

Ģeometriskā metode spēļu cenu noteikšanai un optimālās stratēģijas

(Spēlei 2x2)

Uz abscisu ass ir uzzīmēts segments, kura garums ir 1, šī segmenta kreisais gals atbilst stratēģijai A 1, bet labais gals – stratēģijai A 2.

Y ass parāda laimestus 11 un 12.

Laimesti a 21 un 22 tiek uzzīmēti pa līniju, kas ir paralēla ordinātu asij no 1. punkta.

Ja spēlētājs B izmanto stratēģiju B 1, tad savienojam punktus a 11 un a 21, ja B 2, tad 12 un 22.

Vidējo laimestu attēlo punkts N, taisnu līniju B 1 B 1 un B 2 B 2 krustošanās punkts. Šī punkta abscise ir vienāda ar P 2, un spēles cenas ordināta ir g.

Salīdzinot ar iepriekšējo tehnoloģiju, pieaugums ir 55%.

Praktiskajā darbībā bieži vien ir jāpieņem lēmumi, saskaroties ar pretestību no otras puses, kas var censties sasniegt pretējus vai atšķirīgus mērķus, vai arī ar noteiktām darbībām vai ārējās vides stāvokļiem kavēt iecerētā mērķa sasniegšanu. Turklāt šīs ietekmes no pretējās puses var būt pasīvas vai aktīvas. Šādos gadījumos ir jāņem vērā iespējamās pretējās puses uzvedības iespējas, atbildes darbības un to iespējamās sekas.

Iespējamie abu pušu uzvedības varianti un to rezultāti katrai iespēju un stāvokļu kombinācijai bieži tiek parādīti matemātiska modeļa veidā, ko sauc par spēli .

Ja pretējā puse ir neaktīva, pasīva puse, kas apzināti neiebilst pret iecerētā mērķa sasniegšanu, tad šo spēli sauc spēlēšanās ar dabu. Ar dabu parasti saprot apstākļu kopumu, kuros jāpieņem lēmumi (laika apstākļu nenoteiktība, nezināma pircēju uzvedība komercdarbībā, nenoteiktība par iedzīvotāju reakciju uz jauna veida precēm un pakalpojumiem u.c.)

Citās situācijās pretējā puse aktīvi, apzināti iebilst pret iecerētā mērķa sasniegšanu. Šādos gadījumos notiek pretēju interešu, viedokļu un ideju sadursme. Tādas situācijas sauc par konfliktu , un lēmumu pieņemšana konflikta situācijā ir sarežģīta ienaidnieka uzvedības nenoteiktības dēļ. Ir zināms, ka ienaidnieks apzināti cenšas veikt jums vismazāk izdevīgas darbības, lai nodrošinātu vislielākos panākumus. Nav zināms, cik lielā mērā ienaidnieks prot novērtēt situāciju un iespējamās sekas, kā viņš vērtē jūsu iespējas un nodomus. Abas puses nevar paredzēt savstarpēju rīcību. Neskatoties uz šādu nenoteiktību, katrai konflikta pusei ir jāpieņem lēmums

Ekonomikā konfliktsituācijas notiek ļoti bieži un tām ir daudzveidīgs raksturs. Tie ietver, piemēram, attiecības starp piegādātāju un patērētāju, pircēju un pārdevēju, banku un klientu utt. Visos šajos piemēros konfliktsituāciju rada atšķirības partneru interesēs un katra no tiem vēlme rīkoties. optimālus lēmumus. Tajā pašā laikā katram ir jāņem vērā ne tikai savi, bet arī partnera mērķi un jārēķinās ar viņa iespējamām iepriekš nezināmām darbībām.

Nepieciešamība pamatot optimālus lēmumus konfliktsituācijās ir izraisījusi rašanos spēļu teorija.

Spēļu teorija - šī ir konfliktsituāciju matemātiskā teorija. Šīs teorijas sākumpunkts ir pieņēmums par pilnīgu ienaidnieka “ideālo” racionalitāti un piesardzīgākā lēmuma pieņemšana, risinot konfliktu.

Tiek izsauktas konfliktējošās puses spēlētājiem , viena spēles realizācija - ballīte , spēles iznākums ir uzvarot vai zaudējot . Jebkura spēlētāja iespējamā darbība (dotajos spēles noteikumos) tiek saukta par viņa darbību stratēģija .

Spēles būtība ir tāda, ka katrs spēlētājs, ievērojot dotos spēles noteikumus, cenšas pielietot sev optimālo stratēģiju, tas ir, stratēģiju, kas novedīs pie vislabākā iznākuma. Viens no optimālas (lietderīgas) uzvedības principiem ir līdzsvara situācijas sasniegšana, kuras pārkāpšanā neviens no spēlētājiem nav ieinteresēts.

Tieši līdzsvara situācija var būt par pamatu stabilām vienošanām starp spēlētājiem. Turklāt līdzsvara situācijas ir izdevīgas katram spēlētājam: līdzsvara situācijā katrs spēlētājs saņem vislielāko atdevi, ciktāl tas ir atkarīgs no viņa.

Konfliktsituācijas matemātiskais modelis sauc par spēli , konfliktā iesaistītās puses, tiek saukti par spēlētājiem.

Katrai formalizētai spēlei tiek ieviesti noteikumi. Kopumā spēles noteikumi nosaka spēlētāju rīcības iespējas; katra spēlētāja rīcībā esošās informācijas apjoms par partneru uzvedību; atlīdzība, ko rada katra darbību kopa.

Spēles attīstība laika gaitā notiek secīgi, posmos vai kustībās. Tiek saukts gājiens spēļu teorijā vienas no spēles noteikumos paredzētajām darbībām izvēle un tās īstenošana. Kustības ir personiskas un nejaušas. Personīgi nosauciet spēlētāja apzinātu vienas no iespējamajām rīcības iespējām izvēli un tās īstenošanu. Izlases gājiens viņi sauc par izvēli, kas izdarīta nevis ar spēlētāja brīvprātīgu lēmumu, bet gan ar kaut kādu nejaušas izvēles mehānismu (monētas mešana, piespēle, kāršu dalīšana utt.).

Atkarībā no iemesliem, kas izraisa rezultātu nenoteiktību, spēles var iedalīt šādās galvenajās grupās:

Kombinētās spēles kurā noteikumi principā paredz iespēju katram spēlētājam analizēt visas dažādās savas uzvedības iespējas un, salīdzinot šīs iespējas, izvēlēties to, kas šim spēlētājam noved pie labākā rezultāta. Rezultāta nenoteiktība parasti ir saistīta ar to, ka iespējamo uzvedības iespēju (gājienu) skaits ir pārāk liels, un spēlētājs praktiski nespēj tos visus sakārtot un analizēt.

Azartspēles , kurā iznākums ir neskaidrs dažādu nejaušu faktoru ietekmes dēļ. Azartspēles sastāv tikai no nejaušiem gājieniem, kuru analīzē tiek izmantota varbūtības teorija. Matemātiskā spēļu teorija neattiecas uz azartspēlēm.

Stratēģijas spēles , kurā pilnīga izvēles neskaidrība ir pamatota ar to, ka katrs no spēlētājiem, pieņemot lēmumu par gaidāmā gājiena izvēli, nezina, kādu stratēģiju ievēros pārējie spēles dalībnieki, un spēlētāja nezināšana par partneru uzvedība un nodomi ir būtiski svarīgi, jo nav informācijas par ienaidnieka (partnera) turpmākajām darbībām.

Ir spēles, kas apvieno kombinēto un azartspēļu īpašības, spēļu stratēģisko raksturu var apvienot ar kombinatorismu utt.

Atkarībā no spēles dalībnieku skaita tiek sadalīti pāros un vairākos. Dubultspēlē dalībnieku skaits ir divi, vairāku spēļu dalībnieku skaits ir lielāks par diviem. Vairāku spēļu dalībnieki var veidot koalīcijas. Šajā gadījumā tiek izsauktas spēles koalīcija . Vairākkārtēja spēle kļūst par dubultspēli, ja tās dalībnieki veido divas pastāvīgas koalīcijas.

Viens no spēles teorijas pamatjēdzieniem ir stratēģija. Spēlētāja stratēģija ir noteikumu kopums, kas nosaka darbības izvēli katram šī spēlētāja personīgajam gājienam atkarībā no situācijas, kas rodas spēles laikā.

Optimāla stratēģija Spēlētājs tiek saukts par stratēģiju, kas, vairākas reizes atkārtojot spēlē, kurā ir personiski un nejauši gājieni, nodrošina spēlētājam maksimālo iespējamo vidējo uzvaru vai minimālo iespējamo zaudējumu neatkarīgi no pretinieka uzvedības.

Spēli sauc galīgais , ja spēlētāju stratēģiju skaits ir ierobežots, un bezgalīgs , ja vismaz vienam no spēlētājiem ir bezgalīgi daudz stratēģiju.

Vairāku kustību spēļu teorijas problēmās jēdzieni “stratēģija” un “iespējamo darbību izvēle” būtiski atšķiras viens no otra. Vienkāršās (vienas kustības) spēles uzdevumos, kad katrā spēlē katrs spēlētājs var veikt vienu gājienu, šie jēdzieni sakrīt, un tāpēc spēlētāja stratēģiju kopums aptver visas iespējamās darbības, kuras viņš var veikt jebkurā iespējamā situācijā un jebkurā iespējamā situācijā. faktiskā informācija.

Spēles tiek diferencētas arī pēc laimestu apjoma. Spēli sauc spēle ar nulli summa th, ja katrs spēlētājs uzvar uz citu rēķina, un vienas puses laimesta summa ir vienāda ar otras puses zaudējuma summu. Nulles summas dubultspēlē spēlētāju intereses tiek tieši pretrunātas. Tiek izsaukta nulles summas pāru spēle esantagonistiska spēle .

Spēles, kurās viena spēlētāja ieguvums un otra zaudējums nav vienāds tiek sauktispēles bez nulles summas .

Ir divi veidi, kā aprakstīt spēles: pozicionāls un normāls . Pozicionālā metode ir saistīta ar spēles paplašināto formu un tiek reducēta uz secīgu darbību grafiku (spēles koks). Parasts veids ir skaidri attēlot spēlētāja stratēģiju kopumu un maksājuma funkcija . Maksājumu funkcija spēlē nosaka katras puses laimestus par katru spēlētāju izvēlēto stratēģiju komplektu.

Spēļu teorija- matemātisko modeļu teorija optimālu lēmumu pieņemšanai konflikta apstākļos. Tā kā lielākajā daļā konfliktu puses ir ieinteresētas slēpt savus nodomus no ienaidnieka, tad lēmumu pieņemšana konfliktsituācijās parasti notiek nenoteiktības apstākļos. Gluži pretēji, nenoteiktības faktoru var interpretēt kā subjekta pretinieku, kurš pieņem lēmumu (tātad lēmumu pieņemšana nenoteiktības apstākļos var tikt saprasta kā lēmuma pieņemšana konflikta apstākļos). Jo īpaši daudzi matemātiskās statistikas apgalvojumi ir dabiski formulēti kā spēļu teorētiskie apgalvojumi.

Spēļu teorija ir lietišķās matemātikas nozare, kas tiek izmantota sociālajās zinātnēs (pārsvarā ekonomikā), bioloģijā, politoloģijā, datorzinātnēs (galvenokārt mākslīgajam intelektam) un filozofijā. Spēļu teorija mēģina matemātiski uztvert uzvedību stratēģiskās situācijas, kurā subjekta veiksme, veicot izvēli, ir atkarīga no citu dalībnieku izvēlēm. Ja sākumā attīstījās to spēļu analīze, kurās viens no pretiniekiem uzvar uz citu rēķina (nulles summas spēles), tad vēlāk viņi sāka apsvērt plašu mijiedarbības klasi, kas tika klasificēta pēc noteiktiem kritērijiem. Mūsdienās "spēļu teorija ir kaut kas līdzīgs lietussargam vai universālai teorijai sociālo zinātņu racionālajai pusei, kur sociālo var saprast plaši, iekļaujot gan cilvēkus, gan citus spēlētājus (datorus, dzīvniekus, augus)" (Robert Aumann, 1987) )

Šī matemātikas nozare ir guvusi zināmas pārdomas populārajā kultūrā. 1998. gadā amerikāņu rakstniece un žurnāliste Silvija Nasāra izdeva grāmatu par Džona Neša, Nobela prēmijas laureāta ekonomikā par sasniegumiem spēļu teorijā, dzīvi, bet 2001. gadā pēc šīs grāmatas motīviem tapa filma Skaists prāts. (Tādējādi spēļu teorija ir viena no retajām matemātikas nozarēm, kurā var saņemt Nobela prēmiju). Daži amerikāņu televīzijas šovi, piem. Draugs vai ienaidnieks, Alias vai CIPARI periodiski izmanto spēļu teoriju savos laidienos.

Džons Nešs ir matemātiķis un Nobela prēmijas laureāts, kas plašākai sabiedrībai pazīstams, pateicoties filmai A Beautiful Mind.

Spēles teorijas koncepcija

Spēļu teorijas loģiskais pamats ir trīs tās definīcijā iekļauto jēdzienu formalizēšana, kas ir būtiski visai teorijai:

• Konflikts,
• Lēmumu pieņemšana konfliktā
• Pieņemtā lēmuma optimālums.

Šie jēdzieni tiek aplūkoti spēļu teorijā visplašākajā nozīmē. Viņu formalizācijas reaģē ar jēgpilnu priekšstatu par attiecīgajiem objektiem.

Ja nosaucam konflikta dalībniekus rīcības koalīcijas(apzīmējot to kopu kā D, katras rīcības koalīcijas iespējamās darbības ir tās stratēģijas(visu rīcības koalīcijas stratēģiju kopums K apzīmēts kā S), konflikta rezultāti - situācijas(visu situāciju kopa tiek apzīmēta kā S; tiek uzskatīts, ka katra situācija attīstās katras koalīcijas izvēles rezultātā rīkoties saskaņā ar kādu no tās stratēģijām, lai ), iesaistītās puses - interešu koalīcijas(tādu ir daudz - es) un, visbeidzot, runāt par iespējamajiem ieguvumiem katrai interešu koalīcijai K viena situācija s"cita priekšā s"(šis fakts tiek apzīmēts kā ), tad konfliktu kopumā var raksturot kā sistēmu

Šādu konfliktu attēlojošu sistēmu sauc spēle. Komponentu specifikācijas, kas nosaka spēli, noved pie dažādām spēļu klasēm.

Spēļu klasifikācija

Ir atsevišķas nesadarbīgo spēļu klases:

• nulles summas spēles, tostarp matricas spēles un vienības kvadrātveida spēles.
• dinamiskas spēles, ieskaitot diferenciālās spēles,
• rekursīvas spēles,
• izdzīvošanas spēles

un citi arī attiecas uz nesadarbojošām spēlēm.

Matemātiskais aparāts

Spēļu teorijā plaši tiek izmantotas dažādas matemātiskās metodes un rezultāti no varbūtību teorijas, klasiskās analīzes, funkcionālās analīzes (īpaši svarīgas ir fiksēto punktu teorēmas), kombinatoriskās topoloģijas, diferenciālvienādojumu un integrālvienādojumu teorijas u.c. Spēļu teorijas specifika veicina dažādu matemātisko jomu attīstību (piemēram, izliekto kopu teorija, lineārā programmēšana utt.).

Spēļu teorijā lēmumu pieņemšana tiek uzskatīta par koalīcijas rīcības izvēli vai, jo īpaši, spēlētāja dažu tās stratēģiju izvēli. Šo izvēli var iztēloties kā vienreizēju darbību un formāli izvirzīt līdz elementa izvēlei no kopas. Tiek sauktas spēles ar šādu izpratni par stratēģiju izvēli spēles normālā formā. Tās tiek pretstatītas dinamiskām spēlēm, kurās stratēģijas izvēle ir process, kas notiek noteiktā laika periodā, ko pavada iespēju paplašināšanās un saraušanās, informācijas iegūšana un zaudēšana par pašreizējo lietu stāvokli utt. Formāli , stratēģija šādā spēlē ir funkcija, kas definēta visu lēmumu pieņēmēja informācijas stāvokļu kopā. Nekritiska “izvēles brīvības” stratēģiju izmantošana var novest pie paradoksālām parādībām.

Optimalitāte un risinājumi

Jautājums par optimizācijas jēdziena formalizēšanu ir ļoti sarežģīts. Spēļu teorijā nav vienas idejas par optimitāti, tāpēc mums ir jāņem vērā vairāki optimāluma principi. Katra spēļu teorijā izmantotā optimāluma principa piemērošanas joma ir ierobežota ar salīdzinoši šaurām spēļu klasēm vai attiecas uz ierobežotiem to apsvēršanas aspektiem.

Katrs no šiem principiem ir balstīts uz noteiktām intuitīvām idejām par optimālo kā kaut ko "ilgtspējīgu" vai "taisnīgu". Šo ideju formalizēšana nosaka prasības optimālajam un tām ir aksiomu raksturs.

Starp šīm prasībām var būt tādas, kas ir pretrunā viena otrai (piemēram, var parādīt konfliktus, kuros puses ir spiestas apmierināties ar nelieliem ieguvumiem, jo ​​lielus ieguvumus var sasniegt tikai neskaidrās situācijās); Tāpēc spēļu teorijā nevar formulēt vienu optimāluma principu.

Tiek izsauktas situācijas (vai situāciju kopas), kas atbilst noteiktām optimāluma prasībām noteiktā spēlē lēmumusšī spēle. Tā kā optimāluma ideja nav viennozīmīga, spēlēm bija iznākumi dažādās nozīmēs. Trīs galvenie mūsdienu spēļu teorijas jautājumi ir spēļu risinājumu definīciju izveide, to pastāvēšanas noteikšana un to reālas atrašanas veidu izstrāde. Tiem tuvi ir jautājumi par spēļu risinājumu unikalitāti, par tādu risinājumu esamību noteiktās spēļu klasēs, kuriem ir noteiktas iepriekš noteiktas īpašības.

Stāsts

Kā matemātiskā disciplīna spēļu teorija radās vienlaikus ar varbūtību teoriju 17. gadsimtā, taču gandrīz 300 gadus tā attīstījās maz. Par pirmo nozīmīgo darbu spēļu teorijā jāuzskata J. fon Neimana raksts “Ceļā uz stratēģisko spēļu teoriju” (1928) un līdz ar amerikāņu matemātiķu J. fon Neimana un O. Morgenšterna monogrāfijas “Spēļu teorija” izdošanu. un ekonomiskā uzvedība” (1944), spēļu teorija radās kā neatkarīga matemātiska disciplīna. Atšķirībā no citām matemātikas nozarēm, kurām pārsvarā ir fiziska vai fizikāli tehnoloģiska izcelsme, spēļu teorija jau no tās attīstības sākuma bija vērsta uz ekonomikā (proti, konkurētspējīgā ekonomikā) radušos problēmu risināšanu.

Pēc tam spēļu teorijas idejas, metodes un rezultātus sāka pielietot citās zināšanu jomās, kas risina konfliktus: militārajās lietās, morāles jautājumos, indivīdu ar dažādām interesēm masveida uzvedības izpētē (piemēram, jautājumos). iedzīvotāju migrācijas vai, apsverot bioloģisko cīņu par eksistenci). Spēles teorētiskās metodes optimālu lēmumu pieņemšanai nenoteiktības apstākļos var plaši izmantot medicīnā, ekonomiskajā un sociālajā plānošanā un prognozēšanā, kā arī vairākos zinātnes un tehnoloģiju jautājumos. Dažreiz spēļu teoriju sauc par kibernētikas matemātisko aparātu vai operāciju izpētes teoriju.