Obvod kruhu je označen písmenem C a vypočítá se podle vzorce:

C = 2πR,
Kde R - poloměr kruhu.

Odvození vzorce vyjadřujícího obvod

Dráha C a C‘ jsou délky kružnic o poloměrech R a R‘. Vepišme do každého z nich pravidelný n-úhelník a označme jejich obvody P n a P" n a jejich strany n a a" n. Pomocí vzorce pro výpočet strany pravidelného n-úhelníku a n = 2R sin (180°/n) dostaneme:
Pn = n a n = n 2R sin (180°/n),
P" n = n · a" n = n · 2R" sin (180°/n).
Proto,
Pn/P"n = 2R/2R". (1)
Tato rovnost platí pro jakoukoli hodnotu n. Nyní zvýšíme číslo n bez omezení. Protože P n → C, P" n → C", n → ∞, pak je limit poměru P n / P" n roven C / C". Na druhou stranu, na základě rovnosti (1) je tato mez rovna 2R/2R". Tedy C/C" = 2R/2R". Z této rovnosti vyplývá, že C/2R = C"/2R" , tj. . Poměr obvodu kruhu k jeho průměru je pro všechny kruhy stejné číslo. Toto číslo se obvykle označuje řeckým písmenem π („pi“).
Z rovnosti C / 2R = π dostaneme vzorec pro výpočet obvodu kružnice o poloměru R:
C = 2πR.

Nejprve pochopíme rozdíl mezi kruhem a kruhem. Abychom viděli tento rozdíl, stačí zvážit, co jsou obě čísla. Jedná se o nekonečný počet bodů v rovině, umístěných ve stejné vzdálenosti od jediného centrálního bodu. Pokud se však kruh také skládá z vnitřního prostoru, pak do kruhu nepatří. Ukazuje se, že kruh je jak kruh, který ho omezuje (circle(r)), tak nesčetné množství bodů, které jsou uvnitř kruhu.

Pro libovolný bod L ležící na kružnici platí rovnost OL=R. (Délka segmentu OL se rovná poloměru kružnice).

Úsečka, která spojuje dva body na kružnici, je její akord.

Tětiva procházející přímo středem kruhu je průměr tento kruh (D). Průměr lze vypočítat pomocí vzorce: D=2R

Obvod vypočteno podle vzorce: C=2\pi R

Oblast kruhu: S=\pi R^(2)

Oblouk kruhu se nazývá ta jeho část, která se nachází mezi jeho dvěma body. Tyto dva body definují dva oblouky kružnice. Akord CD tvoří dva oblouky: CMD a CLD. Identické tětivy překrývají stejné oblouky.

Centrální úhelÚhel, který leží mezi dvěma poloměry, se nazývá.

Délka oblouku lze najít pomocí vzorce:

1. Použití míry míry: CD = \frac(\pi R \alpha ^(\circ))(180^(\circ))
2. Pomocí radiánové míry: CD = \alpha R

Průměr, který je kolmý k tětivě, rozděluje tětivu a jí stažené oblouky na polovinu.

Pokud se tětivy AB a CD kružnice protínají v bodě N, pak jsou součiny úseků tětiv oddělených bodem N navzájem stejné.

AN\cdot NB = CN\cdot ND

Tečna ke kruhu

Tečna ke kruhu Je zvykem nazývat přímku, která má jeden společný bod s kružnicí.

Pokud má přímka dva společné body, nazývá se sečna.

Pokud nakreslíte poloměr k tečnému bodu, bude kolmý na tečnu ke kružnici.

Nakreslete dvě tečny z tohoto bodu k naší kružnici. Ukazuje se, že tečné segmenty se budou navzájem rovnat a střed kružnice bude v tomto bodě umístěn na ose úhlu s vrcholem.

AC = CB

Nyní nakreslete tečnu a sečnu ke kružnici z našeho bodu. Dostaneme, že druhá mocnina délky tečného segmentu bude rovna součinu celé sečny a její vnější části.

AC^(2) = CD \cdot BC

Můžeme dojít k závěru: součin celého segmentu prvního sekantu a jeho vnější části se rovná součinu celého segmentu druhého sekantu a jeho vnější části.

AC\cdot BC = EC\cdot DC

Úhly v kruhu

Míry stupně středový úhel a oblouk, na kterém spočívá, jsou stejné.

\angle COD = \cup CD = \alpha ^(\circ)

Vepsaný úhel je úhel, jehož vrchol je na kružnici a jehož strany obsahují tětivy.

Můžete to vypočítat tak, že znáte velikost oblouku, protože se rovná polovině tohoto oblouku.

\úhel AOB = 2 \úhel ADB

Na základě průměru, vepsaného úhlu, pravého úhlu.

\angle CBD = \angle CED = \angle CAD = 90^ (\circ)

Vepsané úhly, které svírají stejný oblouk, jsou identické.

Vepsané úhly spočívající na jedné tětivě jsou shodné nebo jejich součet je roven 180^ (\circ) .

\angle ADB + \angle AKB = 180^ (\circ)

\angle ADB = \angle AEB = \angle AFB

Na stejné kružnici jsou vrcholy trojúhelníků se shodnými úhly a danou základnou.

Úhel s vrcholem uvnitř kruhu a umístěným mezi dvěma tětivami je totožný s polovinou součtu úhlových hodnot oblouků kruhu, které jsou obsaženy v daných a vertikálních úhlech.

\angle DMC = \angle ADM + \angle DAM = \frac(1)(2) \left (\cup DmC + \cup AlB \right)

Úhel s vrcholem vně kruhu a umístěným mezi dvěma sečnami je totožný s polovinou rozdílu v úhlových hodnotách oblouků kruhu, které jsou obsaženy uvnitř úhlu.

\angle M = \angle CBD - \angle ACB = \frac(1)(2) \left (\cup DmC + \cup AlB \right)

Vepsaný kruh

Vepsaný kruh je kružnice tečná ke stranám mnohoúhelníku.

V bodě, kde se protínají osy rohů mnohoúhelníku, se nachází jeho střed.

Kruh nemusí být vepsán do každého mnohoúhelníku.

Oblast mnohoúhelníku s vepsaným kruhem se nachází podle vzorce:

S = pr,

p je půlobvod mnohoúhelníku,

r je poloměr vepsané kružnice.

Z toho vyplývá, že poloměr vepsané kružnice je roven:

r = \frac(S)(p)

Součty délek opačné strany bude identická, pokud je kružnice vepsána do konvexního čtyřúhelníku. A naopak: kruh zapadá do konvexního čtyřúhelníku, pokud jsou součty délek protilehlých stran shodné.

AB + DC = AD + BC

Do kteréhokoli z trojúhelníků je možné vepsat kružnici. Pouze jeden jediný. V bodě, kde se protínají osy vnitřních rohů obrazce, bude ležet střed této kružnice vepsané.

Poloměr kružnice vepsané se vypočítá podle vzorce:

r = \frac(S)(p) ,

kde p = \frac(a + b + c)(2)

Kružnice

Pokud každým vrcholem mnohoúhelníku prochází kružnice, pak se taková kružnice obvykle nazývá popsaný o mnohoúhelníku.

V průsečíku kolmých os stran tohoto obrázku bude střed opsané kružnice.

Poloměr lze zjistit jeho výpočtem jako poloměr kružnice opsané kolem trojúhelníku definovaného libovolnými 3 vrcholy mnohoúhelníku.

Platí následující podmínka: kruh lze popsat kolem čtyřúhelníku pouze tehdy, je-li součet jeho opačných úhlů roven 180^( \circ) .

\angle A + \angle C = \angle B + \angle D = 180^ (\circ)

Kolem jakéhokoli trojúhelníku můžete popsat kružnici, a to pouze jednu. Střed takové kružnice bude umístěn v bodě, kde se protínají odvěsny stran trojúhelníku.

Poloměr kružnice opsané lze vypočítat pomocí vzorců:

R = \frac(a)(2 \sin A) = \frac(b)(2 \sin B) = \frac(c)(2 \sin C)

R = \frac(abc)(4 S)

a, b, c jsou délky stran trojúhelníku,

S je plocha trojúhelníku.

Ptolemaiova věta

Nakonec zvažte Ptolemaiovu větu.

Ptolemaiova věta říká, že součin úhlopříček je totožný se součtem součinů protilehlých stran cyklického čtyřúhelníku.

AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD

Bez ohledu na to, v jaké sféře ekonomiky člověk pracuje, vědomě či nevědomky využívá matematické znalosti nashromážděné po mnoho staletí. Se zařízeními a mechanismy obsahujícími kruhy se setkáváme každý den. Kolo má kulatý tvar, pizza, mnoho zeleniny a ovoce tvoří na řezu kruh, stejně jako talíře, šálky a mnoho dalšího. Ne každý však ví, jak správně vypočítat obvod.

Chcete-li vypočítat obvod kruhu, musíte si nejprve zapamatovat, co je kruh. Toto je množina všech bodů roviny stejně vzdálených od této. Kruh je geometrické místo bodů na rovině umístěné uvnitř kruhu. Z výše uvedeného vyplývá, že obvod kruhu a obvod jsou jedno a totéž.

Metody pro zjištění obvodu kruhu

Kromě matematické metody zjištění obvodu kruhu existují i ​​praktické.

• Vezměte lano nebo šňůru a jednou ji obtočte.
• Poté lano změřte, výsledné číslo bude obvod.
• Kulatým předmětem jednou rolujte a spočítejte délku cesty. Pokud je předmět velmi malý, můžete jej několikrát omotat motouzem, poté nit odvinout, změřit a vydělit počtem závitů.
• Najděte požadovanou hodnotu pomocí vzorce:

L = 2πr = πD ,

kde L je požadovaná délka;

π je konstanta, přibližně rovna 3,14 r je poloměr kružnice, vzdálenost od jejího středu k libovolnému bodu;

D je průměr, rovná se dvěma poloměrům.

Použití vzorce k nalezení obvodu kruhu

• Příklad 1: Běžecký pás běží po kruhu o poloměru 47,8 metru. Najděte délku tohoto běžeckého pásu, přičemž π = 3,14.

L = 2πr = 2*3,14*47,8 ≈ 300 (m)

Odpověď: 300 metrů

• Příklad 2. Kolo bicyklu, které se otočilo 10krát, ujelo 18,85 metru. Najděte poloměr kola.

18,85: 10 =1,885 (m) je obvod kola.

1,885: π = 1,885: 3,1416 ≈ 0,6(m) – požadovaný průměr

Odpověď: průměr kola 0,6 metru

Úžasné číslo pí

Navzdory zjevné jednoduchosti vzorce je pro mnohé z nějakého důvodu obtížné si jej zapamatovat. Zjevně je to způsobeno tím, že vzorec obsahuje iracionální číslo π, které není přítomno ve vzorcích pro oblast jiných obrazců, například čtverce, trojúhelníku nebo kosočtverce. Musíte si jen pamatovat, že se jedná o konstantu, tedy konstantu znamenající poměr obvodu k průměru. Asi před 4 tisíci lety si lidé všimli, že poměr obvodu kruhu k jeho poloměru (nebo průměru) je u všech kruhů stejný.

Staří Řekové přibližovali číslo π zlomkem 22/7. Po dlouhou dobu se π vypočítával jako průměr mezi délkami vepsaných a opsaných mnohoúhelníků v kruhu. Ve třetím století našeho letopočtu provedl čínský matematik výpočet pro 3072-gon a získal přibližnou hodnotu π = 3,1416. Je třeba mít na paměti, že π je vždy konstantní pro jakýkoli kruh. Jeho označení řeckým písmenem π se objevilo v 18. století. Toto je první písmeno Řecká slovaπεριφέρεια - kruh a περίμετρος - obvod. V 18. století bylo prokázáno, že tato veličina je iracionální, to znamená, že ji nelze reprezentovat ve tvaru m/n, kde m je celé číslo a n je přirozené číslo.

Ve školní matematice není obvykle potřeba vysoká přesnost výpočtů a π se bere rovno 3,14.

Kruh je uzavřená křivka, jejíž všechny body jsou ve stejné vzdálenosti od středu. Toto číslo je ploché. Proto je řešení problému, jehož otázkou je, jak zjistit obvod, celkem jednoduché. Na všechny dostupné metody se podíváme v dnešním článku.

Popis obrázku

Kromě celkem jednoduché popisné definice existují ještě tři matematické charakteristiky kruhu, které samy o sobě obsahují odpověď na otázku, jak zjistit obvod:

• Skládá se z bodů A a B a všech ostatních, ze kterých je AB vidět v pravém úhlu. Průměr tohoto obrázku se rovná délce uvažovaného segmentu.
• Zahrnuje pouze takové body X, že poměr AX/BX je konstantní a nerovná se jedné. Pokud tato podmínka není splněna, pak se nejedná o kruh.
• Skládá se z bodů, pro každý z nich platí tato rovnost: součet druhých mocnin vzdáleností k dalším dvěma je daná hodnota, která je vždy větší než polovina délky úsečky mezi nimi.

Terminologie

Ne každý měl ve škole dobrého učitele matematiky. Proto je odpověď na otázku, jak zjistit obvod kruhu, dále komplikována tím, že ne každý zná základní geometrické pojmy. Poloměr je segment, který spojuje střed obrazce s bodem na křivce. Speciálním případem v trigonometrii je jednotkový kruh. Tětiva je segment, který spojuje dva body na křivce. Pod tuto definici spadá například již diskutovaný AB. Průměr je tětiva procházející středem. Číslo π se rovná délce jednotkového půlkruhu.

Základní vzorce

Definice přímo následují geometrické vzorce, které vám umožňují vypočítat hlavní charakteristiky kruhu:

1. Délka je rovna součinu čísla π a průměru. Vzorec se obvykle zapisuje takto: C = π*D.
2. Poloměr se rovná polovině průměru. Lze jej také vypočítat výpočtem podílu dělení obvodu dvojnásobkem čísla π. Vzorec vypadá takto: R = C/(2* π) = D/2.
3. Průměr se rovná podílu obvodu děleného π nebo dvojnásobku poloměru. Vzorec je poměrně jednoduchý a vypadá takto: D = C/π = 2*R.
4. Plocha kruhu se rovná součinu π a čtverce poloměru. Podobně lze v tomto vzorci použít průměr. V tomto případě bude plocha rovna kvocientu součinu π a druhé mocniny průměru děleného čtyřmi. Vzorec lze zapsat následovně: S = π*R 2 = π*D 2 /4.

Jak zjistit obvod kruhu podle průměru

Pro zjednodušení vysvětlení označme písmeny charakteristiky obrazce potřebné pro výpočet. Nechť C je požadovaná délka, D její průměr a π se přibližně rovná 3,14. Pokud máme pouze jednu známou veličinu, pak lze problém považovat za vyřešený. Proč je to v životě nutné? Předpokládejme, že se rozhodneme obehnat kulatý bazén plotem. Jak vypočítat požadovaný počet sloupců? A zde přichází na pomoc schopnost vypočítat obvod. Vzorec je následující: C = π D. V našem příkladu je průměr určen na základě poloměru bazénu a požadované vzdálenosti od plotu. Předpokládejme například, že naše domácí umělé jezírko je široké 20 metrů a sloupky se chystáme umístit ve vzdálenosti deseti metrů od něj. Průměr výsledného kruhu je 20 + 10*2 = 40 m Délka je 3,14*40 = 125,6 metrů. Budeme potřebovat 25 sloupků, pokud je mezi nimi mezera asi 5 m.

Délka přes poloměr

Jako vždy začneme přiřazením písmen k charakteristikám kruhu. Ve skutečnosti jsou univerzální, takže matematici od rozdílné země Není vůbec nutné znát jazyk toho druhého. Předpokládejme, že C je obvod kruhu, r je jeho poloměr a π je přibližně rovno 3,14. Vzorec v tomto případě vypadá takto: C = 2*π*r. Je zřejmé, že toto je naprosto správná rovnice. Jak jsme již zjistili, průměr kruhu se rovná dvojnásobku jeho poloměru, takže tento vzorec vypadá takto. V životě se tato metoda může také často hodit. Pečeme například dort ve speciální vysouvací formě. Aby se nezašpinila, potřebujeme ozdobný obal. Ale jak vyříznout kruh požadované velikosti. Zde přichází na pomoc matematika. Ti, kteří vědí, jak zjistit obvod kruhu, si okamžitě řeknou, že je třeba vynásobit číslo π dvojnásobkem poloměru tvaru. Pokud je jeho poloměr 25 cm, pak bude délka 157 centimetrů.

Ukázkové problémy

Již jsme se podívali na několik praktických případů získaných znalostí o tom, jak zjistit obvod kruhu. Často nám ale nejde o ně, ale o skutečné matematické problémy obsažené v učebnici. Vždyť za ně učitel dává body! Pojďme se tedy podívat na složitější problém. Předpokládejme, že obvod kruhu je 26 cm Jak zjistit poloměr takového obrazce?

Příklad řešení

Nejprve si zapišme, co je nám dáno: C = 26 cm, π = 3,14. Pamatujte také na vzorec: C = 2* π*R. Z něj můžete získat poloměr kruhu. Tedy R= C/2/π. Nyní přistoupíme k samotnému výpočtu. Nejprve vydělte délku dvěma. Dostaneme 13. Nyní musíme vydělit hodnotou čísla π: 13/3,14 = 4,14 cm Je důležité nezapomenout napsat odpověď správně, tedy s měrnými jednotkami, jinak celý praktický význam takové problémy jsou ztraceny. Navíc za takovou nepozornost můžete dostat známku o bod níže. A bez ohledu na to, jak nepříjemné to může být, budete se s tímto stavem muset smířit.

Šelma není tak děsivá, jak je namalovaná

Takže jsme se vypořádali s na první pohled tak obtížným úkolem. Jak se ukázalo, stačí pochopit význam pojmů a zapamatovat si pár jednoduchých vzorců. Matematika není tak děsivá, jen je potřeba se trochu snažit. Takže geometrie na vás čeká!