Není třeba se učit oblast sektoru kruhu a oblasti segmentu! Drazí přátelé!Pravděpodobně jste si více než jednou prohlédli referenční knihu s matematickými vzorci a pravděpodobně vás napadla myšlenka: „Je opravdu možné se je všechny naučit?“ Řeknu vám, co je možné, ale proč? Proč si cpát hlavu spoustou vzorců, neustále je opakovat, děsit se, že jste na některé zapomněli a znovu je opakovat? Není třeba!

Ve skutečnosti si stačí zapamatovat třetinu všech vzorců, základních vzorců nebo ještě méně. Dále pochopíte, o čem mluvíme. Všechny ostatní vzorce lze rychle odvodit znalostmi základů, aplikací logiky a zapamatováním si zásad, které je třeba dodržovat.

Uvedu příklad: existuje 32 redukčních vzorců, učit se je je zbytečné cvičení. Jak si rychle zapamatovat kteroukoli z nich je nastíněno v článku „“, podívejte se.

V tomto článku se podíváme na to, jak rychle obnovit v paměti vzorce pro oblast sektoru kruhu, oblast jeho segmentu a délku oblouku kruhu. Právě tyto vzorce budou potřeba k řešení řady v planimetrii, kterou si rozebereme v příštím článku.Takže „základní“ vzorce, musíte se je naučit a znát!

Oblast kruhu (vzorec):

Vzorec obvodu:

Znázorněme sektor odpovídající určitému středovému úhlu n:

Uvažujeme logicky: pokud je plocha kruhu S= PR 2 , pak se plocha odpovídající sektoru jednoho stupně bude rovnat 1/360 plochy kruhu (víme, že celý kruh má úhel 360 stupňů), tzn.

Dále je zřejmé, že plocha sektoru odpovídající středovému úhlu n stupňů se rovná součinu jedné tři sta šedesátiny plochy kruhu a středového úhlu n (odpovídající sektoru) , to je

Zde je vzorec pro oblast sektoru.

Nebo můžete svou úvahu strukturovat takto:

Sektor 1 stupně je 1/360 kruhu, respektive sektor n stupňů je n/360 kruhu. To znamená, že plocha sektoru se bude rovnat součinu plochy kruhu a této části:

Je to jednoduché. Je nutné odečíst plochu trojúhelníku od oblasti sektoru (je označena žlutá). Jak víme, plocha trojúhelníku se rovná polovině součinu sousedních stran a sinu úhlu mezi nimi (musíte znát tento vzorec, není tokomplex). V v tomto případě Tento:

Prostředek,

Tolik k oblasti segmentu!

Oblast segmentu, kde je středový úhel větší než 180 stupňů, je jednoduše:

Od plochy kruhu odečtěte plochu výsledného segmentu:

Úhel 360 – n stupňů je úhel, který odpovídá zobrazenému sektoru (žlutý):

Jinými slovy, přidáme plochu trojúhelníku k jeho ploše a získáme plochu zadaného segmentu.

Podobně určíme délku oblouku kružnice. Jak již bylo řečeno, obvod je roven:

To znamená, že délka oblouku kružnice odpovídající jednomu stupni se bude rovnat jedné třistašedesátině 2πR, tj.

Dostaneme délku oblouku kruhu. Rozhodně, tato informace učitelé dávají studentům a nic tak tajného jste se nenaučili. Ale věřím, že se vám článek bude hodit.

Opakuji, že nejdůležitější je znát vzorce pro oblast kruhu a obvodu a pak už funguje jen logika.

Navrhuji sledovat další lekci Dmiryho Tarasova na toto téma. Zvažují se vzorce pro délku kruhového oblouku a plochu sektoru, kde je středový úhel dán v radiánech.

To je vše. Přeji ti úspěch!!

S pozdravem Alexander Krutitskikh.

P.S: Byl bych vděčný, kdybyste mi o webu řekli na sociálních sítích.

Kruh, jeho části, jejich velikosti a vztahy jsou věci, se kterými se šperkař neustále setkává. Prsteny, náramky, kasty, trubičky, kuličky, spirálky – musí se vyrobit spousta kulatých věcí. Jak to všechno můžete spočítat, zvláště když jste měli to štěstí, že jste ve škole vynechali hodiny geometrie?...

Nejprve se podívejme, jaké části má kruh a jak se nazývají.

• Kruh je čára, která obklopuje kruh.
• Oblouk je součástí kruhu.
• Poloměr je úsečka spojující střed kružnice s libovolným bodem kružnice.
• Tětiva je úsečka spojující dva body na kružnici.
• Úsek je část kružnice ohraničená tětivou a obloukem.
• Sektor je část kružnice ohraničená dvěma poloměry a obloukem.

Množství, která nás zajímají, a jejich označení:

Nyní se podívejme, jaké problémy související s částmi kruhu je třeba vyřešit.

• Najděte délku rozvinutí libovolné části prstenu (náramku). Vzhledem k průměru a tětivě (volba: průměr a středový úhel) najděte délku oblouku.
• Na rovině je kresba, její velikost je potřeba zjistit v promítání po ohnutí do oblouku. Vzhledem k délce a průměru oblouku najděte délku tětivy.
• Zjistěte výšku dílu získaného ohnutím plochého obrobku do oblouku. Možnosti zdrojových dat: délka a průměr oblouku, délka oblouku a tětiva; zjistěte výšku segmentu.

Život vám dá další příklady, ale ty jsem uvedl jen proto, abych ukázal, že je potřeba nastavit nějaké dva parametry, abyste našli všechny ostatní. To je to, co uděláme. Jmenovitě vezmeme pět parametrů segmentu: D, L, X, φ a H. Poté, co z nich vybereme všechny možné dvojice, je budeme považovat za výchozí data a zbytek zjistíme brainstormingem.

Abych čtenáře zbytečně nezatěžoval, nebudu uvádět podrobná řešení, ale uvedu pouze výsledky ve formě vzorců (ty případy, kdy není formální řešení, proberu na cestě).

A ještě jedna poznámka: k měrným jednotkám. Všechny veličiny, kromě středového úhlu, se měří ve stejných abstraktních jednotkách. To znamená, že pokud například zadáte jednu hodnotu v milimetrech, druhou není nutné zadat v centimetrech a výsledné hodnoty budou měřeny ve stejných milimetrech (a plochy v milimetrech čtverečních). Totéž lze říci o palcích, stopách a námořních mílích.

A pouze středový úhel se ve všech případech měří ve stupních a nic jiného. Protože obecně platí, že lidé, kteří navrhují něco kulatého, nemají tendenci měřit úhly v radiánech. Fráze „úhel pí o čtyři“ mnohé mate, zatímco „úhel čtyřicet pět stupňů“ je srozumitelný každému, protože je pouze o pět stupňů vyšší než normálně. Ve všech vzorcích však bude jako mezihodnota přítomen ještě jeden úhel - α. To znamená, že se jedná o polovinu středového úhlu, měřeného v radiánech, ale do tohoto významu se nemůžete bezpečně ponořit.

1. Vzhledem k průměru D a délce oblouku L

; délka tětivy ;
výška segmentu ; středový úhel .

2. Je dán průměr D a délka tětivy X

; délka oblouku;
výška segmentu ; středový úhel .

Vzhledem k tomu, že tětiva rozděluje kruh na dva segmenty, nemá tento problém jedno, ale dvě řešení. Chcete-li získat druhý, musíte nahradit úhel α ve výše uvedených vzorcích úhlem .

3. Je dán průměr D a středový úhel φ

; délka oblouku;
délka tětivy ; výška segmentu .

4. Vzhledem k průměru D a výšce segmentu H

; délka oblouku;
délka tětivy ; středový úhel .

6. Je dána délka oblouku L a středový úhel φ

; průměr ;
délka tětivy ; výška segmentu .

8. Je dána délka tětivy X a středový úhel φ

; délka oblouku ;
průměr ; výška segmentu .

9. Vzhledem k délce tětivy X a výšce segmentu H

; délka oblouku ;
průměr ; středový úhel .

10. Je dán středový úhel φ a výška segmentu H

; průměr ;
délka oblouku; délka tětivy .

Pozorný čtenář si nemohl nevšimnout, že mi unikli dvě možnosti:

5. Je dána délka oblouku L a délka tětivy X

7. Vzhledem k délce oblouku L a výšce segmentu H

To jsou právě ty dva nepříjemné případy, kdy problém nemá řešení, které by šlo zapsat ve formě vzorce. A úkol není tak vzácný. Například máte plochý kus délky L a chcete jej ohnout tak, aby jeho délka byla X (nebo jeho výška byla H). Jaký průměr mám vzít trn (příčník)?

Tento problém se týká řešení rovnic:
; - ve variantě 5
; - ve variantě 7
a přestože je nelze řešit analyticky, lze je snadno vyřešit programově. A dokonce vím, kde takový program sehnat: právě na tomto webu pod názvem . Všechno, co vám tady dlouze vyprávím, udělá v mikrosekundách.

Pro dokončení obrázku přidejte k výsledkům našich výpočtů obvod a tři hodnoty plochy - kruh, sektor a segment. (Plochy nám hodně pomohou při výpočtu hmotnosti všech kulatých a půlkruhových dílů, ale o tom více v samostatném článku.) Všechny tyto veličiny se počítají pomocí stejných vzorců:

obvod ;
oblast kruhu ;
sektorová oblast ;
oblast segmentu ;

A na závěr mi dovolte ještě jednou připomenout existenci absolutně volný program, který provádí všechny výše uvedené výpočty, takže si nemusíte pamatovat, co je arctangens a kde jej hledat.

A kruh - geometrické obrazce, propojené. je tam přerušovaná čára (křivka) kruh,

Definice. Kruh je uzavřená křivka, jejíž každý bod je stejně vzdálený od bodu zvaného střed kružnice.

Pro sestrojení kružnice se vybere libovolný bod O, který se považuje za střed kružnice, a pomocí kružítka se nakreslí uzavřená čára.

Pokud je bod O středu kružnice spojen s libovolnými body na kružnici, pak si všechny výsledné úsečky budou navzájem rovné a takové úsečky se nazývají poloměry, zkráceně latinsky malé nebo velké písmeno"ehm" ( r nebo R). V kruhu můžete nakreslit tolik poloměrů, kolik je bodů v délce kruhu.

Úsečka spojující dva body na kružnici a procházející jejím středem se nazývá průměr. Průměr se skládá ze dvou poloměry, ležící na stejné přímce. Průměr je označen latinským malým nebo velkým písmenem „de“ ( d nebo D).

Pravidlo. Průměr kruh se rovná dvěma jeho poloměry.

d = 2r
D = 2R

Obvod kruhu se vypočítá podle vzorce a závisí na poloměru (průměru) kruhu. Vzorec obsahuje číslo ¶, které ukazuje, kolikrát je obvod větší než jeho průměr. Číslo ¶ má nekonečný počet desetinných míst. Pro výpočty bylo použito ¶ = 3,14.

Obvod kruhu se označuje latinským velkým písmenem „tse“ ( C). Obvod kruhu je úměrný jeho průměru. Vzorce pro výpočet obvodu kruhu na základě jeho poloměru a průměru:

C = ¶d
C = 2¶r

• Příklady
• Dáno: d = 100 cm.
• Obvod: C=3,14*100cm=314cm
• Dáno: d = 25 mm.
• Obvod: C = 2 * 3,14 * 25 = 157 mm

Kruhová sečna a kruhový oblouk

Každá sečna (přímka) protíná kružnici ve dvou bodech a rozděluje ji na dva oblouky. Velikost oblouku kružnice závisí na vzdálenosti mezi středem a sečnou a měří se podél uzavřené křivky od prvního průsečíku sečny s kružnicí ke druhému.

Oblouky kruhy jsou rozděleny sečna na dur a moll, pokud sečna neshoduje s průměrem, a na dva stejné oblouky, pokud sečna prochází podél průměru kruhu.

Pokud středem kružnice prochází sečna, pak její úsečka umístěná mezi průsečíky kružnice je průměr kružnice nebo největší tětiva kružnice.

Čím dále je sečna umístěna od středu kružnice, tím menší je míra stupně menšího oblouku kružnice a větší větší oblouk kružnice a segment sečny, tzv. akord, klesá, jak se sečna vzdaluje od středu kruhu.

Definice. Kružnice je část roviny ležící uvnitř kružnice.

Střed, poloměr a průměr kružnice jsou současně středem, poloměrem a průměrem příslušné kružnice.

Protože kružnice je součástí roviny, jedním z jejích parametrů je plocha.

Pravidlo. Oblast kruhu ( S) se rovná součinu druhé mocniny poloměru ( r 2) na číslo ¶.

• Příklady
• Dáno: r = 100 cm
• Oblast kruhu:
• S = 3,14 * 100 cm * 100 cm = 31 400 cm 2 ≈ 3 m 2
• Dáno: d = 50 mm
• Oblast kruhu:
• S = ¼ * 3,14 * 50 mm * 50 mm = 1 963 mm 2 ≈ 20 cm 2

Pokud nakreslíte dva poloměry v kružnici do různých bodů na kružnici, vytvoří se dvě části kružnice, které se nazývají sektory. Pokud nakreslíte tětivu v kruhu, pak se nazývá část roviny mezi obloukem a tětivou kruhový segment.

"Znaky rovnosti trojúhelníků" - Typy trojúhelníků. Výška trojúhelníku Znaky rovnosti trojúhelníků. Trisektory úhlu. Každý trojúhelník má tři mediány. První zmínku o trojúhelníku a jeho vlastnostech nacházíme v egyptských papyrech. Vlastnosti mediánů, os a výšek trojúhelníků. Rovnostranný a rovnoramenný trojúhelník.

„List papíru“ - V geometrii se papír používá k: psaní, kreslení; střih; ohyb. Známý fakt pálení papíru se v geometrii nepoužívá. Geometrie a list papíru. Pascal. Z papíru je vyříznut trojúhelník. List z notebooku. Mezi mnoha možnými akcemi s papírem zaujímá důležité místo skutečnost, že jej lze řezat.

"Historie geometrie" - Starověký Egypt. Středověk. "Principy" se skládá ze 13 knih. Vznik a vývoj geometrie. V Lyubačevského geometrii existují trojúhelníky s páry rovnoběžné strany. Starověké Řecko. Geometrie obsahuje mnoho vzorců, obrazců, teorémů, problémů a axiomů. Thales představil koncept pohybu, zejména otáčení.

„Důkaz Pythagorovy věty“ - Význam věty spočívá v tom, že z ní nebo s její pomocí lze odvodit většinu geometrických vět. Algebraický důkaz. Význam Pythagorovy věty. A nyní platí Pythagorova věta, stejně jako v jeho vzdáleném věku. Pythagorova věta je jednou z nejdůležitějších vět v geometrii. Pythagorova věta. Euklidův důkaz.

"Thales of Miletus" - THALES - starověký řecký myslitel, předek antická filozofie a věda. Někdy je potřeba změřit vzdálenost k nepřístupnému předmětu. Určení vzdálenosti pomocí zápalky. Thales objevil délku roku a rozdělil ji na 365 dní. Thales z Milétu. Thales předpověděl zatmění Slunce 28. května 585 před naším letopočtem

„Pravidelný mnohostěn“ – dvacetistěn je nejefektivnější. Modelka Sluneční Soustava I.Kepler. V živé přírodě se vyskytují pravidelné mnohostěny. Keplerův „Kosmický pohár“. Z dvanácti pravidelných pětiúhelníků je ponechán pravidelný dvanáctistěn. Součet rovinných úhlů dvacetistěnu v každém vrcholu je 300?. Pravidelný dvacetistěn.

Celkem je 41 prezentací