Mnoho problémů vyžaduje výpočet maximální nebo minimální hodnoty kvadratické funkce. Maximum nebo minimum lze zjistit, pokud je původní funkce zapsána ve standardním tvaru: nebo pomocí souřadnic vrcholu paraboly: f (x) = a (x − h) 2 + k (\displaystyle f(x)=a(x-h)^(2)+k). Kromě toho lze pomocí matematických operací vypočítat maximum nebo minimum jakékoli kvadratické funkce.

Kroky

Kvadratická funkce je zapsána ve standardním tvaru

Funkci zapište ve standardním tvaru. Kvadratická funkce je funkce, jejíž rovnice obsahuje proměnnou x 2 (\displaystyle x^(2)). Rovnice může nebo nemusí obsahovat proměnnou x (\displaystyle x). Pokud rovnice obsahuje proměnnou s exponentem větším než 2, nepopisuje kvadratickou funkci. Pokud je to nutné, poskytněte podobné termíny a uspořádejte je tak, aby byla funkce zapsána ve standardním tvaru.

• Například vzhledem k funkci f (x) = 3 x + 2 x − x 2 + 3 x 2 + 4 (\displaystyle f(x)=3x+2x-x^(2)+3x^(2)+4). Přidejte výrazy s proměnnou x 2 (\displaystyle x^(2)) a členové s proměnnou x (\displaystyle x) napsat rovnici ve standardním tvaru:
  • f (x) = 2 x 2 + 5 x + 4 (\displaystyle f(x)=2x^(2)+5x+4)

1. Grafem kvadratické funkce je parabola. Větve paraboly směřují nahoru nebo dolů. Pokud koeficient a (\displaystyle a) s proměnnou x 2 (\displaystyle x^(2)) a (\displaystyle a)

   • f (x) = 2 x 2 + 4 x − 6 (\displaystyle f(x)=2x^(2)+4x-6). Tady a = 2 (\displaystyle a=2)
   • f (x) = − 3 x 2 + 2 x + 8 (\displaystyle f(x)=-3x^(2)+2x+8). Zde tedy parabola směřuje dolů.
   • f (x) = x 2 + 6 (\displaystyle f(x)=x^(2)+6). Tady a = 1 (\displaystyle a=1), takže parabola směřuje nahoru.
   • Pokud parabola směřuje nahoru, musíte hledat její minimum. Pokud parabola směřuje dolů, hledejte její maximum.

2. Vypočítejte -b/2a. Význam − b 2 a (\displaystyle -(\frac (b)(2a))) je souřadnice x (\displaystyle x) vrcholy paraboly. Pokud je kvadratická funkce zapsána ve standardním tvaru a x 2 + b x + c (\displaystyle ax^(2)+bx+c), použijte koeficienty pro x (\displaystyle x) A x 2 (\displaystyle x^(2)) následujícím způsobem:

   • Ve funkčních koeficientech a = 1 (\displaystyle a=1) A b = 10 (\displaystyle b=10)
     • x = − 10 (2) (1) (\displaystyle x=-(\frac (10)((2)(1))))
     • x = − 10 2 (\displaystyle x=-(\frac (10)(2)))
   • Jako druhý příklad zvažte funkci. Tady a = − 3 (\displaystyle a=-3) A b = 6 (\displaystyle b=6). Vypočítejte tedy souřadnici „x“ vrcholu paraboly následovně:
     • x = − b 2 a (\displaystyle x=-(\frac (b)(2a)))
     • x = − 6 (2) (− 3) (\displaystyle x=-(\frac (6)((2)(-3))))
     • x = − 6 − 6 (\displaystyle x=-(\frac (6)(-6)))
     • x = − (− 1) (\displaystyle x=-(-1))
     • x = 1 (\displaystyle x=1)

3. Najděte odpovídající hodnotu f(x). Zasuňte nalezenou hodnotu „x“ do původní funkce, abyste našli odpovídající hodnotu f(x). Tímto způsobem najdete minimum nebo maximum funkce.

   • V prvním příkladu f (x) = x 2 + 10 x − 1 (\displaystyle f(x)=x^(2)+10x-1) vypočítali jste, že souřadnice x vrcholu paraboly je x = − 5 (\displaystyle x=-5). V původní funkci místo x (\displaystyle x) nahradit − 5 (\displaystyle -5)
     • f (x) = x 2 + 10 x − 1 (\displaystyle f(x)=x^(2)+10x-1)
     • f (x) = (− 5) 2 + 10 (− 5) − 1 (\displaystyle f(x)=(-5)^(2)+10(-5)-1)
     • f (x) = 25 − 50 − 1 (\displaystyle f(x)=25-50-1)
     • f (x) = − 26 (\displaystyle f(x)=-26)
   • Ve druhém příkladu f (x) = − 3 x 2 + 6 x − 4 (\displaystyle f(x)=-3x^(2)+6x-4) zjistili jste, že souřadnice x vrcholu paraboly je x = 1 (\displaystyle x=1). V původní funkci místo x (\displaystyle x) nahradit 1 (\displaystyle 1) najít ji maximální hodnota:
     • f (x) = − 3 x 2 + 6 x − 4 (\displaystyle f(x)=-3x^(2)+6x-4)
     • f (x) = − 3 (1) 2 + 6 (1) − 4 (\displaystyle f(x)=-3(1)^(2)+6(1)-4)
     • f (x) = − 3 + 6 − 4 (\displaystyle f(x)=-3+6-4)
     • f (x) = − 1 (\displaystyle f(x)=-1)

4. Zapište svou odpověď. Znovu si přečtěte prohlášení o problému. Pokud potřebujete najít souřadnice vrcholu paraboly, zapište si do odpovědi obě hodnoty x (\displaystyle x) A y (\displaystyle y)(nebo f (x) (\displaystyle f(x))). Pokud potřebujete vypočítat maximum nebo minimum funkce, zapište do odpovědi pouze hodnotu y (\displaystyle y)(nebo f (x) (\displaystyle f(x))). Podívejte se znovu na znaménko koeficientu a (\displaystyle a) zkontrolovat, zda jste vypočítali maximum nebo minimum.

   • V prvním příkladu f (x) = x 2 + 10 x − 1 (\displaystyle f(x)=x^(2)+10x-1) význam a (\displaystyle a) kladné, takže jste vypočítali minimum. Vrchol paraboly leží v bodě se souřadnicemi (− 5 , − 26) (\displaystyle (-5,-26)) a minimální hodnota funkce je − 26 (\displaystyle -26).
   • Ve druhém příkladu f (x) = − 3 x 2 + 6 x − 4 (\displaystyle f(x)=-3x^(2)+6x-4) význam a (\displaystyle a) negativní, takže jste našli maximum. Vrchol paraboly leží v bodě se souřadnicemi (1 , − 1) (\displaystyle (1,-1)) a maximální hodnota funkce je − 1 (\displaystyle -1).

5. Určete směr paraboly. Chcete-li to provést, podívejte se na znaménko koeficientu a (\displaystyle a). Pokud koeficient a (\displaystyle a) kladná, parabola směřuje nahoru. Pokud koeficient a (\displaystyle a) negativní, parabola směřuje dolů. Například:

   • . Tady a = 2 (\displaystyle a=2), to znamená, že koeficient je kladný, takže parabola směřuje nahoru.
   • . Tady a = − 3 (\displaystyle a=-3), to znamená, že koeficient je záporný, takže parabola směřuje dolů.
   • Pokud parabola směřuje nahoru, musíte vypočítat minimální hodnotu funkce. Pokud parabola směřuje dolů, musíte najít maximální hodnotu funkce.

6. Najděte minimální nebo maximální hodnotu funkce. Pokud je funkce zapsána přes souřadnice vrcholu paraboly, minimum nebo maximum se rovná hodnotě koeficientu k (\displaystyle k). Ve výše uvedených příkladech:

   • f (x) = 2 (x + 1) 2 − 4 (\displaystyle f(x)=2(x+1)^(2)-4). Tady k = − 4 (\displaystyle k=-4). Toto je minimální hodnota funkce, protože parabola směřuje nahoru.
   • f (x) = − 3 (x − 2) 2 + 2 (\displaystyle f(x)=-3(x-2)^(2)+2). Tady k = 2 (\displaystyle k=2). Toto je maximální hodnota funkce, protože parabola směřuje dolů.

7. Najděte souřadnice vrcholu paraboly. Pokud problém vyžaduje nalezení vrcholu paraboly, její souřadnice jsou (h, k) (\displaystyle (h,k)). Vezměte prosím na vědomí, že když je kvadratická funkce zapsána pomocí souřadnic vrcholu paraboly, operace odčítání musí být uzavřena v závorkách. (x − h) (\displaystyle (x-h)), takže hodnota h (\displaystyle h) se bere s opačným znaménkem.

   • f (x) = 2 (x + 1) 2 − 4 (\displaystyle f(x)=2(x+1)^(2)-4). Zde je operace sčítání (x+1) uzavřena v závorce, kterou lze přepsat následovně: (x-(-1)). Tím pádem, h = − 1 (\displaystyle h=-1). Souřadnice vrcholu paraboly této funkce se tedy rovnají (− 1 , − 4) (\displaystyle (-1,-4)).
   • f (x) = − 3 (x − 2) 2 + 2 (\displaystyle f(x)=-3(x-2)^(2)+2). Zde v závorce je výraz (x-2). Proto, h = 2 (\displaystyle h=2). Souřadnice vrcholu jsou (2,2).

Jak vypočítat minimum nebo maximum pomocí matematických operací

1. Nejprve se podívejme na standardní formu rovnice. Napište kvadratickou funkci ve standardním tvaru: f (x) = a x 2 + b x + c (\displaystyle f(x)=ax^(2)+bx+c). Je-li to nutné, přidejte podobné výrazy a přeuspořádejte je, abyste získali standardní rovnici.

   • Například: .

2. Najděte první derivaci. První derivace kvadratické funkce, která je zapsána ve standardním tvaru, se rovná f ′ (x) = 2 a x + b (\displaystyle f^(\prime )(x)=2ax+b).

   • f (x) = 2 x 2 − 4 x + 1 (\displaystyle f(x)=2x^(2)-4x+1). První derivace této funkce se vypočítá takto:
     • f ′ (x) = 4 x − 4 (\displaystyle f^(\prime )(x)=4x-4)

3. Srovnejte derivaci s nulou. Připomeňme, že derivace funkce se rovná sklonu funkce v určitém bodě. Při minimu nebo maximu je sklon nulový. Proto, abychom našli minimální nebo maximální hodnotu funkce, musí být derivace nastavena na nulu. V našem příkladu.

Jak postavit parabolu? Existuje několik způsobů, jak znázornit graf kvadratické funkce. Každý z nich má své pro a proti. Zvažme dva způsoby.

Začněme vynesením kvadratické funkce ve tvaru y=x²+bx+c a y= -x²+bx+c.

Příklad.

Nakreslete graf funkce y=x²+2x-3.

Řešení:

y=x²+2x-3 je kvadratická funkce. Graf je parabola s větvemi nahoru. Souřadnice vrcholů paraboly

Z vrcholu (-1;-4) sestavíme graf paraboly y=x² (jako od počátku souřadnic. Místo (0;0) - vrchol (-1;-4). Z (-1; -4) jdeme doprava o 1 jednotku a nahoru o 1, pak doleva o 1 a nahoru o 1 pak: 2 - doprava, 4 - nahoru, 2 - doleva, 3 - 9 - nahoru, 3 -; vlevo, 9 - nahoru Pokud těchto 7 bodů nestačí, pak 4 vpravo, 16 nahoru atd.).

Graf kvadratické funkce y= -x²+bx+c je parabola, jejíž větve směřují dolů. Pro sestrojení grafu hledáme souřadnice vrcholu a z nich sestrojíme parabolu y= -x².

Příklad.

Nakreslete graf funkce y= -x²+2x+8.

Řešení:

y= -x²+2x+8 je kvadratická funkce. Graf je parabola s větvemi dolů. Souřadnice vrcholů paraboly

Z vrcholu sestavíme parabolu y= -x² (1 - doprava, 1 - dolů; 1 - doleva, 1 - dolů; 2 - doprava, 4 - dolů; 2 - doleva, 4 - dolů atd.):

Tato metoda vám umožňuje rychle sestavit parabolu a nezpůsobuje potíže, pokud víte, jak znázornit graf funkcí y=x² a y= -x². Nevýhoda: pokud jsou souřadnice vrcholu zlomková čísla, sestavení grafu není příliš pohodlné. Pokud to potřebujete vědět přesné hodnoty průsečíky grafu s osou Ox, budete muset dodatečně vyřešit rovnici x²+bx+c=0 (nebo -x²+bx+c=0), i když tyto body lze přímo určit z výkresu.

Dalším způsobem, jak sestrojit parabolu, jsou body, to znamená, že na grafu můžete najít několik bodů a nakreslit jimi parabolu (vzhledem k tomu, že přímka x=xₒ je její osou symetrie). Obvykle k tomu berou vrchol paraboly, průsečíky grafu se souřadnicovými osami a 1-2 další body.

Nakreslete graf funkce y=x²+5x+4.

Řešení:

y=x²+5x+4 je kvadratická funkce. Graf je parabola s větvemi nahoru. Souřadnice vrcholů paraboly

to znamená, že vrchol paraboly je bod (-2,5; -2,25).

Hledají . V průsečíku s osou Ox y=0: x²+5x+4=0. Kořeny kvadratická rovnice x1=-1, x2=-4, to znamená, že jsme dostali dva body na grafu (-1; 0) a (-4; 0).

V průsečíku grafu s osou Oy x=0: y=0²+5∙0+4=4. Získali jsme bod (0; 4).

Pro objasnění grafu můžete najít další bod. Vezměme x=1, pak y=1²+5∙1+4=10, to znamená, že další bod v grafu je (1; 10). Tyto body označíme na souřadnicové rovině. Vezmeme-li v úvahu symetrii paraboly vzhledem k přímce procházející jejím vrcholem, označíme další dva body: (-5; 6) a (-6; 10) a nakreslíme jimi parabolu:

Nakreslete graf funkce y= -x²-3x.

Řešení:

y= -x²-3x je kvadratická funkce. Graf je parabola s větvemi dolů. Souřadnice vrcholů paraboly

Vrchol (-1,5; 2,25) je prvním bodem paraboly.

V průsečících grafu s osou x y=0, tedy řešíme rovnici -x²-3x=0. Jeho kořeny jsou x=0 a x=-3, tedy (0;0) a (-3;0) - další dva body na grafu. Bod (o; 0) je také průsečíkem paraboly se souřadnicovou osou.

Při x=1 y=-1²-3∙1=-4, tedy (1; -4) je další bod pro vykreslování.

Konstrukce paraboly z bodů je ve srovnání s první metodou pracnější. Pokud parabola neprotíná osu Ox, bude potřeba více dalších bodů.

Než budeme pokračovat v konstrukci grafů kvadratických funkcí tvaru y=ax²+bx+c, uvažujme o konstrukci grafů funkcí pomocí geometrických transformací. Nejvýhodnější je také sestrojit grafy funkcí tvaru y=x²+c pomocí jedné z těchto transformací – paralelního překladu.

Lekce 15.
Vliv šancía, b AS na místo
graf kvadratické funkce

cíle: pokračovat v rozvoji schopnosti vykreslit kvadratickou funkci do grafu a vyjmenovat její vlastnosti; identifikovat vliv koeficientů A, b A S na umístění grafu kvadratické funkce.

Během vyučování

I. Organizační moment.

II. Ústní práce.

Určete, který funkční graf je na obrázku:

na = X 2 – 2X – 1;

na = –2X 2 – 8X;

na = X 2 – 4X – 1;

na = 2X 2 + 8X + 7;

na = 2X 2 – 1.

b)

na = X 2 – 2X;

na = –X 2 + 4X + 1;

na = –X 2 – 4X + 1;

na = –X 2 + 4X – 1;

na = –X 2 + 2X – 1.

III. Formování dovedností a schopností.

Cvičení:

1. č. 127 (a).

Řešení

Rovný na = 6X + b se dotýká paraboly na = X 2 + 8, to znamená, že má s sebou pouze jeden společný bod v případě rovnice 6 X + b = X 2 + 8 bude mít jediné rozhodnutí.

Tato rovnice je kvadratická, najdeme její diskriminant:

X 2 – 6X + 8 + b = 0;

D 1 = 9 – (8 – b) = 1 + b;

D 1 = 0, pokud 1 + b= 0, tzn b= –1.

Odpovědět: b= –1.

3. Identifikujte vliv koeficientů A, b A S na umístění funkčního grafu na = Ach 2 + bx + S.

Studenti mají dostatečné znalosti k samostatnému dokončení tohoto úkolu. Měli by být vyzváni, aby si všechna svá zjištění zapsali do poznámkového bloku a zdůraznili „hlavní“ roli každého z koeficientů.

1) Koeficient A ovlivňuje směr větví paraboly: kdy A> 0 – větve směřují nahoru, s A < 0 – вниз.

2) Koeficient b ovlivňuje umístění vrcholu paraboly. Na b= 0 vrchol leží na ose OU.

3) Koeficient S ukazuje průsečík paraboly s osou OU.

Poté může být uveden příklad, který ukáže, co lze říci o koeficientech A, b A S podle grafu funkce.

Význam S lze nazvat přesně: protože graf protíná osu OU v bodě (0; 1), tedy S = 1.

Součinitel A lze srovnat s nulou: protože větve paraboly směřují dolů, pak A < 0.

Znak koeficientu b lze zjistit ze vzorce, který určuje úsečku vrcholu paraboly: T= , protože A < 0 и T= 1, tedy b> 0.

4. Na základě hodnoty koeficientů určete, který funkční graf je na obrázku A, b A S.

na = –X 2 + 2X;

na = X 2 + 2X + 2;

na = 2X 2 – 3X – 2;

na = X 2 – 2.

Řešení

A, b A S:

A> 0, protože větve paraboly směřují nahoru;

b OU;

S= –2, protože parabola protíná pořadnici v bodě (0; –2).

na = 2X 2 – 3X – 2.

na = X 2 – 2X;

na = –2X 2 + X + 3;

na = –3X 2 – X – 1;

na = –2,7X 2 – 2X.

Řešení

Na základě zobrazeného grafu vyvodíme o koeficientech následující závěry A, b A S:

A < 0, так как ветви параболы направлены вниз;

b≠ 0, protože vrchol paraboly neleží na ose OU;

S= 0, protože parabola protíná osu OU v bodě (0; 0).

Všechny tyto podmínky splňuje pouze funkce na = –2,7X 2 – 2X.

5. Podle grafu funkce na = Ach 2 + bx + S A, b A S:

A) b)

Řešení

a) Větve paraboly tedy směřují vzhůru A > 0.

Parabola protíná ordinátní osu ve spodní polorovině, takže S < 0. Чтобы узнать знак коэффициента b Použijme vzorec k nalezení úsečky vrcholu paraboly: T= . Z grafu je to vidět T < 0, и мы определим, что A> 0. Proto b> 0.

b) Podobně určíme znaménka koeficientů A, b A S:

A < 0, S > 0, b< 0.

Studenti, kteří jsou akademicky silní, mohou dostat další možnost k dokončení č. 247.

Řešení

na = X 2 + px + q.

a) Podle Vietovy věty je známo, že pokud X 1 a X 2 – kořeny rovnice X 2 +
+ px + q= 0 (tedy nuly této funkce), tedy X 1 · X 2 = q A X 1 + X 2 = –R. Chápeme to q= 3 4 = 12 a R = –(3 + 4) = –7.

b) Průsečík paraboly s osou OU poskytne hodnotu parametru q, to je q= 6. Pokud graf funkce protíná osu ACH v bodě (2; 0), pak číslo 2 je kořenem rovnice X 2 + px + q= 0. Nahrazení hodnoty X= 2 do této rovnice, dostaneme to R = –5.

c) Tato kvadratická funkce dosahuje své minimální hodnoty ve vrcholu paraboly, tedy odkud R= –12. Podle podmínky, hodnoty funkce na = X 2 – 12X + q na místě X= 6 se rovná 24. Nahrazování X= 6 a na= 24 do této funkce, zjistíme, že q= 60.

IV. Ověřovací práce.

Možnost 1

1. Graf funkce na = 2X 2 + 4X– 6 a najděte pomocí grafu:

a) nuly funkce;

b) intervaly, ve kterých na> 0 a y < 0;

G) nejmenší hodnotu funkce;

e) rozsah funkce.

2. Bez grafu funkce na = –X 2 + 4X, najít:

a) nuly funkce;

c) rozsah funkce.

3. Podle grafu funkce na = Ach 2 + bx + S určit znaménka koeficientů A, b A S:

Možnost 2

1. Graf funkce na = –X 2 + 2X+ 3 a najděte pomocí grafu:

a) nuly funkce;

b) intervaly, ve kterých na> 0 a y < 0;

c) intervaly rostoucích a klesajících funkcí;

d) nejvyšší hodnota funkce;

e) rozsah funkce.

2. Bez grafu funkce na = 2X 2 + 8X, najít:

a) nuly funkce;

b) intervaly rostoucí a klesající funkce;

c) rozsah funkce.

3. Podle grafu funkce na = Ach 2 + bx + S určit znaménka koeficientů A, b A S:

V. Shrnutí lekce.

Často kladené otázky:

– Popište algoritmus pro konstrukci kvadratické funkce.

– Vyjmenujte vlastnosti funkce na = Ach 2 + bx + S na A> 0 a při A < 0.

– Jak ovlivňují kurzy A, b A S na umístění grafu kvadratické funkce?

Domácí práce: č. 127 (b), č. 128, č. 248.

NAVÍC: č. 130.

Důležité poznámky!
1. Pokud místo vzorců vidíte gobbledygook, vymažte mezipaměť. Jak to udělat ve vašem prohlížeči je napsáno zde:
2. Než začnete číst článek, věnujte pozornost našemu navigátoru, kde najdete nejužitečnější zdroje pro

Abyste pochopili, co se zde bude psát, musíte dobře vědět, co je to kvadratická funkce a k čemu se používá. Pokud se považujete za profíka, pokud jde o kvadratické funkce, vítejte. Ale pokud ne, měli byste si přečíst vlákno.

Začněme malým kontroly:

1. Jak vypadá kvadratická funkce v obecném tvaru (vzorci)?
2. Jak se nazývá graf kvadratické funkce?
3. Jak ovlivňuje vedoucí koeficient graf kvadratické funkce?

Pokud jste na tyto otázky dokázali odpovědět hned, pokračujte ve čtení. Pokud alespoň jedna otázka způsobila potíže, přejděte na.

Takže už víte, jak zacházet s kvadratickou funkcí, analyzovat její graf a sestavit graf podle bodů.

No, tady to je: .

Pojďme si krátce připomenout, co dělají šance.

1. Předstihový koeficient je zodpovědný za „strmost“ paraboly, nebo jinými slovy, za její šířku: čím větší, tím je parabola užší (strmější) a čím menší, tím širší je parabola (plošší).
2. Volný člen je souřadnice průsečíku paraboly s osou pořadnice.
3. A koeficient je nějakým způsobem zodpovědný za posunutí paraboly od středu souřadnic. Promluvme si o tom nyní podrobněji.

Kde vždy začínáme stavět parabolu? Jaký je jeho charakteristický bod?

Tento vrchol. Pamatujete si, jak zjistit souřadnice vrcholu?

Abscisa se hledá pomocí následujícího vzorce:

Takhle: než více, ty doleva vrchol paraboly se pohybuje.

Pořadnici vrcholu lze najít dosazením do funkce:

Nahraďte si to sami a spočítejte si to. Co se stalo?

Pokud vše uděláte správně a výsledný výraz co nejvíce zjednodušíte, dostanete:

Ukazuje se, že tím více modulo, ty vyšší vůle vrchol paraboly.

Pojďme konečně k vykreslení grafu.
Nejjednodušší způsob je postavit parabolu počínaje shora.

Příklad:

Sestrojte graf funkce.

Řešení:

Nejprve určíme koeficienty: .

Nyní vypočítejme souřadnice vrcholu:

Nyní si pamatujte: všechny paraboly se stejným vodicím koeficientem vypadají stejně. To znamená, že pokud postavíme parabolu a přesuneme její vrchol do bodu, dostaneme graf, který potřebujeme:

Jednoduché, že?

Zbývá jen jedna otázka: jak rychle nakreslit parabolu? I když nakreslíme parabolu s vrcholem v počátku, stejně ji musíme postavit bod po bodu, a to je dlouhé a nepohodlné. Ale všechny paraboly vypadají stejně, možná existuje způsob, jak urychlit jejich kreslení?

Když jsem byl ve škole, můj učitel matematiky všem řekl, aby si z kartonu vystřihli šablonu ve tvaru paraboly, aby si ji mohli rychle nakreslit. Ale nebudete moci chodit se šablonou všude a nebudete ji smět vzít na zkoušku. To znamená, že nebudeme používat cizí předměty, ale budeme hledat vzor.

Uvažujme o nejjednodušší parabole. Pojďme to postavit bod po bodu:

Zde je vzor. Pokud se z vrcholu posuneme doprava (po ose) o a nahoru (po ose) o, pak se dostaneme do bodu paraboly. Dále: pokud se z tohoto bodu posuneme doprava a nahoru, dostaneme se opět do bodu paraboly. Další: pořád dál a dál. Co bude dál? Pořád a dál. A tak dále: posuňte jedno doprava a další liché číslo nahoru. Pak uděláme totéž s levou větví (parabola je přece symetrická, to znamená, že její větve vypadají stejně):

Skvělé, to vám pomůže sestavit jakoukoli parabolu z vrcholu s vedoucím koeficientem rovným. Například jsme se dozvěděli, že vrchol paraboly je v bodě. Sestrojte (sami, na papíře) tuto parabolu.

Postavený?

Mělo by to vypadat takto:

Nyní spojíme výsledné body:

To je vše.

Dobře, teď můžeme stavět paraboly jen s?

Samozřejmě že ne. Nyní pojďme zjistit, co s nimi dělat, pokud.

Podívejme se na několik typických případů.

Výborně, naučili jste se kreslit parabolu, nyní si procvičíme používání skutečných funkcí.

Nakreslete tedy grafy těchto funkcí:

Odpovědi:

3. Nahoře: .

Pamatujete si, co dělat, když je seniorský koeficient nižší?

Podíváme se na jmenovatel zlomku: rovná se. Takže se budeme pohybovat takto:

• vpravo - nahoru
• vpravo - nahoru
• vpravo - nahoru

a také doleva:

4. Nahoře: .

Co s tím můžeme dělat? Jak změřit buňky, pokud je vrchol někde mezi řádky?..

A budeme podvádět. Nejprve nakreslíme parabolu a teprve potom přemístíme její vrchol do bodu. Ne, udělejme něco ještě mazanějšího: Nakreslime parabolu a pak posunout osy:- na dolů, a - na že jo:

Tato technika je velmi výhodná v případě jakékoli paraboly, pamatujte si ji.

Dovolte mi připomenout, že funkci můžeme reprezentovat v této podobě:

Například: .

Co nám to dává?

Faktem je, že číslo, které je odečteno od v závorce () je úsečka vrcholu paraboly a člen mimo závorku () je pořadnicí vrcholu.

To znamená, že po sestrojení paraboly budete jednoduše potřebovat posuňte osu doleva a osu dolů.

Příklad: Sestavme graf funkce.

Vyberme celý čtverec:

Jaké číslo odečteno od v závorkách? Toto (a ne jak se můžete rozhodnout bez přemýšlení).

Pojďme tedy postavit parabolu:

Nyní posuneme osu dolů, tedy nahoru:

A teď - doleva, tedy doprava:

To je vše. To je stejné jako přesun paraboly s jejím vrcholem z počátku do bodu, pouze přímá osa se pohybuje mnohem snadněji než zakřivená parabola.

Nyní, jako obvykle, já:

A nezapomeňte vymazat staré nápravy gumou!

Jsem jako odpovědi Pro kontrolu vám napíšu souřadnice vrcholů těchto parabol:

Sešlo se všechno dohromady?

Pokud ano, jste skvělí! Umět zacházet s parabolou je velmi důležité a užitečné a zde jsme zjistili, že to není vůbec těžké.

KONSTRUKCE GRAFU KVADRATICKÉ FUNKCE. KRÁTCE O HLAVNÍCH VĚCÍCH

Kvadratická funkce- funkce tvaru, kde a jsou libovolná čísla (koeficienty), - volný termín.

Grafem kvadratické funkce je parabola.

Vrchol paraboly:
, tj. Čím větší \displaystyle b , tím více doleva se vrchol paraboly pohybuje.
Dosadíme to do funkce a dostaneme:
, tj. \displaystyle b je větší v absolutní hodnotě, tím vyšší bude vrchol paraboly

Volný člen je souřadnice průsečíku paraboly s osou pořadnice.

No, téma skončilo. Pokud čtete tyto řádky, znamená to, že jste velmi cool.

Protože jen 5 % lidí je schopno něco zvládnout samo. A pokud dočtete až do konce, pak jste v těchto 5%!

Teď to nejdůležitější.

Pochopili jste teorii na toto téma. A opakuji, tohle... to je prostě super! Už teď jste lepší než drtivá většina vašich vrstevníků.

Problém je, že to nemusí stačit...

Proč?

Za úspěšné složení jednotné státní zkoušky, za vstup na vysokou školu s omezeným rozpočtem a NEJDŮLEŽITĚJŠÍ, na celý život.

Nebudu tě o ničem přesvědčovat, řeknu jen jedno...

Lidé, kteří dostali dobré vzdělání, vydělávají mnohem více než ti, kteří je nedostali. Toto je statistika.

Ale to není to hlavní.

Hlavní je, že jsou VÍCE ŠŤASTNĚ (takové studie jsou). Možná proto, že se před nimi otevírá mnohem více příležitostí a život se stává jasnějším? nevím...

Ale zamyslete se sami...

Co je potřeba k tomu, abyste byli ve sjednocené státní zkoušce lepší než ostatní a nakonec byli... šťastnější?

ZÍSKEJTE SI RUKU ŘEŠENÍM PROBLÉMŮ NA TOMTO TÉMATU.

Při zkoušce se vás nebudou ptát na teorii.

Budete potřebovat řešit problémy s časem.

A pokud jste je nevyřešili (HODNĚ!), určitě někde uděláte hloupou chybu nebo prostě nebudete mít čas.

Je to jako ve sportu – je potřeba to mnohokrát opakovat, abyste zaručeně vyhráli.

Najděte sbírku, kdekoli chcete, nutně s řešeními, podrobným rozborem a rozhodnout, rozhodnout, rozhodnout!

Můžete využít naše úkoly (volitelné) a my je samozřejmě doporučujeme.

Abyste mohli lépe používat naše úkoly, musíte pomoci prodloužit životnost učebnice YouClever, kterou právě čtete.

Jak? Jsou dvě možnosti:

1. Odemkněte všechny skryté úkoly v tomto článku -
2. Odemkněte přístup ke všem skrytým úkolům ve všech 99 článcích učebnice - Koupit učebnici - 499 RUR

Ano, takových článků máme v učebnici 99 a přístup ke všem úkolům a všem skrytým textům v nich lze okamžitě otevřít.

Přístup ke všem skrytým úkolům je poskytován po CELOU životnost webu.

Na závěr...

Pokud se vám naše úkoly nelíbí, najděte si jiné. Nezůstávejte jen u teorie.

„Rozumím“ a „Dokážu vyřešit“ jsou zcela odlišné dovednosti. Potřebujete obojí.

Najděte problémy a řešte je!