- — [] kvadratická funkce Funkce tvaru y= ax2 + bx + c (a ? 0). Graf K.f. - parabola, jejíž vrchol má souřadnice [ b/ 2a, (b2 4ac) / 4a], s a>0 větvemi paraboly ... ...

KVADRATICKÁ FUNKCE, matematická FUNKCE, jejíž hodnota závisí na druhé mocnině nezávislé proměnné x a je dána kvadratickým POLYNOMEM, například: f(x) = 4x2 + 17 nebo f(x) = x2 + 3x + 2. viz také DVORCE ROVNICE … Vědeckotechnický encyklopedický slovník

Kvadratická funkce- Kvadratická funkce - funkce tvaru y= ax2 + bx + c (a ≠ 0). Graf K.f. - parabola, jejíž vrchol má souřadnice [ b/ 2a, (b2 4ac) / 4a], pro a> 0 směřují větve paraboly nahoru, pro a< 0 –вниз… …

- (kvadratická) Funkce mající následující tvar: y=ax2+bx+c, kde a≠0 a nejvyšší stupeň x je čtverec. Kvadratickou rovnici y=ax2 +bx+c=0 lze také vyřešit pomocí následujícího vzorce: x= –b+ √ (b2–4ac) /2a. Tyto kořeny jsou skutečné... Ekonomický slovník

Afinní kvadratická funkce na afinním prostoru S je jakákoli funkce Q: S→K, která má tvar Q(x)=q(x)+l(x)+c ve vektorizovaném tvaru, kde q je kvadratická funkce, l je lineární funkce, c je konstanta. Obsah 1 Posun referenčního bodu 2 ... ... Wikipedie

Afinní kvadratická funkce na afinním prostoru je jakákoli funkce, která má tvar ve vektorizovaném tvaru, kde je symetrická matice, lineární funkce, konstanta. Obsah... Wikipedie

Funkce na vektorovém prostoru definovaném homogenním polynomem druhého stupně v souřadnicích vektoru. Obsah 1 Definice 2 Související definice... Wikipedie

- je funkce, která v teorii statistického rozhodování charakterizuje ztráty v důsledku nesprávného rozhodování na základě pozorovaných dat. Pokud se řeší problém odhadu parametru signálu na pozadí šumu, pak je ztrátová funkce měřítkem nesrovnalosti... ... Wikipedia

Objektivní funkce- - [Ya.N.Luginsky, M.S.Fezi Zhilinskaya, Yu.S.Kabirov. Anglicko-ruský slovník elektrotechniky a energetiky, Moskva, 1999] objektivní funkce V extremálních úlohách funkce, jejíž minimum nebo maximum je třeba najít. Tento… … Technická příručka překladatele

Objektivní funkce- v extremních problémech funkce, jejíž minimum nebo maximum je potřeba najít. Toto je klíčový koncept optimálního programování. Po nalezení extrému C.f. a tedy po určení hodnot řízených proměnných, které k tomu patří... ... Ekonomický a matematický slovník

knihy

• Sada stolů. Matematika. Grafy funkcí (10 tabulek), . Vzdělávací album o 10 listech. Lineární funkce. Grafické a analytické přiřazení funkcí. Kvadratická funkce. Transformace grafu kvadratické funkce. Funkce y=sinx. Funkce y=cosx.…
• Nejdůležitější funkcí školní matematiky je kvadratická - v úlohách a řešeních, Petrov N.N.. Kvadratická funkce je hlavní funkcí kurzu školní matematiky. Není divu. Na jedné straně jednoduchost této funkce a na straně druhé hluboký význam. Mnoho školních úkolů...

Kvadratická funkce je funkcí tvaru:
y=a*(x^2)+b*x+c,
kde a je koeficient pro nejvyšší stupeň neznámé x,
b - koeficient pro neznámé x,
a c je volným členem.
Grafem kvadratické funkce je křivka zvaná parabola. Celkový pohled na parabolu je znázorněn na obrázku níže.

Obr.1 Celkový pohled na parabolu.

Je tu pár různými způsoby vykreslení kvadratické funkce. Podíváme se na hlavní a nejobecnější z nich.

Algoritmus pro vykreslení kvadratické funkce y=a*(x^2)+b*x+c

1. Sestrojte souřadnicový systém, označte jednotkový segment a označte souřadnicové osy.

2. Určete směr větví paraboly (nahoru nebo dolů).
Chcete-li to provést, musíte se podívat na znaménko koeficientu a. Pokud je plus, pak větve směřují nahoru, pokud je mínus, pak větve směřují dolů.

3. Určete souřadnici x vrcholu paraboly.
Chcete-li to provést, musíte použít vzorec Xvertex = -b/2*a.

4. Určete souřadnici ve vrcholu paraboly.
Chcete-li to provést, dosaďte do rovnice Uvershiny = a*(x^2)+b*x+c místo x hodnotu Xverhiny nalezenou v předchozím kroku.

5. Vyneste výsledný bod do grafu a nakreslete skrz něj osu symetrie, rovnoběžnou se souřadnicovou osou Oy.

6. Najděte průsečíky grafu s osou Ox.
Chcete-li to provést, musíte vyřešit kvadratická rovnice a*(x^2)+b*x+c = 0 jedna z známé metody. Pokud rovnice nemá reálné kořeny, pak graf funkce neprotíná osu Ox.

7. Najděte souřadnice průsečíku grafu s osou Oy.
K tomu dosadíme do rovnice hodnotu x=0 a vypočteme hodnotu y. Na grafu označíme toto a k němu symetrický bod.

8. Najděte souřadnice libovolného bodu A(x,y)
Chcete-li to provést, vyberte libovolnou hodnotu pro souřadnici x a dosaďte ji do naší rovnice. V tomto bodě dostáváme hodnotu y. Zakreslete bod do grafu. A také označte na grafu bod, který je symetrický k bodu A(x,y).

9. Výsledné body na grafu spojte hladkou čarou a pokračujte v grafu za krajní body až na konec souřadnicové osy. Označte graf buď na odkazu, nebo, pokud to prostor dovolí, podél samotného grafu.

Příklad vykreslování

Jako příklad si nakreslíme kvadratickou funkci danou rovnicí y=x^2+4*x-1
1. Nakreslete souřadné osy, označte je a označte jednotkový segment.
2. Hodnoty koeficientu a=1, b=4, c= -1. Protože a=1, které je větší než nula, směřují větve paraboly nahoru.
3. Určete souřadnici X vrcholu paraboly Xvertices = -b/2*a = -4/2*1 = -2.
4. Určete souřadnici Y vrcholu paraboly
Vrcholy = a*(x^2)+b*x+c = 1*((-2)^2) + 4*(-2) - 1 = -5.
5. Označte vrchol a nakreslete osu symetrie.
6. Najděte průsečíky grafu kvadratické funkce s osou Ox. Řešíme kvadratickou rovnici x^2+4*x-1=0.
x1=-2-√3 x2 = -2+√3. Získané hodnoty zaznačíme do grafu.
7. Najděte průsečíky grafu s osou Oy.
x=0; y=-1
8. Vyberte libovolný bod B. Nechť má souřadnici x=1.
Pak y=(1)^2 + 4*(1)-1= 4.
9. Spojte výsledné body a podepište graf.

Asi každý ví, co je to parabola. Níže se však podíváme na to, jak jej správně a kompetentně používat při řešení různých praktických problémů.

Nejprve si načrtněme základní pojmy, které tomuto pojmu dávají algebra a geometrie. Uvažujme všechny možné typy tohoto grafu.

Pojďme zjistit všechny hlavní charakteristiky této funkce. Pojďme pochopit základy konstrukce křivek (geometrie). Pojďme se naučit, jak najít horní a další základní hodnoty grafu tohoto typu.

Pojďme zjistit: jak správně sestrojit požadovanou křivku pomocí rovnice, na co je třeba věnovat pozornost. Podívejme se na základy praktické využití tuto jedinečnou hodnotu v lidském životě.

Co je to parabola a jak vypadá?

Algebra: Tento termín označuje graf kvadratické funkce.

Geometrie: jedná se o křivku druhého řádu, která má řadu specifických vlastností:

Rovnice kanonické paraboly

Obrázek ukazuje pravoúhlý souřadnicový systém (XOY), extrém, směr větví funkce vykreslující podél osy úsečky.

Kanonická rovnice je:

y 2 = 2 * p * x,

kde koeficient p je ohniskový parametr paraboly (AF).

V algebře to bude psáno jinak:

y = a x 2 + b x + c (rozpoznatelný vzor: y = x 2).

Vlastnosti a graf kvadratické funkce

Funkce má osu symetrie a střed (extrém). Oblastí definice jsou všechny hodnoty osy abscisy.

Rozsah hodnot funkce – (-∞, M) nebo (M, +∞) závisí na směru větví křivky. Parametr M zde znamená hodnotu funkce v horní části řádku.

Jak určit, kam směřují větve paraboly

Chcete-li zjistit směr křivky tohoto typu z výrazu, musíte určit znaménko před prvním parametrem algebraického výrazu. Pokud je ˃ 0, pak směřují nahoru. Pokud je to naopak, dolů.

Jak najít vrchol paraboly pomocí vzorce

Hledání extrému je hlavním krokem při řešení mnoha praktických problémů. Samozřejmě můžete otevřít speciální online kalkulačky, ale je lepší to udělat sám.

Jak to určit? Existuje speciální vzorec. Když se b nerovná 0, musíme hledat souřadnice tohoto bodu.

Vzorce pro nalezení vrcholu:

• xo = -b/ (2* a);
• yo = y (x 0).

Příklad.

Existuje funkce y = 4 * x 2 + 16 * x – 25. Pojďme najít vrcholy této funkce.

Pro řádek jako je tento:

• x = -16 / (2 * 4) = -2;
• y = 4 * 4 - 16 * 2 - 25 = 16 - 32 - 25 = -41.

Dostaneme souřadnice vrcholu (-2, -41).

Posun paraboly

Klasický případ je, když v kvadratické funkci y = a x 2 + b x + c jsou druhý a třetí parametr roven 0 a = 1 - vrchol je v bodě (0; 0).

Pohyb podél vodorovné nebo svislé osy je způsoben změnami parametrů bac.Čára v rovině bude posunuta přesně o počet jednotek rovný hodnotě parametru.

Příklad.

Máme: b = 2, c = 3.

To znamená, že klasický tvar křivky se posune o 2 jednotkový segment podél svislé osy a 3 podél svislé osy.

Jak postavit parabolu pomocí kvadratické rovnice

Pro školáky je důležité naučit se správně kreslit parabolu podle daných parametrů.

Analýzou výrazů a rovnic můžete vidět následující:

1. Průsečík požadované přímky s vektorem pořadnice bude mít hodnotu rovnou c.
2. Všechny body grafu (podél osy x) budou symetrické vzhledem k hlavnímu extrému funkce.

Kromě toho lze průsečíky s OX najít pomocí znalosti diskriminantu (D) takové funkce:

D = (b2-4*a*c).

Chcete-li to provést, musíte výraz přirovnat k nule.

Přítomnost kořenů paraboly závisí na výsledku:

• D ˃ 0, pak x 1, 2 = (-b ± D 0,5) / (2 * a);
• D = 0, pak x 1, 2 = -b/ (2* a);
• D ˂ 0, pak neexistují žádné průsečíky s vektorem OX.

Získáme algoritmus pro konstrukci paraboly:

• určit směr větví;
• najít souřadnice vrcholu;
• najít průsečík s pořadnicovou osou;
• najdi průsečík s osou x.

Příklad 1

Je dána funkce y = x 2 - 5 * x + 4. Je nutné sestrojit parabolu. Postupujeme podle algoritmu:

1. a = 1, proto větve směřují nahoru;
2. extrémní souřadnice: x = - (-5) / 2 = 5/2; y = (5/2) 2-5* (5/2) + 4 = -15/4;
3. protíná s osou pořadnice v hodnotě y = 4;
4. najdeme diskriminant: D = 25 - 16 = 9;
5. hledat kořeny:

• Xi = (5 + 3) / 2 = 4; (4,0);
• X2 = (5 - 3) / 2 = 1; (10).

Příklad 2

Pro funkci y = 3 * x 2 - 2 * x - 1 musíte sestrojit parabolu. Jednáme podle zadaného algoritmu:

1. a = 3, proto větve směřují nahoru;
2. extrémní souřadnice: x = - (-2) / 2 * 3 = 1/3; y = 3* (1/3) 2 - 2 * (1/3) - 1 = -4/3;
3. bude protínat s osou y v hodnotě y = -1;
4. najdeme diskriminant: D = 4 + 12 = 16. Takže kořeny jsou:

• Xi = (2 + 4) / 6 = 1; (1;0);
• X2 = (2 - 4)/6 = -1/3; (-1/3; 0).

Pomocí získaných bodů můžete sestrojit parabolu.

Directrix, excentricita, ohnisko paraboly

Na základě kanonické rovnice má ohnisko F souřadnice (p/2, 0).

Přímka AB je direktiva (jakási tětiva paraboly o určité délce). Jeho rovnice: x = -p/2.

Excentricita (konstanta) = 1.

Závěr

Podívali jsme se na téma, které studují studenti na střední škole. Nyní víte, když se podíváte na kvadratickou funkci paraboly, jak najít její vrchol, kterým směrem budou větve směřovat, zda existuje posunutí podél os, a pomocí konstrukčního algoritmu můžete nakreslit její graf.

Důležité poznámky!
1. Pokud místo vzorců vidíte gobbledygook, vymažte mezipaměť. Jak to udělat ve vašem prohlížeči je napsáno zde:
2. Než začnete číst článek, věnujte pozornost našemu navigátoru, kde najdete nejužitečnější zdroje pro

Abyste pochopili, co se zde bude psát, musíte dobře vědět, co je to kvadratická funkce a k čemu se používá. Pokud se považujete za profíka, pokud jde o kvadratické funkce, vítejte. Ale pokud ne, měli byste si přečíst vlákno.

Začněme malým kontroly:

1. Jak vypadá kvadratická funkce v obecném tvaru (vzorci)?
2. Jak se nazývá graf kvadratické funkce?
3. Jak ovlivňuje vedoucí koeficient graf kvadratické funkce?

Pokud jste na tyto otázky dokázali odpovědět hned, pokračujte ve čtení. Pokud alespoň jedna otázka způsobila potíže, přejděte na.

Takže už víte, jak zacházet s kvadratickou funkcí, analyzovat její graf a sestavit graf podle bodů.

No, tady to je: .

Pojďme si krátce připomenout, co dělají šance.

1. Předstihový koeficient je zodpovědný za „strmost“ paraboly, nebo jinými slovy, za její šířku: čím větší, tím je parabola užší (strmější) a čím menší, tím širší je parabola (plošší).
2. Volný člen je souřadnice průsečíku paraboly s osou pořadnice.
3. A koeficient je nějak zodpovědný za posunutí paraboly od středu souřadnic. Promluvme si o tom nyní podrobněji.

Kde vždy začínáme stavět parabolu? Jaký je jeho charakteristický bod?

Tento vrchol. Pamatujete si, jak zjistit souřadnice vrcholu?

Úsečka se hledá pomocí následujícího vzorce:

Takhle: než více, ty doleva vrchol paraboly se pohybuje.

Pořadnici vrcholu lze najít dosazením do funkce:

Nahraďte si to sami a spočítejte si to. Co se stalo?

Pokud vše uděláte správně a výsledný výraz co nejvíce zjednodušíte, dostanete:

Ukazuje se, že tím více modulo, ty vyšší vůle vrchol paraboly.

Pojďme konečně k vykreslení grafu.
Nejjednodušší způsob je postavit parabolu počínaje shora.

Příklad:

Sestrojte graf funkce.

Řešení:

Nejprve určíme koeficienty: .

Nyní spočítejme souřadnice vrcholu:

Nyní si pamatujte: všechny paraboly se stejným vodicím koeficientem vypadají stejně. To znamená, že pokud postavíme parabolu a přesuneme její vrchol do bodu, dostaneme graf, který potřebujeme:

Jednoduché, že?

Zbývá jen jedna otázka: jak rychle nakreslit parabolu? I když nakreslíme parabolu s vrcholem v počátku, stejně ji musíme postavit bod po bodu, a to je dlouhé a nepohodlné. Ale všechny paraboly vypadají stejně, možná existuje způsob, jak urychlit jejich kreslení?

Když jsem byl ve škole, můj učitel matematiky všem řekl, aby si z kartonu vystřihli šablonu ve tvaru paraboly, aby si ji mohli rychle nakreslit. Ale nebudete moci chodit se šablonou všude a oni ji nebudou smět vzít na zkoušku. To znamená, že nebudeme používat cizí předměty, ale budeme hledat vzor.

Uvažujme o nejjednodušší parabole. Pojďme to postavit bod po bodu:

Toto je vzor zde. Pokud se z vrcholu posuneme doprava (po ose) o a nahoru (po ose) o, pak se dostaneme do bodu paraboly. Dále: pokud se z tohoto bodu posuneme doprava a nahoru, dostaneme se opět do bodu paraboly. Další: pořád dál a dál. Co bude dál? Pořád a dál. A tak dále: posuňte jedno doprava a další liché číslo nahoru. Pak uděláme totéž s levou větví (parabola je přece symetrická, to znamená, že její větve vypadají stejně):

Skvělé, to vám pomůže sestavit jakoukoli parabolu z vrcholu s vedoucím koeficientem rovným. Například jsme se dozvěděli, že vrchol paraboly je v bodě. Sestrojte (sami, na papíře) tuto parabolu.

Postavený?

Mělo by to vypadat takto:

Nyní spojíme výsledné body:

To je vše.

Dobře, teď můžeme stavět paraboly jen s?

Samozřejmě že ne. Nyní pojďme zjistit, co s nimi dělat, pokud.

Podívejme se na několik typických případů.

Výborně, naučili jste se kreslit parabolu, nyní si procvičíme používání skutečných funkcí.

Nakreslete tedy grafy těchto funkcí:

Odpovědi:

3. Nahoře: .

Pamatujete si, co dělat, když je seniorský koeficient nižší?

Podíváme se na jmenovatel zlomku: rovná se. Takže se budeme pohybovat takto:

• vpravo - nahoru
• vpravo - nahoru
• vpravo - nahoru

a také doleva:

4. Nahoře: .

Co s tím můžeme dělat? Jak změřit buňky, pokud je vrchol někde mezi řádky?..

A budeme podvádět. Nejprve nakreslíme parabolu a teprve potom přemístíme její vrchol do bodu. Ne, udělejme něco ještě mazanějšího: Nakreslime parabolu a pak posunout osy:- na dolů, a - na že jo:

Tato technika je velmi výhodná v případě jakékoli paraboly, pamatujte si ji.

Dovolte mi připomenout, že funkci můžeme reprezentovat v této podobě:

Například: .

Co nám to dává?

Faktem je, že číslo, které je odečteno od v závorce () je úsečka vrcholu paraboly a člen mimo závorku () je pořadnicí vrcholu.

To znamená, že po sestrojení paraboly budete jednoduše potřebovat posuňte osu doleva a osu dolů.

Příklad: Sestavme graf funkce.

Vyberme celý čtverec:

Jaké číslo odečteno od v závorkách? Toto (a ne jak se můžete rozhodnout bez přemýšlení).

Pojďme tedy postavit parabolu:

Nyní posuneme osu dolů, tedy nahoru:

A teď - doleva, tedy doprava:

To je vše. To je stejné jako přesun paraboly s jejím vrcholem z počátku do bodu, pouze přímá osa se pohybuje mnohem snadněji než zakřivená parabola.

Nyní, jako obvykle, já:

A nezapomeňte vymazat staré nápravy gumou!

Jsem jako odpovědi Pro kontrolu vám napíšu souřadnice vrcholů těchto parabol:

Sešlo se všechno dohromady?

Pokud ano, jste skvělí! Umět zacházet s parabolou je velmi důležité a užitečné a zde jsme zjistili, že to není vůbec těžké.

KONSTRUKCE GRAFU KVADRATICKÉ FUNKCE. KRÁTCE O HLAVNÍCH VĚCÍCH

Kvadratická funkce- funkce tvaru, kde a jsou libovolná čísla (koeficienty), - volný termín.

Grafem kvadratické funkce je parabola.

Vrchol paraboly:
, tj. Čím větší \displaystyle b , tím více doleva se vrchol paraboly pohybuje.
Dosadíme to do funkce a dostaneme:
, tj. \displaystyle b je větší v absolutní hodnotě, tím vyšší bude vrchol paraboly

Volný člen je souřadnice průsečíku paraboly s osou pořadnice.

No, téma skončilo. Pokud čtete tyto řádky, znamená to, že jste velmi cool.

Protože jen 5 % lidí je schopno něco zvládnout samo. A pokud dočtete až do konce, pak jste v těchto 5 %!

Teď to nejdůležitější.

Pochopili jste teorii na toto téma. A opakuji, tohle... to je prostě super! Už teď jste lepší než drtivá většina vašich vrstevníků.

Problém je, že to nemusí stačit...

Proč?

Za úspěšné složení jednotné státní zkoušky, za vstup na vysokou školu s omezeným rozpočtem a NEJDŮLEŽITĚJŠÍ, na celý život.

Nebudu tě o ničem přesvědčovat, řeknu jen jedno...

Lidé, kteří dostali dobré vzdělání, vydělávají mnohem více než ti, kteří je nedostali. Toto je statistika.

Ale to není to hlavní.

Hlavní je, že jsou VÍCE ŠŤASTNĚ (takové studie jsou). Možná proto, že se před nimi otevírá mnohem více příležitostí a život se stává jasnějším? nevím...

Ale zamyslete se sami...

Co je potřeba k tomu, abyste byli ve sjednocené státní zkoušce lepší než ostatní a nakonec byli... šťastnější?

ZÍSKEJTE SI RUKU ŘEŠENÍM PROBLÉMŮ NA TOMTO TÉMATU.

Při zkoušce se vás nebudou ptát na teorii.

Budete potřebovat řešit problémy s časem.

A pokud jste je nevyřešili (HODNĚ!), určitě někde uděláte hloupou chybu nebo prostě nebudete mít čas.

Je to jako ve sportu – je potřeba to mnohokrát opakovat, abyste zaručeně vyhráli.

Najděte sbírku, kdekoli chcete, nutně s řešeními, podrobným rozborem a rozhodnout, rozhodnout, rozhodnout!

Můžete využít naše úkoly (volitelné) a my je samozřejmě doporučujeme.

Abyste mohli lépe používat naše úkoly, musíte pomoci prodloužit životnost učebnice YouClever, kterou právě čtete.

Jak? Jsou dvě možnosti:

1. Odemkněte všechny skryté úkoly v tomto článku -
2. Odemkněte přístup ke všem skrytým úkolům ve všech 99 článcích učebnice - Koupit učebnici - 499 RUR

Ano, takových článků máme v učebnici 99 a přístup ke všem úkolům a všem skrytým textům v nich lze okamžitě otevřít.

Přístup ke všem skrytým úkolům je poskytován po CELOU životnost webu.

Na závěr...

Pokud se vám naše úkoly nelíbí, najděte si jiné. Nezůstávejte jen u teorie.

„Rozumím“ a „Dokážu vyřešit“ jsou zcela odlišné dovednosti. Potřebujete obojí.

Najděte problémy a řešte je!

Mnoho problémů vyžaduje výpočet maximální nebo minimální hodnoty kvadratické funkce. Maximum nebo minimum lze nalézt, pokud je původní funkce zapsána ve standardním tvaru: nebo pomocí souřadnic vrcholu paraboly: f (x) = a (x − h) 2 + k (\displaystyle f(x)=a(x-h)^(2)+k). Kromě toho lze maximum nebo minimum jakékoli kvadratické funkce vypočítat pomocí matematické operace.

Kroky

Kvadratická funkce je zapsána ve standardním tvaru

Funkci zapište ve standardním tvaru. Kvadratická funkce je funkce, jejíž rovnice zahrnuje proměnnou x 2 (\displaystyle x^(2)). Rovnice může nebo nemusí obsahovat proměnnou x (\displaystyle x). Pokud rovnice obsahuje proměnnou s exponentem větším než 2, nepopisuje kvadratickou funkci. Pokud je to nutné, poskytněte podobné termíny a uspořádejte je tak, aby byla funkce zapsána ve standardním tvaru.

• Například vzhledem k funkci f (x) = 3 x + 2 x − x 2 + 3 x 2 + 4 (\displaystyle f(x)=3x+2x-x^(2)+3x^(2)+4). Přidejte výrazy s proměnnou x 2 (\displaystyle x^(2)) a členové s proměnnou x (\displaystyle x) napsat rovnici ve standardním tvaru:
  • f (x) = 2 x 2 + 5 x + 4 (\displaystyle f(x)=2x^(2)+5x+4)

1. Grafem kvadratické funkce je parabola. Větve paraboly směřují nahoru nebo dolů. Pokud koeficient a (\displaystyle a) s proměnnou x 2 (\displaystyle x^(2)) a (\displaystyle a)

   • f (x) = 2 x 2 + 4 x − 6 (\displaystyle f(x)=2x^(2)+4x-6). Tady a = 2 (\displaystyle a=2)
   • f (x) = − 3 x 2 + 2 x + 8 (\displaystyle f(x)=-3x^(2)+2x+8). Zde tedy parabola směřuje dolů.
   • f (x) = x 2 + 6 (\displaystyle f(x)=x^(2)+6). Tady a = 1 (\displaystyle a=1), takže parabola směřuje nahoru.
   • Pokud parabola směřuje nahoru, musíte hledat její minimum. Pokud parabola směřuje dolů, hledejte její maximum.

2. Vypočítejte -b/2a. Význam − b 2 a (\displaystyle -(\frac (b)(2a))) je souřadnice x (\displaystyle x) vrcholy paraboly. Pokud je kvadratická funkce zapsána ve standardním tvaru a x 2 + b x + c (\displaystyle ax^(2)+bx+c), použijte koeficienty pro x (\displaystyle x) A x 2 (\displaystyle x^(2)) následujícím způsobem:

   • Ve funkčních koeficientech a = 1 (\displaystyle a=1) A b = 10 (\displaystyle b=10)
     • x = − 10 (2) (1) (\displaystyle x=-(\frac (10)((2)(1))))
     • x = − 10 2 (\displaystyle x=-(\frac (10)(2)))
   • Jako druhý příklad zvažte funkci. Tady a = − 3 (\displaystyle a=-3) A b = 6 (\displaystyle b=6). Vypočítejte tedy souřadnici „x“ vrcholu paraboly následovně:
     • x = − b 2 a (\displaystyle x=-(\frac (b)(2a)))
     • x = − 6 (2) (− 3) (\displaystyle x=-(\frac (6)((2)(-3))))
     • x = − 6 − 6 (\displaystyle x=-(\frac (6)(-6)))
     • x = − (− 1) (\displaystyle x=-(-1))
     • x = 1 (\displaystyle x=1)

3. Najděte odpovídající hodnotu f(x). Zasuňte nalezenou hodnotu „x“ do původní funkce, abyste našli odpovídající hodnotu f(x). Tímto způsobem najdete minimum nebo maximum funkce.

   • V prvním příkladu f (x) = x 2 + 10 x − 1 (\displaystyle f(x)=x^(2)+10x-1) vypočítali jste, že souřadnice x vrcholu paraboly je x = − 5 (\displaystyle x=-5). V původní funkci místo x (\displaystyle x) nahradit − 5 (\displaystyle -5)
     • f (x) = x 2 + 10 x − 1 (\displaystyle f(x)=x^(2)+10x-1)
     • f (x) = (− 5) 2 + 10 (− 5) − 1 (\displaystyle f(x)=(-5)^(2)+10(-5)-1)
     • f (x) = 25 − 50 − 1 (\displaystyle f(x)=25-50-1)
     • f (x) = − 26 (\displaystyle f(x)=-26)
   • Ve druhém příkladu f (x) = − 3 x 2 + 6 x − 4 (\displaystyle f(x)=-3x^(2)+6x-4) zjistili jste, že souřadnice x vrcholu paraboly je x = 1 (\displaystyle x=1). V původní funkci místo x (\displaystyle x) nahradit 1 (\displaystyle 1) najít ji maximální hodnota:
     • f (x) = − 3 x 2 + 6 x − 4 (\displaystyle f(x)=-3x^(2)+6x-4)
     • f (x) = − 3 (1) 2 + 6 (1) − 4 (\displaystyle f(x)=-3(1)^(2)+6(1)-4)
     • f (x) = − 3 + 6 − 4 (\displaystyle f(x)=-3+6-4)
     • f (x) = − 1 (\displaystyle f(x)=-1)

4. Zapište svou odpověď. Znovu si přečtěte prohlášení o problému. Pokud potřebujete najít souřadnice vrcholu paraboly, zapište si do odpovědi obě hodnoty x (\displaystyle x) A y (\displaystyle y)(nebo f (x) (\displaystyle f(x))). Pokud potřebujete vypočítat maximum nebo minimum funkce, zapište do odpovědi pouze hodnotu y (\displaystyle y)(nebo f (x) (\displaystyle f(x))). Podívejte se znovu na znaménko koeficientu a (\displaystyle a) zkontrolovat, zda jste vypočítali maximum nebo minimum.

   • V prvním příkladu f (x) = x 2 + 10 x − 1 (\displaystyle f(x)=x^(2)+10x-1) význam a (\displaystyle a) kladné, takže jste vypočítali minimum. Vrchol paraboly leží v bodě se souřadnicemi (− 5 , − 26) (\displaystyle (-5,-26)) a minimální hodnota funkce je − 26 (\displaystyle -26).
   • Ve druhém příkladu f (x) = − 3 x 2 + 6 x − 4 (\displaystyle f(x)=-3x^(2)+6x-4) význam a (\displaystyle a) negativní, takže jste našli maximum. Vrchol paraboly leží v bodě se souřadnicemi (1 , − 1) (\displaystyle (1,-1)) a maximální hodnota funkce je − 1 (\displaystyle -1).

5. Určete směr paraboly. Chcete-li to provést, podívejte se na znaménko koeficientu a (\displaystyle a). Pokud koeficient a (\displaystyle a) kladná, parabola směřuje nahoru. Pokud koeficient a (\displaystyle a) negativní, parabola směřuje dolů. Například:

   • . Tady a = 2 (\displaystyle a=2), to znamená, že koeficient je kladný, takže parabola směřuje nahoru.
   • . Tady a = − 3 (\displaystyle a=-3), to znamená, že koeficient je záporný, takže parabola směřuje dolů.
   • Pokud parabola směřuje nahoru, musíte vypočítat minimální hodnotu funkce. Pokud parabola směřuje dolů, musíte najít maximální hodnotu funkce.

6. Najděte minimální nebo maximální hodnotu funkce. Pokud je funkce zapsána přes souřadnice vrcholu paraboly, minimum nebo maximum se rovná hodnotě koeficientu k (\displaystyle k). Ve výše uvedených příkladech:

   • f (x) = 2 (x + 1) 2 − 4 (\displaystyle f(x)=2(x+1)^(2)-4). Tady k = − 4 (\displaystyle k=-4). Toto je minimální hodnota funkce, protože parabola směřuje nahoru.
   • f (x) = − 3 (x − 2) 2 + 2 (\displaystyle f(x)=-3(x-2)^(2)+2). Tady k = 2 (\displaystyle k=2). Toto je maximální hodnota funkce, protože parabola směřuje dolů.

7. Najděte souřadnice vrcholu paraboly. Pokud problém vyžaduje nalezení vrcholu paraboly, její souřadnice jsou (h, k) (\displaystyle (h,k)). Vezměte prosím na vědomí, že když je kvadratická funkce zapsána pomocí souřadnic vrcholu paraboly, operace odčítání musí být uzavřena v závorkách. (x − h) (\displaystyle (x-h)), takže hodnota h (\displaystyle h) se bere s opačným znaménkem.

   • f (x) = 2 (x + 1) 2 − 4 (\displaystyle f(x)=2(x+1)^(2)-4). Zde je operace sčítání (x+1) uzavřena v závorce, kterou lze přepsat následovně: (x-(-1)). Tím pádem, h = − 1 (\displaystyle h=-1). Souřadnice vrcholu paraboly této funkce se tedy rovnají (− 1 , − 4) (\displaystyle (-1,-4)).
   • f (x) = − 3 (x − 2) 2 + 2 (\displaystyle f(x)=-3(x-2)^(2)+2). Zde v závorce je výraz (x-2). Proto, h = 2 (\displaystyle h=2). Souřadnice vrcholu jsou (2,2).

Jak vypočítat minimum nebo maximum pomocí matematických operací

1. Nejprve se podívejme na standardní formu rovnice. Napište kvadratickou funkci ve standardním tvaru: f (x) = a x 2 + b x + c (\displaystyle f(x)=ax^(2)+bx+c). Je-li to nutné, přidejte podobné výrazy a přeuspořádejte je, abyste získali standardní rovnici.

   • Například: .

2. Najděte první derivaci. První derivace kvadratické funkce, která je zapsána ve standardním tvaru, se rovná f ′ (x) = 2 a x + b (\displaystyle f^(\prime )(x)=2ax+b).

   • f (x) = 2 x 2 − 4 x + 1 (\displaystyle f(x)=2x^(2)-4x+1). První derivace této funkce se vypočítá takto:
     • f ′ (x) = 4 x − 4 (\displaystyle f^(\prime )(x)=4x-4)

3. Srovnejte derivaci s nulou. Připomeňme, že derivace funkce se rovná sklonu funkce v určitém bodě. Při minimu nebo maximu je sklon nulový. Proto, abychom našli minimální nebo maximální hodnotu funkce, musí být derivace nastavena na nulu. V našem příkladu.