Mezi rozmanitostí geometrických tvarů nápadně vyniká čtyřúhelník, jako je kosočtverec. Ani jeho název sám o sobě není pro označení čtyřúhelníků typický. A přestože se v geometrii vyskytuje mnohem méně často než takové jednoduché obrazce, jako je kruh, trojúhelník, čtverec nebo obdélník, nelze jej také ignorovat.

Níže jsou uvedeny definice, vlastnosti a charakteristiky kosočtverců.

Definice

Kosočtverec je rovnoběžník s rovné strany. Kosočtverec se nazývá čtverec, pokud jsou všechny jeho úhly pravé. Nejvýraznějším příkladem kosočtverce je obraz diamantového obleku hrací karta. Kromě toho byl kosočtverec často zobrazován na různých erbech. Příklad kosočtverce v Každodenní život může sloužit jako basketbalové hřiště.

Vlastnosti

1. Protilehlé strany kosočtverce leží na rovnoběžných liniích a mají stejnou délku.
2. Průsečík úhlopříček kosočtverce nastává v úhlu 90° v jednom bodě, který je jejich středem.
3. Úhlopříčky kosočtverce půlí úhel, ze kterého vznikly.
4. Na základě vlastností rovnoběžníku můžeme odvodit součet druhých mocnin úhlopříček. Podle vzorce se rovná straně zvednuté na kvadratickou mocninu a vynásobené čtyřmi.

Známky

Musíme jasně pochopit, že každý kosočtverec je rovnoběžník, ale zároveň ne každý rovnoběžník má všechny znaky kosočtverce. K rozlišení těchto dvou geometrických tvarů potřebujete znát vlastnosti kosočtverce. Vypsáno níže charakteristické vlastnosti daný geometrický obrazec:

1. Jakékoli dvě strany se společným vrcholem jsou si rovny.
2. Úhlopříčky se protínají pod úhlem 90°C.
3. Alespoň jedna úhlopříčka rozděluje úhly, z jejichž vrcholových bodů vystupuje, na polovinu.

Plošné vzorce

Základní vzorec:

• S = (AC*BD)/2

Na základě vlastností rovnoběžníku:

• S = (AB*H AB)

Na základě velikosti úhlu mezi dvěma sousedními stranami kosočtverce:

• S = AB2*sinα

Pokud známe délku poloměru kružnice vepsané do kosočtverce:

• S = 4r 2 /(sinα), kde:
  • S - plocha;
  • AB, AC, BD - označení stran;
  • H - výška;
  • r - poloměr kruhu;
  • sinα - sine alfa.

Obvod

Chcete-li vypočítat obvod kosočtverce, stačí vynásobit délku kterékoli z jeho stran čtyřmi.

Konstrukce výkresu

Někteří lidé mají potíže s vytvořením diamantového vzoru. I když už jste přišli na to, co je kosočtverec, není vždy jasné, jak přesně a v souladu s potřebnými proporcemi postavit jeho kresbu.

Existují dva způsoby, jak vytvořit diamantový vzor:

1. Nejprve sestrojte jednu úhlopříčku, potom druhou úhlopříčku, která je k ní kolmá, a poté spojte konce sousedních segmentů do párů rovnoběžné strany kosočtverec
2. Nejprve dejte stranou jednu stranu kosočtverce, poté vytvořte segment stejně dlouhý jako rovnoběžný s ním a spojte konce těchto segmentů také do párů paralelně.

Při konstrukci buďte opatrní – pokud ve výkresu uděláte délku všech stran kosočtverce stejnou, nevznikne kosočtverec, ale čtverec.

Cíle lekce

Pokračovat v seznamování studentů s takovou geometrickou postavou, jako je kosočtverec;
Upevnit znalosti o pojmech, jako je kosočtverec a čtverec, a také se naučit určit jejich rozdíl;
Aktualizovat znalosti studentů o vlastnostech a vlastnostech kosočtverce;
Pokračovat ve zlepšování znalostí studentů o geometrických tvarech prostřednictvím řešení problémů.
Vzbudit zájem o hodiny geometrie.

Cíle lekce

Zopakujte, zobecněte a upevněte získané znalosti o takovém geometrickém útvaru, jakým je kosočtverec;
Pokračovat v rozvoji dovedností v konstrukci geometrických obrazců;
Zlepšit dovednosti konstrukce kosočtverců pomocí kreslicích nástrojů;
Pokračovat v upevňování znalostí studentů pomocí praktických úkolů;
Pokračujte v rozvoji pozornosti, vytrvalosti a touhy po kognitivním procesu.

Plán lekce

1. Zveřejnění hlavního tématu lekce, definice geometrického útvaru „Rhombus“.
2. Seznámení s vlastnostmi a charakteristikami kosočtverce.
3. Věty a jejich důkaz.
4. Jak nakreslit kosočtverec. Způsoby zobrazení kosočtverce.
5. Jak najít oblast kosočtverce?
6. Opakování probrané látky.
7. Zajímavosti.
8. Domácí úkol.

Definice kosočtverce jako geometrického útvaru

Kosočtverec je rovnoběžník, ve kterém jsou všechny strany stejné. Pokud má kosočtverec pravé úhly, pak se nazývá čtverec.

Samotný termín "Rhombus" přeložený z Řecký jazyk, znamená "tamburína". Samozřejmě v našem chápání má tamburína jako hudební nástroj kulatý tvar. Ale nyní se tamburíny vyrábějí kulaté, ale ve starověku měly čtvercový nebo diamantový tvar.

Podívejme se na základní definice kosočtverce a pokusme se pochopit, co je tento geometrický obrazec.

Kosočtverec je rovnostranný rovnoběžník, který má stejné strany, ale nestejné úhly.

Na rozdíl od čtverce je kosočtverec rovnostranný šikmý úhel.

Jako vždy dostáváme mnoho definic toho či onoho geometrického útvaru, ale to neznamená, že by si každý student měl sednout a „zapamatovat si“ právě tyto definice. Rozdíl v definicích je v tom, jak široce popisují náš geometrický obrazec. Nejdůležitější je pochopit, o čem definice mluví, a schopnost představit si postavu. Pokud dodržíte tato dvě pravidla, budete moci sami napsat nebo přidat několik definic.

Vlastnosti kosočtverce

2. Jeho druhou vlastností je, že všechny úhlopříčky kosočtverce se protínají v pravém úhlu. V místě průsečíku jsou úhlopříčky kosočtverce rozděleny na polovinu.

3. Osy úhlů kosočtverce jsou jeho úhlopříčky.

4. Chcete-li najít součet čtverců úhlopříček kosočtverce, musíte vynásobit čtverec jeho strany čtyřmi.

5. Opačné strany kosočtverce jsou stejné;

6. Součet úhlů kosočtverce, které sousedí s jednou stranou, je 180 stupňů.

Známky diamantu

Rovnoběžník je kosočtverec, pokud splňuje následující podmínky:

1. Za prvé, všechny jeho strany jsou si navzájem rovny;
2. Za druhé, úhlopříčky kosočtverce se protínají v pravém úhlu.
3. Za třetí, jsou-li úhlopříčky jeho úhlů úsečky.
4. Za čtvrté, pokud jsou jeho dvě sousední strany navzájem stejné.
5. Za páté, je-li alespoň jedna z úhlopříček osou rovnoběžníku.

Věty a jejich důkaz

Nyní se podívejme blíže na vlastnosti a charakteristiky kosočtverce a dokažme teorémy:

Věta 1

Věta 2

Z toho vyplývá, že:

1. Kosočtverec má dvě osy symetrie - úhlopříčky AC a BD.
2. Jeho úhlopříčky jsou vzájemně kolmé.
3. A také jsou osy jeho úhlů.

Oblast kosočtverce

Plocha kosočtverce se rovná polovině součinu jeho úhlopříček. Ale protože kosočtverec je v podstatě rovnoběžník, jeho plochu lze zjistit vynásobením jeho stran jeho výškou.

Vzorce pro oblast kosočtverce:

Kde: a – je strana kosočtverce
D – je uvedena jeho velká úhlopříčka
d – určená menší úhlopříčka
α je ostrý úhel
β – je tupý úhel

Oblast jakéhokoli geometrického útvaru je část povrchu, která je omezena uzavřeným obrysem tohoto obrázku. A plocha kosočtverce je vyjádřena počtem čtverečních jednotek, které obsahuje.

Jak nakreslit kosočtverec

Pro nakreslení kosočtverce využijeme vlastnosti úhlopříček kosočtverce. Již víme, že úhlopříčky našeho geometrického útvaru jsou vzájemně kolmé a v průsečíku půlené. Nejjednodušší způsob, jak začít konstruovat kosočtverec, je sestrojit jeho úhlopříčky.

První způsob

A tak nejprve vybereme bod, ze kterého vyskládáme stejně dlouhé segmenty vlevo a vpravo a stejné segmenty různé délky nahoru a dolů.

Nyní zbývá pouze spojit konce těchto segmentů a ve výsledku nám vznikne kosočtverec.

Druhý způsob

Kosočtverec lze nakreslit i bez použití úhlopříček. V tomto případě stačí určit konce úhlopříček a poté body spojit segmenty.

Třetí způsob

A konečně třetí metoda, kreslení kosočtverce lze provést pomocí pravítka. Protože ty a já víme, že kosočtverec má stejné strany, musíme nejprve nakreslit jeho spodní část. Poté z něj musíte vyčlenit stejný segment. A protože třetí strana je rovnoběžná s první a spojuje konce prvního a třetího segmentu, dostaneme kosočtverec.

Opakování

Již jste se seznámili s takovou geometrickou postavou, jako je kosočtverec, a pochopili jste, že čtverec je jeho zvláštním případem.

1. Proto si připomeňme definici, co je to čtverec? Uveďte vlastní definici čtverce.
2. Jaké vlastnosti má čtverec? Vyjmenuj je.
3. Jaký je rozdíl mezi kosočtvercem a čtvercem, je-li čtverec jeho speciálním případem?
4. Který obrazec se nazývá čtyřúhelník a patří k tomuto geometrickému obrazci kosočtverec?
5. Jaké typy čtyřúhelníků jste již studovali? Vyjmenuj je.
6. Jaké jsou mezi nimi rozdíly?

Je zajímavé to vědět

Věděli jste, že když vezmeme obdélník a spojíme středy jeho stran segmenty, dostaneme kosočtverec.

Ale pokud naopak vezmeme kosočtverec a pokusíme se spojit jeho středy se segmenty, dostaneme geometrický obrazec jako obdélník.

Pokud vezmete rovnoběžník se stejnými výškami, pak je takový rovnoběžník kosočtverec.

Věděli jste, že název karetního obleku tamburín, který má kosočtverečný tvar, se objevil již v dobách, kdy tamburína zdaleka neměla kulatý tvar, ale ve formě kosočtverce nebo čtverce.

Poprvé slovo „rhombus“ použili ve svém slovníku Gerron a papež z Alexandrie.

Domácí práce

1. Myslíte si, že kosočtverec je rovnoběžník, který má alespoň jeden pravý úhel?
2. Je pravda, že každý rovnoběžník je kosočtverec?
3. Pokud jsou úhlopříčky rovnoběžníku 5 cm a 7 cm, může být tento rovnoběžník kosočtverec?
4. Pokud jsou úhlopříčky rovnoběžníku stejné, může to být kosočtverec?
5. Jakou zvláštní vlastnost má kosočtverec, kterou mají jeho úhlopříčky, kromě toho, že jsou napůl rozděleny průsečíkem?
6. Přemýšlejte o tom, kde se v každodenním životě používá geometrický útvar, jako je kosočtverec?

Předměty > Matematika > Matematika 8. tř

Kosočtverec je čtyřúhelník, jehož strany jsou stejné a v párech rovnoběžné. Na rozdíl od čtverce, který má pravé úhly, má kosočtverec dva ostré a dva tupé úhly, ležící na opačné strany. Ale úhlopříčky se protínají v pravých úhlech a jsou zároveň osami. Průsečík úhlopříček je rozděluje na stejné části.

Vzorců pro nalezení úhlopříček kosočtverce je mnoho, stačí znát počáteční údaje a vybrat si vhodný.

Jak najít úhlopříčku kosočtverce přes stranu a úhel: když jsou známy strany a jeden z úhlů kosočtverce, použijí se následující vzorce: Přes stranu a půl úhlu:

Přes stranu a druhou úhlopříčku:

Součet druhých mocnin úhlopříček se rovná druhé mocnině strany vynásobené čtyřmi D^2+d^2=4a^2. Z toho můžeme usoudit, že:

Přes roh a další úhlopříčku:

Průchozí plocha a další úhlopříčka: tradiční vzorec pro nalezení plochy kosočtverce je S=a*h. Ale vzhledem k úhlopříčkám to bude vypadat jako S=1/2*D*d. Po transformacích dostaneme:

Přes obvod a další úhlopříčku. V tomto případě si vzorec odvodíme sami. Protože Kosočtverec má stejné strany, abychom našli jednu z nich, vydělíme obvod 4: a=P/4. Úhlopříčky jsou na sebe kolmé a svírají pravý úhel. Pak jedna ze stran a polovina délek úhlopříček tvoří pravoúhlý trojúhelník. Dále použijeme Pythagorovu větu. Pro velkou úhlopříčku to bude vypadat takto: D=2*(a^2-(d/2)^2)^1/2. Podobně k nalezení malé úhlopříčky: d=2*(a^2-(D/2)^2)^1/2.

Najděte vedlejší úhlopříčku kosočtverce, pokud je obvod 20 cm, hlavní úhlopříčka je 8 cm.

Dáno: Р=20cm, D=8 cm Zjistíme délku jedné strany kosočtverce tak, že obvod rozdělíme na čtyři a=20/4=5 cm Použijeme vzorec z bodu č. 3 a dostaneme d=(. 4*5^2-8^2) ^1/2=6 cm.

Navzdory zjevné jednoduchosti takové geometrické postavy, jako je kosočtverec, je plná mnoha zajímavých aspektů. Jsou pro něj použitelné vlastnosti rovnoběžníku, osy, pravoúhlého a někdy i rovnoramenného trojúhelníku. Znáte-li vzorce, můžete snadno vyřešit problémy s nalezením úhlopříček kosočtverce.

Definice

Kosočtverec je čtyřúhelník se všemi stranami stejnými.

Komentář

Kosočtverec je speciální případ rovnoběžníku, protože jeho protilehlé strany jsou ve dvojicích stejné (třetí znak).

Komentář

Kosočtverec zdědí všechny vlastnosti rovnoběžníku.

Vlastnosti kosočtverce

Úhlopříčky kosočtverce jsou vzájemně kolmé.

Úhlopříčky kosočtverce jsou osy jeho úhlů.

Důkaz

Uvažujme kosočtverec $ABCD$, ve kterém se úhlopříčky $AC$ a $BD$ protínají v bodě $O$.

Dokažme, že jsou kolmé a jsou osou úhlů kosočtverce.

Skutečně, od $ABCD$ – speciální případ rovnoběžníku, pak se úhlopříčky rozdělí na polovinu průsečíkem, tedy $AO=OC, BO=OD$.

Poté, protože $AB=BC=CD=DA$, pak $\triangle AOB=\triangle BOC=\triangle COD=\trojúhelník AOD$ podle třetího kritéria rovnosti.

Potom $\úhel 1=\úhel 2=90^\circ$, protože se jedná o sousední úhly.

Navíc $\úhel 3=\úhel 4=\úhel 5=\úhel 6$, $\úhel 7=\úhel 8=\úhel 9=\úhel 10$.

Úhlopříčky jsou tedy kolmé a jsou osami úhlů kosočtverce.

Následek

Úhlopříčky kosočtverce jej rozdělují na čtyři stejné pravoúhlé trojúhelníky.

Známky diamantu

Pokud jsou úhlopříčky rovnoběžníku vzájemně kolmé, pak je tento rovnoběžník kosočtverec.

Jestliže jedna z úhlopříček rovnoběžníku je sečna jeho úhlu, pak je tento rovnoběžník kosočtverec.

Je-li ve čtyřúhelníku $ABCD$ úhlopříčka $AC$ osou úhlů $\úhel A$ a $\úhel C$ a úhlopříčka $BD$ je osou úhlů $B$ a $D$, pak $ABCD$ je kosočtverec.

Důkaz

Dokažme první bod věty.

Uvažujme rovnoběžník $ABCD$, ve kterém $AC\perp BD$.

Dokažme, že $ABCD$ je kosočtverec.

V rovnoběžníku jsou úhlopříčky půleny průsečíkem, tedy $AO=OC, BO=OD$.

Také $\úhel 1=\úhel 2=90^\circ$.

Poté $\triangle AOB=\triangle AOD$ podle prvního kritéria rovnosti.

Proto $AB=AD$.

A protože $ABCD$ je rovnoběžník, pak $BC=AD=AB=CD$, tedy $ABCD$ je kosočtverec.

Dokažme druhý bod věty.

Uvažujme rovnoběžník $ABCD$, ve kterém je úhlopříčka $AC$ osou úhlu $\úhel A$, tedy $\úhel 1=\úhel 2$.

Dokažme, že $ABCD$ je kosočtverec.

$\úhel 2=\úhel 3$, ležící napříč, tedy $\úhel 1=\úhel 3$.

To znamená, že $\triangle ABC$ je rovnoramenný a $AB=BC$.

A protože $ABCD$ je rovnoběžník, pak $AB=CD, BC=AD$, tedy $AB=BC=CD=AD$, a $ABCD$ je kosočtverec.

Dokažme třetí bod věty

Všimněte si, že $\triangle ABC=\triangle ADC$ podle druhého kritéria ($\úhel 1=\úhel 2, \úhel 3=\úhel 4$, $AC$ – obecné).

Potom $\úhel B=\úhel D$, a proto jsou jejich poloviny stejné: $\úhel 5=\úhel 6=\úhel7=\úhel 8$.

Ale pak jsou trojúhelníky $\triangle ABD$ a $\triangle BCD$ rovnoramenné: $AB=AD, BC=CD$.

Navíc $\triangle ABD=\trojúhelník BCD$ podle druhého kritéria ($BD$ – obecné, $\úhel 5=\úhel6, \úhel 7=\úhel 8$).

To znamená $AB=BC$ a $AD=CD$.

Všechny strany čtyřúhelníku jsou si tedy navzájem rovny: $AB=BC=CD=DA$.