गेम थ्योरी के अनुप्रयोग का एक मज़ेदार उदाहरण एंथनी पीयर्स की फंतासी पुस्तक "द ब्रेव गोलेम" में है।

ढेर सारा पाठ

ग्रुंडी ने शुरू किया, "मैं आप सभी को जो प्रदर्शित करने जा रहा हूं उसका उद्देश्य आवश्यक संख्या में अंक एकत्र करना है।" स्कोर बहुत भिन्न हो सकते हैं - यह सब खेल में प्रतिभागियों द्वारा लिए गए निर्णयों के संयोजन पर निर्भर करता है। उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि प्रत्येक प्रतिभागी अपने साथी खिलाड़ी के विरुद्ध गवाही देता है। इस मामले में, प्रत्येक प्रतिभागी को एक अंक से सम्मानित किया जा सकता है!
- एक बिंदु! - सी विच ने खेल में अप्रत्याशित रुचि दिखाते हुए कहा। जाहिर है, जादूगरनी यह सुनिश्चित करना चाहती थी कि गोलेम के पास राक्षस ज़ैंथ को उससे खुश करने का कोई मौका नहीं है।
- अब मान लेते हैं कि खेल में भाग लेने वाला प्रत्येक प्रतिभागी अपने मित्र के विरुद्ध गवाही नहीं देता है! - ग्रुंडी ने जारी रखा। - इस मामले में, प्रत्येक व्यक्ति को तीन अंक दिए जा सकते हैं। मैं विशेष रूप से ध्यान देना चाहता हूं कि जब तक सभी प्रतिभागी समान तरीके से कार्य करते हैं, उन्हें समान संख्या में अंक दिए जाते हैं। किसी को भी दूसरे से कोई लाभ नहीं है।
- तीन अंक! - दूसरी चुड़ैल ने कहा।
- लेकिन अब हमें यह सुझाव देने का अधिकार है कि एक खिलाड़ी दूसरे के खिलाफ गवाही देने लगा, लेकिन दूसरा अभी भी चुप है! - ग्रुंडी ने कहा। - इस मामले में, जो यह गवाही देता है उसे एक बार में पांच अंक मिलते हैं, और जो चुप रहता है उसे एक भी अंक नहीं मिलता है!
- हाँ! - दोनों चुड़ैलों ने एक स्वर में कहा, अपने होठों को हिंसक तरीके से चाटते हुए। साफ़ था कि इन दोनों को साफ़ तौर पर पांच अंक मिलने वाले थे.
- मैं अपना चश्मा खोता रहा! - दानव चिल्लाया। - लेकिन आपने केवल स्थिति की रूपरेखा तैयार की है, और इसे हल करने का कोई तरीका अभी तक प्रस्तुत नहीं किया है! तो आपकी रणनीति क्या है? समय बर्बाद करने की कोई जरूरत नहीं!
- रुको, अब मैं सब कुछ समझाता हूँ! - ग्रुंडी ने कहा। “हम चार में से प्रत्येक - हममें से दो गोलेम और दो चुड़ैलें हैं - अपने विरोधियों के खिलाफ लड़ेंगे। निःसंदेह, चुड़ैलें कोशिश करेंगी कि वे किसी भी चीज़ में किसी के आगे न झुकें...
- निश्चित रूप से! - दोनों चुड़ैलें फिर एक स्वर में बोलीं। उन्होंने एक नज़र में गोलेम को पूरी तरह से समझ लिया!
"और दूसरा गोलेम मेरी रणनीति का पालन करेगा," ग्रुंडी ने शांति से जारी रखा। उसने अपने दोहरे की ओर देखा। - बिल्कुल, आप जानते हैं?
- हाँ यकीनन! मैं आपकी प्रतिलिपि हूँ! मैं अच्छी तरह समझता हूँ कि आप क्या सोचते हैं!
- यह बहुत बढ़िया बात है! उस स्थिति में, आइए पहला कदम उठाएं ताकि दानव स्वयं सब कुछ देख सके। प्रत्येक लड़ाई में कई राउंड होंगे ताकि पूरी रणनीति पूरी तरह से साकार हो सके और एक संपूर्ण प्रणाली का आभास दे सके। शायद मुझे शुरुआत करनी चाहिए.

– अब हममें से प्रत्येक को कागज के अपने टुकड़ों पर निशान लगाना होगा! - गोलेम डायन की ओर मुड़ गया। – सबसे पहले आपको एक मुस्कुराता हुआ चेहरा बनाना चाहिए. इसका मतलब यह होगा कि हम किसी साथी कैदी के खिलाफ गवाही नहीं देंगे. आप एक उदास चेहरा भी बना सकते हैं, जिसका अर्थ है कि हम केवल अपने बारे में सोचते हैं और अपने साथी के खिलाफ आवश्यक सबूत दे रहे हैं। हम दोनों को एहसास है कि अगर कोई वैसा न हो तो बेहतर होगा, लेकिन दूसरी ओर, एक मुस्कुराते हुए चेहरे की तुलना में एक डूबे हुए चेहरे को कुछ फायदे मिलते हैं! लेकिन मुद्दा यह है कि हममें से हर कोई नहीं जानता कि दूसरा क्या चुनेगा! हमें तब तक पता नहीं चलेगा जब तक हमारा खेलने वाला साथी अपनी ड्राइंग का खुलासा नहीं करता!
- शुरू हो जाओ, कमीने! - डायन ने शाप दिया। वह, हमेशा की तरह, अपमानजनक विशेषणों के बिना नहीं रह सकती थी!
- तैयार! - ग्रुंडी ने अपने कागज के टुकड़े पर एक बड़ा मुस्कुराता हुआ चेहरा बनाते हुए कहा, ताकि चुड़ैल यह न देख सके कि उसने वहां क्या बनाया है। डायन ने अपनी चाल चली और मुँह भी बना लिया। किसी को यह सोचना चाहिए कि उसने निश्चित रूप से एक निर्दयी चेहरा दिखाया है!
ग्रुंडी ने घोषणा की, "ठीक है, अब हमें बस एक-दूसरे को अपने चित्र दिखाना है।" पीछे मुड़कर उसने चित्र को जनता के लिए खोला और उसे सभी दिशाओं में दिखाया ताकि सभी लोग चित्र को देख सकें। कुछ नाराज होकर बड़बड़ाते हुए सी विच ने वैसा ही किया।
जैसा कि ग्रुंडी ने उम्मीद की थी, डायन के चित्र से एक क्रोधित, असंतुष्ट चेहरा दिखाई दिया।
"अब आप, प्रिय दर्शकों," ग्रुंडी ने गंभीरता से कहा, "देखें कि चुड़ैल ने मेरे खिलाफ गवाही देने का फैसला किया है।" मैं ऐसा नहीं करने जा रहा हूं. इस प्रकार, सी विच को पांच अंक मिलते हैं। और, तदनुसार, मुझे एक भी अंक नहीं मिलता है। और यहां…
दर्शकों की कतारों में फिर से हल्का सा शोर गूंज उठा। हर किसी को स्पष्ट रूप से गोलेम के प्रति सहानुभूति थी और वह पूरी लगन से चाहता था कि समुद्री चुड़ैल हार जाए।
लेकिन खेल तो अभी शुरू हुआ है! यदि केवल उनकी रणनीति सही होती...
- अब हम दूसरे दौर में आगे बढ़ सकते हैं! - ग्रुंडी ने गंभीरता से घोषणा की। - हमें चालें दोबारा दोहरानी होंगी। हर कोई वह चेहरा बनाता है जो उनके सबसे करीब होता है!
और उन्होंने वैसा ही किया. ग्रुंडी का चेहरा अब उदास, असंतुष्ट था।
जैसे ही खिलाड़ियों ने अपने चित्र दिखाए, दर्शकों ने देखा कि वे दोनों अब क्रोधित चेहरे बना रहे थे।
- प्रत्येक को दो अंक! - ग्रुंडी ने कहा।
- सात दो मेरे पक्ष में! - डायन खुशी से चिल्लाई। "तुम यहाँ से नहीं निकलोगे, कमीने!"
- चलो फिर से शुरु करते हैं! - ग्रुंडी ने कहा। उन्होंने एक और चित्र बनाया और उसे जनता को दिखाया। फिर वही गुस्से वाले चेहरे.
- हममें से प्रत्येक ने पिछली चाल को दोहराया, स्वार्थी व्यवहार किया, और इसलिए, मुझे ऐसा लगता है, किसी को अंक न देना ही बेहतर है! - गोलेम ने कहा।
- लेकिन मैं अभी भी खेल का नेतृत्व करता हूँ! - डायन ने खुशी से हाथ मलते हुए कहा।
- ठीक है, शोर मत करो! - ग्रुंडी ने कहा। - खेल ख़त्म नहीं हुआ है. चलो देखते हैं क्या होता हैं! तो, प्रिय दर्शकों, हम चौथा दौर शुरू कर रहे हैं!
खिलाड़ियों ने फिर से चित्र बनाए और दर्शकों को दिखाया कि उन्होंने अपनी शीट पर क्या बनाया है। कागज की दोनों शीटों ने दर्शकों को फिर से वही बुरे चेहरे दिखाए।
- आठ - तीन! - डायन बुरी हंसी फूटते हुए चिल्लाई। "तुमने अपनी मूर्खतापूर्ण रणनीति से अपनी कब्र खोद ली, गोलेम!"
- पाँचवाँ दौर! - ग्रुंडी चिल्लाया। वही हुआ जो पिछले राउंड में हुआ था - चेहरे फिर गुस्से में थे, केवल स्कोर बदल गया - यह जादूगरनी के पक्ष में नौ-चार हो गया।
– अब आखिरी, छठा राउंड! - ग्रुंडी ने घोषणा की। उनकी प्रारंभिक गणना से पता चला कि यह विशेष दौर भाग्यवादी बन जाना चाहिए। अब सिद्धांत की पुष्टि या खंडन अभ्यास द्वारा किया जाना था।
कागज पर पेंसिल की कुछ तेज और घबराहट भरी हरकतें - और दोनों चित्र लोगों की आंखों के सामने आ गए। फिर दो चेहरे, अब खुले दाँतों से भी!
– दस – पाँच मेरे पक्ष में! मेरा खेल! मैं जीता! - समुद्री चुड़ैल चिल्लाई।

"आप वास्तव में जीत गए," ग्रुंडी ने निराशा से सहमति व्यक्त की। श्रोतागण अत्यंत मौन थे।
राक्षस ने कुछ कहने के लिए अपने होंठ हिलाये।

- लेकिन हमारी प्रतिस्पर्धा अभी ख़त्म नहीं हुई है! - ग्रुंडी जोर से चिल्लाया। - यह खेल का केवल पहला भाग था।
- तुम्हें अनंत काल दो! - दानव ज़ैंथ असंतुष्ट होकर बड़बड़ाया।
- यह सही है! - ग्रुंडी ने शांति से कहा। – लेकिन एक राउंड से कुछ हल नहीं होता, केवल कार्यप्रणाली ही सर्वोत्तम परिणाम का संकेत देती है।
गोलेम अब दूसरी चुड़ैल के पास पहुंचा।
- मैं इस राउंड को किसी अन्य प्रतिद्वंद्वी के साथ खेलना चाहूंगा! - उसने घोषणा की थी। - हम में से प्रत्येक चेहरे का चित्रण करेगा, जैसा कि पिछली बार था, फिर हम प्रदर्शित करेंगे कि हमने जनता के सामने क्या आकर्षित किया है!
तो उन्होंने ऐसा ही किया. परिणाम पिछली बार जैसा ही था - ग्रुंडी ने एक मुस्कुराता हुआ चेहरा बनाया, और चुड़ैल ने सिर्फ एक खोपड़ी बनाई। उसने ग्रुंडी को पीछे छोड़ते हुए तुरंत पांच अंकों की बढ़त हासिल कर ली।
शेष पांच राउंड उन परिणामों के साथ समाप्त हुए जिनकी उम्मीद की जा सकती थी। एक बार फिर स्कोर सी विच के पक्ष में दस-पांच था।
- गोलेम, मुझे आपकी रणनीति सचमुच पसंद आई! - डायन हँसी।
- तो, ​​आपने खेल के दो राउंड देख लिए हैं, प्रिय दर्शकों! - ग्रुंडी ने कहा। "इस प्रकार, मैंने दस अंक बनाए, और मेरे प्रतिद्वंद्वियों ने बीस अंक बनाए!"
दर्शक, जो अंक भी गिन रहे थे, शोकपूर्वक सिर हिलाया। उनकी गिनती गोलेम से मेल खाती थी। केवल फ्रैक्टो नाम का बादल ही बहुत प्रसन्न लग रहा था, हालाँकि, निस्संदेह, उसे चुड़ैल से भी सहानुभूति नहीं थी।
लेकिन रॅपन्ज़ेल गोलेम को देखकर मुस्कुराई - वह उस पर विश्वास करती रही। अब शायद वह अकेली बची होगी जिसने उस पर विश्वास किया। ग्रुंडी को उम्मीद थी कि वह इस असीम भरोसे को सही ठहराएंगे।
अब ग्रुंडी अपने तीसरे प्रतिद्वंद्वी - अपने डबल - के पास पहुंचे। वह उनका अंतिम प्रतिद्वंद्वी होना था। गोलेम्स ने कागज पर तेजी से अपनी पेंसिलें लिखकर कागज के टुकड़े जनता को दिखाए। सभी ने दो हँसते हुए चेहरे देखे।
- कृपया ध्यान दें, प्रिय दर्शकों, हममें से प्रत्येक ने एक अच्छा सेलमेट बनना चुना! - ग्रुंडी ने कहा। "और इसलिए हममें से किसी को भी इस खेल में अपने विरोधियों पर आवश्यक लाभ नहीं मिला।" तो हम दोनों को तीन अंक मिलते हैं और अगले दौर में आगे बढ़ते हैं!
दूसरा दौर शुरू हो गया है. नतीजा पिछली बार जैसा ही रहा. फिर बाकी राउंड. और प्रत्येक राउंड में, दोनों विरोधियों ने फिर से तीन अंक बनाए! यह बिल्कुल अविश्वसनीय था, लेकिन जनता जो कुछ भी हो रहा था उसकी पुष्टि करने के लिए तैयार थी।

अंत में, यह दौर समाप्त हो गया, और ग्रुंडी ने, जल्दी से कागज पर अपनी पेंसिल चलाकर, परिणाम की गणना करना शुरू कर दिया। अंत में उन्होंने गंभीरता से घोषणा की:
-अट्ठारह से अठारह! कुल मिलाकर, मैंने अट्ठाईस अंक बनाए, जबकि मेरे विरोधियों ने अड़तीस अंक बनाए!
"तो आप हार गए," सी विच ने ख़ुशी से घोषणा की। - इस प्रकार, हम में से एक विजेता बन जाएगा!
- शायद! - ग्रुंडी ने शांति से जवाब दिया। अब एक और महत्वपूर्ण क्षण आया. यदि सब कुछ योजना के अनुसार हुआ...
- हमें इस मामले को ख़त्म करना होगा! - दूसरा गोलेम चिल्लाया। - मुझे अभी भी दो समुद्री चुड़ैलों से लड़ना है! अभी खेल खत्म नहीं हुआ!
- हाँ, बिल्कुल, आगे बढ़ें! - ग्रुंडी ने कहा। - लेकिन केवल रणनीति द्वारा निर्देशित रहें!
- हाँ यकीनन! - अपने दोहरे को आश्वासन दिया।
यह गोलेम एक चुड़ैल के पास पहुंचा और दौरा शुरू हुआ। यह उसी परिणाम के साथ समाप्त हुआ जिसके साथ ग्रुंडी स्वयं एक समान दौर से बाहर आए थे - स्कोर जादूगरनी के पक्ष में दस से पांच था। चुड़ैल वास्तव में अवर्णनीय खुशी से झूम उठी, और दर्शक उदास होकर चुप हो गए। दानव ज़ैंथ कुछ थका हुआ लग रहा था, जो बहुत अच्छा शगुन नहीं था।
अब अंतिम दौर का समय था - एक चुड़ैल को दूसरी से लड़ना था। प्रत्येक के पास बीस अंक थे, जिन्हें वह गोलेम्स से लड़कर प्राप्त करने में सक्षम थी।
"और अब, यदि आप मुझे कम से कम कुछ अतिरिक्त अंक प्राप्त करने की अनुमति देते हैं..." सी विच ने अपने साथी से षडयंत्रपूर्वक फुसफुसाया।
ग्रुंडी ने शांत रहने की कोशिश की, कम से कम बाहरी तौर पर, हालांकि उसकी आत्मा में परस्पर विरोधी भावनाओं का तूफान चल रहा था। उनकी किस्मत अब इस बात पर निर्भर थी कि उन्होंने दोनों चुड़ैलों के संभावित व्यवहार की कितनी सही भविष्यवाणी की थी - आखिरकार, उनका चरित्र, संक्षेप में, एक ही था!
अब शायद सबसे महत्वपूर्ण क्षण आ गया है। लेकिन क्या होगा अगर वह गलत था?
- आख़िर मैं तुम्हें क्यों छोड़ दूं! - दूसरी चुड़ैल पहली पर टेढ़ी-मेढ़ी बोली। - मैं स्वयं अधिक अंक प्राप्त करना चाहता हूँ और यहाँ से निकलना चाहता हूँ!
आवेदक चिल्लाया, "ठीक है, अगर तुम इतना निर्लज्ज व्यवहार कर रहे हो," तो मैं तुम्हें इतना पीटूंगा कि तुम फिर मेरे जैसे नहीं रहोगे!
चुड़ैलों ने एक-दूसरे को घृणित दृष्टि से देखते हुए, अपने चित्र बनाए और उन्हें जनता को दिखाया। बेशक, दो खोपड़ियों के अलावा और कुछ नहीं हो सकता था! प्रत्येक ने एक अंक अर्जित किया।
चुड़ैलों ने एक-दूसरे को श्राप देते हुए दूसरा दौर शुरू किया। परिणाम फिर से वही है - फिर से दो अनाड़ी ढंग से खींची गई खोपड़ियाँ। इस प्रकार चुड़ैलों ने एक और अंक अर्जित किया। जनता ने लगन से सब कुछ रिकॉर्ड किया।
यह आगे भी जारी रहा. जब राउंड समाप्त हुआ, तो थकी हुई चुड़ैलों को पता चला कि उनमें से प्रत्येक ने छह अंक अर्जित किए हैं। फिर से ड्रा करें!
- अब आइए परिणामों की गणना करें और हर चीज़ की तुलना करें! - ग्रुंडी ने विजयी भाव से कहा। - प्रत्येक चुड़ैल ने छब्बीस अंक बनाए, और गोलेम्स ने अट्ठाईस अंक बनाए। तो हमारे पास क्या है? और हमारे पास परिणाम है कि गोलेम्स के पास अधिक अंक हैं!
दर्शकों की कतार में आश्चर्य की सांस दौड़ गई। उत्साहित दर्शकों ने गिनती की सटीकता की जांच करते हुए, अपने कागज के टुकड़ों पर संख्याओं के कॉलम लिखना शुरू कर दिया। इस दौरान, कई लोगों ने स्कोर किए गए अंकों की संख्या की गिनती नहीं की, यह मानते हुए कि उन्हें खेल का परिणाम पहले से ही पता था। दोनों चुड़ैलें आक्रोश से गुर्राने लगीं, यह स्पष्ट नहीं है कि जो कुछ हुआ उसके लिए उन्होंने वास्तव में किसे दोषी ठहराया। राक्षस ज़ांट की आँखें फिर से सावधान आग से चमक उठीं। उनका भरोसा उचित था!
"प्रिय दर्शकों, मैं आपसे इस तथ्य पर ध्यान देने के लिए कहता हूं," ग्रुंडी ने अपना हाथ उठाया, और मांग की कि दर्शक शांत हो जाएं, "कि किसी भी गोलेम्स ने एक भी राउंड नहीं जीता।" लेकिन अंतिम जीत फिर भी हममें से एक, गोलेम्स की ही होगी। यदि प्रतिस्पर्धा जारी रही तो परिणाम अधिक स्पष्ट होंगे! मेरे प्रिय दर्शकों, मैं कहना चाहता हूं कि शाश्वत द्वंद्व में मेरी रणनीति हमेशा विजयी होगी!
ग्रुंडी जो कह रहा था उसे दानव ज़ैंथ ने दिलचस्पी से सुना। अंत में, भाप के बादल छोड़ते हुए, उसने अपना मुँह खोला:
- आपकी रणनीति वास्तव में क्या है?
- मैं इसे कहता हूं "दृढ़ रहें लेकिन निष्पक्ष रहें"! - ग्रुंडी ने समझाया। - मैं ईमानदारी से खेल शुरू करता हूं, लेकिन फिर मैं हारना शुरू कर देता हूं क्योंकि मुझे बहुत विशिष्ट साझेदार मिलते हैं। इसलिए, पहले दौर में, जब यह पता चलता है कि समुद्री चुड़ैल मेरे खिलाफ गवाही देना शुरू कर देती है, तो मैं स्वचालित रूप से दूसरे दौर में हारा हुआ रह जाता हूं - और यह अंत तक जारी रहता है। यदि डायन खेल खेलने की अपनी रणनीति बदल दे तो परिणाम भिन्न हो सकते हैं। लेकिन चूंकि उसे इसकी भनक तक नहीं लग सकी, इसलिए हमने पिछले पैटर्न के अनुसार खेलना जारी रखा। जब मैंने अपने डबल के साथ खेलना शुरू किया, तो उसने मेरे साथ अच्छा व्यवहार किया और खेल के अगले दौर में मैंने भी उसके साथ अच्छा व्यवहार किया। इसलिए, हमारा खेल भी अलग और कुछ हद तक नीरस रहा, क्योंकि हम रणनीति बदलना नहीं चाहते थे...
- लेकिन आपने एक भी राउंड नहीं जीता! - राक्षस ने आश्चर्य से आपत्ति जताई।
- हाँ, और इन चुड़ैलों ने एक भी राउंड नहीं हारा है! - ग्रुंडी ने पुष्टि की। - लेकिन जीत स्वचालित रूप से उस व्यक्ति को नहीं मिलती जिसके पास शेष राउंड हैं। जीत उसे मिलती है जो सबसे अधिक अंक अर्जित करता है, लेकिन यह बिल्कुल अलग मामला है! जब मैं चुड़ैलों के साथ खेलता था तब की तुलना में जब मैं अपने डबल के साथ खेलता था तो मैं अधिक अंक अर्जित करने में सफल रहता था। उनके स्वार्थी रवैये ने उन्हें क्षणिक जीत दिला दी, लेकिन लंबी अवधि में, यह पता चला कि इसी वजह से वे दोनों पूरा गेम हार गए। ऐसा अक्सर होता है!

3.4.1. गेम थ्योरी की बुनियादी अवधारणाएँ

वर्तमान में, उत्पादन, आर्थिक या वाणिज्यिक गतिविधियों में समस्याओं के कई समाधान निर्णय निर्माता के व्यक्तिपरक गुणों पर निर्भर करते हैं। अनिश्चितता की स्थिति में निर्णय चुनते समय, मनमानी का तत्व और इसलिए जोखिम हमेशा अपरिहार्य होता है।

खेल और सांख्यिकीय निर्णयों का सिद्धांत पूर्ण या आंशिक अनिश्चितता की स्थितियों में निर्णय लेने की समस्याओं से संबंधित है। अनिश्चितता दूसरे पक्ष के विरोध का रूप ले सकती है, जो विपरीत लक्ष्यों का पीछा करता है, बाहरी वातावरण के कुछ कार्यों या स्थितियों में हस्तक्षेप करता है। ऐसे मामलों में, विपरीत पक्ष के व्यवहार के संभावित विकल्पों को ध्यान में रखना आवश्यक है।

दोनों पक्षों के लिए संभावित व्यवहार विकल्प और विकल्पों और राज्यों के प्रत्येक संयोजन के लिए उनके परिणामों को फॉर्म में दर्शाया जा सकता है गणितीय मॉडल को खेल कहा जाता है।संघर्ष के दोनों पक्ष आपसी कार्रवाइयों की सटीक भविष्यवाणी नहीं कर सकते। इतनी अनिश्चितता के बावजूद, संघर्ष के प्रत्येक पक्ष को निर्णय लेना होता है।

खेल सिद्धांत- यह एक गणितीय सिद्धांत है संघर्ष की स्थितियाँ. इस सिद्धांत की मुख्य सीमाएँ दुश्मन की पूर्ण ("आदर्श") तर्कसंगतता की धारणा और संघर्ष को हल करते समय सबसे सतर्क "पुनर्बीमा" निर्णय को अपनाना हैं।

परस्पर विरोधी दलों को बुलाया जाता है खिलाड़ियों, खेल का एक कार्यान्वयन – दल, खेल का परिणाम - जीतना या हारना.

इस कदम परगेम थ्योरी में नियमों और उसके कार्यान्वयन द्वारा प्रदान की गई क्रियाओं में से एक का चुनाव होता है।

व्यक्तिगत रूप सेबुलाया सचेत विकल्पमें से एक का खिलाड़ी संभावित विकल्पक्रियाएँ और उनका कार्यान्वयन।

यादृच्छिक चालकिसी खिलाड़ी की पसंद को कॉल करें, जो खिलाड़ी के स्वैच्छिक निर्णय से नहीं, बल्कि कार्रवाई और उसके कार्यान्वयन के संभावित विकल्पों में से एक के यादृच्छिक चयन (सिक्का उछालना, कार्ड बांटना आदि) के कुछ तंत्र द्वारा किया जाता है।

खिलाड़ी की रणनीतिनियमों का एक समूह है जो खेल के दौरान उत्पन्न होने वाली स्थिति के आधार पर, इस खिलाड़ी की प्रत्येक व्यक्तिगत चाल के लिए कार्रवाई की पसंद निर्धारित करता है

इष्टतम रणनीतिप्लेयर एक ऐसी रणनीति है, जो व्यक्तिगत और यादृच्छिक चालों वाले गेम में कई बार दोहराए जाने पर, खिलाड़ी को यथासंभव अधिकतम प्रदान करती है औसतजीत (या, वही, न्यूनतम संभव औसतनुकसान)।

परिणामों की अनिश्चितता पैदा करने वाले कारणों के आधार पर खेलों को निम्नलिखित मुख्य समूहों में विभाजित किया जा सकता है:

- मिश्रितऐसे खेल जिनमें नियम, सिद्धांत रूप में, प्रत्येक खिलाड़ी को व्यवहार के लिए सभी विभिन्न विकल्पों का विश्लेषण करने और, इन विकल्पों की तुलना करके, सर्वश्रेष्ठ को चुनने में सक्षम बनाते हैं। अनिश्चितता यहां भी है बड़ी मात्राजिन विकल्पों का विश्लेषण करने की आवश्यकता है।

- जुआऐसे खेल जिनमें यादृच्छिक कारकों के प्रभाव के कारण परिणाम अनिश्चित होता है।

- सामरिकऐसे खेल जिनमें परिणाम की अनिश्चितता इस तथ्य के कारण होती है कि निर्णय लेते समय प्रत्येक खिलाड़ी को यह नहीं पता होता है कि खेल में अन्य प्रतिभागी किस रणनीति का पालन करेंगे, क्योंकि प्रतिद्वंद्वी (साझेदार) के बाद के कार्यों के बारे में कोई जानकारी नहीं है ).

- खेल को युगल कहा जाता है, यदि खेल में दो खिलाड़ी शामिल हैं।

- खेल को एकाधिक कहा जाता है, यदि खेल में दो से अधिक खिलाड़ी हैं।

- खेल को शून्य योग कहा जाता है, यदि प्रत्येक खिलाड़ी दूसरे की कीमत पर जीतता है, और एक पक्ष की जीत और हार का योग दूसरे के बराबर है।

- शून्य-राशि युगल खेलबुलाया विरोधी खेल.

- खेल को परिमित कहा जाता है, यदि प्रत्येक खिलाड़ी के पास रणनीतियों की केवल एक सीमित संख्या है। अन्यथा यह एक खेल है अनंत।

- एक कदम खेलजब खिलाड़ी किसी एक रणनीति को चुनता है और एक चाल चलता है।

- मल्टी-स्टेप गेम मेंखिलाड़ी अपने लक्ष्यों को प्राप्त करने के लिए कई कदम उठाते हैं, जो खेल के नियमों द्वारा सीमित हो सकते हैं या तब तक जारी रह सकते हैं जब तक कि किसी खिलाड़ी के पास खेल जारी रखने के लिए कोई संसाधन न बचे।

- व्यवसायिक खेलविभिन्न संगठनों और उद्यमों में संगठनात्मक और आर्थिक बातचीत का अनुकरण करें। किसी वास्तविक वस्तु की तुलना में गेम सिमुलेशन के फायदे हैं:

लिए गए निर्णयों के परिणामों की दृश्यता;

परिवर्तनीय समय पैमाना;

सेटिंग्स में बदलाव के साथ मौजूदा अनुभव की पुनरावृत्ति;

घटनाओं और वस्तुओं का परिवर्तनशील कवरेज।

खेल मॉडल के तत्वहैं:

- खेल के प्रतिभागी.

- खेल के नियम।

- सूचना सारणी,प्रतिरूपित प्रणाली की स्थिति और गति को प्रतिबिंबित करना।

खेलों का वर्गीकरण और समूहीकरण करने से समान खेलों को निर्णय लेने में विकल्पों की खोज के लिए सामान्य तरीके खोजने और गतिविधि के विभिन्न क्षेत्रों में संघर्ष स्थितियों के विकास के दौरान कार्रवाई के सबसे तर्कसंगत पाठ्यक्रम पर सिफारिशें विकसित करने की अनुमति मिलती है।

3.4.2. खेल के उद्देश्य निर्धारित करना

एक परिमित शून्य-राशि युग्म खेल पर विचार करें। खिलाड़ी A के पास m रणनीतियाँ (A 1 A 2 A m) हैं, और खिलाड़ी B के पास n रणनीतियाँ (B 1, B 2 Bn) हैं। ऐसे खेल को आयाम mxn का खेल कहा जाता है। मान लीजिए कि a ij ऐसी स्थिति में खिलाड़ी A का भुगतान है जहां खिलाड़ी A ने रणनीति A i चुनी है, और खिलाड़ी B ने रणनीति B j चुनी है। इस स्थिति में खिलाड़ी का भुगतान b ij द्वारा दर्शाया जाएगा। एक शून्य-राशि वाला खेल, इसलिए, a ij = - b ij। विश्लेषण करने के लिए, केवल एक खिलाड़ी के भुगतान को जानना पर्याप्त है, ए का कहना है।

यदि खेल में केवल व्यक्तिगत चालें शामिल हैं, तो रणनीति का चुनाव (ए आई, बी जे) विशिष्ट रूप से खेल के परिणाम को निर्धारित करता है। यदि खेल में यादृच्छिक चालें भी शामिल हैं, तो अपेक्षित जीत औसत मूल्य (गणितीय अपेक्षा) है।

आइए मान लें कि ij का मान रणनीतियों की प्रत्येक जोड़ी (A i, B j) के लिए जाना जाता है। आइए एक आयताकार तालिका बनाएं, जिसकी पंक्तियाँ खिलाड़ी A की रणनीतियों के अनुरूप हों, और कॉलम खिलाड़ी B की रणनीतियों के अनुरूप हों। इस तालिका को कहा जाता है भुगतान मैट्रिक्स.

खिलाड़ी ए का लक्ष्य अपनी जीत को अधिकतम करना है, और खिलाड़ी बी का लक्ष्य अपने नुकसान को कम करना है।

इस प्रकार, भुगतान मैट्रिक्स इस प्रकार दिखता है:

कार्य यह निर्धारित करना है:

1) रणनीतियों ए 1 ए 2 ए एम में से खिलाड़ी ए की सर्वोत्तम (इष्टतम) रणनीति;

2) रणनीतियों बी 1, बी 2 बीएन से खिलाड़ी बी की सर्वोत्तम (इष्टतम) रणनीति।

समस्या को हल करने के लिए, सिद्धांत लागू किया जाता है जिसके अनुसार खेल में भाग लेने वाले समान रूप से बुद्धिमान होते हैं और उनमें से प्रत्येक अपने लक्ष्य को प्राप्त करने के लिए सब कुछ करता है।

3.4.3. खेल की समस्याओं को हल करने के तरीके

मिनिमैक्स सिद्धांत

आइए हम खिलाड़ी A की प्रत्येक रणनीति का क्रमिक रूप से विश्लेषण करें। यदि खिलाड़ी A रणनीति A 1 चुनता है, तो खिलाड़ी B ऐसी रणनीति B j चुन सकता है, जिसमें खिलाड़ी A का भुगतान सबसे छोटी संख्या 1j के बराबर होगा। आइए इसे 1 से निरूपित करें:

अर्थात्, 1 पहली पंक्ति की सभी संख्याओं का न्यूनतम मान है।

इसे सभी पंक्तियों तक बढ़ाया जा सकता है. इसलिए, खिलाड़ी ए को वह रणनीति चुननी होगी जिसके लिए संख्या ए आई अधिकतम है।

वैल्यू ए एक गारंटीकृत जीत है जिसे खिलाड़ी बी के किसी भी व्यवहार के लिए खिलाड़ी अपने लिए सुरक्षित कर सकता है। वैल्यू ए को गेम की कम कीमत कहा जाता है।

खिलाड़ी बी अपने नुकसान को कम करने में रुचि रखता है, यानी खिलाड़ी ए की जीत को न्यूनतम तक कम करना चाहता है। इष्टतम रणनीति चुनने के लिए, उसे खोजना होगा अधिकतम मूल्यप्रत्येक कॉलम में जीतें और उनमें से सबसे छोटे को चुनें।

आइए प्रत्येक कॉलम में अधिकतम मान को b j से निरूपित करें:

सबसे कम मूल्य b j को b से निरूपित करें।

बी = न्यूनतम अधिकतम ए आईजे

b को खेल की ऊपरी सीमा कहा जाता है। वह सिद्धांत जो यह निर्देश देता है कि खिलाड़ी उचित रणनीतियाँ चुनें, मिनिमैक्स सिद्धांत कहलाता है।

ऐसे मैट्रिक्स गेम हैं जिनके लिए गेम की कम कीमत ऊपरी कीमत के बराबर होती है, ऐसे गेम को सैडल पॉइंट गेम कहा जाता है। इस मामले में, g=a=b को खेल का शुद्ध मूल्य कहा जाता है, और इस मूल्य को प्राप्त करने की अनुमति देने वाली रणनीतियों A * i, B * j को इष्टतम कहा जाता है। जोड़ी (ए * आई, बी * जे) को मैट्रिक्स का सैडल पॉइंट कहा जाता है, क्योंकि तत्व ए आईजे = जी एक साथ आई-पंक्ति में न्यूनतम और जे-कॉलम में अधिकतम है। इष्टतम रणनीतियाँए*आई, बी*जे, और नेट कीमतशुद्ध रणनीतियों में खेल का एक समाधान है, यानी, यादृच्छिक चयन तंत्र को शामिल किए बिना।

उदाहरण 1।

एक भुगतान मैट्रिक्स दिया जाए. गेम का समाधान ढूंढें, यानी गेम की निचली और ऊपरी कीमतें और न्यूनतम रणनीतियां निर्धारित करें।

यहाँ a 1 =min a 1 j =min(5,3,8,2) =2

ए = अधिकतम न्यूनतम ए आईजे = अधिकतम (2,1,4) =4

बी = न्यूनतम अधिकतम ए आईजे = न्यूनतम(9,6,8,7) =6

इस प्रकार, खेल की निचली कीमत (ए=4) रणनीति ए 3 से मेल खाती है। इस रणनीति को चुनकर, खिलाड़ी ए को खिलाड़ी बी के किसी भी व्यवहार के लिए कम से कम 4 का भुगतान प्राप्त होगा। खेल की ऊपरी कीमत (बी= 6) खिलाड़ी बी की रणनीति से मेल खाती है। ये रणनीतियाँ मिनिमैक्स हैं। यदि दोनों पक्ष इन रणनीतियों का पालन करते हैं, तो भुगतान 4 (33) होगा।

उदाहरण 2.

भुगतान मैट्रिक्स दिया गया है. खेल की निचली और ऊपरी कीमतें ज्ञात करें।

ए =अधिकतम न्यूनतम ए आईजे = अधिकतम(1,2,3) =3

बी = न्यूनतम अधिकतम ए आईजे = न्यूनतम(5,6,3) =3

इसलिए, a =b=g=3. काठी बिंदु जोड़ी (ए * 3, बी * 3) है। यदि किसी मैट्रिक्स गेम में सैडल पॉइंट होता है, तो इसका समाधान मिनिमैक्स सिद्धांत का उपयोग करके पाया जाता है।

खेलों को हल करना मिश्रित रणनीतियाँ

यदि भुगतान मैट्रिक्स में सैडल पॉइंट नहीं है (a मिश्रित रणनीति.

मिश्रित रणनीतियों का उपयोग करने के लिए निम्नलिखित शर्तों की आवश्यकता होती है:

1) गेम में कोई सैडल पॉइंट नहीं है।

2) खिलाड़ी संगत संभावनाओं के साथ शुद्ध रणनीतियों के यादृच्छिक मिश्रण का उपयोग करते हैं।

3) खेल को समान परिस्थितियों में कई बार दोहराया जाता है।

4) प्रत्येक चाल के दौरान, खिलाड़ी को दूसरे खिलाड़ी द्वारा चुनी गई रणनीति के बारे में सूचित नहीं किया जाता है।

5) खेल के परिणामों का औसत निकालने की अनुमति है।

गेम थ्योरी में यह सिद्ध है कि प्रत्येक शून्य-राशि युग्मित गेम में कम से कम एक मिश्रित रणनीति समाधान होता है, जिसका अर्थ है कि प्रत्येक परिमित गेम की एक लागत होती है। जी - प्रति गेम औसत जीत, संतोषजनक स्थिति ए<=g<=b . Оптимальное решение игры в смешанных стратегиях обладает следующим свойством: каждый из игроков не заинтересован в отходе от своей оптимальной смешанной стратегии.

खिलाड़ियों की इष्टतम मिश्रित रणनीतियों में उनकी रणनीतियों को सक्रिय कहा जाता है।

सक्रिय रणनीतियों पर प्रमेय.

एक इष्टतम मिश्रित रणनीति का अनुप्रयोग एक खिलाड़ी को खेल की लागत के बराबर अधिकतम औसत जीत (या न्यूनतम औसत हानि) प्रदान करता है, भले ही दूसरा खिलाड़ी क्या कार्रवाई करता है, जब तक कि वह सीमा से आगे नहीं जाता है उनकी सक्रिय रणनीतियाँ।

आइए निम्नलिखित संकेतन का परिचय दें:

पी 1 पी 2 ... पी एम - खिलाड़ी ए द्वारा रणनीतियों ए 1 ए 2 ..... ए एम का उपयोग करने की संभावना;

Q 1 Q 2 …Q n खिलाड़ी B द्वारा रणनीतियों B 1, B 2….. Bn का उपयोग करने की संभावना

हम खिलाड़ी A की मिश्रित रणनीति को इस प्रकार लिखते हैं:

ए 1 ए 2…. पूर्वाह्न

Р 1 Р 2 ... Р एम

हम खिलाड़ी B की मिश्रित रणनीति को इस प्रकार लिखते हैं:

बी 1 बी 2…. बटालियन

भुगतान मैट्रिक्स ए को जानकर, आप औसत जीत (गणितीय अपेक्षा) एम (ए, पी, क्यू) निर्धारित कर सकते हैं:

एम(ए,पी,क्यू)=एस सा आईजे पी आई क्यू जे

खिलाड़ी ए की औसत जीत:

ए =अधिकतम न्यूनतमएम(ए,पी,क्यू)

खिलाड़ी बी की औसत हानि:

बी = न्यूनतम अधिकतमएम(ए,पी,क्यू)

आइए हम इष्टतम मिश्रित रणनीतियों के अनुरूप वैक्टर को पी ए * और क्यू बी * द्वारा निरूपित करें जिसके तहत:

अधिकतम न्यूनतमएम(ए,पी,क्यू) = न्यूनतम अधिकतमएम(ए,पी,क्यू)= एम(ए,पी ए * ,क्यू बी *)

इस मामले में, निम्नलिखित शर्त पूरी होती है:

अधिकतमएम(ए,पी,क्यू बी *)<=maxМ(А,P А * ,Q В *)<= maxМ(А,P А * ,Q)

किसी गेम को हल करने का अर्थ है गेम की कीमत और इष्टतम रणनीतियों का पता लगाना।

खेल की कीमतें और इष्टतम रणनीतियाँ निर्धारित करने के लिए ज्यामितीय विधि

(गेम 2X2 के लिए)

लंबाई 1 का एक खंड एब्सिस्सा अक्ष पर प्लॉट किया गया है, इस खंड का बायां छोर रणनीति ए 1 से मेल खाता है, दायां छोर रणनीति ए 2 से मेल खाता है।

Y-अक्ष जीत को 11 और 12 दर्शाता है।

जीत ए 21 और ए 22 को बिंदु 1 से कोटि अक्ष के समानांतर एक रेखा के साथ प्लॉट किया गया है।

यदि खिलाड़ी बी रणनीति बी 1 का उपयोग करता है, तो हम अंक ए 11 और ए 21 को जोड़ते हैं, यदि बी 2, तो ए 12 और ए 22।

औसत जीत को बिंदु N द्वारा दर्शाया जाता है, जो सीधी रेखाओं B 1 B 1 और B 2 B 2 का प्रतिच्छेदन बिंदु है। इस बिंदु का भुज P 2 के बराबर है, और खेल की कीमत का कोटि g है।

पिछली तकनीक की तुलना में लाभ 55% है।

व्यावहारिक गतिविधियों में, अक्सर दूसरे पक्ष के विरोध का सामना करते हुए निर्णय लेना आवश्यक होता है, जो विरोधी या भिन्न लक्ष्यों का पीछा कर सकता है, या बाहरी वातावरण के कुछ कार्यों या स्थितियों द्वारा इच्छित लक्ष्य की प्राप्ति में बाधा उत्पन्न कर सकता है। इसके अलावा, विपरीत दिशा से ये प्रभाव निष्क्रिय या सक्रिय हो सकते हैं। ऐसे मामलों में, विपरीत पक्ष के संभावित व्यवहार विकल्पों, प्रतिशोधात्मक कार्रवाइयों और उनके संभावित परिणामों को ध्यान में रखना आवश्यक है।

दोनों पक्षों के लिए संभावित व्यवहार विकल्प और विकल्पों और राज्यों के प्रत्येक संयोजन के लिए उनके परिणामों को अक्सर गणितीय मॉडल के रूप में प्रस्तुत किया जाता है, जिसे खेल कहा जाता है .

यदि विरोधी पार्टी एक निष्क्रिय, निष्क्रिय पार्टी है जो जानबूझकर इच्छित लक्ष्य की प्राप्ति का विरोध नहीं करती है इस गेम को कहा जाता है प्रकृति के साथ खिलवाड़. प्रकृति को आमतौर पर परिस्थितियों के एक समूह के रूप में समझा जाता है जिसमें निर्णय लेने होते हैं (मौसम की स्थिति की अनिश्चितता, वाणिज्यिक गतिविधियों में ग्राहकों का अज्ञात व्यवहार, नए प्रकार की वस्तुओं और सेवाओं के प्रति जनसंख्या की प्रतिक्रिया की अनिश्चितता आदि)

अन्य स्थितियों में, विपरीत पक्ष सक्रिय रूप से, जानबूझकर इच्छित लक्ष्य की उपलब्धि का विरोध करता है। ऐसे मामलों में, विरोधी हितों, विचारों और विचारों का टकराव होता है। ऐसी स्थितियाँ संघर्ष कहलाते हैं , और दुश्मन के व्यवहार की अनिश्चितता के कारण संघर्ष की स्थिति में निर्णय लेना कठिन होता है। यह ज्ञात है कि दुश्मन सबसे बड़ी सफलता सुनिश्चित करने के लिए जानबूझकर आपके लिए कम से कम लाभकारी कार्य करना चाहता है। यह अज्ञात है कि दुश्मन किस हद तक स्थिति और संभावित परिणामों का आकलन करना जानता है, वह आपकी क्षमताओं और इरादों का आकलन कैसे करता है। दोनों पक्ष आपसी कार्रवाइयों की भविष्यवाणी नहीं कर सकते। इतनी अनिश्चितता के बावजूद, संघर्ष के प्रत्येक पक्ष को निर्णय लेना होता है

अर्थशास्त्र में, संघर्ष की स्थितियाँ बहुत बार घटित होती हैं और विविध प्रकृति की होती हैं। इनमें शामिल हैं, उदाहरण के लिए, आपूर्तिकर्ता और उपभोक्ता, खरीदार और विक्रेता, बैंक और ग्राहक आदि के बीच संबंध। इन सभी उदाहरणों में, संघर्ष की स्थिति भागीदारों के हितों में अंतर और उनमें से प्रत्येक की इच्छा से उत्पन्न होती है। इष्टतम निर्णय. साथ ही, हर किसी को न केवल अपने लक्ष्यों, बल्कि अपने साथी के लक्ष्यों को भी ध्यान में रखना होगा और पहले से अज्ञात उसके संभावित कार्यों को भी ध्यान में रखना होगा।

संघर्ष की स्थितियों में इष्टतम निर्णयों को उचित ठहराने की आवश्यकता उभरी है खेल सिद्धांत।

खेल सिद्धांत - यह संघर्ष स्थितियों का गणितीय सिद्धांत है. इस सिद्धांत के शुरुआती बिंदु दुश्मन की पूर्ण "आदर्श" तर्कसंगतता की धारणा और संघर्ष को हल करते समय सबसे सतर्क निर्णय अपनाना हैं।

परस्पर विरोधी दलों को बुलाया जाता है खिलाड़ियों , खेल का एक कार्यान्वयन - दल , खेल का परिणाम है जीतना या हारना . किसी खिलाड़ी के लिए संभव कोई भी कार्रवाई (खेल के दिए गए नियमों के भीतर) उसकी कहलाती है रणनीति .

खेल का मुद्दा यह है कि प्रत्येक खिलाड़ी, खेल के दिए गए नियमों के भीतर, उस रणनीति को लागू करने का प्रयास करता है जो उसके लिए इष्टतम है, अर्थात वह रणनीति जो उसके लिए सर्वोत्तम परिणाम की ओर ले जाएगी। इष्टतम (समीचीन) व्यवहार के सिद्धांतों में से एक संतुलन की स्थिति की उपलब्धि है, जिसके उल्लंघन में किसी भी खिलाड़ी की दिलचस्पी नहीं है।

यह संतुलन की स्थिति है जो खिलाड़ियों के बीच स्थिर समझौतों का विषय हो सकती है। इसके अलावा, संतुलन की स्थिति प्रत्येक खिलाड़ी के लिए फायदेमंद होती है: संतुलन की स्थिति में, प्रत्येक खिलाड़ी को सबसे बड़ा भुगतान मिलता है, इस हद तक कि यह उस पर निर्भर करता है।

संघर्ष की स्थिति का गणितीय मॉडल खेल कहा जाता है , संघर्ष में शामिल पक्ष, खिलाड़ी कहलाते हैं.

प्रत्येक औपचारिक खेल के लिए, नियम पेश किए जाते हैं। सामान्य तौर पर, खेल के नियम खिलाड़ियों के लिए कार्रवाई के विकल्प स्थापित करते हैं; प्रत्येक खिलाड़ी के पास अपने साझेदारों के व्यवहार के बारे में कितनी जानकारी है; कार्यों के प्रत्येक सेट से मिलने वाला प्रतिफल।

समय के साथ खेल का विकास क्रमिक रूप से, चरणों या चालों में होता है। गेम थ्योरी में एक चाल को कहा जाता है खेल के नियमों द्वारा प्रदान की गई क्रियाओं में से एक का चयन और उसका कार्यान्वयन। चालें व्यक्तिगत और यादृच्छिक हैं। व्यक्तिगत रूप से कार्रवाई और उसके कार्यान्वयन के लिए संभावित विकल्पों में से एक के बारे में खिलाड़ी की सचेत पसंद को कॉल करें। यादृच्छिक चाल वे खिलाड़ी के स्वैच्छिक निर्णय द्वारा नहीं, बल्कि किसी प्रकार के यादृच्छिक चयन तंत्र (सिक्का उछालना, पास करना, कार्ड बांटना, आदि) द्वारा किए गए विकल्प को कहते हैं।

परिणामों की अनिश्चितता पैदा करने वाले कारणों के आधार पर खेलों को निम्नलिखित मुख्य समूहों में विभाजित किया जा सकता है:

संयुक्त खेल, जिसमें नियम, सिद्धांत रूप में, प्रत्येक खिलाड़ी को अपने व्यवहार के लिए सभी विभिन्न विकल्पों का विश्लेषण करने का अवसर प्रदान करते हैं और, इन विकल्पों की तुलना करके, उस विकल्प को चुनते हैं जो इस खिलाड़ी के लिए सर्वोत्तम परिणाम की ओर ले जाता है। परिणाम की अनिश्चितता आमतौर पर इस तथ्य के कारण होती है कि संभावित व्यवहार विकल्पों (चालों) की संख्या बहुत बड़ी है और खिलाड़ी व्यावहारिक रूप से उन सभी को छांटने और उनका विश्लेषण करने में असमर्थ है।

जुआ , जिसमें विभिन्न यादृच्छिक कारकों के प्रभाव के कारण परिणाम अनिश्चित है। जुए के खेल में केवल यादृच्छिक चालें होती हैं, जिसका विश्लेषण संभाव्यता के सिद्धांत का उपयोग करता है। गणितीय खेल सिद्धांत जुए से संबंधित नहीं है।

रणनीतिक खेल , जिसमें पसंद की पूरी अनिश्चितता इस तथ्य से उचित है कि प्रत्येक खिलाड़ी, आगामी चाल की पसंद पर निर्णय लेते समय, यह नहीं जानता कि खेल में अन्य प्रतिभागी किस रणनीति का पालन करेंगे, और खिलाड़ी की अज्ञानता साझेदारों का व्यवहार और इरादे मौलिक हैं, क्योंकि दुश्मन (साझेदार) के बाद के कार्यों के बारे में कोई जानकारी नहीं है।

ऐसे खेल हैं जो संयुक्त और जुआ खेलों के गुणों को जोड़ते हैं; खेलों की रणनीतिक प्रकृति को संयोजकता आदि के साथ जोड़ा जा सकता है।

खेल में भाग लेने वालों की संख्या पर निर्भर करता है युग्मित और एकाधिक में विभाजित हैं। युगल खेल में प्रतिभागियों की संख्या दो होती है, बहु खेल में प्रतिभागियों की संख्या दो से अधिक होती है। एक से अधिक खेल में भाग लेने वाले गठबंधन बना सकते हैं। ऐसे में गेम्स को बुलाया जाता है गठबंधन . यदि इसके प्रतिभागी दो स्थायी गठबंधन बनाते हैं तो एक बहु खेल दोहरा खेल बन जाता है।

गेम थ्योरी की मूल अवधारणाओं में से एक रणनीति है। खिलाड़ी की रणनीति नियमों का एक समूह है जो खेल के दौरान उत्पन्न होने वाली स्थिति के आधार पर, इस खिलाड़ी की प्रत्येक व्यक्तिगत चाल के लिए कार्रवाई का विकल्प निर्धारित करता है।

इष्टतम रणनीति एक खिलाड़ी एक ऐसी रणनीति कहलाती है, जो व्यक्तिगत और यादृच्छिक चालों वाले खेल में कई बार दोहराए जाने पर, प्रतिद्वंद्वी के व्यवहार की परवाह किए बिना, खिलाड़ी को अधिकतम संभव औसत जीत या न्यूनतम संभावित हार प्रदान करती है।

खेल कहा जाता है अंतिम , यदि खिलाड़ी रणनीतियों की संख्या सीमित है, और अनंत , यदि कम से कम एक खिलाड़ी के पास अनंत संख्या में रणनीतियाँ हैं।

मल्टी-मूव गेम थ्योरी समस्याओं में, "रणनीति" और "संभावित कार्यों के विकल्प" की अवधारणाएं एक दूसरे से काफी भिन्न होती हैं। सरल (एक-चाल) खेल समस्याओं में, जब प्रत्येक खेल में प्रत्येक खिलाड़ी एक चाल चल सकता है, तो ये अवधारणाएँ मेल खाती हैं, और इसलिए, खिलाड़ी की रणनीतियों का सेट सभी संभावित कार्यों को शामिल करता है जो वह किसी भी संभावित स्थिति में और किसी भी संभावित स्थिति में कर सकता है। वास्तविक स्थिति.

खेलों को जीत की मात्रा के आधार पर भी अलग किया जाता है। खेल कहा जाता है शून्य के साथ खेल जोड़ वां, यदि प्रत्येक खिलाड़ी दूसरे की कीमत पर जीतता है, और एक पक्ष की जीत की राशि दूसरे की हार की राशि के बराबर होती है। शून्य-राशि युगल खेल में, खिलाड़ियों के हितों का सीधे तौर पर विरोध किया जाता है। शून्य-राशि युग्म खेल कहा जाता है मैंविरोधी खेल .

ऐसे खेल जिनमें एक खिलाड़ी का लाभ और दूसरे की हानि बराबर नहीं होती कहा जाता हैगैर-शून्य योग खेल .

खेलों का वर्णन करने के दो तरीके हैं: स्थितीय और सामान्य . स्थितिगत विधि खेल के विस्तारित रूप से जुड़ी है और इसे क्रमिक चरणों (गेम ट्री) के ग्राफ में घटा दिया गया है। सामान्य तरीका खिलाड़ी की रणनीतियों के सेट को स्पष्ट रूप से प्रस्तुत करना है भुगतान समारोह . खेल में भुगतान फ़ंक्शन खिलाड़ियों द्वारा चुनी गई रणनीतियों के प्रत्येक सेट के लिए प्रत्येक पक्ष की जीत निर्धारित करता है।

खेल सिद्धांत- संघर्ष स्थितियों में इष्टतम निर्णय लेने के लिए गणितीय मॉडल का सिद्धांत। चूंकि अधिकांश संघर्षों में शामिल पक्ष अपने इरादों को दुश्मन से छिपाने में रुचि रखते हैं, इसलिए संघर्ष स्थितियों में निर्णय लेना आमतौर पर अनिश्चितता की स्थिति में होता है। इसके विपरीत, अनिश्चितता कारक की व्याख्या निर्णय लेने वाले विषय के प्रतिद्वंद्वी के रूप में की जा सकती है (इस प्रकार, अनिश्चितता की स्थिति में निर्णय लेने को संघर्ष की स्थिति में निर्णय लेने के रूप में समझा जा सकता है)। विशेष रूप से, गणितीय आँकड़ों के कई कथन स्वाभाविक रूप से गेम-सैद्धांतिक के रूप में तैयार किए जाते हैं।

गेम थ्योरी व्यावहारिक गणित की एक शाखा है जिसका उपयोग सामाजिक विज्ञान (ज्यादातर अर्थशास्त्र), जीव विज्ञान, राजनीति विज्ञान, कंप्यूटर विज्ञान (मुख्य रूप से कृत्रिम बुद्धिमत्ता के लिए) और दर्शनशास्त्र में किया जाता है। गेम थ्योरी गणितीय रूप से व्यवहार को पकड़ने का प्रयास करती है रणनीतिक स्थितियाँ, जिसमें विषय चुनने की सफलता अन्य प्रतिभागियों की पसंद पर निर्भर करती है। यदि पहले उन खेलों का विश्लेषण विकसित हुआ जिनमें विरोधियों में से एक दूसरों की कीमत पर जीतता है (शून्य-राशि वाले खेल), तो बाद में उन्होंने इंटरैक्शन की एक विस्तृत श्रेणी पर विचार करना शुरू कर दिया, जिन्हें कुछ मानदंडों के अनुसार वर्गीकृत किया गया था। आज, "गेम थ्योरी सामाजिक विज्ञान के तर्कसंगत पक्ष के लिए एक छत्र या सार्वभौमिक सिद्धांत की तरह है, जहां सामाजिक को व्यापक रूप से समझा जा सकता है, जिसमें मानव और गैर-मानव दोनों खिलाड़ियों (कंप्यूटर, जानवर, पौधे) शामिल हैं" (रॉबर्ट औमन, 1987) )

गणित की इस शाखा को लोकप्रिय संस्कृति में कुछ प्रतिबिंब प्राप्त हुए हैं। 1998 में, अमेरिकी लेखक और पत्रकार सिल्विया नासर ने गेम थ्योरी में अपनी उपलब्धियों के लिए अर्थशास्त्र में नोबेल पुरस्कार विजेता जॉन नैश के जीवन के बारे में एक किताब प्रकाशित की और 2001 में, फिल्म ए ब्यूटीफुल माइंड इस किताब पर आधारित थी। (इस प्रकार, गेम थ्योरी गणित की उन कुछ शाखाओं में से एक है जिसमें आप नोबेल पुरस्कार प्राप्त कर सकते हैं)। कुछ अमेरिकी टेलीविज़न शो, उदा. दोस्त या दुश्मन, उपनामया संख्याएँसमय-समय पर अपनी रिलीज़ में गेम थ्योरी का उपयोग करें।

जॉन नैश एक गणितज्ञ और नोबेल पुरस्कार विजेता हैं जिन्हें फिल्म ए ब्यूटीफुल माइंड के लिए आम जनता के बीच जाना जाता है।

खेल सिद्धांत अवधारणा

गेम थ्योरी का तार्किक आधार इसकी परिभाषा में शामिल तीन अवधारणाओं का औपचारिकीकरण है और जो संपूर्ण सिद्धांत के लिए मौलिक हैं:

• टकराव,
• संघर्ष में निर्णय लेना
• लिए गए निर्णय की अनुकूलता.

इन अवधारणाओं को गेम थ्योरी में व्यापक अर्थों में माना जाता है। उनकी औपचारिकताएँ संबंधित वस्तुओं के सार्थक विचार के साथ प्रतिक्रिया करती हैं।

यदि हम संघर्ष में भाग लेने वालों के नाम बताएं कार्रवाई गठबंधन(उनके सेट को डी के रूप में दर्शाते हुए, प्रत्येक एक्शन गठबंधन की संभावित क्रियाएं इसकी हैं रणनीतियाँ(सभी कार्रवाई गठबंधन रणनीतियों का सेट कइस रूप में घोषित किया गया एस), संघर्ष के परिणाम - स्थितियों(सभी स्थितियों के समुच्चय को इस प्रकार दर्शाया गया है एस; ऐसा माना जाता है कि प्रत्येक स्थिति अपनी कुछ रणनीतियों पर कार्य करने के लिए प्रत्येक गठबंधन की पसंद के परिणामस्वरूप विकसित होती है, ताकि ), संबंधित पक्ष - हितों का गठबंधन(उनमें से कई हैं - मैं) और, अंत में, हितों के प्रत्येक गठबंधन के लिए संभावित लाभों के बारे में बात करते हैं कएक स्थिति एस"दूसरे के सामने एस"(इस तथ्य को इस रूप में दर्शाया गया है), तो समग्र रूप से संघर्ष को एक प्रणाली के रूप में वर्णित किया जा सकता है

संघर्ष का प्रतिनिधित्व करने वाली ऐसी व्यवस्था कहलाती है खेल. खेल को परिभाषित करने वाले घटकों की विशिष्टता खेल के विभिन्न वर्गों की ओर ले जाती है।

खेलों का वर्गीकरण

असहयोगी खेलों के अलग-अलग वर्ग हैं:

• जीरो-सम गेम, जिसमें मैट्रिक्स गेम और यूनिट स्क्वायर गेम शामिल हैं।
• विभेदक खेलों सहित गतिशील खेल,
• पुनरावर्ती खेल,
• अवशेष खेल

और अन्य भी असहयोगी खेलों का उल्लेख करते हैं।

गणितीय उपकरण

गेम थ्योरी व्यापक रूप से संभाव्यता सिद्धांत, शास्त्रीय विश्लेषण, कार्यात्मक विश्लेषण (निश्चित बिंदु प्रमेय विशेष रूप से महत्वपूर्ण हैं), कॉम्बिनेटरियल टोपोलॉजी, अंतर और अभिन्न समीकरणों के सिद्धांत और अन्य से विभिन्न गणितीय तरीकों और परिणामों का उपयोग करती है। गेम थ्योरी की विशिष्टताएँ विभिन्न गणितीय क्षेत्रों के विकास में योगदान करती हैं (उदाहरण के लिए, उत्तल सेट का सिद्धांत, रैखिक प्रोग्रामिंग, आदि)।

गेम थ्योरी में निर्णय लेने को गठबंधन द्वारा कार्रवाई का विकल्प माना जाता है, या, विशेष रूप से, इसकी कुछ रणनीतियों में से एक खिलाड़ी द्वारा पसंद किया जाता है। इस विकल्प की कल्पना एक बार की कार्रवाई के रूप में की जा सकती है और इसे औपचारिक रूप से एक सेट से एक तत्व की पसंद तक बढ़ाया जा सकता है। रणनीतियों के चयन की ऐसी समझ वाले खेल कहलाते हैं खेल सामान्य रूप में. उनकी तुलना गतिशील खेलों से की जाती है जिसमें रणनीति का चुनाव एक प्रक्रिया है जो समय की अवधि में होती है, जो संभावनाओं के विस्तार और संकुचन, वर्तमान मामलों की स्थिति के बारे में जानकारी के अधिग्रहण और हानि आदि के साथ होती है। औपचारिक रूप से , ऐसे खेल में रणनीति निर्णय निर्माता की सभी सूचना स्थितियों के सेट पर परिभाषित एक फ़ंक्शन है। "पसंद की स्वतंत्रता" रणनीतियों का अविवेकपूर्ण उपयोग विरोधाभासी घटनाओं को जन्म दे सकता है।

इष्टतमता और समाधान

इष्टतमता की अवधारणा को औपचारिक बनाने का प्रश्न बहुत जटिल है। गेम थ्योरी में इष्टतमता का कोई एक विचार नहीं है, इसलिए हमें इष्टतमता के कई सिद्धांतों पर विचार करना होगा। खेल सिद्धांत में प्रयुक्त प्रत्येक इष्टतमता सिद्धांत के अनुप्रयोग का दायरा खेल के अपेक्षाकृत संकीर्ण वर्गों तक सीमित है, या उनके विचार के सीमित पहलुओं से संबंधित है।

इनमें से प्रत्येक सिद्धांत इष्टतम के बारे में कुछ "टिकाऊ" या "निष्पक्ष" के बारे में कुछ सहज विचारों पर आधारित है। इन विचारों का औपचारिकीकरण इष्टतम के लिए आवश्यकताएँ देता है और इनमें स्वयंसिद्धों की प्रकृति होती है।

इन आवश्यकताओं के बीच कुछ ऐसी भी हो सकती हैं जो एक-दूसरे का खंडन करती हैं (उदाहरण के लिए, उन संघर्षों को दिखाना संभव है जिनमें पार्टियों को छोटे लाभ से संतुष्ट होने के लिए मजबूर होना पड़ता है, क्योंकि बड़े लाभ केवल अनिश्चित स्थितियों में ही प्राप्त किए जा सकते हैं); इसलिए, गेम थ्योरी में इष्टतमता का एक भी सिद्धांत तैयार नहीं किया जा सकता है।

ऐसी स्थितियाँ (या स्थितियों का समूह) जो एक निश्चित खेल में कुछ इष्टतमता आवश्यकताओं को पूरा करती हैं, कहलाती हैं फैसलेयह खेल। चूंकि इष्टतमता का विचार स्पष्ट नहीं है, इसलिए खेलों के परिणाम अलग-अलग अर्थों में थे। गेम समाधानों की परिभाषाएँ बनाना, उनके अस्तित्व को स्थापित करना और वास्तव में उन्हें खोजने के तरीके विकसित करना आधुनिक गेम सिद्धांत के तीन मुख्य मुद्दे हैं। उनके करीब गेम के समाधानों की विशिष्टता के बारे में प्रश्न हैं, गेम के कुछ वर्गों में ऐसे समाधानों के अस्तित्व के बारे में जिनमें कुछ पूर्व निर्धारित गुण हैं।

कहानी

एक गणितीय अनुशासन के रूप में, गेम थ्योरी की उत्पत्ति 17वीं शताब्दी में संभाव्यता सिद्धांत के साथ ही हुई, लेकिन लगभग 300 वर्षों तक इसमें बहुत कम विकास हुआ। गेम थ्योरी पर पहला महत्वपूर्ण काम जे. वॉन न्यूमैन का लेख "टुवर्ड्स द थ्योरी ऑफ स्ट्रैटेजिक गेम्स" (1928) माना जाना चाहिए, और अमेरिकी गणितज्ञ जे. वॉन न्यूमैन और ओ. मॉर्गनस्टर्न के मोनोग्राफ का प्रकाशन "गेम थ्योरी" माना जाना चाहिए। और आर्थिक व्यवहार" (1944), खेल सिद्धांत एक स्वतंत्र गणितीय अनुशासन के रूप में उभरा। गणित की अन्य शाखाओं के विपरीत, जिनकी उत्पत्ति मुख्य रूप से भौतिक या भौतिक-तकनीकी है, गेम थ्योरी अपने विकास की शुरुआत से ही अर्थशास्त्र (अर्थात् प्रतिस्पर्धी अर्थव्यवस्था में) में उत्पन्न होने वाली समस्याओं को हल करने के उद्देश्य से थी।

इसके बाद, गेम थ्योरी के विचारों, तरीकों और परिणामों को संघर्षों से निपटने वाले ज्ञान के अन्य क्षेत्रों में लागू किया जाने लगा: सैन्य मामलों में, नैतिकता के मामलों में, विभिन्न हितों वाले व्यक्तियों के सामूहिक व्यवहार के अध्ययन में (उदाहरण के लिए, मुद्दों में) जनसंख्या प्रवासन, या अस्तित्व के लिए जैविक संघर्ष पर विचार करते समय)। अनिश्चितता की स्थिति में इष्टतम निर्णय लेने के लिए गेम-सैद्धांतिक तरीकों का व्यापक रूप से चिकित्सा, आर्थिक और सामाजिक योजना और पूर्वानुमान और विज्ञान और प्रौद्योगिकी के कई मुद्दों में उपयोग किया जा सकता है। कभी-कभी गेम थ्योरी को साइबरनेटिक्स के गणितीय उपकरण या संचालन अनुसंधान के सिद्धांत के रूप में जाना जाता है।