मॉस्को सिटी यूनिवर्सिटी ऑफ मॉस्को गवर्नमेंट मैनेजमेंट

प्रबंधन विभाग

अनुप्रयुक्त गणित विभाग

निबंध

शैक्षणिक अनुशासन द्वारा

"नियंत्रण प्रणालियों का अध्ययन करने के लिए गणितीय तरीके"

इस विषय पर: "Bimatrix गेम्स। संतुलन की स्थितियों के लिए खोजें"

1. Bimatrix खेल

बिल्कुल कोई भी प्रबंधन गतिविधि संघर्ष स्थितियों के बिना मौजूद नहीं हो सकती। ये ऐसी स्थितियाँ हैं जहाँ अलग-अलग हितों वाली दो या दो से अधिक पार्टियाँ टकराती हैं। यह काफी स्वाभाविक है कि प्रत्येक पक्ष संघर्ष को अपने पक्ष में हल करना चाहता है और अधिकतम लाभ प्राप्त करना चाहता है। इस तरह की समस्या को हल करना इस तथ्य से जटिल हो सकता है कि परस्पर विरोधी पार्टी नहीं है पूरी जानकारीएक पूरे के रूप में संघर्ष के बारे में। दूसरे शब्दों में, हम कह सकते हैं कि संघर्ष की स्थिति में अनिश्चितता की स्थिति में इष्टतम निर्णय लेना आवश्यक है।

इस प्रकार की समस्या को हल करने के लिए, गणितीय मॉडलिंग का उपयोग किया जाता है। आइए कुछ बुनियादी अवधारणाओं का परिचय दें। एक संघर्ष खेल के एक गणितीय मॉडल को एक खेल कहा जाता है। संघर्ष के लिए पार्टियां खिलाड़ी हैं, खिलाड़ी की कार्रवाई कदम है, चाल का सेट रणनीति है, खेल का परिणाम जीत रहा है।

किसी समस्या को हल करने से पहले एक अनिवार्य कदम कुछ नियमों की पहचान करना है। एक नियम के रूप में, ये नियम खिलाड़ियों के कार्यों पर आवश्यकताओं और प्रतिबंधों का एक समूह हैं, विरोधियों के कार्यों के बारे में खिलाड़ियों के बीच जानकारी का आदान -प्रदान, विरोधियों की जीत के कार्यों, आदि। नियम स्पष्ट होने चाहिए, अन्यथा खेल नहीं होगा।

आज तक, खेलों को वर्गीकृत करने के कई तरीके हैं। मुख्य डिवीजन अदायगी (मैट्रिक्स, पोजिशनल, बाय-मैट्रिक्स) और गठबंधन के खेल के साथ गैर-सहकारी परिमित जोड़ी खेलों में है। इस निबंध में हम Bimatrix खेलों को देखेंगे।

के साथ खेल निश्चित राशि- ऐसे खेल जिनमें खिलाड़ियों के हित, हालांकि वे मेल नहीं खाते, पूरी तरह से विपरीत नहीं हैं। एक विशेष मामला Bimatrix खेल है।

एक Bimatrix खेल है खेल ख़त्मएक गैर-शून्य राशि वाले दो खिलाड़ी, जिसमें प्रत्येक खिलाड़ी के भुगतान को इसी खिलाड़ी के लिए अलग-अलग मैट्रिसेस द्वारा निर्दिष्ट किया जाता है (प्रत्येक मैट्रिक्स में, पंक्ति खिलाड़ी 1 की रणनीति से मेल खाती है, प्लेयर 2 की रणनीति के लिए कॉलम, 2, पर, पहले मैट्रिक्स में पंक्ति और स्तंभ का चौराहा खिलाड़ी 1 का भुगतान है, दूसरे मैट्रिक्स में - खिलाड़ी की जीत 2.)

आइए एक जोड़े खेल पर विचार करें जिसमें प्रत्येक प्रतिभागी के पास व्यवहार की अपनी लाइन चुनने के लिए निम्नलिखित अवसर हैं:

खिलाड़ी ए - किसी भी रणनीति को 1, ..., ए, ए;

प्लेयर बी - रणनीतियों में से कोई भी बी 1, ..., बी एन;

यदि खिलाड़ी एक चुना रणनीति ए, प्लेयर बी - बी जे, तो अंत में खिलाड़ी ए की अदायगी ए आईजे, प्लेयर बी - बी आईजे होगा। खिलाड़ियों ए और बी के भुगतान को दो तालिकाओं के रूप में लिखा जा सकता है।

इस प्रकार, यदि खिलाड़ियों के हित अलग -अलग हैं, लेकिन जरूरी नहीं कि इसके विपरीत, खेल का वर्णन करने के लिए दो भुगतान मैट्रिस का उपयोग किया जाता है। इस तथ्य ने ऐसे खेलों को नाम दिया - बिमट्रिक्स।

2. Bimatrix Matrices में संतुलन राज्य

बिमट्रिक्स गेम का समाधान एक समाधान है जो एक अर्थ में या किसी अन्य खिलाड़ियों को सूट करता है। यह सूत्रीकरण बहुत अस्पष्ट है, इस तथ्य के कारण कि द्वि में मैट्रिक्स खेलआह, खिलाड़ियों के लिए लक्ष्यों को स्पष्ट रूप से तैयार करना काफी मुश्किल है। संभावित विकल्पों में से एक खिलाड़ी की इच्छा है कि वह अपने प्रतिद्वंद्वी को अपनी खुद की जीत के नुकसान को नुकसान पहुंचाए, या लक्ष्य इसके विपरीत होगा।

Bimatrix खेल को हल करने के लिए दो दृष्टिकोण आमतौर पर माना जाता है। पहला संतुलन स्थितियों की खोज है: स्थिति तब मांगी जाती है जब खेल कुछ संतुलन में होता है, जो किसी भी खिलाड़ी के लिए व्यक्तिगत रूप से उल्लंघन करने के लिए लाभहीन है। दूसरा पेरेटो इष्टतम स्थितियों की खोज है: ऐसी स्थिति जो कि संयुक्त रूप से खिलाड़ी एक खिलाड़ी की अदायगी को दूसरे के भुगतान को कम किए बिना नहीं बढ़ा सकती है।

आइए पहले दृष्टिकोण पर ध्यान केंद्रित करें।

यह दृष्टिकोण मिश्रित रणनीतियों का उपयोग करता है, अर्थात् जब खिलाड़ी वैकल्पिक होते हैं तो मामला शुद्ध रणनीतियाँकुछ संभावनाओं के साथ।

Player A चुनने की रणनीति A 1, संभावना P 1, A 2 - P 2, ..., A M - P M, और के साथ

प्लेयर बी प्रायिकता q 1, b 2 - q 2,…, b n - q n, और के साथ रणनीति B 1 का उपयोग करता है

खेल की "सफलता" के लिए एक मानदंड के रूप में, हम खिलाड़ियों की जीत की गणितीय अपेक्षाएं लेते हैं, जिनकी गणना सूत्रों का उपयोग करके की जाती है:

इस प्रकार, हम मूल परिभाषा तैयार कर सकते हैं:

संभाव्यता वितरण पी * (

यदि संतुलन की स्थिति मौजूद है तो उससे विचलन स्वयं खिलाड़ी के लिए हानिकारक होता है।

जे। नैश का प्रमेय भी सच है। प्रत्येक बिमैट्रिक्स गेम में मिश्रित रणनीतियों में कम से कम एक संतुलन की स्थिति होती है।

3. Bimatrix खेलों को हल करने के लिए सामान्य सिद्धांत

खिलाड़ी ए की सभी शुद्ध रणनीतियों को क्रमिक रूप से सिस्टम की पहली असमानता में प्रतिस्थापित किया जाता है, इस धारणा के तहत कि बी अपनी इष्टतम रणनीति का पालन करता है। खिलाड़ी बी की सभी शुद्ध रणनीतियों को दूसरी असमानता में प्रतिस्थापित किया जाता है, यह मानते हुए कि एक उनकी इष्टतम रणनीति का पालन करता है।

एम+एन असमानताओं की परिणामी प्रणाली, जिसका समाधान इष्टतम तत्वों का मूल्य देता है मिश्रित रणनीतियाँ(पी*, क्यू*) और समेक्षीय बिंदु पर खिलाड़ियों द्वारा प्राप्त भुगतान।

उदाहरण: बाजार के लिए संघर्ष।

समस्या का समाधान

v a = -10 × 1q 1 +2 × 1*(1-q 1) +(1-p 1) q 1-(1-p 1) (1-q 1) =-14 × 1Q 1 +3 × 1+2Q 1 -1

v B =5×1q 1 -2×1*(1-q 1)-(1-p 1)q 1 +(1-p 1)(1-q 1)=9×1q 1 -3×1- 2Q 1 +1

p 1 = 1 तो v a = 2-12q 1

P 1 = 0 तो V A = -1+2Q 1

q 1 = 1 तो v b = -1+6 × 1

क्यू 1 = 0 फिर वी बी = 1–3 × 1

हम 4 सिस्टम की रचना करते हैं, ट्रांसफ़ॉर्म करते हैं, प्राप्त करते हैं।

65. इष्टतम खिलाड़ी रणनीतियों को खोजने के लिए 3*3 गेम को हल करने के लिए ग्राफिकल विधि में:
a) दो त्रिकोणों का निर्माण किया जाता है (*उत्तर*)
बी) एक त्रिभुज का निर्माण किया जाता है।
ग) त्रिकोण का निर्माण बिल्कुल भी नहीं किया जाता है।
66. खेलों को हल करने के ग्राफिकल विधि के लिए निचले लिफाफे का ग्राफ 2*एम सामान्य मामले में फ़ंक्शन का प्रतिनिधित्व करता है:
ए) एकरस रूप से घटता है।
बी) एकरस रूप से बढ़ रहा है।
ग) गैर-मोटोनिक।
67. यदि एक खंड पर एक विरोधी गेम में 1 प्लेयर एफ (एक्स, वाई) का अदायगी फ़ंक्शन 2*x+सी के बराबर है, तो सी पर निर्भर करता है:
a) कभी भी काठी अंक नहीं होते हैं।
बी) हमेशा काठी अंक हैं (*उत्तर*)
ग) एक और विकल्प
68. परिमित सेटों पर अनिश्चितता की शर्तों के तहत निर्णय लेने की समस्या कैसे निर्धारित कर सकती है:
a) दो मैट्रिसेस।
बी) जीत।
ग) कुछ और (*उत्तर*)
69. मनमाने आयाम के एक विरोधी खेल में, पहले खिलाड़ी का भुगतान है:
एक संख्या।
बी) कई।
ग) वेक्टर, या ऑर्डर किए गए सेट।
डी) फ़ंक्शन (*उत्तर*)
70. 3*3 मैट्रिक्स गेम में खिलाड़ी की मिश्रित रणनीति के दो घटक हैं:
a) तीसरा निर्धारित करें (*उत्तर*)
बी) परिभाषित न करें।
71. एक Bimatrix खेल को परिभाषित किया जा सकता है:
क) मनमाने तत्वों के साथ एक ही आयाम के दो मैट्रिस,
बी) दो मैट्रिस जरूरी नहीं कि एक ही आयाम,
ग) एक मैट्रिक्स।
72. एक मैट्रिक्स गेम में, तत्व AIJ है:
a) 2 खिलाड़ी का नुकसान जब वह J -Th रणनीति का उपयोग करता है, और 2 - I-Th रणनीति(*उत्तर*)
बी) इष्टतम रणनीतिजब इस्तेमाल किया गया तो दूसरा खिलाड़ी दुश्मन मैंया जे-वें रणनीति,
ग) 1 खिलाड़ी की जीत जब वह जे-टीएच रणनीति का उपयोग करता है, और 2-आई-वें रणनीति,
73. मैट्रिक्स तत्व AIJ सैडल पॉइंट से मेल खाता है। निम्नलिखित स्थितियाँ संभव हैं:
a) इष्टतम।
बी) साफ।
ग) कोई स्पष्ट उत्तर नहीं है (*उत्तर*)
84. यदि मैट्रिक्स में सभी कॉलम एक ही हैं और उनके पास फॉर्म (4 3 0 2) है, तो 2 प्लेयर के लिए कौन सी रणनीति इष्टतम है?
एक पहला। बी) तीसरा। ग) कोई भी (*उत्तर*)
85. 3*3 गेम में काठी अंक की अधिकतम संख्या क्या है (मैट्रिक्स में कोई भी संख्या हो सकती है):
a) 3।
b) 9।
ग) 27 (*उत्तर*)
86. लेट x = (1; 5) 1 की रणनीतियों का सेट हो
खिलाड़ी, y = (2; 8) - 2 प्लेयर की रणनीतियों का सेट। जोड़ी है (1,2)
इस खेल में एक काठी बिंदु होने के लिए:
a) हमेशा।
बी) कभी -कभी (*उत्तर*)
ग) कभी नहीं.
87. क्या आयाम 3*3 के एक बिमट्रिक्स गेम में ठीक 2 संतुलन स्थितियां हैं?
ए) हमेशा.
बी) कभी -कभी (*उत्तर*)
ग) कभी नहीं.
88. डायमेंशन 2*3 के मैट्रिक्स गेम में चलो 1 खिलाड़ी की मिश्रित रणनीतियों में से एक फॉर्म (0.3, 0.7) है, और 2 खिलाड़ी की मिश्रित रणनीतियों में से एक का रूप (0.3, x, x) है। . नंबर X क्या है?
a) 0.7 b) 0.4 c) कुछ और (*उत्तर*)
89. मैट्रिक्स गेम है विशेष मामला Bimatrix, जिसमें निम्नलिखित हमेशा सच होता है:
ए) मैट्रिक्स ए मैट्रिक्स बी के बराबर है, विपरीत संकेत के साथ लिया गया है।
बी) मैट्रिक्स ए मैट्रिक्स बी के बराबर है।
ग) मैट्रिस ए और बी का उत्पाद पहचान मैट्रिक्स है।
90. एक Bimatrix खेल में, प्रतिनिधित्व द्वारा तत्व:
क) 2 खिलाड़ी की जीत जब वह I-TH रणनीति का उपयोग करता है, और 1-J-TH रणनीति,
ख) 2 खिलाड़ी की इष्टतम रणनीति जब प्रतिद्वंद्वी I-TH या J-TH रणनीति का उपयोग करता है/
ग) कुछ और (*उत्तर*)
91. एक बिमट्रिक्स गेम में, तत्व एसी एक संतुलन की स्थिति से मेल खाता है। निम्नलिखित स्थितियाँ संभव हैं:
a) कॉलम में इस तत्व के बराबर तत्व होते हैं (*उत्तर*)
बी) यह तत्व कॉलम में कुछ से छोटा है।
ग) यह तत्व स्तंभ में सबसे छोटा है।
92. एक मैट्रिक्स गेम में, प्रत्येक खिलाड़ी और भुगतान समारोह की रणनीतियों को जानना,
शुद्ध रणनीतियों में खेल की कीमत पाई जा सकती है:
a) हमेशा।
बी) कभी -कभी (*उत्तर*)
ग) प्रश्न गलत है।

के साथ खेल में गैर-शून्य योगखेल में सभी प्रतिभागी जीत सकते हैं या हार सकते हैं। बिमाट्रिक्स खेलदो खिलाड़ियों के बीच एक परिमित गैर-शून्य योग खेल है। इस मामले में, प्रत्येक खेल की स्थिति के लिए एक I B J, प्रत्येक खिलाड़ी का अपना भुगतान पहले खिलाड़ी के लिए IJ है और दूसरे खिलाड़ी के लिए B IJ है। उदाहरण के लिए, अपूर्ण रूप से प्रतिस्पर्धी बाजारों में उत्पादकों का व्यवहार एक Bimatrix खेल में आता है। एक ऑनलाइन कैलकुलेटर का उपयोग करके आप एक समाधान पा सकते हैं बिमाट्रिक्स खेल, साथ ही स्थितियों में पेरेटो इष्टतम और नैश स्थिर स्थितियां.

चलो गौर करते हैं संघर्ष की स्थिति, जिसमें दो प्रतिभागियों में से प्रत्येक के पास व्यवहार की अपनी लाइन चुनने के लिए निम्नलिखित अवसर हैं:

• प्लेयर ए - किसी भी रणनीति को 1,…, ए, ए, ए, ए,
• प्लेयर बी - रणनीतियों में से कोई भी बी 1,…, बी एन।

इसी समय, उनकी संयुक्त पसंद का मूल्यांकन निश्चित रूप से किया जाता है: यदि खिलाड़ी ने I-Th रणनीति A I को चुना, और खिलाड़ी B ने K-Th रणनीति B K को चुना, तो अंत में खिलाड़ी A के भुगतान के बराबर होगा एक निश्चित संख्या एक IK, और खिलाड़ी B का भुगतान एक निश्चित संख्या के बराबर होगा, आम तौर पर बोल रहा है, एक और नंबर B ik के लिए।
क्रमिक रूप से प्लेयर ए और प्लेयर बी की सभी रणनीतियों की सभी रणनीतियों से गुजरने से, हम उनकी जीत के साथ दो टेबल भर सकते हैं।

टेबल्स का पहला खिलाड़ी ए के अदायगी का वर्णन करता है, और दूसरा खिलाड़ी बी के भुगतान का वर्णन करता है। आमतौर पर, ये टेबल एक मैट्रिक्स के रूप में लिखे जाते हैं।
यहाँ एक खिलाड़ी ए का भुगतान मैट्रिक्स है, बी खिलाड़ी बी का भुगतान मैट्रिक्स है।

इस प्रकार, मामले में जब खिलाड़ियों के हित अलग -अलग होते हैं (लेकिन जरूरी नहीं कि विपरीत), दो भुगतान मैट्रिस प्राप्त किए जाते हैं: एक खिलाड़ी ए को भुगतान का मैट्रिक्स है, दूसरा खिलाड़ी बी को भुगतान का मैट्रिक्स है। नाम जो आमतौर पर इस तरह के खेल को सौंपा जाता है, पूरी तरह से स्वाभाविक लगता है - bimatrix.

नैश संतुलन- संतुलन, जब खेल में प्रत्येक प्रतिभागी एक रणनीति चुनता है जो उसके लिए इष्टतम है, बशर्ते कि खेल में अन्य प्रतिभागी एक निश्चित रणनीति का पालन करते हैं।
नैश संतुलन हमेशा प्रतिभागियों के लिए सबसे इष्टतम नहीं है। इस मामले में, वे कहते हैं कि संतुलन नहीं है पारेतो-इष्टतम.
शुद्ध रणनीति- खिलाड़ी की एक निश्चित प्रतिक्रिया संभावित विकल्पअन्य खिलाड़ियों का व्यवहार।
मिश्रित रणनीति- अन्य खिलाड़ियों के व्यवहार के लिए एक खिलाड़ी की एक संभाव्य (सटीक रूप से परिभाषित नहीं) प्रतिक्रिया।

उदाहरण क्रमांक 1. बाजारों के लिए संघर्ष।
फर्म एक बड़ी फर्म बी द्वारा नियंत्रित दो बाजारों में से एक में माल की एक खेप बेचने का इरादा रखता है। यह अंत करने के लिए, वह संचालन करती है प्रारंभिक कार्यकुछ लागतों के साथ जुड़ा हुआ है। यदि फर्म बी अनुमान लगाता है कि मार्केट फर्म ए अपना उत्पाद बेच देगा, तो यह काउंटरमेशर्स लेगा और इसे "कैप्चरिंग" से रोक देगा (इस विकल्प का अर्थ है फर्म ए की हार); यदि नहीं, तो एक जीत को फर्म करें। आइए मान लें कि फर्म ए के लिए, पहले बाजार में प्रवेश दूसरे में प्रवेश की तुलना में अधिक लाभदायक है, लेकिन पहले बाजार में संघर्ष को भी इससे अधिक धन की आवश्यकता होती है। उदाहरण के लिए, पहले बाजार में एक फर्म की जीत इसे दूसरे में जीत के रूप में दो बार लाभ लाती है, लेकिन पहले बाजार में एक हार पूरी तरह से इसे बर्बाद कर देती है।
आइए इस संघर्ष का एक गणितीय मॉडल बनाएं, कंपनी ए के रूप में प्लेयर 1 और कंपनी बी के रूप में प्लेयर 2 के रूप में मानते हैं। प्लेयर 1 के लिए रणनीतियाँ: ए 1 - बाजार में प्रवेश 1, ए 2 - बाजार में प्रवेश 2; खिलाड़ी 2 रणनीतियाँ: में 1 - बाजार में काउंटरमेशर्स 1, में 2 - मार्केट में काउंटरमेशर्स 2. फर्म के लिए 1 बाजार में इसकी जीत 2 इकाइयों में मूल्यवान है, और 2 बाजार में इसकी जीत 1 यूनिट में मूल्यवान है; 1 बाजार में फर्म ए की हार -10 और 2 बाजार में -1 पर अनुमानित है। फर्म बी के लिए, इसकी जीत क्रमशः 5 और 1 इकाइयाँ है, और इसकी हार -2 और -1 है। नतीजतन, हम अदायगी के साथ एक बिमट्रिक्स गेम प्राप्त करते हैं
.
प्रमेय के अनुसार, इस खेल में या तो शुद्ध या पूरी तरह से मिश्रित संतुलन स्थितियां हो सकती हैं। यहां शुद्ध रणनीतियों में कोई संतुलन स्थितियां नहीं हैं। अब हम सुनिश्चित करें कि इस खेल में पूरी तरह से मिश्रित संतुलन की स्थिति है। हम देखतें है , .
तो, विचाराधीन खेल में एक अद्वितीय संतुलन स्थिति (x 0; y 0) है, जहां, इसे कई बार खेल को दोहराकर लागू किया जा सकता है (यानी, वर्णित स्थिति को कई बार दोहराकर) निम्नानुसार है: फर्म ए को 2/9 और 7/9 की आवृत्तियों के साथ शुद्ध रणनीतियों 1 और 2 का उपयोग करना चाहिए, और फर्म बी का उपयोग करना चाहिए शुद्ध रणनीतियाँ 1 और 2 आवृत्तियों 3/14 और 11/14 के साथ। कोई भी फर्म जो इस मिश्रित रणनीति से भटकती है, वह इसकी अपेक्षित अदायगी को कम करती है।

उदाहरण संख्या 2. Bimatrix खेल के लिए Pareto इष्टतम स्थितियों और NASH स्थिर स्थितियों का पता लगाएं।

उदाहरण संख्या 3. 2 फर्में हैं: पहला दो उत्पादों में से एक 1 और 2 का उत्पादन कर सकता है, दूसरा दो उत्पादों में से एक B 1, B 2 का उत्पादन कर सकता है। यदि पहली फर्म उत्पादों का उत्पादन करती है तो I (i = 1, 2), और दूसरा - B J (J = 1, 2), तो इन फर्मों का लाभ (इस बात पर निर्भर करता है कि ये उत्पाद पूरक हैं या प्रतिस्पर्धी हैं) द्वारा निर्धारित किया जाता है तालिका नंबर 1:

अंतिम नियंत्रण के लिए परीक्षण

1. विरोधी खेल सेट किया जा सकता है:

ए) दोनों खिलाड़ियों और एक काठी बिंदु के लिए रणनीतियों का एक सेट।

बी) दोनों खिलाड़ियों के लिए रणनीतियों का एक सेट और पहले खिलाड़ी के भुगतान समारोह।

2. मिश्रित रणनीतियों में मैट्रिक्स गेम के लिए खेल की कीमत हमेशा मौजूद होती है।

a) हाँ।

3. यदि भुगतान मैट्रिक्स में सभी कॉलम समान हैं और उनके पास फॉर्म (4 5 0 1) है, तो 1 खिलाड़ी के लिए कौन सी रणनीति इष्टतम है?

एक पहला।

बी) दूसरा।

ग) चार में से कोई भी।

4. एक मैट्रिक्स गेम में 1 खिलाड़ी की मिश्रित रणनीतियों में से एक फॉर्म (0.3, 0.7) है, और 2 खिलाड़ी की मिश्रित रणनीतियों में से एक का रूप (0.4, 0, 0.6) है। इस मैट्रिक्स का आयाम क्या है?

a) 2*3।

ग) एक और आयाम।

5. प्रभुत्व का सिद्धांत आपको एक चरण में मैट्रिक्स से हटाने की अनुमति देता है:

a) पूरी लाइनें।

बी) व्यक्तिगत संख्या।

6. 2*एम गेम को हल करने के लिए ग्राफिकल विधि में, कोई सीधे ग्राफ से पाता है:

a) दोनों खिलाड़ियों की इष्टतम रणनीतियाँ।

बी) खेल की कीमत और दूसरे खिलाड़ी की इष्टतम रणनीतियों।

ग) खेल की कीमत और 1 खिलाड़ी की इष्टतम रणनीतियों।

7. 2*एम गेम को हल करने की ग्राफिकल विधि के लिए निचले लिफाफे का ग्राफ सामान्य मामले में है:

एक टूटा।

बी) सीधे।

ग) परबोला।

8. 2*2 मैट्रिक्स गेम में खिलाड़ी की मिश्रित रणनीति के दो घटक हैं:

a) एक दूसरे के मूल्यों को निर्धारित करें।

बी) स्वतंत्र।

9. एक मैट्रिक्स गेम में, तत्व AIJ है:

ए) 1 खिलाड़ी की जीत जब वह आई-टीएच रणनीति का उपयोग करता है, और 2-जे-टीएच रणनीति।

ख) 1 खिलाड़ी की इष्टतम रणनीति जब प्रतिद्वंद्वी I-TH या J-TH रणनीति का उपयोग करता है।

ग) 1 खिलाड़ी का नुकसान जब वह जे-टीएच रणनीति का उपयोग करता है, और 2-आई-टीएच रणनीति।

10. मैट्रिक्स तत्व AIJ सैडल पॉइंट से मेल खाता है। निम्नलिखित स्थितियाँ संभव हैं:

a) यह तत्व सख्ती से लाइन में सबसे छोटा है।

बी) यह तत्व लाइन में क्रम में दूसरा है।

11. ब्राउन-रॉबिन्सन विधि में, प्रत्येक खिलाड़ी, अगले चरण में एक रणनीति चुनते समय, द्वारा निर्देशित किया जाता है:

क) पिछले चरणों में दुश्मन की रणनीतियों।

b) पिछले चरणों में आपकी रणनीतियाँ।

ग) कुछ और।

12. गणितीय अपेक्षा की कसौटी के अनुसार, प्रत्येक खिलाड़ी इस तथ्य से आगे बढ़ता है कि:

a) उसके लिए सबसे खराब स्थिति होगी।

ग) कुछ या कुछ स्थितियां कुछ दी गई संभावनाओं के साथ संभव हैं।

13. एक मैट्रिक्स गेम को एक मैट्रिक्स द्वारा दिया जाना चाहिए जिसमें सभी तत्व नकारात्मक हैं। खेल की कीमत सकारात्मक है:

बी) नहीं.

ग) कोई स्पष्ट जवाब नहीं है।

14. खेल की कीमत है:

एक संख्या।

बी) वेक्टर।

ग) मैट्रिक्स।

15. क्या काठी बिंदुओं की अधिकतम संख्या है जो आयाम 5*5 के खेल में हो सकती है (मैट्रिक्स में कोई भी संख्या हो सकती है):

16. डायमेंशन 2*3 के मैट्रिक्स गेम में चलो 1 खिलाड़ी की मिश्रित रणनीतियों में से एक फॉर्म (0.3, 0.7) है, और 2 खिलाड़ी की मिश्रित रणनीतियों में से एक का रूप (0.3, x, 0.5) है। . नंबर X क्या है?

ग) एक और संख्या।

17. गेम मैट्रिक्स के किस आयाम के लिए वाल्ड मानदंड लाप्लास मानदंड में बदल जाता है?

ग) केवल अन्य मामलों में।

18. खेल की ऊपरी कीमत हमेशा खेल की कम कीमत से कम होती है।

बी) नहीं.

b) प्रश्न गलत है।

19. मैट्रिक्स गेम में क्या रणनीतियाँ हैं:

साफ।

बी) मिश्रित।

ग) दोनों.

20. कुछ विरोधी खेल में, क्या वैरिएबल के कुछ मूल्यों के लिए दोनों खिलाड़ियों के भुगतान कार्य के मूल्य 1 समान हो सकते हैं?

a) हमेशा।

बी) कभी -कभी।

ग) कभी नहीं.

21. एक मैट्रिक्स गेम में, 1 खिलाड़ी की मिश्रित रणनीतियों में से एक फॉर्म (0.3, 0.7) की हो, और 2 खिलाड़ी की मिश्रित रणनीतियों में से एक फॉर्म (0.4, 0.1,0.1,0.4) की हो। . इस मैट्रिक्स का आयाम क्या है?

ग) एक और आयाम।

22. प्रभुत्व का सिद्धांत आपको एक चरण में मैट्रिक्स से हटाने की अनुमति देता है:

ए) पूरे कॉलम,

बी) व्यक्तिगत संख्या।

ग) छोटे आकारों का सबमैट्रिक।

23. 3*3 मैट्रिक्स गेम में खिलाड़ी की मिश्रित रणनीति के दो घटक हैं:

a) तीसरा निर्धारित करें।

बी) परिभाषित न करें।

24. एक मैट्रिक्स गेम में, तत्व AIJ है:

ए) दूसरे खिलाड़ी की हानि जब वह जे-वें रणनीति का उपयोग करता है, और दूसरा - आई-वें रणनीति का उपयोग करता है.

बी) दूसरे खिलाड़ी की इष्टतम रणनीति जब प्रतिद्वंद्वी आई-वें या जे-वें रणनीति का उपयोग करता है,

ग) पहले खिलाड़ी की जीत जब वह जे-वें रणनीति का उपयोग करता है, और दूसरा - आई-वें रणनीति का उपयोग करता है,

25. मैट्रिक्स तत्व AIJ सैडल पॉइंट से मेल खाता है। निम्नलिखित स्थितियाँ संभव हैं:

a) यह तत्व स्तंभ में सबसे बड़ा है।

बी) यह तत्व लाइन में क्रम में कड़ाई से सबसे बड़ा है।

ग) स्ट्रिंग में इस तत्व से अधिक और कम दोनों तत्व होते हैं।

26. वाल्ड मानदंड के अनुसार, प्रत्येक खिलाड़ी मानता है कि:

a) उसके लिए सबसे खराब स्थिति होगी।

बी) सभी स्थितियां समान रूप से संभव हैं।

ग) सभी स्थितियां कुछ दी गई संभावनाओं के साथ संभव हैं।

27. कम कीमत खेल की ऊपरी कीमत से कम है:

बी) हमेशा नहीं।

ग) कभी नहीं.

28. मैट्रिक्स गेम के लिए मिश्रित रणनीति के घटकों का योग हमेशा होता है:

a) 1 बराबर।

बी) गैर-नकारात्मक।

ग) सकारात्मक।

d) हमेशा नहीं।

29. डायमेंशन के एक मैट्रिक्स गेम में चलो 2*3 1 खिलाड़ी की मिश्रित रणनीतियों में से एक फॉर्म (0.3, 0.7) है, और 2 खिलाड़ी की मिश्रित रणनीतियों में से एक का रूप (0.2, x, x) है। । नंबर X क्या है?