Celé a zlomkové části reálného čísla.
T.S. Karmakova, docentka katedry algebry, Charkovská státní pedagogická univerzita
V různých otázkách teorie čísel, matematické analýzy, teorie rekurzivních funkcí a dalších otázek matematiky se používají pojmy celé a zlomkové části reálného čísla.
V programu škol a tříd s hloubkové studium Matematika obsahuje otázky související s těmito pojmy, ale jejich prezentaci je v učebnici algebry pro 9. ročník věnováno pouze 34 řádků. Pojďme se na toto téma podívat blíže.
Definice 1
Celočíselná část reálného čísla x je největší celé číslo nepřesahující x.
Celočíselná část čísla se označuje symbolem [x] a zní takto: „celočíselná část x“ nebo: „celočíselná část x“. Někdy je celočíselná část čísla označena E(x) a čte se takto: „antier x“ nebo „antier from x“. Druhé jméno pochází z francouzské slovo celá - celá.
Příklad.
Vypočítejte [x], pokud x nabývá hodnot:
1,5; 3; -1.3; -4.
Řešení
Z definice [x] vyplývá:
= 1, protože 1 Z, 1 1,5
[ 3 ] = 3, protože 3 Z, 3 3
[-1,3]=-2, protože -2 Z, -2 -1,3
[-4] =-4, protože -4 Z, -4 -4.
Vlastnosti celočíselné části reálného čísla.
1*. [ x ] = x pokud x Z
2*. [ x ] x * [ x ] + 1
3*. [x + m] = [x] + m, kde mZ
Podívejme se na příklady použití tohoto konceptu v různých úlohách.
Příklad 1
Řešte rovnice:
1,1[x] = 3
[x + 1,3] = -5
[x + 1] + [ x - 2] - = 5
1,4 [x] - 7 [x] + 10 = 0
Řešení
1,1 [ x ] = 3. Podle vlastnosti 2* je tato rovnice ekvivalentní nerovnosti 3 x * 4
Odpověď: [ 3 ; 4)
[ x + 1,3 ] = - 5. Podle vlastnosti 2*:
- 5 x + 1,3 * - 4 - 6,3 x * - 5,3
Odpověď: [ -6,3 ; -5,3)
[ x + 1 ] + [ x - 2 ] - [ x + 3 ] = 5. Podle vlastnosti 3*:
[ x ] + 1 + [ x ] - 2 - [ x ] - 3 = 5
[ x ] = 9 9 x * 10 (2* každý)
Odpověď: [ 9 ; 10)
1,4 [x] - 7 [x] + 10 = 0 Nechť [x] = t, pak t - 7 t + 10 = 0, tzn.

Odpověď: [ 2 ; 3) [5; 6)
Příklad 2
Řešit nerovnosti:
2,1[x]2
[ x ] > 2
[x] 2
[ x ] [ x ] - 8 [ x ] + 15 0

Řešení
2.1 Podle definice [ x ] a 1* tuto nerovnost splňuje x
Odpověď: [2 ;).
2.2 Řešení této nerovnosti: x.
Odpověď: [3 ;).
2,3 x 2,4 x 2,5 Nechť [ x ] = t, pak je tato nerovnost ekvivalentní soustavě
3
Odpověď: [ 3; 6).
2.6 Nechť [x] = t, pak dostaneme.
Odpovědět: (- .
Příklad 4.
Nakreslete graf funkce y = [x]
Řešení
1). OOF: x R
2). MZF: y Z

3). Protože při x* [m; m + 1), kde m * Z, [ x ] = m, pak y = m, tzn. graf představuje kolekci nekonečného počtu vodorovných segmentů, z nichž jsou vyloučeny jejich pravé konce. Například x * [ -1 ; 0) * [ x ] = -1 * y = - 1; x * [ 0; 1) * [ x ] = 0 * y = 0.
Poznámka.
1. Máme příklad funkce, která je dána různými analytickými výrazy v různých oblastech.
2. Kruhy označují body, které do grafu nepatří.
Definice 2.
Zlomková část reálného čísla x je rozdíl x - [x]. Zlomková část čísla x je reprezentována symbolem (x).
Příklad.
Vypočítejte ( x ), pokud x nabývá hodnoty: 2,37 ; -4; 3.14. . .; 5.
Řešení
(2,37) = 0,37, protože (2,37) = 2,37 - [2,37] = 2,37 - 2 = 0,37.
, protože
( 3,14...) = 0,14... , protože ( 3,14...) = 3,14...-[ 3,14...] = 3,14...-3= 0,14...
(5) = 0, protože (5) = 5 - [5] = 5 - 5 = 0.
Vlastnosti zlomkové části reálného čísla.
1*. ( x ) = x - [ x ]

2*. 0 (x) 3*. (x + m) = (x), kde m * Z
4*. ( x ) = x pokud x * [ 0 ; 1)
5* Jestliže ( x ) = a, a * [ 0 ; 1), pak x = a + m, kde m * Z
6*. (x) = 0, pokud x * Z.
Podívejme se na příklady použití pojmu ( x ) v různých cvičeních.

Příklad 1
Řešte rovnice:
1,1(x) = 0,1
1,2(x) = -0,7
(x) = 2,5
(x + 3) = 3,2
(x) - (x) +
Řešení
Za 5* bude řešení mnoho
x = 0,1 + m, m x Z
1.2 Při 2* rovnice nemá kořeny, x * *
1.3 Při 2* rovnice nemá kořeny, x * *
Při 3* je rovnice ekvivalentní rovnici
( x ) + 3 = 3,2 * ( x ) = 0,2 * x = 0,2 + m , m * Z
1.5 Rovnice je ekvivalentní soustavě dvou rovnic
Odpověď: x =
x =
Příklad 2
Řešit nerovnosti:
2,1 (x) 0,4
2,2 (x) 0
(x + 4)
(x) -0,7 (x) + 0,2 > 0
Řešení
2,1 x 5*: 0,4 + m x 2,2 x 1*: x * R
O 3*: (x) + 4 O 5*: m 2,4 Protože (x) 0, pak (x) - 1 > 0, dostaneme 2 (x) + 1 2,5 Vyřešte odpovídající kvadratická rovnice:
( x ) - 0,7 ( x ) + 0,2 = 0 * Tato nerovnost je ekvivalentní kombinaci dvou nerovností:
Odpověď: (0,5 + m; 1 + m) (k; 0,2 + k),
m*Z,k*Z
Příklad 3
Nakreslete graf funkce y = ( x )
Konstrukce.
1). OOF: x * R
2). MZF: y * [ 0 ; 1)
3). Funkce y = (x) je periodická a její perioda
T = m, m * Z, protože pokud x * R, pak (x+m) * R
a (x-m)*R, kde m*Z a 3* (x + m) =
(x - m) = (x).
Nejmenší kladné období je 1, protože pokud m > 0, pak m = 1, 2, 3, . . . a nejmenší kladná hodnota je m = 1.
4). Protože y = ( x ) je periodická funkce s periodou 1, stačí její graf vynést na nějaký interval délky 1, např. na interval [ 0 ; 1), pak na intervalech získaných posunutím vybraného o m, m * Z bude graf stejný.
A). Nechť x * [ 0 ; 1), pak (x) = x a y = x. Získáme to na intervalu [ 0 ; 1) graf této funkce představuje úsečku prvního souřadnicového úhlu, ze které je vyloučen pravý konec.

B). Pomocí periodicity získáme nekonečný počet segmentů svírajících s osou Ox úhel 45*, z nichž je vyloučen pravý konec.
Poznámka.
Kruhy označují body, které do grafu nepatří.
Příklad 4.
Vyřešte rovnici 17 [ x ] = 95 ( x )
Řešení
Protože (x)*[0; 1), potom 95 (x)* [0; 95), a v důsledku toho 17 [x]* [0; 95). Ze vztahu
17 [x]* [0; 95) následuje za [ x ]* , tzn. [x] může být 0, 1, 2, 3, 4 a 5.
Z této rovnice vyplývá, že ( x ) = , tzn. s přihlédnutím k výsledné množině hodnot pro
[ x ] docházíme k závěru: ( x ) se tedy může rovnat 0;
Protože potřebujeme najít x a x = [ x ] + ( x ), zjistíme, že x se může rovnat
0 ;
Odpovědět:
Poznámka.
Podobná rovnice byla navržena v 1. kole krajské matematické olympiády pro desáté ročníky v roce 1996.
Příklad 5.
Nakreslete graf funkce y = [ ( x ) ].
Řešení
OOF: x * R, protože (x)* [0; 1) , a celá část čísel z intervalu [ 0 ; 1) se rovná nule, pak je tato funkce ekvivalentní y = 0
y
0 x

Příklad 6.
Sestrojte množinu bodů na souřadnicové rovině, které splňují rovnici ( x ) =
Řešení
Protože tato rovnice je ekvivalentní rovnici x = , m * Z o 5*, pak na souřadnicové rovině je třeba sestrojit množinu svislých čar x = + m, m * Z
y

0 x
Bibliografie
Algebra pro 9. ročník: Učebnice. manuál pro studenty škol a pokročilých tříd. studium matematiky /N. Y. Vilenkin a kol., ed. N. Ya. - M. Education, 1995.
V. N. Berezin, I. L. Nikolskaya, L. Yu Berezina Sbírka úloh pro výběrové a mimoškolní hodiny z matematiky - M. 1985
A. P. Karp Dávám hodiny matematiky - M., 1982
Časopis „Kvant“, 1976, č. 5
Časopis „Matematika ve škole“: 1973 č. 1, č. 3; 1981 č. 1; 1982 č. 2; 1983 č. 1; 1984 č. 1; 1985 č. 3.

dny (měsíce, roky) hodiny (minuty, sekundy)

Typ oddělovače mezi prvky data je určen nastavením národního prostředí operační systém Okna. V ruské verzi je to pro prvky data obvykle tečka (pokud při zadávání použijete ikony „–“ nebo „/“, budou po stisknutí klávesy Enter také převedeny na tečky); pro časové prvky je to dvojtečka. Dny jsou od hodin odděleny mezerou.

Základní jednotkou času v Excelu je jeden den. Každý den má pořadové číslo začínající 1, což odpovídá 1. lednu 1900 (začátek počítání dat v Excelu). Například 1. ledna 2001 uloženo jako číslo 36892, protože tolik dní uplynulo od 1. ledna 1900. Popsaný způsob ukládání dat umožňuje jejich zpracování úplně stejným způsobem jako běžná čísla, například najít datum, které je vzdálené od jakéhokoli jiného data o požadovaný počet dní v budoucnosti nebo minulosti, najít čas interval mezi dvěma daty, tzn. implementovat aritmetiku data.

Formáty data umožňují jejich zobrazení například v jednom z obvyklých zobrazení: 1.01.98; 1. ledna 98; 1. ledna; leden '98 a bude popsán později. Je třeba říci, že pokud zadáte údaje přímo ve formě data, příslušný formát se přiřadí automaticky. Hodnota zadaná do buňky 5.10.01 bude systémem správně vnímáno 5. října 2001. Při zadávání dat jsou povoleny pouze poslední dvě číslice roku. V tomto případě jsou interpretovány následovně v závislosti na rozsahu, ve kterém leží:

00¸29– od roku 2000 do roku 2029; 30,99 ¸- od roku 1930 do roku 1999

Je přípustné neuvádět rok data. V tomto případě je považován za aktuální rok (systémový rok počítače). Takže zadejte jako 5.10 bude zasazen do klece 5. října běžného roku, například 2004.

Čas je zlomková část dne. Protože den má 24 hodin, jedna hodina odpovídá 1/24, 12 hodin odpovídá hodnotě 0,5 atd. Podobně jako při zadávání data můžete čas zadat přímo ve formátu času. Například zadáním formuláře 10:15:28 bude odpovídat 10 hodinám 15 minutám 28 sekundám 0. ledna 1900, což se v číselném formátu rovná 0,420138888888889. Aritmetika data je přirozeně podporována na úrovni času.

Při zadávání času můžete ignorovat sekundy a minuty. V druhém případě je třeba za hodinami zadat dvojtečku. Například pokud zadáme znaky 6: , v buňce najdeme 6:00 (tj. 6 hodin 0 minut). Je možné kombinovat datum a čas, oddělené mezerou. Ano, vstup 7.2.99 6:12:40 odpovídá 7. únoru 1999, 6 hodin 12 minut 40 sekund.

Existuje rychlý způsob, jak zadat aktuální datum a čas uložený v počítači – jedná se o klávesové zkratky Ctrl+; A Ctrl+Shift+: respektive.

LOGICKÁ ÚDAJE má jeden ze dvou významů - SKUTEČNÝ nebo LHÁT. Používají se jako indikátory přítomnosti/nepřítomnosti jakékoli funkce nebo události a mohou být také argumenty pro některé funkce. V mnoha případech lze místo těchto hodnot použít čísla 1 nebo 0.

POLE nejsou ve skutečnosti datovým typem, ale tvoří pouze organizovanou sadu buněk nebo konstant libovolného typu. Excel zachází s polem (možná obsahujícím mnoho buněk) jako s jediným prvkem, na který lze použít celek matematické operace a relační operace. Pole může obsahovat nejen mnoho buněk, ale také mnoho konstant, například výraz (7;-4;9) popisuje pole konstant tří číselných prvků. K problematice zpracování pole se vrátíme později.

Vytváření vzorců

Síla tabulek spočívá ve schopnosti vkládat do nich nejen data, ale i vzorce.

Všechny vzorce musí začínat znakem „=“ a mohou obsahovat konstanty, operační znaky, funkce, adresy buněk (například =5+4/35, =12%*D4, =12*A4-SIN(D3)^2) .

V Excelu jsou platné následující operátory:

Aritmetické operátory(seřazeno podle priority):

– inverze (násobení mínus 1), ^ umocňování,

% je procentuální operace, *, / násobení, dělení, +, – sčítání, odčítání.

Operace se provádějí zleva doprava v pořadí priority, kterou lze upravit pomocí závorek. Příklady vzorců:

vzorce v běžné notaci: buněčné vzorce:

=7+5^3/(6*8)

=A5/(C7-4)+(4+F4)/(8-D5)*2,4

2 + SinD32 =2+(SIN(D3))^2.

Poznámky ke znaku %.

Pokud do buňky zadáte číslo se znakem %, jeho skutečná hodnota bude 100krát menší. Pokud je například zadáno 5 %, zapamatuje se číslo 0,05. Tím se zadá procento a koeficient se uloží. Tato akce je ekvivalentní nastavení procentuálního formátu buňky pro číslo 0,05.

Zadávání procent do vzorce (tedy do výrazu, který začíná rovnítkem) může být užitečné pro přehlednost. Řekněme, že potřebujete získat 5 % z čísla 200. Můžete to napsat takto =0,05*200, nebo můžete =5 %*200 nebo =200*5 %. V obou případech bude výsledek stejný - 10. Znak procenta lze použít i na buňky, například =E4%. Výsledkem bude jedna setina obsahu E4.

Textový operátor–&. Operátor se používá ke spojení dvou řetězců do jednoho. Takže například výsledkem použití operátoru zřetězení ve vzorci = „Peter“&“ Kuznetsov“ bude fráze „Peter Kuzněcov“.

Relační operátory:=, <, >, <=, >=, < >. Operátory lze použít s číselnými i textovými daty. Jejich význam je zřejmý, snad kromě znaků < > . Znamenají vztah nerovnosti.

Pomocí znaků vztahů můžete vytvářet vzorce jako ="F">"D" a =3>8.

Jejich výsledkem v prvním případě bude slovo TRUE, protože písmeno F v abecedě následuje za písmenem D (kód písmene F je větší než kód písmene D). V druhém případě je z pochopitelných důvodů slovo NEPRAVDA.

Zdá se, že použití takových vzorců v praxi je málo užitečné, ale není tomu tak. Například potřebujete zjistit, že všechna čísla obsažená v tabulce v buňkách A1, A2, A3 a A4 jsou větší než nula. To lze provést pomocí jednoduchého vyjádření tvaru (závorky jsou povinné) =(A1>0)*(A2>0)*(A3>0)*(A4>0).

Pokud tomu tak skutečně je, výsledek výpočtů bude

PRAVDA*PRAVDA*PRAVDA*PRAVDA=1*1*1*1=1.

Protože v aritmetických operacích je logická hodnota TRUE interpretována jako 1 a FALSE jako 0, dostaneme zde číslo 1. Jinak - 0. Později (uvnitř funkce IF()) lze tuto okolnost správně zpracovat.

Další příklad. Zjistěte, že pouze jedna z A1, A2, A3, A4 je větší než nula. Zde se hodí výraz =(A1>0)+(A2>0)+(A3>0)+(A4>0).

Pokud je například pouze A2 větší než nula, pak = FALSE + TRUE + FALSE + FALSE = 0 + 1 + 0 + 0 = 1.

Pokud jsou všechna čísla záporná, výsledek bude 0. Pokud je více než jedno kladné číslo, bude výsledek větší než 1 (od 2 do 4).

Komentář. V Excelu je možné porovnávat písmena a čísla mezi sebou a platí, že písmeno je vždy „větší“ než číslo. Takže například hodnota buňky obsahující mezeru bude větší než jakékoli číslo. Pokud tomu nebudete věnovat pozornost, může dojít k těžko rozpoznatelné chybě, protože buňka obsahující mezeru vypadá stejně jako prázdná buňka, jejíž hodnota je považována za nulovou. Kromě operátorů má Excel mnoho funkcí, které jsou nejdůležitějším výpočetním nástrojem tabulek. O nich bude pojednáno v kapitole 4.

Odkazy na buňky lze zadávat přímo z klávesnice, ale lze je spolehlivěji a rychleji specifikovat pomocí myši, která se používá jako ukazatel. Zde je zaručeno správné zadání, protože uživatel přímo vidí (vybrané objekty jsou orámovány běžící tečkovanou čarou) a vybírá přesně ta data, která chce do výrazu zahrnout.

Předpokládejme, že potřebujeme do buňky A1 zadat vzorec ve tvaru =A2+D4·C1. Zde (obr. 2.4-1) byste měli provést následující řetězec akcí:

Podobně můžete do vzorců zahrnout odkazy na bloky. Předpokládejme, že v A1 potřebujete zadat následující (obr. 2.4-2) sčítací funkci: =SUM(A2:D8;E3). Název funkce se zadává ruskými písmeny a adresy buněk samozřejmě latinkou.

Panel nástrojů Excel má speciální nástroje, které usnadňují zadávání vzorců. Jsou přístupné pomocí ikon Průvodce funkcí A Autosumace(pro shrnutí).

Vzhledem k jeho velkému významu se nyní podívejme na to druhé. Automatické sčítání je dostupné pomocí tlačítka å na panelu nástrojů. S jeho pomocí můžete velmi snadno implementovat funkci sčítání, prakticky bez dotyku na klávesnici. Nechť (řádek 2 na obr. 2.4-3) potřebujeme vypočítat v buňce G2 součet sousedních buněk oblasti B2:F2. Chcete-li to provést, postavte se na buňku G2 a klikněte na tlačítko automatického součtu. Excel sám zadá název funkce a její argumenty do G2 a také zvýrazní zamýšlenou sumační oblast běžící tečkovanou čarou, takže stačí stisknout tlačítko Enter. Excel zahrnuje (kruhy s přerušovanou tečkovanou čarou) v oblasti součtu souvislou část tabulky až po první nečíselnou hodnotu nahoru nebo doleva.

Předpokládejme, že v G4 potřebujete shrnout data z rozsahu buněk B4:F4, mezi nimiž jsou (zatím) prázdné. Kliknutím na tlačítko å v buňce G4 vytvoří funkci součtu pouze pro buňky E4:F4. Situaci je však snadné napravit okamžitým výběrem požadované součtové oblasti B4:F4 pomocí myši a stisknutím klávesy Enter. Pokud buňka, ve které se vypočítává součet, nemá nahoře/vlevo žádnou buňku kandidáta na součet (řádek 6 na obrázku), tlačítko automatického součtu zadá pouze název funkce. Zde byste měli postupovat jako dříve - pomocí myši označte objekt součtu (zde B6:F6).

Zpracování polí. Vzorce, které používají reprezentaci dat jako pole, se obvykle zadávají do bloku ve všech jeho buňkách najednou. Řekněme například, že ve sloupci C (obr. 2.4-4) chcete získat součin prvků sloupců A a B. Typickou metodou je zadat vzorec ve tvaru =A1*B1 do C1 a poté zkopírovat to dolů. Můžete to však udělat jinak. Vyberte oblast C1:C3 budoucí práce, zadejte vzorec =A1:A3*B1:B3 a stiskněte klávesy Ctrl+Shift+Enter. Zjistíte, že ve všech buňkách oblasti C1:C3 jsou získány odpovídající párové součiny a v řádku vzorců pro všechny uvidíte stejný výraz (=A1:A3*B1:B3).

Historie a definice celých a zlomkových částí čísla

Ve středověku zde žil jeden z největších anglických vědců, františkánský mnich Vilém z Ockhamu. Narodil se v Ockhamu, anglickém hrabství Surrey, někdy mezi lety 1285 a 1300, studoval a učil v Oxfordu a poté v Paříži. Ockham, pronásledovaný kvůli svému učení, našel útočiště u Louisova dvora.IVBavorský v Mnichově a moudře ho neopouštěl, žil tam až do své smrti v roce 1349.

Ockham je považován za jednoho z předchůdců velkých myslitelů Reného Descarta a Immanuela Kanta. Podle jeho filozofických názorů je realita existencí konkrétní věci, proto „je marné dělat s více to, co lze dělat s méně“. Toto tvrzení se stalo základem principu ekonomie myšlení. William Ockham jej používal s tak zničující silou, že později dostal dnes tak populární název „Occamova břitva“.

Pro mnoho lidí, kteří nejsou dobří v matematice, všední staly se otázkami typu „Co dalšího lze v matematice objevit? Vzhledem k matematické připravenosti dotazujících se můžeme předpokládat, že mluvíme pouze o školní matematice. Zcela v duchu Ockhama nabízíme tazatelům, a především studentům samotným, některé úlohy, které obměňují koncepty celočíselných a zlomkových částí čísla, které jsou jim dobře známé. Pomocí těchto problémů ukážeme, jak důležité je uvažovat ne každý problém samostatně, ale spojit je do systému a vytvořit obecný algoritmus řešení. Tato metodologická technika nám diktuje Ockhamův princip ekonomie myšlení.

Definice: celočíselná část čísla x je největší celé číslo c nepřesahující x, tzn. pokud [x] = c,C ≤ X < C + 1.

Například: = 2;

[-1,5] = -2.

Celočíselná část reálného čísla x je označena symbolem [x] nebo E(x).

Symbol [x] zavedl německý matematik K. Gauss (1771-1855) v roce 1808 k označení celé části čísla x.

Funkce y = [x] se nazývá funkce „Antje“ ( fr. Entier - celé číslo) a značí se E(x). Tento znak navrhl v roce 1798 francouzský matematik A. Legendre (1752-1833). Pomocí některých hodnot funkce můžete vytvořit její graf. Vypadá to takto:

Nejjednodušší vlastnosti funkce y = [x]:

1. Definiční obor funkce y = [x] je množina všech reálných čísel R.

2. Obor funkce y = [x] je množina všech celých čísel Z.

3. Funkce y = [x] je po částech konstantní.

4. Funkce y = [x] je neklesající, tedy pro libovolné x 1 a x 2 z R jako,

že x 1 ≤ x 2 ,je tu nerovnost [ x 1] ≤ [ x 2].

5. Pro libovolné celé číslo n a libovolné reálné číslo x platí následující rovnost: = [x] + n.

6. Pokud x ─ je necelé reálné číslo, pak platí následující rovnost: [-x] = -[x] - 1.

7. Pro libovolné reálné číslo x platí následující vztah:

[x] ≤ x< [x] + 1,причём равенство [x] = x достигается тогда и только тогда, когда х ─ celé číslo, tj. x Z.

Nabízí se otázka: „Pokud existuje funkce pro celočíselnou část čísla, možná existuje také funkce pro zlomkovou část čísla?

Definice: zlomková část čísla (označená (x)) je rozdíl x - [x].

Například: {3,7} = 0,7

{-2,4} = 0,6.

Nakreslíme funkci y = (x). Vypadá to takto:

Nejjednodušší vlastnosti funkce y = (x):

1. Definiční obor funkce y = (x) je množina všech reálných čísel R.

2. Rozsah hodnot funkce y = (x) je poloviční interval a y = (x) vám pomůže splnit některé úkoly.

ÚKOLY:

1) Vytvořte grafy funkcí:

A) y = [ X ] + 5;

b) y = (x) - 2;

c) y = |[ X]|.

2) Jaká by mohla být čísla x a y, když:

a) [x + y] = y;

b) [x - y] = x;

c) (x - y) = X;

d) (x + y) = y.

3) Co lze říci o velikosti rozdílu x - y, jestliže:

a) [x] = [y];

b) (x) = (y).

4) Co je větší: [a] nebo (a)?

2.1. Nejjednodušší rovnice

Mezi nejjednodušší rovnice patří rovnice ve tvaru [x] = a.

Rovnice tohoto typu jsou řešeny definicí:

a ≤ x< а +1 , где а - целое число.

Jestliže a je zlomkové číslo, pak taková rovnice nebude mít žádné kořeny.

Podívejme se na příklad řešení jedna z těchto rovnic:

[X + 1,3] = - 5. Podle definice se taková rovnice transformuje na nerovnost:

5 ≤ x + 1,3< - 4. Решим его. Получим -6,3 ≤ х < - 5,3.

Toto bude řešení rovnice.

Odpověď: x [-6,3;-5,3).

Podívejme se na další rovnici, která patří do nejjednodušší kategorie:

[x+1] + [x-2]-[x+3] = 2

Pro řešení rovnic tohoto typu je nutné použít vlastnost celočíselné funkce: Je-li p celé číslo, pak je rovnost pravdivá

[x ± p] = [x] ± p

Důkaz: x = [x] + (x)

[ [x] + (x) ± p] = [ [x] + (x)] ± p

x = k+ a, kde k= [x], a = (x)

[ k + A ± p ] = [ k + A ] ± p= [x] ± p.

Vyřešme navrženou rovnici pomocí osvědčené vlastnosti: Dostaneme [x] + 1 + [x] - 2 - [x] - 3 = 2. Přineseme podobné členy a dostaneme nejjednodušší rovnici [x] = 6. Její řešení je poloviční interval x = 1

Převeďme rovnici na nerovnost: 1 ≤ x 2 -5x+6< 2. Двойное неравенство запишем в форме системы неравенств:

x 2 - 5x + 6< 2,

x 2 - 5x + 6 ≥ 1 a vyřešte to;

x 2 - 5 x + 4<0,

x 2 - 5x + 5>0

Dostáváme x (1;4)

X (-∞;(5 -
)/2]
[(5 +)/2; +∞),

X (1; (5 - )/2]
[(5 +)/2;4).

Odpověď: x (1; (5 - )/2]
[(5 +)/2;4).

NAVRHOVANÉ ROVNICE VYŘEŠTE SAMI:

1) = 1

2) = 0,487

3) [ X + 4] – [ X + 1] = 2

4) [x 2] = 4

5) [ X] 2 = 4

6) [ X + 1,3] = - 5

7) [x 2 – X + 4] = 2

8) = - 1

9) = 4,2

10) (x) – [x] + x = 0

11) x + (x) + [x] = 0

12) [4x – 5] = 7

2.2 Řešení rovnic tvaru [ F ( X )]= G ( X )

Rovnice formuláře [ F(X)]= G(X) lze vyřešit jejich redukcí na rovnici

[ X] = A.

Uvažujme příklad 1 .

Vyřešte rovnici

Nahradíme pravou stranu rovnice novou proměnnouAa pojďme se vyjádřit odtudX

11 A = 16 X + 16, 16 X = 11 A – 16,

Pak
=
=

Nyní vyřešme rovnici
vzhledem k proměnnéA .

Rozšiřme znaménko celočíselné části o definici a zapišme jej pomocí soustavy nerovnic:

Z mezi
vyberte všechny celočíselné hodnotyA: 3;4;5;6;7 a proveďte obrácenou substituci:

Odpovědět:

Příklad 2

Řešte rovnici:

Vydělte každý člen v čitateli v závorce jmenovatelem:

A

Z definice celočíselné části čísla vyplývá, že (a+1) musí být celé číslo, což znamená, že a je celé číslo.Čísla a, (a+1), (a+2) - třipo sobě jdoucích čísel, což znamená, že jedno z nich musí být dělitelné2 a jedna 3. Proto je součin čísel dělitelnýaž do 6.

To znamenácelé číslo. Prostředek

Pojďme vyřešit tuto rovnici.

a(a+1)(a+2) - 6(a+1) = 0

(a+1)(a(a+2)-6) = 0

a + 1 = 0 nebo a 2 + 2a – 6 = 0

a = -1 D = 28

A= -1 ±
(nejsou celá čísla).

Odpověď: -1.

Řešte rovnici:

2.3. Grafický způsob řešení rovnic

Příklad 1[x] = 2 (x)

Řešení. Vyřešme tuto rovnici graficky. Sestavme grafy funkcí y = [x] a y = 2(x). Pojďme najít úsečky jejich průsečíků.

Odpovědět: x = 0; x = 1,5.

V některých případech je pro zjištění souřadnic průsečíků grafů výhodnější použít graf. Výslednou hodnotu pak dosaďte do jedné z rovnic a najděte požadované hodnoty x.

Řešte rovnice graficky:

(x) = 1 – x; 6) [|x|] = x;

(x) + 1 = [x]; 7) [|x|] = x + 4;

3x; 8) [|x|] = 3|x| - 1;

3(x) = x; 9) 2(x) – 1 = [x] + 2;

5) (x) = 5x + 2; 10) Kolik řešení dělá

rovnice 2(x) = 1 -.

2.4. Řešení rovnic zavedením nové proměnné.

Podívejme se na první příklad:

(X) 2 -8(x)+7 = 0

Nahraďte (x) a, 0 A< 1, получим простое квадратное уравнение

A 2 - 8a + 7 = 0, kterou vyřešíme pomocí věty inverzní k Vietově větě:Výsledné kořeny jsou a = 7 a a = 1. Provedeme zpětnou výměnu a dostanemedvě nové rovnice: (x) = 7 a (x) = 1. Obě tyto rovnice nemají kořeny.Proto rovnice nemá řešení.

Odpověď: neexistují žádná řešení.

Podívejme se na jiný případ řešení rovnice zavedením nové

proměnná:

3[x] 3 + 2[x] 2 + 5[x]-10 = 0

Udělejme náhradu [x] = a, az. a dostaneme novou kubickou rovniciZa 3 +2a 2 +5a-10=0. První kořen této rovnice najdeme výběrem:a=1 je kořen rovnice. Naši rovnici vydělíme (a-1). Dostanemekvadratická rovnice 3a 2 + 5a +10=0. Tato rovnice má zápordiskriminační, což znamená, že nemá řešení. To znamená, že a=1 je jedinékořen rovnice. Provedeme opačnou substituci: [x]=a=1. Výslednou rovnici vyřešíme definováním celé části čísla: x 2 + 8[x]-9 = 0

3(x-[x]) 2 + 2([x]-x)-16 = 0

[X] 4 -14[x] 2 +25 = 0

(2 (x)+1) 3 – (2(x)-1) 3 = 2

(x-[x]) 2 = 4

5[x] 2 -7[x]-6 = 0

6(x) 2 +(x)-1 =0

1/([x]-1) - 1/([x]+1) = 3-[x]

12 (x) 3 -25 (x) 2 +(x)+2 = 0

10) 10[x] 3 -11[x] 2 -31[x]-10 = 0

2.5. Soustavy rovnic.

Zvažte soustavu rovnic:

2[ X] + 3[ y] = 8,

3[ X] – [ y] = 1.

Lze to řešit buď sčítáním, nebo substitucí. Zaměřme se na první metodu.

2[ X] + 3[ y] = 8,

9[ X] – 3[ y] = 3.

Po sečtení dvou rovnic dostaneme 11[X] = 11. Proto

[ X] = 1. Dosaďte tuto hodnotu do první rovnice soustavy a dostanete

[ y] = 2.

[ X] = 1 a [ y] = 2 – řešení soustavy. To znamenáX= 18 let

18-x-y

3) 3[x] – 2(y) = 6

[X] 2 – 4(y) = 4

4) 3(x) – 4(y) = -6

6(x) – (y) 2 = 3.

3.1. Vykreslování funkčních grafů formuláře y = [ F ( X )]

Nechť existuje graf funkce y =F(X). Chcete-li vykreslit funkci y = [F(X)], postupujte takto:

Nakreslete rovné čáry y =n, nn, y =n + 1.

n, y =n+ 1 s grafem funkce y =F(X). Tyto body patří do grafu funkce y = [F( X)], protože jejich pořadnice jsou celá čísla (na obrázku jsou to body A, B, C,D).

Nakreslíme funkci y = [x]. Pro tohle

Nakreslete rovné čáry y =n, n= 0; -1; +1; -2; +2; ... a uvažujme jeden z pruhů tvořených přímkami y =n, y =n + 1.

Průsečíky přímek označíme y =n, y =n+ 1 s harmonogramem

funkce y = [x]. Tyto body patří do grafu funkce y = [x],

protože jejich souřadnice jsou celá čísla.

Chcete-li získat zbývající body grafu funkce y = [x] v naznačeném pruhu, promítněte část grafu y = x, která spadá do pruhu rovnoběžně s osou O na k přímce y =n, y =n+ 1. Od libovolného bodu M této části grafu funkcey = X, má následující pořadniciy 0 , Con < y 0 < n+ 1, poté [y 0 ] = n

V každém dalším pruhu, kde jsou body na grafu funkce y = x, se konstrukce provádí obdobným způsobem.

ÚKOLY PRO SAMOSTATNÉ ŘEŠENÍ

Graf funkcí:

3.2. Vykreslování funkčních grafů formuláře y = F ([ X ])

Nechť je dán graf nějaké funkce y =F(X). Vynesení grafu funkce y =F([x]) se provádí takto:

Pro získání zbývajících bodů funkčního grafu y =F([x]) v uvedené pásmové části grafu funkce y =F(x) spadající do tohoto pásu se promítá rovnoběžně s osou O na k přímce y =F( n).

V každém druhém pruhu, kde jsou body na grafu funkce y =Fx), stavba se provádí obdobným způsobem.

Uvažujme vynesení funkce y = . K tomu nakreslíme graf funkce y = tečkovanou čarou. Dále

čísla.

3. V každém dalším pruhu, kde jsou body na grafu funkce y =, se konstrukce provádí obdobným způsobem.

ÚKOLY PRO SAMOSTATNÉ ŘEŠENÍ

Graf funkcí:

Nazvěme následující vztahy hlavními nerovnicemi s [x] a (x): [x] > b a (x) > b. Pohodlnou metodou pro jejich řešení je grafická metoda. Vysvětlíme si to na dvou příkladech.

Příklad 1[x] ≥ b

Řešení. Zaveďme dvě funkce y = [x] a y =ba nakreslit jejich grafy na stejný výkres. Je zřejmé, že je třeba rozlišovat dva případy:b– celý a b– ne celý.

Případ 1 b- Celý

y=b(bZ)

y=b (b Z)

Obrázek ukazuje, že grafy se shodují na [b; b + 1].

Proto řešením nerovnosti [x] ≥b bude tam paprsek x ≥ b.

Případ 2 b– ne celý.

V tomto případě grafy funkcí y = [x] a y =bneprotínají se. Ale část grafu y = [x] ležící nad přímkou ​​začíná v bodě se souřadnicemi ([b] + 1; [ b] + 1). Tedy řešením nerovnosti [x] ≥b bude tam paprsek x ≥ [ b] + 1.

Jiné typy základních nerovností jsou studovány úplně stejným způsobem. Výsledky těchto studií jsou shrnuty v tabulce níže.

Více významů

[X]≥ b, bZ

X≥ b

[x] ≥b,

[x] >b, b- jakýkoli

X≥ [b] + 1

[X]≤ b, b- libovolné [x]< b, b- jakýkoli jakýkoli

X< [ b] + 1

[X]< b, bZ

X< b

{ X)≥ b, (x) >b, b≥ 1

Žádná řešení

(X)≥ b, (x) >b, b < 0

(-∞; +∞)

(X)≥ b, (X)> b, 0 ≤ b< 1

n+b≤ X< 1+n

n+b< X< 1 + n, nZ

{ X) ≤ b, (X)< b, b≥ 1

(-∞; +∞)

(X) ≤ b, (X)< b, b< 0

Žádná řešení

(X) ≤ b, (X)< b, 0 ≤ b<1

n≤ X≤ b+ n

n< X≤ b+ n, nZ

Uvažujmepříklad řešení nerovností:

Pojďme nahradit [X] do proměnné a, kde a je celé číslo.

>1 ;
>0;
>0;
>0.

Pomocí intervalové metody najdemeA > -4 [ X] > -4

A< 1/3 [x]< 1/3.

K vyřešení získaných nerovností použijeme sestavenou tabulku:

x ≥ -3,

X< 1. x [-3;1)

Odpovědět:[-3;1) .

ÚKOLY PRO SAMOSTATNÉ ŘEŠENÍ.

1) [x]< 2

2) [x]≤ 2

3) [x] > 2,3

4) [x] 2

5) [X] 2 -5[x]-6< 0

6) [x] 2 - 7[x] + 6 0

7) 30[x] 2 -121[x] + 80< 0

8) [x] 2 + 3[x]-4 0

9) 3 (x) 2 -8(x)-4< 0

10) 110[x] 2 -167[x] + 163 0

11)
> 2

12)
> 1

13)
0

14)
0

Příklad 1

Dokažte, že číslo
dělitelné 5 pro jakékoli přirozenén.

Důkaz: Nechn- sudé číslo, tzn.n=2 m, KdemN, Příklad 2. , pak (roky).

Voronová A.N. Nerovnice s proměnnou pod znaménkem celočíselné části // Matematika ve škole. 2002. č. 2. S.56-59.

Galkin E.V. Nestandardní úlohy v matematice. Algebra: učebnice. manuál pro žáky 7-11 ročníků. Čeljabinsk: „Vzglyad“, 2004.

Doplňkové kapitoly kurzu matematiky pro 10. ročník pro volitelné předměty: Příručka pro studenty / Komp. ZA. Eunuch. M.: Vzdělávání, 1979.

Erovenko V.A., O.V. Mikhašková O.V. Occamův metodický princip na příkladu funkcí celých a zlomkových částí čísla // Matematika ve škole. 2003. č. 3. S.58-66.

7. Kirzimov V. Řešení rovnic a nerovnic obsahujících celé číslo a

zlomková částčísla // Matematika. 30.№ 2002. s. 26-28.

8. Shreiner A.A. „Úkoly krajských matematických olympiád

Novosibirská oblast“. Novosibirsk 2000.

9. Adresář „Matematika“, Moskva „AST-PRESS“ 1997.

10. Raichmist R.B. „Grafy funkcí. Úkoly a cvičení." Moskva.

„Škola – tisk“ 1997.

11. Mordkovich A.G., Semenov P.V. a další „Algebra a počátky analýzy. 10

Třída. Část 2. Kniha problémů. Úroveň profilu" Smolensk

"Mnemosyne" 2007.

Cíle lekce: seznámit studenty s pojmem celočíselné a zlomkové části čísla; formulovat a dokázat některé vlastnosti celočíselné části čísla; seznámit studenty s širokou škálou použití celých a zlomkových částí čísla; zlepšit schopnost řešit rovnice a soustavy rovnic obsahujících celé a zlomkové části čísla.

Zařízení: plakát „Kdo od mládí dělá a myslí sám za sebe, stává se později spolehlivějším, silnějším, chytřejším“ (V. Shukshin).
Projektor, magnetická tabule, referenční kniha algebry.

Plán lekce.

1. Organizace času.
2. Kontrola domácích úkolů.
3. Učení nového materiálu.
4. Řešení problémů k tématu.
5. Shrnutí lekce.
6. Domácí práce.

Během vyučování

I. Organizační bod: zpráva k tématu lekce; stanovení cíle lekce; poselství fází lekce.

II. Kontrola domácích úkolů.

Odpovězte na otázky studentů o domácí práce. Řešit problémy, které způsobovaly potíže při plnění domácích úkolů.

III. Učení nového materiálu.

V mnoha úlohách algebry musíte uvažovat největší celé číslo, které nepřesahuje dané číslo. Takové celé číslo dostalo speciální název „celočíselná část čísla“.

1. Definice.

Celočíselná část reálného čísla x je největší celé číslo nepřesahující x. Celočíselná část čísla x je označena symbolem [x] nebo E(x) (z francouzského Entier „antier“ ─ „celek“). Například = 5, [π ] = 3,

Z definice vyplývá, že [x] ≤ x, protože celočíselná část nepřesahuje x.

Na druhou stranu, protože [x] je největší celé číslo, které splňuje nerovnost, potom [x] +1>x. [x] je tedy celé číslo definované pomocí nerovností [x] ≤ x< [x] +1, а значит 0 ≤ х ─ [x] < 1.

Číslo α = υ ─ [x] se nazývá zlomková část čísla x a označuje se (x). Pak máme: 0 ≤ (x)<1 и следовательно, х = [x] + {х}.

2. Některé vlastnosti antie.

1. Pokud je Z celé číslo, pak = [x] + Z.

2. Pro jakákoli reálná čísla x a y: ≥ [x] + [y].

Důkaz: protože x = [x] + (x), 0 ≤ (x)<1 и у = [у] + {у}, 0 ≤ {у}<1, то х+у= [x] + {х} + [у] + {у}= [x] + [у] + α, где α = {х} + {у} и 0 ≤ α <2.

Pokud 0 ≤ α<1. ς о = [x] + [у].

Pokud 1≤ α<2, т.е. α = 1 + α` , где 0 ≤ α` < 1, то х+у = [x] + [у] +1+ α` и

= [x] + [y]+1>[x] + [y].

Tato vlastnost se vztahuje na libovolný konečný počet členů:

≥ + + + … + .

Schopnost najít celočíselnou část veličiny je při přibližných výpočtech velmi důležitá. Ve skutečnosti, pokud víme, jak najít celočíselnou část hodnoty x, pak vezmeme-li [x] nebo [x]+1 jako přibližnou hodnotu hodnoty x, uděláme chybu, jejíž hodnota není větší než jedna , od té doby

≤ x – [x]< [x] + 1 – [x]=1,
0< [x] + 1– x ≤[x] + 1 – [x] =1.

Hodnota celočíselné části veličiny navíc umožňuje zjistit její hodnotu s přesností 0,5. Pro tuto hodnotu můžete vzít [x] + 0,5.

Schopnost najít celou část čísla vám umožňuje určit toto číslo s jakýmkoli stupněm přesnosti. Vlastně od té doby

≤ Nx ≤ +1, pak

Pro větší N bude chyba malá.

IV. Řešení problému.

(Získávají se extrakcí kořenů s přesností 0,1 s nedostatkem a nadbytkem). Sečtením těchto nerovností dostaneme

1+0,7+0,5+0,5+0,4 < х < 1+0,8+0,6+0,5+0,5.

Tito. 3.1< x <3,4 и, следовательно, [x]=3.

Všimněte si, že číslo 3,25 se neliší od x o více než 0,15.

Úkol 2. Najděte nejmenší přirozené číslo m, pro které

Kontrola ukazuje, že pro k = 1 ak = 2 výsledná nerovnost pro žádné přirozené m neplatí a pro k = 3 má řešení m = 1.

To znamená, že požadovaný počet je 11.

Odpovědět: 11.

Antje v Eqs.

Řešení rovnic s proměnnou pod znaménkem „celočíselná část“ obvykle spočívá v řešení nerovnic nebo systémů nerovnic.

Úkol 3.Řešte rovnici:

Úkol 4. Vyřešte rovnici

Podle definice celočíselné části je výsledná rovnice ekvivalentní dvojité nerovnosti

Úkol 5. Vyřešte rovnici

Řešení: mají-li dvě čísla stejnou celočíselnou část, pak je jejich rozdíl v absolutní hodnotě menší než 1, a proto z této rovnice vyplývá nerovnost

A proto za prvé, X≥ 0 a za druhé, v součtu uprostřed výsledné dvojité nerovnosti jsou všechny členy počínaje třetí rovny 0, takže X < 7 .

Protože x je celé číslo, zbývá jen zkontrolovat hodnoty od 0 do 6. Řešením rovnice jsou čísla 0,4 a 5.

c) značení.

VI. Domácí práce.

Další úkol (volitelné).

Někdo změřil délku a šířku obdélníku. Vynásobil celou část délky celou částí šířky a dostal 48; vynásobil celou část délky zlomkovou částí šířky a dostal 3,2; vynásobil zlomkovou část délky celou částí šířky a dostal 1,5. Určete plochu obdélníku.