त्रिज्या R और ऊँचाई h के घूर्णन वाले एक बेलन पर विचार करें (चित्र 383)। इस सिलेंडर के आधार पर हम एक नियमित बहुभुज (चित्र 383 में एक षट्भुज) अंकित करेंगे और इसकी सहायता से हम सिलेंडर में अंकित एक नियमित प्रिज्म का निर्माण करेंगे। उसी तरह, आप मनमाने ढंग से सिलेंडर के चारों ओर नियमित प्रिज्म का वर्णन कर सकते हैं एक लंबी संख्यापार्श्व किनारे.

परिभाषा के अनुसार, एक सिलेंडर की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल उस सीमा के रूप में लिया जाता है, जिसके चारों ओर अंकित और परिचालित नियमित प्रिज्म की पार्श्व सतहों का क्षेत्रफल उनके पार्श्व फलकों की संख्या अनंत रूप से दोगुना हो जाता है (या आम तौर पर बढ़ जाता है) ).

अब हम साबित करेंगे कि ऐसी कोई सीमा मौजूद है। यदि हम एक नियमित त्रिभुज पर निर्मित एक अंकित नियमित प्रिज्म को आधार के रूप में लेते हैं, तो इसकी पार्श्व सतह के लिए हमारे पास अभिव्यक्ति होगी, सिलेंडर के आधार के वृत्त में अंकित नियमित त्रिभुज की परिधि कहां है। पर । वर्णित प्रिज्म के लिए बिल्कुल वही गणना एक ही परिणाम देती है। तो, घूर्णन सिलेंडर की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल सूत्र द्वारा व्यक्त किया जाता है

सिलेंडर की पार्श्व सतह जेनरेट्रिक्स की लंबाई और आधार की परिधि (यानी, परिधि) के उत्पाद के बराबर है।

समस्या 1. सिलेंडर के ऊपरी और निचले आधारों के व्यास के विपरीत बिंदु A और B को जोड़ने वाला खंड (चित्र 384) 10 सेमी है और 60° के कोण पर आधार के तल पर झुका हुआ है। बेलन की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये।

समाधान। आइए हम सिलेंडर के आधार पर लंबवत एक विमान के साथ खंड एल के माध्यम से एक क्रॉस-सेक्शन बनाएं। त्रिभुज से हमारे पास है

जहां हम सिलेंडर की पार्श्व सतह ढूंढते हैं

समांतर चतुर्भुज के विकर्ण के समान तल पर झुकाव का कोण ज्ञात कीजिए।

2. एक समांतर चतुर्भुज में, आधार का न्यून कोण a के बराबर होता है, और आधार की एक भुजा a के बराबर होती है। इस तरफ और ऊपरी आधार के विपरीत किनारे से होकर खींचे गए खंड का क्षेत्रफल Q है, और इसका तल आधार के तल पर एक कोण पर झुका हुआ है। समांतर चतुर्भुज का आयतन और कुल सतह ज्ञात कीजिए।

3. एक झुके हुए त्रिकोणीय प्रिज्म का आधार एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज है, और आधार के तल पर एक किनारे के किनारों का प्रक्षेपण त्रिकोण के पैरों में से एक के मध्य मी के साथ मेल खाता है। यदि प्रिज्म का आयतन V के बराबर है तो आधार के तल पर पार्श्व पसलियों के झुकाव का कोण ज्ञात कीजिए।

4. एक नियमित षट्कोणीय प्रिज्म में, आधार के किनारे से दो खंड खींचे जाते हैं: 1) युक्त विपरीत पक्षऊपरी आधार, 2) ऊपरी आधार का केंद्र युक्त। प्रिज्म की किस ऊँचाई पर खंड तलों के बीच के कोण का मान सबसे अधिक होता है और इस मामले में यह किसके बराबर होता है?

एक सिलेंडर में तीन सतहें होती हैं: एक शीर्ष, एक आधार और एक पार्श्व सतह।

सिलेंडर का शीर्ष और आधार वृत्त हैं और इन्हें पहचानना आसान है।

यह ज्ञात है कि एक वृत्त का क्षेत्रफल πr2 है। अतः दो वृत्तों के क्षेत्रफल का सूत्र πr2 + πr2 = 2πr2 होगा।

सिलेंडर की पार्श्व सतह

सिलेंडर की तीसरी, पार्श्व सतह, सिलेंडर की घुमावदार दीवार है। इस सतह की बेहतर कल्पना करने के लिए, आइए इसे एक पहचानने योग्य आकार प्राप्त करने के लिए रूपांतरित करने का प्रयास करें। कल्पना कीजिए कि सिलेंडर एक साधारण टिन का डिब्बा है जिसमें ऊपर ढक्कन या तली नहीं है। आइए कैन के ऊपर से नीचे तक साइड की दीवार पर एक ऊर्ध्वाधर कट बनाएं और परिणामी आकृति को जितना संभव हो उतना खोलने का प्रयास करें।

परिणामी जार पूरी तरह से खुलने के बाद, हमें एक परिचित आकृति दिखाई देगी, यह एक आयत है। एक आयत के क्षेत्रफल की गणना करना आसान है। लेकिन उससे पहले, आइए एक पल के लिए मूल सिलेंडर पर लौटते हैं। मूल सिलेंडर का शीर्ष एक वृत्त है, और हम जानते हैं कि परिधि की गणना सूत्र द्वारा की जाती है: L = 2πr। यह चित्र में लाल रंग से अंकित है।

जब सिलेंडर की साइड की दीवार पूरी तरह से खुल जाती है, तो हम देखते हैं कि परिधि परिणामी आयत की लंबाई बन जाती है। इस आयत की भुजाएँ बेलन की परिधि और ऊँचाई होंगी। एक आयत का क्षेत्रफल उसकी भुजाओं के गुणनफल के बराबर होता है - S = लंबाई x चौड़ाई = L x h = 2πr x h = 2πrh. परिणामस्वरूप, हमें सिलेंडर की पार्श्व सतह के क्षेत्रफल की गणना के लिए एक सूत्र प्राप्त हुआ।

एक सिलेंडर के पार्श्व सतह क्षेत्र के लिए सूत्र
ओर = 2πrh

एक सिलेंडर का कुल सतह क्षेत्र

अंत में, यदि हम तीनों सतहों के क्षेत्रफल को जोड़ दें, तो हमें कुल क्षेत्रफल का सूत्र मिलता है...
सिलेंडर की सतह. एक सिलेंडर का सतह क्षेत्रफल सिलेंडर के शीर्ष के क्षेत्रफल + सिलेंडर के आधार के क्षेत्रफल + सिलेंडर की पार्श्व सतह के क्षेत्रफल के बराबर होता है या S = πr2 + πr2 + 2πrh = 2πr2 + 2πrh. कभी-कभी यह अभिव्यक्ति सूत्र 2πr के समान लिखी जाती है।

एक सिलेंडर के कुल सतह क्षेत्र के लिए सूत्र
S = 2πr2 + 2πrh = 2πr
r सिलेंडर की त्रिज्या है, h सिलेंडर की ऊंचाई है

सिलेंडर के सतह क्षेत्र की गणना के उदाहरण

उपरोक्त सूत्रों को समझने के लिए, आइए उदाहरणों का उपयोग करके सिलेंडर के सतह क्षेत्र की गणना करने का प्रयास करें।

1. बेलन के आधार की त्रिज्या 2 है, ऊँचाई 3 है। बेलन की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए

कुल सतह क्षेत्र की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है: साइड। = 2πrh

ओर = 2 * 3.14 * 2 * 3

ओर = 6.28*6

ओर = 37.68

सिलेंडर का पार्श्व सतह क्षेत्रफल 37.68 है।

2. यदि किसी बेलन की ऊंचाई 4 और त्रिज्या 6 है तो उसका पृष्ठीय क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें?

कुल सतह क्षेत्र की गणना सूत्र द्वारा की जाती है: S = 2πr2 + 2πrh

एस = 2 * 3.14 * 62 + 2 * 3.14 * 6 * 4

एस = 2 * 3.14 * 36 + 2 * 3.14 * 24

एस = 226.08 + 150.72

सिलेंडर का सतह क्षेत्रफल 376.8 है।

3. एक लम्ब वृत्तीय बेलन का पार्श्व पृष्ठ क्षेत्रफल 24π है, और आधार का व्यास 3 है। बेलन की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

सिलेंडर साइड की पार्श्व सतह के क्षेत्र की गणना के लिए सूत्र से। = 2πrh इसका तात्पर्य यह है कि ऊंचाई बराबर है:

एच = साइड/2πr

त्रिज्या मान सूत्र से प्राप्त किया जाता है: d = 2r

सिलेंडर की ऊंचाई 8 है.

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सिलेंडर एक आकृति है जिसमें एक बेलनाकार सतह और समानांतर में स्थित दो वृत्त होते हैं। बेलन के क्षेत्रफल की गणना करना गणित की ज्यामितीय शाखा में एक समस्या है, जिसे काफी सरलता से हल किया जा सकता है। इसे हल करने की कई विधियाँ हैं, जो अंततः एक ही सूत्र पर आकर टिकती हैं।

सिलेंडर का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें - गणना नियम

• सिलेंडर का क्षेत्रफल जानने के लिए, आपको आधार के दो क्षेत्रों को पार्श्व सतह के क्षेत्रफल के साथ जोड़ना होगा: S = Sside + 2Sbase। अधिक विस्तृत संस्करण में, यह सूत्र इस तरह दिखता है: S= 2 π rh+ 2 π r2= 2 π r(h+ r)।
• किसी दिए गए का पार्श्व सतह क्षेत्र ज्यामितीय शरीरयदि इसकी ऊंचाई और इसके आधार पर स्थित वृत्त की त्रिज्या ज्ञात हो तो इसकी गणना की जा सकती है। में इस मामले मेंयदि दिया जाए तो कोई वृत्त की परिधि से त्रिज्या व्यक्त कर सकता है। यदि जनरेटर का मूल्य शर्त में निर्दिष्ट है तो ऊंचाई पाई जा सकती है। इस मामले में, जेनरेटर ऊंचाई के बराबर होगा। इस पिंड की पार्श्व सतह का सूत्र इस प्रकार दिखता है: S= 2 π rh.
• किसी वृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए आधार के क्षेत्रफल की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है: Sosn= π r 2 . कुछ समस्याओं में, त्रिज्या नहीं दी जा सकती है, लेकिन परिधि दी जा सकती है। इस सूत्र से त्रिज्या को बहुत आसानी से व्यक्त किया जा सकता है। С=2π आर, आर= С/2π. आपको यह भी याद रखना चाहिए कि त्रिज्या व्यास का आधा है।
• इन सभी गणनाओं को निष्पादित करते समय, संख्या π का ​​आमतौर पर 3.14159 में अनुवाद नहीं किया जाता है... इसे केवल गणना के परिणामस्वरूप प्राप्त संख्यात्मक मान के आगे जोड़ने की आवश्यकता होती है।
• इसके बाद, आपको बस आधार के पाए गए क्षेत्र को 2 से गुणा करना होगा और परिणामी संख्या में आकृति की पार्श्व सतह के परिकलित क्षेत्र को जोड़ना होगा।
• यदि समस्या इंगित करती है कि सिलेंडर में शामिल है अक्षीय खंडऔर यह एक आयत है, तो समाधान थोड़ा अलग होगा। इस मामले में, आयत की चौड़ाई शरीर के आधार पर स्थित वृत्त का व्यास होगी। आकृति की लंबाई जेनरेटर या सिलेंडर की ऊंचाई के बराबर होगी। हिसाब लगाने की जरूरत है आवश्यक मानऔर इसे पहले से ज्ञात सूत्र में प्रतिस्थापित करें। इस स्थिति में, आधार का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए आयत की चौड़ाई को दो से विभाजित किया जाना चाहिए। पार्श्व सतह ज्ञात करने के लिए, लंबाई को दो त्रिज्याओं और संख्या π से गुणा किया जाता है।
• आप किसी दिए गए ज्यामितीय पिंड के क्षेत्रफल की गणना उसके आयतन के माध्यम से कर सकते हैं। ऐसा करने के लिए, आपको सूत्र V=π r 2 h से लुप्त मान प्राप्त करना होगा।
• सिलेंडर के क्षेत्रफल की गणना करने में कुछ भी जटिल नहीं है। आपको बस सूत्रों को जानना होगा और उनसे गणना करने के लिए आवश्यक मात्राएँ प्राप्त करने में सक्षम होना होगा।