bimatrix pareto spēle

Spēle ir idealizēts matemātisks kolektīvās uzvedības modelis: vairāki indivīdi (dalībnieki, spēlētāji) ietekmē situāciju (spēles iznākumu) un savas intereses (savu laimestus pie dažādiem iespējamās situācijas) ir atšķirīgi. Interešu antagonisms rada konfliktu, savukārt interešu sakritība samazina spēli līdz tīrai koordinācijai, kuras īstenošanai vienīgā saprātīgā rīcība ir sadarbība. Lielākajā daļā spēļu, kas izriet no sociāli ekonomisko situāciju analīzes, intereses nav nedz strikti antagonistiskas, nedz precīzi sakrīt. Pārdevējs un pircējs vienojas, ka viņu abpusējās interesēs ir vienoties par pārdošanu, protams, ja darījums ir izdevīgs abiem. Taču viņi enerģiski kaulējas, izvēloties konkrētu cenu robežās, ko nosaka darījuma savstarpēja izdevīguma nosacījumi. Tāpat parastie vēlētāji parasti ir gatavi noraidīt kandidātus, kuri pārstāv ekstrēmus uzskatus.

Taču, ievēlot vienu no diviem kandidātiem, kas piedāvā dažādus kompromisa risinājumus, izvēršas sīva cīņa. Nevar nepiekrist, ka lielākā daļa spēļu ir līdzīgas konfliktsituācijas sociālā dzīve rada gan konfliktus, gan uz sadarbību vērstu uzvedību. Līdz ar to varam secināt, ka spēļu teorija ir noderīgs loģisks aparāts, lai analizētu dalībnieku uzvedības motīvus šādās situācijās. Tam ir vesels formalizētu uzvedības scenāriju arsenāls, sākot no nesadarbīgas uzvedības līdz sadarbības līgumiem, izmantojot savstarpējus draudus. Katrai normālas formas spēlei, izmantojot dažādus sadarbības un nesadarbošanās līdzsvara jēdzienus, parasti tiks sasniegti atšķirīgi rezultāti. To salīdzinājums ir spēles teorētiskās analīzes pamatprincips un, acīmredzot, stingras un vienlaikus jēgpilnas argumentācijas avots par uzvedības stimulējošiem motīviem, kas izriet tikai no spēles struktūras normālā formā.

Daudzos sociālās zinātnes pieejams liels skaits modeļi, kuru analīze prasa stratēģiju izvēles veidu izpēti. Spēļu teorijas pielietojumi galvenokārt tiek izstrādāti saistībā ar ekonomikas studijām.

Tas atbilst spēļu teorijas pamatlicēju fon Neimana un Morgenšterna principiem. Tomēr spēles teorētiskās pieejas spēcīgā reputācija tika nostiprināta tikai pēc Debrē-Skarfa teorēmas, kas ļauj uzskatīt konkurences līdzsvaru par kooperatīvu darbību rezultātu. Kopš tā laika veselas sadaļas ekonomikas teorija(piemēram, nepilnīgas konkurences teorija vai ekonomisko stimulu teorija) tiek izstrādāti ciešā saskarē ar spēļu teoriju.

Līdzsvara jēdzienu meklējumi, kas ir vesela nesadarbīgu un kooperatīvu uzvedības modeļu spektra idealizācija, ir cieši saistīti ar socioloģijas pamatiem. Mūsdienu socioloģiskajos pētījumos formālie spēļu teorētiskie modeļi ir ļoti reti un no matemātiskā viedokļa elementāri. Un tomēr spēļu teorijas ietekme mums šķiet neatgriezeniska, vismaz mācību posmā.

Lai atrisinātu šīs problēmas, matemātiskā teorija piedāvā spēļu teoriju, kas definēta kā matemātikas nozare, kas vērsta uz formālu modeļu izveidi optimālu lēmumu pieņemšanai konkurences mijiedarbības situācijā. Šī definīcija Spēles teorijas galvenais uzdevums ir efektīvas uzvedības darbību secība konkurences un konflikta apstākļos.

Spēļu teorijā dalībniekus konkurējošās mijiedarbībās sauc par spēlētājiem, katram no viņiem ir netukšs pieļaujamo darbību kopums, ko viņš veic spēles gaitā un ko sauc par gājieniem vai izvēlēm. Visu iespējamo gājienu kopumu pa vienam no katra spēlētāja iespējamo gājienu saraksta (piedaloties pa pāriem, trijniekiem utt. gājieniem) sauc par stratēģiju. Labi konstruētas stratēģijas ir viena otru izslēdzošas, t.i. savstarpēji izsmeļ visus spēlētāju uzvedības veidus. Spēles iznākums ir spēlētāja izvēlētās stratēģijas īstenošana. Katrs spēles iznākums atbilst spēlētāju noteiktajai lietderības (uzvaras) vērtībai, ko sauc par izmaksu.

Spēles var klasificēt pēc spēlētāju skaita, stratēģiju skaita, spēlētāju mijiedarbības rakstura, laimestu rakstura, gājienu skaita, informācijas pieejamības utt.

• 1. Atkarībā no spēlētāju skaita izšķir pāru spēles un n-player spēles. Visattīstītākais ir matemātiskais aparāts pāru spēļu ieviešanai. Trīs vai vairāk spēlētāju spēles ir grūtāk pētīt risinājumu algoritmu tehniskās ieviešanas grūtību dēļ.
• 2. Atkarībā no stratēģiju skaita spēles var būt ierobežotas vai bezgalīgas. Spēli ar ierobežotu iespējamo spēlētāju stratēģiju skaitu sauc par ierobežotu spēli. Ja vismaz vienam no spēlētājiem ir bezgalīgi daudz iespējamo stratēģiju, tad spēli sauc par bezgalīgu.
• 3. Pamatojoties uz mijiedarbības raksturu, spēles iedala:
  • · nekoalīcijas: spēlētājiem nav tiesību slēgt līgumus vai veidot koalīcijas;
  • · koalīcija (kooperatīvs) - spēlētāji var pievienoties koalīcijām.

IN sadarbības spēles Koalīcijas ir stingri noteiktas problēmas noteikšanas stadijā un spēles laikā nevar mainīties.

• 4. Atbilstoši laimestu veidam spēles tiek iedalītas:
  • · nulles summas spēles (visu spēlētāju kopējais kapitāls nemainās, bet tiek pārdalīts starp spēlētājiem; visu spēlētāju laimestu summa ir nulle);
  • Spēles bez nulles summas.
• 5. Pēc laimestu funkciju veida spēles iedala: matricas, bimatricas, nepārtrauktās, izliektās, atdalāmās, divcīņas utt.

Matricas spēle ir divu spēlētāju noteiktu pāru spēle ar nulles summu, kurā 1. spēlētāja izmaksa tiek norādīta matricas veidā (matricas rinda atbilst 2. spēlētāja pielietotās stratēģijas numuram, kolonna - 2. spēlētāja pielietotās stratēģijas numurs matricas rindas un kolonnas krustojumā ir spēlētāja 1 izmaksa, kas atbilst pielietotajām stratēģijām).

Matricas spēlēm ir pierādīts, ka jebkurai no tām ir risinājums un to var viegli atrast, reducējot spēli līdz lineāras programmēšanas problēmai.

Bimatrix spēle ir beigu spēle divi spēlētāji ar summu, kas nav nulle, kurā katra spēlētāja izmaksas noteiktas ar matricām atsevišķi attiecīgajam spēlētājam (katrā matricā rinda atbilst 1. spēlētāja stratēģijai, kolonna 2. spēlētāja stratēģijai, plkst. rindas un kolonnas krustpunktā pirmajā matricā ir 1. spēlētāja izmaksa, otrajā matricā - spēlētāja laimests 2.)

Bimatrix spēlēm ir izstrādāta arī optimālas spēlētāju uzvedības teorija, taču šādu spēļu risināšana ir grūtāka nekā parastās matricas spēles.

Spēle tiek uzskatīta par nepārtrauktu, ja katra spēlētāja izmaksas funkcija ir nepārtraukta atkarībā no stratēģijām. Matemātiskajā teorijā ir pierādīts, ka šīs klases spēlēm ir risinājumi, taču praktiski pieņemamas metodes to atrašanai vēl nav izstrādātas.

Jebkuras spēles mērķis ir katram spēlētājam maksimāli palielināt savu peļņu. Matemātiskās spēļu teorijas, kas balstīta uz iepriekš minēto klasifikāciju, nozīme ir formalizēt (vienkāršot) un atvieglot optimālo izvēli. Visu iespējamo spēles stratēģiju kopums ir liels skaits, jo vairāk pieaugot, jo vairāk spēlētāju un katram pieejams gājienu komplekts. Tātad spēlētāju pārim, ja spēles apstākļi ļauj katram veikt n gājienus, spēlē ir 2n stratēģijas.

Vienkārši uzskaitīt un novērtēt (salīdzināt) šādas vairākas stratēģijas ir tehniski ļoti grūts uzdevums un praktiski nav pieļaujams. Matemātiskais aparāts ļauj ievērojami samazināt to stratēģiju skaitu, kurām nepieciešama analīze un salīdzināšana, atmetot acīmredzami neefektīvās. Kad tiek iegūts ierobežots līdzsvara punktu kopums, kas ir pamatots analīzei (vienlīdzīgi dod priekšroku visiem spēles iznākuma spēlētājiem), pamatojoties uz spēlētāju izmaksu analīzi, tiek izvēlēts racionālākais rezultāts. Izvēloties iznākumu, ir divas galvenās pieejas, kas piešķir nosaukumu spēles galīgajai stratēģijai:

• · Minimax stratēģija (maksimālo (sliktāko) zaudējumu un minimālo (labāko) zaudējumu izvēle.
• · Maksimālā stratēģija (izvēloties no minimālā (sliktākā) laimesta līdz maksimālajam (labākajam).

Spēļu teorijas attīstība, izmantojot varbūtības analīzes metodes, ir lēmumu pieņemšanas matemātiskā teorija. Šī teorija nedarbojas ar reālu (faktisku) risinājumu, bet ar vidējo, kas ir spēles sagaidāmais risinājums tās atkārtotas atkārtošanās laikā. Šis īpašums ir būtisks juridisku problēmu risināšanai, jo tiesību normatīvais raksturs nozīmē, ka tas ir vērsts uz nenoteiktu priekšmetu un ietver atkārtotu tiesisko attiecību atkārtošanos. Lai neiedziļinātos dziļos matemātiskajos aprēķinos, mēs tikai atzīmējam, ka lēmumu pieņemšanas teorija piedāvā kritēriju sistēmu (piemēram, Hurvica kritērijs, Hadži-Lemans, paredzamās vērtības kritērijs), kas, izmantojot spēles rezultātu varbūtības analīzi. , ļauj izvēlēties optimālo risinājumu riska un nenoteiktības apstākļos.

65. Grafiskajā metodē 3*3 spēļu risināšanai, lai atrastu optimālas spēlētāju stratēģijas:
a) ir izveidoti divi trīsstūri (*atbilde*)
b) izveidots viens trīsstūris.
c) trijstūri vispār nav konstruēti.
66. Apakšējās aploksnes grafiks spēļu risināšanas grafiskajai metodei 2*m vispārīgā gadījumā attēlo funkciju:
a) monotoni samazinās.
b) monotoni pieaug.
c) nemotonisks.
67. Ja antagonistiskā spēlē segmentā 1. spēlētāja F(x,y) izmaksas funkcija ir vienāda ar 2*x+C, tad atkarībā no C:
a) nekad nav seglu punktu.
b) vienmēr ir seglu punkti (*atbilde*)
c) cita iespēja
68. Kā uz galīgām kopām noteikt lēmumu pieņemšanas problēmu nenoteiktības apstākļos:
a) divas matricas.
b) laimesti.
c) kaut kas cits (*atbilde*)
69. Patvaļīgas dimensijas antagonistiskā spēlē pirmā spēlētāja izmaksa ir:
skaitlis.
b) daudzi.
c) vektors vai sakārtota kopa.
d) funkcija (*atbilde*)
70.V matricas spēle 3*3 divi spēlētāja jauktās stratēģijas komponenti:
a) noteikt trešo (*atbilde*)
b) nedefinē.
71. Bimatrix spēli var definēt:
a) divas vienādas dimensijas matricas ar patvaļīgiem elementiem,
b) divas matricas, kurām nav obligāti jābūt vienādas dimensijas,
c) viena matrica.
72. Matricas spēlē elements aij ir:
a) otrā spēlētāja zaudējums, kad viņš izmanto j-to stratēģiju, un 2. - i-tā stratēģija(*atbilde*)
b) optimāla stratēģija 2. spēlētājs, kad tiek lietots ienaidnieks i vai j-tā stratēģija,
c) 1. spēlētāja laimestu, kad viņš izmanto j-to stratēģiju, un 2. spēlētāja laimestu - i-to stratēģiju,
73. Seglu punktam atbilst matricas elements aij. Iespējamas šādas situācijas:
a) optimāls.
b) tīrs.
c) nav skaidras atbildes (*atbilde*)
84. Ja visas matricas kolonnas ir vienādas un tām ir forma (4 3 0 2), tad kāda stratēģija ir optimāla 2. spēlētājam?
a) vispirms. b) trešais. c) jebkura (*atbilde*)
85. Kāds ir maksimālais seglu punktu skaits 3*3 spēlē (matricā var būt jebkādi skaitļi):
a)3.
b)9.
c)27 (*atbilde*)
86. Pieņemsim, ka X=(1;5) ir 1. stratēģiju kopa
spēlētājs, Y=(2;8) - 2. spēlētāja stratēģiju kopa. Vai pāris (1,2)
būt par seglu punktu šajā spēlē:
a) vienmēr.
b) dažreiz (*atbilde*)
c) nekad.
87. Vai bimatricas spēlē ar dimensiju 3*3 ir tieši 2 līdzsvara situācijas?
a) Vienmēr.
b) dažreiz (*atbilde*)
c) nekad.
88. Ielaidiet matricas spēli ar izmēru 2*3 vienu no jauktas stratēģijas Spēlētāja 1 stratēģija ir (0,3, 0,7), un viena no 2. spēlētāja jauktajām stratēģijām ir (0,3, x, x). Kas ir cipars x?
a)0,7 b)0,4 c)kaut kas cits (*atbilde*)
89. Matricas spēle ir īpašs gadījums bimatrix, kurā vienmēr ir taisnība:
a) matrica A ir vienāda ar matricu B, kas ņemta ar pretēju zīmi.
b) matrica A ir vienāda ar matricu B.
c) Matricu A un B reizinājums ir identitātes matrica.
90. Bimatricas spēlē elements by apzīmē:
a) otrā spēlētāja laimestu, kad viņš izmanto i-to stratēģiju, un 1. spēlētāja laimestu - j-to stratēģiju,
b) otrā spēlētāja optimālā stratēģija, kad pretinieks izmanto i-to vai j-to stratēģiju/
c) kaut kas cits (*atbilde*)
91. Bimatricas spēlē elements ac atbilst līdzsvara situācijai. Iespējamas šādas situācijas:
a) kolonnā ir elementi, kas vienādi ar šo elementu (*atbilde*)
b) šis elements ir mazāks par dažiem kolonnā.
c) šis elements ir mazākais kolonnā.
92. Matricas spēlē, zinot katra spēlētāja stratēģijas un izmaksas funkciju,
spēles cenu tīrās stratēģijās var atrast:
a) vienmēr.
b) dažreiz (*atbilde*)
c) jautājums ir nepareizs.

Pārbaudes gala kontrolei

1. Antagonistisku spēli var iestatīt:

a) stratēģiju kopums abiem spēlētājiem un seglu punkts.

b) abu spēlētāju stratēģiju kopums un pirmā spēlētāja izmaksas funkcija.

2. Spēles cena vienmēr pastāv matricas spēlēm jauktās stratēģijās.

a) jā.

3.Ja visas izmaksas matricas kolonnas ir vienādas un tām ir forma (4 5 0 1), tad kāda stratēģija ir optimāla 1. spēlētājam?

a) vispirms.

b) otrais.

c) kāds no četriem.

4. Ļaujiet matricas spēlē vienai no 1. spēlētāja jauktajām stratēģijām formā (0,3, 0,7), un vienai no otrā spēlētāja jauktajām stratēģijām ir forma (0,4, 0, 0,6). Kāda ir šīs matricas dimensija?

a) 2*3.

c) cita dimensija.

5. Dominēšanas princips ļauj noņemt no matricas vienā solī:

a) veselas rindas.

b) atsevišķi numuri.

6. Grafiskajā metodē 2*m spēļu risināšanai tieši no grafika atrod:

a) abu spēlētāju optimālās stratēģijas.

b) spēles cena un 2. spēlētāja optimālās stratēģijas.

c) spēles cena un 1. spēlētāja optimālās stratēģijas.

7. Apakšējās aploksnes grafiks 2*m spēļu risināšanas grafiskajai metodei ir vispārīgā gadījumā:

a) salauzts.

b) taisni.

c) parabola.

8. 2*2 matricas spēlē ir divas spēlētāja jauktās stratēģijas sastāvdaļas:

a) nosaka viens otra vērtības.

b) neatkarīgs.

9. Matricas spēlē elements aij ir:

a) 1. spēlētāja laimestu, kad viņš izmanto i-to stratēģiju, un 2. - j-to stratēģiju.

b) 1. spēlētāja optimālā stratēģija, kad pretinieks izmanto i-to vai j-to stratēģiju.

c) 1. spēlētāja zaudējums, kad viņš izmanto j-to stratēģiju, un 2. - i-to stratēģiju.

10.Matricas elements aij atbilst seglu punktam. Iespējamas šādas situācijas:

a) šis elements ir strikti mazākais rindā.

b) šis elements rindā ir otrais.

11. Brauna-Robinsona metodē katrs spēlētājs, izvēloties stratēģiju nākamajā solī, vadās pēc:

a) ienaidnieka stratēģijas iepriekšējos soļos.

b) jūsu stratēģijas iepriekšējās darbībās.

c) kaut kas cits.

12. Saskaņā ar matemātiskās cerības kritēriju katrs spēlētājs vadās no tā, ka:

a) notiks viņam vissliktākā situācija.

c) visas vai dažas situācijas ir iespējamas ar noteiktām varbūtībām.

13. Ļaujiet matricas spēlei dot matricu, kurā visi elementi ir negatīvi. Spēles cena ir pozitīva:

b) nē.

c) nav skaidras atbildes.

14. Spēles cena ir:

skaitlis.

b) vektors.

c) matrica.

15. Kāds ir maksimālais seglu punktu skaits, kas var būt spēlē ar izmēru 5*5 (matricā var būt jebkādi skaitļi):

16. Ļaujiet matricas spēlē ar dimensiju 2*3 vienai no 1. spēlētāja jauktajām stratēģijām ir forma (0,3, 0,7), un vienai no 2. spēlētāja jauktajām stratēģijām ir forma (0,3, x, 0,5). . Kas ir cipars x?

c) cits numurs.

17. Kurai spēles matricas dimensijai Valda kritērijs pārvēršas par Laplasa kritēriju?

c) tikai citos gadījumos.

18. Spēles augstākā cena vienmēr ir mazāka par spēles zemāko cenu.

b) nē.

b) jautājums ir nepareizs.

19. Kādas stratēģijas pastāv matricas spēlē:

a) tīrs.

b) jaukts.

c) abi.

20. Var dažos antagonistisks spēle, abu spēlētāju izmaksas funkcijas vērtības dažām mainīgo vērtībām ir vienādas ar 1?

a) vienmēr.

b) dažreiz.

c) nekad.

21. Matricas spēlē viena no jauktajām 1. spēlētāja stratēģijām ir formā (0,3, 0,7), bet viena no otrā spēlētāja jauktajām stratēģijām ir formā (0,4, 0,1, 0,1, 0,4) . Kāda ir šīs matricas dimensija?

c) cita dimensija.

22. Dominēšanas princips ļauj vienā solī izņemt no matricas:

a) veselas kolonnas,

b) atsevišķi numuri.

c) mazāka izmēra apakšmatricas.

23. 3*3 matricas spēlē ir divas spēlētāja jauktās stratēģijas sastāvdaļas:

a) nosaka trešo.

b) nedefinē.

24. Matricas spēlē elements aij ir:

a) 2. spēlētāja zaudējums, kad viņš izmanto j-to stratēģiju, un 2. - i-to stratēģiju.

b) otrā spēlētāja optimālā stratēģija, ja pretinieks izmanto i-to vai j-to stratēģiju,

c) 1. spēlētāja laimestu, kad viņš izmanto j-to stratēģiju, un 2. spēlētāja laimestu - i-to stratēģiju,

25. Seglu punktam atbilst matricas elements aij. Iespējamas šādas situācijas:

a) šis elements ir lielākais kolonnā.

b) šis elements ir stingri lielākais rindā.

c) virknē ir elementi, kas ir gan lielāki, gan mazāki par šo elementu.

26. Saskaņā ar Valda kritēriju katrs spēlētājs pieņem, ka:

a) notiks viņam vissliktākā situācija.

b) visas situācijas ir vienādi iespējamas.

c) visas situācijas ir iespējamas ar noteiktām varbūtībām.

27. Zemākā cena ir mazāka par spēles augšējo cenu:

b) ne vienmēr.

c) nekad.

28. Matricas spēles jauktās stratēģijas sastāvdaļu summa vienmēr ir:

a) ir vienāds ar 1.

b) nenegatīvs.

c) pozitīvs.

d) ne vienmēr.

29. Ļaujiet matricas spēlē ar dimensiju 2*3 vienai no 1. spēlētāja jauktajām stratēģijām ir forma (0,3, 0,7), un vienai no 2. spēlētāja jauktajām stratēģijām ir forma (0,2, x, x). . Kas ir cipars x?