Studenti se vždy ptají: „Proč nemohu u zkoušky z matematiky použít kalkulačku? Jak extrahovat druhou odmocninu čísla bez kalkulačky? Pokusme se na tuto otázku odpovědět.

Jak extrahovat druhou odmocninu z čísla bez pomoci kalkulačky?

Akce odmocnina inverzní k akci kvadratury.

√81= 9 9 2 =81

Pokud vezmete druhou odmocninu kladného čísla a výsledek odmocníte, dostanete stejné číslo.

Z malých čísel, která jsou přesnými druhými mocninami přirozených čísel, například 1, 4, 9, 16, 25, ..., 100, lze odmocniny získat ústně. Obvykle se ve škole učí tabulku druhých mocnin přirozených čísel do dvaceti. Pokud znáte tuto tabulku, je snadné extrahovat odmocniny z čísel 121,144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400. Z čísel větších než 400 je můžete extrahovat pomocí metody výběru pomocí několika tipů. Zkusme se na tuto metodu podívat na příkladu.

Příklad: Vytáhněte odmocninu čísla 676.

Všimli jsme si, že 20 2 = 400 a 30 2 = 900, což znamená 20< √676 < 900.

Přesné druhé mocniny přirozených čísel končí nulou; 1; 4; 5; 6; 9.
Číslo 6 je dáno 4 2 a 6 2.
To znamená, že pokud je odmocnina převzata z 676, pak je buď 24, nebo 26.

Zbývá zkontrolovat: 24 2 = 576, 26 2 = 676.

Odpovědět: √676 = 26 .

Více příklad: √6889 .

Protože 80 2 = 6400 a 90 2 = 8100, pak 80< √6889 < 90.
Číslo 9 je dáno 3 2 a 7 2, pak √6889 se rovná buď 83 nebo 87.

Zkontrolujeme: 83 2 = 6889.

Odpovědět: √6889 = 83 .

Pokud je pro vás obtížné vyřešit pomocí metody výběru, můžete zohlednit radikální výraz.

Například, najít √893025.

Vypočítejme číslo 893025, pamatujte, že jste to dělali v šesté třídě.

Dostaneme: √893025 = √3 6 ∙5 2 ∙7 2 = 3 3 ∙5 ∙7 = 945.

Více příklad: √20736. Vyložme číslo 20736:

Dostaneme √20736 = √2 8 ∙3 4 = 2 4 ∙3 2 = 144.

Faktorizace samozřejmě vyžaduje znalost znamének dělitelnosti a schopnosti faktorizace.

A konečně existuje pravidlo pro extrakci odmocnin. Pojďme se s tímto pravidlem seznámit na příkladech.

Vypočítejte √279841.

Abychom extrahovali odmocninu vícemístného celého čísla, rozdělíme jej zprava doleva na plochy obsahující 2 číslice (hrana zcela vlevo může obsahovat jednu číslici). Píšeme to takto: 27'98'41

Abychom získali první číslici odmocniny (5), vezmeme druhou odmocninu největšího dokonalého čtverce obsaženého v první ploše vlevo (27).
Potom se druhá mocnina první číslice odmocniny (25) odečte od první plochy a další plocha (98) se přičte k rozdílu (odečte).
Nalevo od výsledného čísla 298 zapište dvojcifernou odmocninu (10), vydělte jím počet všech desítek dříve získaného čísla (29/2 ≈ 2), otestujte podíl (102 ∙ 2 = 204 by nemělo být větší než 298) a za první číslici kořene napište (2).
Potom se výsledný podíl 204 odečte od 298 a další hrana (41) se přičte k rozdílu (94).
Vlevo od výsledného čísla 9441 zapište dvojitý součin číslic odmocniny (52 ∙2 = 104), vydělte tímto součinem počet všech desítek čísla 9441 (944/104 ≈ 9), otestujte podíl (1049 ∙9 = 9441) by měl být 9441 a zapsat jej (9) za druhou číslici odmocniny.

Obdrželi jsme odpověď √279841 = 529.

Extrahujte podobně kořeny desetinných zlomků. Pouze radikální číslo musí být rozděleno na tváře tak, aby čárka byla mezi tvářemi.

Příklad. Najděte hodnotu √0,00956484.

Jen si pamatujte, že pokud má desetinný zlomek lichý počet desetinných míst, nelze z něj odmocnit.

Takže teď jste viděli tři způsoby, jak extrahovat kořen. Vyberte si ten, který vám nejlépe vyhovuje a cvičte. Abyste se naučili řešit problémy, musíte je řešit. A pokud máte nějaké dotazy, přihlaste se na mé lekce.

www.site, při kopírování celého materiálu nebo jeho části je vyžadován odkaz na zdroj.

MKU "Okresní oddělení školství Zakamenský"

MBOU "Střední škola Kholtosonskaja"

Školní vědecká a praktická konference

"První kroky"

Nominace: matematika

Metody pro extrakci druhé odmocniny víceciferných čísel.

MBOU "Kholtosonskaja střední škola", 6. třída

Adresa bydliště: Běloruská republika, okres Zakamenský,

vesnice Kholtoson, st. Komsomolskaja, dům 41

Kontaktní telefon: 8-924-352-8322

Hlava: Kharakshinova Irina Vjačeslavovna

Rok realizace: 2016

Úvod……………………………………………………………………………………………….…….………3

Historie odmocniny………………………………………………………………..4

Metody pro extrakci odmocnin………………………………………………………………6

2.1. Rozklad radikálové exprese na prvočinitele………………………6

2.2. Vyjmutí druhé odmocniny pomocí rohu………………………………………………………………6

2.3. Metoda rychlé extrakce druhých odmocnin……………………………………….7

Závěry................................................................ ...................................................... ......................................9

Reference………………………………………………………………..……………………….…..………...10

Úvod.

Je možné si představit svět bez čísel? Bez čísel nemůžete provést nákup, nemůžete zjistit čas, nemůžete vytočit telefonní číslo. A kosmické lodě, lasery a všechny další technologické pokroky? Byly by prostě nemožné, kdyby nebylo vědy o číslech.

V našem věku špičkových technologií a rozšířeného používání počítačů schopnost rychle a správně provádět složité výpočty v žádném případě neztratila svůj význam. Flexibilita mysli je pro lidi zdrojem hrdosti a schopnost například rychle provádět výpočty je přímo překvapivá. Takové dovednosti pomohou člověku ve škole, v každodenním životě, v odborná činnost. Rychlé počítání je navíc skutečnou gymnastikou pro mysl, která vás naučí najít v nejtěžších životních situacích. nejkratší čas dobrá a nestandardní řešení.

Letos jsem náhodou zaslechl „léčení odmocnin“. Zajímalo by mě, co je to odmocnina a jak ji získat? Existují nějaké algoritmy pro extrakci odmocnin?

S touto otázkou jsem se obrátil na svou učitelku matematiky, která mi odpověděla, že takové algoritmy existují, a doporučila mi, abych si tuto problematiku prozkoumal sám. Začal jsem se zajímat a rozhodl jsem se prostudovat tuto problematiku hlouběji, než je obsaženo ve školních osnovách.

Práce představuje jednoduché algoritmy pro extrakci odmocnin, které zvládne každý.

Cíl práce: Výzkum různé cesty výpočty odmocnin.

Úkoly:

Analyzujte matematickou literaturu na toto téma a využijte také internetové zdroje.

Vytvořte algoritmy pro výpočet druhé odmocniny v případech, kdy ji počítáte „zcela“.

Uveďte příklady rychlého vytahování odmocnin.

Kapitola 1. Historie odmocniny.

Potřeba akcí umocňování a extrakce kořenů byla způsobena, stejně jako další čtyři aritmetické operace, praktickým životem. Takže spolu s problémem výpočtu plochy čtverce, jehož strana A Již dlouho se setkáváme s inverzním problémem: „Jakou délku by měla mít strana čtverce, aby se jeho plocha rovnala PROTI?»

Použitý kořenový znak pochází z označení používaného německými matematiky 15.-16. století, kteří algebru nazývali „Koss“, a algebraisty „Kossists“. Od 17. století se neznámá čísla začala označovat posledními písmeny latinské abecedy x, y, z. Po dlouhou dobu však byla stále neznámá v rovnici zapsána písmenem R (od „Radix“ - „kořen“) a její čtverec - písmenem q („quadratus“). Toto vysvětlení není obecně přijímáno. V nejstarších rukopisech byla před číslem, ze kterého je třeba vyjmout kořen, umístěna tečka a později tečka nebo úzký kosočtverec s pomlčkou směřující doprava a nahoru. Tak vzniklo znamení.

Znát čas , můžete najít cestu volným pádem pomocí vzorce:

Pojďme vyřešit inverzní problém.

Úkol. Kolik sekund bude trvat, než spadne kámen shozený z výšky 122,5 m?

Řešení: Chcete-li najít odpověď, musíte vyřešit rovnici Z ní zjistíme, že Nyní zbývá najít kladné číslo t takové, aby jeho druhá mocnina byla 25. Toto číslo je 5, protože

To znamená, že kámen bude padat po dobu 5 sekund.

Kladné číslo musíte také hledat podle jeho čtverce při řešení jiných úloh, například při hledání délky strany čtverce podle jeho plochy. Uveďme si následující definici:

Definice. Nezáporné číslo, jehož druhá mocnina se rovná nezápornému číslu a, se nazývá odmocnina z A.

Toto číslo znamená

. Tím pádem

Příklad. Protože

Ze záporných čísel nelze brát odmocniny, protože druhá mocnina libovolného čísla je buď kladná, nebo rovna nule. Například výraz

nemá číselnou hodnotu.

Písemně se znak nazývá radikální znak (z latinského „radix“ - kořen) a číslo A- radikální číslo. Například v zápisu je radikální číslo 25. Od To znamená, že druhá odmocnina z čísla zapsaného jedničkou a 2n nuly, je rovno číslu zapsanému jedničkou a n nuly:

.

Při práci na této studii jsem zjistil několik zajímavých informací. Ukázalo se, že existuje neoficiální svátek věnovaný odmocnině.

Den druhé odmocniny je svátek oslavovaný devětkrát za století: v den, kdy datum i pořadové číslo měsíce jsou odmocniny.

z posledních dvou číslic roku (například 2. února 2004: 02-02-04).

Tento svátek se poprvé slavil 9. září 1981 (09-09-81).

Zakladatelem svátku je školní učitel Ron Gordon z Redwood City, Kalifornie, USA. Od roku 2010 Gordon pokračuje

zveřejňovat poznámky o dovolené, kterou vymyslel, a proto o tom aktivně kontaktovat média.

Hlavní jídlo na tomto" slavnostní stůl» se obvykle vaří

kostky zeleniny a pečiva ve tvaru matematického symbolu druhé odmocniny

Z objektivních matematických důvodů může tento svátek

slaveno přísně devětkrát za století (sedmkrát v první polovině století a

dvakrát - druhý), vždy ve stejný den:

1. ledna xx01

2. února xx04

3. března xx09

4. dubna xx16

5. května xx25

6. června xx36

7. července xx49

8. srpna xx64

9. září xx81

Je zajímavé poznamenat, že interval (v letech) mezi

svátky je souvislá posloupnost lichých čísel: 3, 5,

Kapitola II . Metody druhé odmocniny

První způsob- tabulka čtverců, telefony a kalkulačky, můžete je použít, ale pokud nejsou po ruce.

2.1. Factoring radikální výraz.

Druhý způsob– faktorizace radikálního výrazu. Najdeme například .Číslo 6561 je dělitelné 3. Vyložme faktor 6561: 6561=3· 3 3 3 81 = 81 81, 81

2.2. Extrahování odmocnin pomocí rohu.

Třetí způsob. Extrahování odmocnin pomocí rohu.
1. krok. Číslo 8649 je rozděleno na hrany zprava doleva; z nichž každá musí obsahovat dvě číslice. Dostáváme dvě tváře: .
2. krok. Vezmeme-li druhou odmocninu prvního obličeje z 86, dostáváme se do nevýhody. Číslo 9 je první číslice kořene.
3. krok. Odmocníme číslo 9 (9 2 = 81) a od první plochy odečteme číslo 81, dostaneme 86-81 = 5. Číslo 5 je první zbytek.
4. krok. Ke zbytku 5 přidáme druhou stranu 49, dostaneme číslo 549.

5. krok. Zdvojnásobíme první číslici odmocniny 9 a při psaní zleva dostaneme -18

Musíme číslu přiřadit největší číslici tak, aby součin čísla, které touto číslicí získáme, byl buď roven číslu 549, nebo menší než 549. Toto je číslo 3. Zjistí se výběrem: počet desítky čísla 549, tedy číslo 54 děleno 18, dostaneme 3, protože 183 ∙ 3 = 549. Číslo 3 je druhá číslice odmocniny.

6. krok. Najdeme zbytek 549 – 549 = 0. Protože zbytek je nula, dostaneme přesná hodnota kořen – 93.

Příklad:

Pro kontrolu jsme umocnili 63 a přidali 113 k výsledku; protože celkový výsledek je toto číslo 4082, pak byla akce provedena správně.

2.3. Metoda rychlé extrakce odmocnin

1+3+5+7=4 2 atd.

Příklad: najdeme √529

Řešení: 1)_529

Jak extrahovat kořen z čísla. V tomto článku se naučíme, jak vzít druhou odmocninu ze čtyř a pěticiferných čísel.

Vezměme si jako příklad druhou odmocninu z roku 1936.

Proto, .

Poslední číslicí v čísle 1936 je číslo 6. Druhá mocnina čísla 4 a čísla 6 končí na 6. Proto 1936 může být druhou mocninou čísla 44 nebo čísla 46. Zbývá zkontrolovat pomocí násobení.

Prostředek,

Vezměme druhou odmocninu čísla 15129.

Proto, .

Poslední číslice v čísle 15129 je číslo 9. Druhá mocnina čísla 3 a čísla 7 končí na 9. 15129 tedy může být druhou mocninou čísla 123 nebo čísla 127. Zkontrolujme pomocí násobení.

Prostředek,

Jak extrahovat kořen - video

A teď vám navrhuji, abyste se podívali na video Anny Denisové - „Jak extrahovat kořen ", autor stránek" Jednoduchá fyzika“, ve kterém vysvětluje, jak najít druhou mocninu a krychli bez kalkulačky.

Video popisuje několik způsobů, jak extrahovat kořeny:

1. Nejjednodušší způsob, jak extrahovat druhou odmocninu.

2. Výběrem pomocí druhé mocniny součtu.

3. Babylonská metoda.

4. Metoda extrakce druhé odmocniny sloupce.

5. Rychlý způsob, jak extrahovat krychlový kořen.

6. Způsob extrakce krychle ve sloupci.

V matematice je otázka, jak extrahovat kořen, považována za poměrně jednoduchou. Pokud odmocníme čísla z přirozené řady: 1, 2, 3, 4, 5...n, pak dostaneme řadu čtverců: 1, 4, 9, 16...n 2. Řada čtverců je nekonečná, a když se na ni podíváte pozorně, uvidíte, že v ní není příliš mnoho celých čísel. Proč tomu tak je, bude vysvětleno o něco později.

Odmocnina čísla: pravidla výpočtu a příklady

Číslo 2 jsme tedy odmocnili, tedy vynásobili samo sebou a dostali jsme 4. Jak extrahovat odmocninu z čísla 4? Řekněme hned, že kořeny mohou být čtvercové, krychlové a libovolný stupeň do nekonečna.

Kořenový stupeň – vždy přirozené číslo, to znamená, že není možné vyřešit takovou rovnici: odmocninu 3,6 z n.

Odmocnina

Vraťme se k otázce, jak extrahovat druhou odmocninu ze 4. Protože jsme odmocnili číslo 2, budeme extrahovat i druhou odmocninu. Abyste správně extrahovali odmocninu ze 4, stačí vybrat správné číslo, které by po odmocnění dalo číslo 4. A to je samozřejmě 2. Podívejte se na příklad:

• 2 2 =4
• Odmocnina ze 4 = 2

Tento příklad je docela jednoduchý. Zkusme extrahovat druhou odmocninu z 64. Jaké číslo, když se vynásobí samo sebou, dá 64? Pochopitelně je 8.

• 8 2 =64
• Odmocnina z 64=8

Třetí odmocnina

Jak bylo řečeno výše, kořeny nejsou pouze čtvercové na příkladu, pokusíme se jasněji vysvětlit, jak extrahovat krychli nebo odmocninu třetího stupně. Princip extrahování odmocniny je stejný jako u odmocniny, jediný rozdíl je v tom, že požadované číslo se zpočátku samo sebou nenásobilo jednou, ale dvakrát. To znamená, že jsme vzali následující příklad:

• 3x3x3=27
• Přirozeně, odmocnina čísla 27 jsou tři:
• Kořen 3 z 27 = 3

Řekněme, že potřebujete najít třetí odmocninu čísla 64. K vyřešení této rovnice stačí najít číslo, které by po umocnění na třetí mocninu dalo 64.

• 4 3 =64
• Kořen 3 z 64 = 4

Extrahujte kořen čísla na kalkulačce

Nejlepší je samozřejmě naučit se vytahovat čtverec, krychli a další odmocniny cvičením, řešením mnoha příkladů a zapamatováním si tabulek čtverců a kostek malých čísel. V budoucnu to značně usnadní a zkrátí čas potřebný k řešení rovnic. I když je třeba poznamenat, že někdy je nutné extrahovat kořen tak velkého počtu, že je nemožné ho najít správné číslo, na druhou, bude to stát hodně práce, pokud to vůbec bude možné. Při extrakci odmocniny přijde na pomoc běžná kalkulačka. Jak extrahovat kořen na kalkulačce? Velmi jednoduše zadejte číslo, od kterého chcete najít výsledek. Nyní se blíže podívejte na tlačítka kalkulačky. I ten nejjednodušší z nich má klíč s ikonou kořene. Kliknutím na něj okamžitě získáte hotový výsledek.

Ne každé číslo může mít celý kořen, zvažte následující příklad:

Kořen 1859 = 43,116122…

Tento příklad můžete současně zkusit vyřešit na kalkulačce. Jak vidíte, výsledné číslo není celé číslo, navíc množina číslic za desetinnou čárkou není konečná. Speciální strojírenské kalkulačky mohou dát přesnější výsledek, ale úplný výsledek se na displej těch běžných prostě nevejde. A pokud budete pokračovat v sérii čtverců, kterou jste začali dříve, nenajdete v ní číslo 1859 právě proto, že číslo, které bylo k jeho získání odmocněno, není celé číslo.

Pokud potřebujete extrahovat třetí kořen na jednoduché kalkulačce, musíte dvakrát kliknout na tlačítko s kořenovým znakem. Například vezměte číslo 1859 použité výše a vezměte z něj odmocninu:

Kořen 3 z roku 1859 = 6,5662867…

To znamená, že pokud je číslo 6,5662867... umocněno na třetí mocninu, pak dostaneme přibližně 1859. Extrahování odmocnin z čísel tedy není obtížné, stačí si zapamatovat výše uvedené algoritmy.