Jak najít největší a nejmenší hodnoty funkce na segmentu?

Pro tohle postupujeme podle známého algoritmu:

1 . Nalezení funkcí ODZ.

2 . Hledání derivace funkce

3 . Přirovnání derivace k nule

4 . Najdeme intervaly, ve kterých si derivace zachovává své znaménko, a z nich určíme intervaly nárůstu a poklesu funkce:

Pokud na intervalu I je derivace funkce 0" title="f^(prvočíslo)(x)>0">, то функция !} se v tomto intervalu zvyšuje.

Je-li na intervalu I derivace funkce , pak funkce v tomto intervalu klesá.

5 . Shledáváme maximální a minimální body funkce.

V v maximálním bodě funkce derivace změní znaménko z „+“ na „-“.

V minimální bod funkcederivace změní znaménko z "-" na "+".

6 . Najdeme hodnotu funkce na koncích segmentu,

• pak porovnáme hodnotu funkce na koncích segmentu a v maximálních bodech a pokud potřebujete najít, vyberte největší z nich nejvyšší hodnotu funkcí
• nebo porovnejte hodnotu funkce na koncích segmentu a v minimálních bodech a vyberte nejmenší z nich, pokud potřebujete najít nejmenší hodnotu funkce

V závislosti na tom, jak se funkce na segmentu chová, lze však tento algoritmus výrazně omezit.

Zvažte funkci . Graf této funkce vypadá takto:

Podívejme se na několik příkladů řešení problémů z Open Task Bank for

1. Úloha B15 (č. 26695)

Na segmentu.

1. Funkce je definována pro všechny reálné hodnoty x

Je zřejmé, že tato rovnice nemá řešení a derivace je kladná pro všechny hodnoty x. V důsledku toho se funkce zvětšuje a nabývá největší hodnoty na pravém konci intervalu, tj. na x=0.

Odpověď: 5.

2 . Úkol B15 (č. 26702)

Najděte největší hodnotu funkce na segmentu.

1. Funkce ODZ title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

Derivace je rovna nule v , avšak v těchto bodech nemění znaménko:

Proto title="3/(cos^2(x))>=3">, значит, title="3/(cos^2(x))-3>=0">, то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция !} se zvyšuje a nabývá nejvyšší hodnoty na pravém konci intervalu, v .

Aby bylo zřejmé, proč derivace nemění znaménko, transformujeme výraz pro derivaci takto:

Title="y^(prvočíslo)=3/(cos^2(x))-3=(3-3cos^2(x))/(cos^2(x))=(3sin^2 (x))/(cos^2(x))=3tg^2(x)>=0">!}

Odpověď: 5.

3. Úkol B15 (č. 26708)

Najděte nejmenší hodnotu funkce na segmentu.

1. Funkce ODZ: title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

Položme kořeny této rovnice na trigonometrický kruh.

Interval obsahuje dvě čísla: a

Postavme cedule. K tomu určíme znaménko derivace v bodě x=0: . Při průchodu body a derivace mění znaménko.

Znázorněme změnu znamének derivace funkce na souřadnicové čáře:

Bod je samozřejmě minimální bod (ve kterém derivace změní znaménko z „-“ na „+“), a abyste našli nejmenší hodnotu funkce na segmentu, musíte porovnat hodnoty funkce na minimální bod a na levém konci segmentu, .

Proces hledání nejmenších a největších hodnot funkce na segmentu připomíná fascinující let kolem objektu (graf funkce) v helikoptéře, střelbu na určité body z kanónu s velkým dosahem a výběr velmi speciální body z těchto bodů pro kontrolní střely. Body jsou vybírány určitým způsobem a podle určitých pravidel. Podle jakých pravidel? Budeme o tom mluvit dále.

Pokud je funkce y = F(X) je spojitý na intervalu [ A, b], pak dosáhne na tento segment nejméně A nejvyšší hodnoty . To se může stát buď v extrémní body nebo na koncích segmentu. Proto najít nejméně A největší hodnoty funkce , spojité na intervalu [ A, b], musíte vypočítat jeho hodnoty ve všech kritické body a na koncích segmentu a poté z nich vyberte nejmenší a největší.

Nechť například chcete určit největší hodnotu funkce F(X) na segmentu [ A, b]. Chcete-li to provést, musíte najít všechny jeho kritické body ležící na [ A, b] .

Kritický bod nazvaný bod, ve kterém funkce definována a ji derivát buď se rovná nule, nebo neexistuje. Poté byste měli vypočítat hodnoty funkce v kritických bodech. A nakonec je třeba porovnat hodnoty funkce v kritických bodech a na koncích segmentu ( F(A) A F(b)). Největší z těchto čísel bude největší hodnota funkce na segmentu [A, b] .

Problémy s hledáním nejmenší funkční hodnoty .

Společně hledáme nejmenší a největší hodnoty funkce

Příklad 1. Najděte nejmenší a největší hodnotu funkce na segmentu [-1, 2] .

Řešení. Najděte derivaci této funkce. Přirovnejme derivaci k nule () a získáme dva kritické body: a . K nalezení nejmenší a největší hodnoty funkce na daném segmentu stačí vypočítat její hodnoty na koncích segmentu a v bodě, protože bod nepatří do segmentu [-1, 2]. Tyto funkční hodnoty jsou: , , . Z toho vyplývá, že nejmenší funkční hodnota(označeno červeně na grafu níže), rovné -7, je dosaženo na pravém konci segmentu - v bodě , a největší(také červená na grafu), rovná se 9, - v kritickém bodě.

Je-li funkce spojitá v určitém intervalu a tento interval není segmentem (ale je např. intervalem; rozdíl mezi intervalem a segmentem: hraniční body intervalu se do intervalu nezahrnují, ale hraniční body segmentu jsou zahrnuty v segmentu), pak mezi hodnotami funkce nemusí být nejmenší a největší. Takže například funkce zobrazená na obrázku níže je spojitá na ]-∞, +∞[ a nemá největší hodnotu.

Pro jakýkoli interval (uzavřený, otevřený nebo nekonečný) však platí následující vlastnost spojitých funkcí.

Příklad 4. Najděte nejmenší a největší hodnotu funkce na segmentu [-1, 3] .

Řešení. Najdeme derivaci této funkce jako derivaci kvocientu:

.

Derivaci srovnáme s nulou, což nám dává jeden kritický bod: . Patří do segmentu [-1, 3] . Abychom našli nejmenší a největší hodnoty funkce na daném segmentu, najdeme její hodnoty na koncích segmentu a v nalezeném kritickém bodě:

Porovnejme tyto hodnoty. Závěr: rovná se -5/13, v bodě a nejvyšší hodnotu rovná 1 v bodě.

Nadále společně hledáme nejmenší a největší hodnoty funkce

Jsou učitelé, kteří na téma hledání nejmenší a největší hodnoty funkce nedávají studentům k řešení příklady, které jsou složitější než ty, které jsme právě probírali, tedy takové, ve kterých je funkce polynom nebo zlomek, jehož čitatelem a jmenovatelem jsou polynomy. Ale nebudeme se omezovat na takové příklady, protože mezi učiteli jsou tací, kteří rádi nutí studenty přemýšlet v plném rozsahu (tabulka derivací). Proto bude použita logaritmická a goniometrická funkce.

Příklad 6. Najděte nejmenší a největší hodnotu funkce na segmentu .

Řešení. Najdeme derivaci této funkce jako derivát produktu :

Derivaci srovnáme s nulou, což dává jeden kritický bod: . Patří do segmentu. Abychom našli nejmenší a největší hodnoty funkce na daném segmentu, najdeme její hodnoty na koncích segmentu a v nalezeném kritickém bodě:

Výsledek všech akcí: funkce dosáhne své minimální hodnoty, rovno 0, v bodě a v bodě a nejvyšší hodnotu, rovnat se E², v bodě.

Příklad 7. Najděte nejmenší a největší hodnotu funkce na segmentu .

Řešení. Najděte derivaci této funkce:

Derivaci srovnáme s nulou:

Jediný kritický bod patří segmentu. Abychom našli nejmenší a největší hodnoty funkce na daném segmentu, najdeme její hodnoty na koncích segmentu a v nalezeném kritickém bodě:

Závěr: funkce dosáhne své minimální hodnoty, rovno , v bodě a nejvyšší hodnotu, rovný , v bodě .

V aplikovaných extrémních problémech se hledání nejmenších (maximálních) hodnot funkce zpravidla snižuje na nalezení minima (maxima). Větší praktický zájem však nemají samotná minima nebo maxima, ale hodnoty argumentu, při kterých se jich dosahuje. Při řešení aplikovaných problémů vzniká další úskalí - skládání funkcí, které popisují uvažovaný jev nebo proces.

Příklad 8. Nádrž o objemu 4, která má tvar kvádru se čtvercovou základnou a je nahoře otevřená, musí být pocínována. Jakou velikost by měla mít nádrž, aby se na její zakrytí spotřebovalo co nejméně materiálu?

Řešení. Nechat X- základní strana, h- výška nádrže, S- jeho povrch bez krytu, PROTI- jeho objem. Plocha nádrže je vyjádřena vzorcem, tzn. je funkcí dvou proměnných. Vyjádřit S jako funkce jedné proměnné používáme skutečnost, že , odkud . Dosazení nalezeného výrazu h do vzorce pro S:

Podívejme se na tuto funkci do extrému. Je definován a diferencovatelný všude v ]0, +∞[ , a

.

Srovnáme derivaci s nulou () a najdeme kritický bod. Navíc, když derivace neexistuje, ale tato hodnota není zahrnuta v oblasti definice, a proto nemůže být extrémním bodem. Takže toto je jediný kritický bod. Zkontrolujme to na přítomnost extrému pomocí druhého dostatečného znaku. Pojďme najít druhou derivaci. Když je druhá derivace větší než nula (). To znamená, že když funkce dosáhne minima . Od tohoto minimum je jediný extrém této funkce, je to její nejmenší hodnota. Strana základny nádrže by tedy měla být 2 m a její výška by měla být .

Příklad 9. Z bodu A nacházející se na železniční trati, do bodu S, který se nachází v určité vzdálenosti od něj l, náklad musí být přepravován. Náklady na přepravu jednotky hmotnosti na jednotku vzdálenosti po železnici se rovnají , po dálnici se rovnají . Do kterého bodu Mželezniční trať by měla být postavena jako dálnice, aby se z ní mohl přepravovat náklad A PROTI S byl nejekonomičtější (oddíl AB předpokládá se, že železnice je přímá)?

V praxi je zcela běžné používat derivaci k výpočtu největší a nejmenší hodnoty funkce. Tuto akci provádíme, když zjišťujeme, jak minimalizovat náklady, zvýšit zisky, vypočítat optimální zatížení výroby atd., tedy v případech, kdy potřebujeme určit optimální hodnotu nějakého parametru. Abyste takové problémy vyřešili správně, musíte dobře porozumět tomu, jaké jsou největší a nejmenší hodnoty funkce.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Obvykle tyto hodnoty definujeme v rámci určitého intervalu x, který zase může odpovídat celé oblasti funkce nebo její části. Může to být jako segment [a; b ] a otevřený interval (a ; b), (a ; b ], [ a ; b), nekonečný interval (a ; b), (a ; b ], [ a ; b) nebo nekonečný interval - ∞ ; a , (- ∞ ; a ] , [ a ; + ∞) , (- ∞ ; + ∞) .

V tomto článku vám řekneme, jak explicitně vypočítat největší a nejmenší hodnotu danou funkci s jednou proměnnou y=f(x) y = f (x) .

Základní definice

Začněme jako vždy formulací základních definic.

Definice 1

Největší hodnota funkce y = f (x) na určitém intervalu x je hodnota m a x y = f (x 0) x ∈ X, která pro libovolnou hodnotu x x ∈ X, x ≠ x 0 dělá nerovnost f (x) ≤ f (x) platí 0) .

Definice 2

Nejmenší hodnota funkce y = f (x) na určitém intervalu x je hodnota m i n x ∈ X y = f (x 0) , která pro libovolnou hodnotu x ∈ X, x ≠ x 0 dělá nerovnost f(X f). (x) ≥ f (x 0) .

Tyto definice jsou zcela zřejmé. Ještě jednodušeji můžeme říci toto: největší hodnotou funkce je její nejvíce velká důležitost na známém intervalu na úsečce x 0 a nejmenší je nejmenší akceptovaná hodnota na stejném intervalu na x 0.

Definice 3

Stacionární body jsou ty hodnoty argumentu funkce, u kterých se její derivace stává 0.

Proč potřebujeme vědět, co jsou stacionární body? Abychom na tuto otázku odpověděli, musíme si zapamatovat Fermatovu větu. Z ní vyplývá, že stacionární bod je bod, ve kterém se nachází extrém diferencovatelné funkce (tj. její lokální minimum nebo maximum). V důsledku toho bude funkce nabývat nejmenší nebo největší hodnotu na určitém intervalu přesně v jednom ze stacionárních bodů.

Funkce může také nabývat největší nebo nejmenší hodnoty v těch bodech, ve kterých je funkce sama definována a její první derivace neexistuje.

První otázka, která vyvstává při studiu tohoto tématu: dokážeme ve všech případech určit největší nebo nejmenší hodnotu funkce na daném intervalu? Ne, nemůžeme to udělat, když se hranice daného intervalu shodují s hranicemi definiční oblasti, nebo pokud máme co do činění s nekonečným intervalem. Stává se také, že funkce v daném segmentu nebo v nekonečnu bude nabývat nekonečně malých nebo nekonečně velkých hodnot. V těchto případech není možné určit největší a/nebo nejmenší hodnotu.

Tyto body budou jasnější po zobrazení v grafech:

První obrázek nám ukazuje funkci, která nabývá největší a nejmenší hodnoty (m a x y a m i n y) ve stacionárních bodech umístěných na segmentu [ - 6 ; 6].

Podívejme se podrobně na případ uvedený ve druhém grafu. Změňme hodnotu segmentu na [ 1 ; 6 ] a zjistíme, že maximální hodnota funkce bude dosažena v bodě s úsečkou na pravé hranici intervalu a minimální - ve stacionárním bodě.

Na třetím obrázku úsečky bodů představují hraniční body segmentu [ - 3 ; 2]. Odpovídají největší a nejmenší hodnotě dané funkce.

Nyní se podívejme na čtvrtý obrázek. V něm funkce nabývá m a x y (největší hodnotu) a m i n y (nejmenší hodnotu) ve stacionárních bodech na otevřeném intervalu (- 6; 6).

Vezmeme-li interval [ 1 ; 6), pak můžeme říci, že nejmenší hodnoty funkce na něm bude dosaženo ve stacionárním bodě. Největší hodnota nám bude neznámá. Funkce mohla nabýt své maximální hodnoty v x rovné 6, pokud x = 6 patřilo do intervalu. To je přesně případ, který ukazuje graf 5.

V grafu 6 nabývá tato funkce nejmenší hodnoty na pravé hranici intervalu (- 3; 2 ] a o největší hodnotě nelze vyvodit jednoznačné závěry.

Na obrázku 7 vidíme, že funkce bude mít ma x y ve stacionárním bodě s úsečkou rovnou 1. Funkce dosáhne své minimální hodnoty na hranici intervalu c pravá strana. V mínus nekonečnu se hodnoty funkce asymptoticky přiblíží k y = 3.

Vezmeme-li interval x ∈ 2 ; + ∞ , pak uvidíme, že daná funkce na ní nebude mít nejmenší ani největší hodnotu. Pokud má x tendenci k 2, pak hodnoty funkce budou mít tendenci k mínus nekonečnu, protože přímka x = 2 je vertikální asymptota. Pokud má úsečka tendenci k plus nekonečnu, pak se hodnoty funkce asymptoticky přiblíží k y = 3. To je přesně případ znázorněný na obrázku 8.

V tomto odstavci představíme posloupnost akcí, které je třeba provést, abychom našli největší nebo nejmenší hodnotu funkce na určitém segmentu.

1. Nejprve najdeme definiční obor funkce. Zkontrolujeme, zda je v ní zahrnut segment uvedený v podmínce.
2. Nyní spočítejme body obsažené v tomto segmentu, ve kterých první derivace neexistuje. Nejčastěji je lze nalézt ve funkcích, jejichž argument je zapsán pod znaménkem modulu, nebo v mocninných funkcích, jejichž exponentem je zlomkové racionální číslo.
3. Dále zjistíme, které stacionární body budou v daném segmentu padat. Chcete-li to provést, musíte vypočítat derivaci funkce, poté ji přirovnat k 0 a vyřešit výslednou rovnici a poté vybrat příslušné kořeny. Pokud nezískáme jediný stacionární bod nebo nespadají do daného segmentu, přejdeme k dalšímu kroku.
4. Určíme, jaké hodnoty bude funkce nabývat v daných stacionárních bodech (pokud existují), nebo v těch bodech, ve kterých první derivace neexistuje (pokud nějaké existují), nebo vypočítáme hodnoty pro x = a a x = b.
5. 5. Máme řadu funkčních hodnot, ze kterých nyní musíme vybrat největší a nejmenší. To budou největší a nejmenší hodnoty funkce, kterou potřebujeme najít.

Podívejme se, jak správně použít tento algoritmus při řešení problémů.

Příklad 1

Stav: je dána funkce y = x 3 + 4 x 2. Určete jeho největší a nejmenší hodnoty na segmentech [1; 4] a [-4; -1].

Řešení:

Začněme hledáním definičního oboru dané funkce. V tomto případě bude mít hodně všech reálná čísla, kromě 0. Jinými slovy, D (y) : x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ 0 ; + ∞. Oba segmenty uvedené v podmínce budou uvnitř definiční oblasti.

Nyní vypočítáme derivaci funkce podle pravidla zlomkové derivace:

y " = x 3 + 4 x 2 " = x 3 + 4 " x 2 - x 3 + 4 x 2 " x 4 = = 3 x 2 x 2 - (x 3 - 4) 2 x x 4 = x 3 - 8 x 3

Zjistili jsme, že derivace funkce bude existovat ve všech bodech segmentů [1; 4] a [-4; -1].

Nyní potřebujeme určit stacionární body funkce. Udělejme to pomocí rovnice x 3 - 8 x 3 = 0. Má pouze jeden skutečný kořen, což je 2. Bude to stacionární bod funkce a bude spadat do prvního segmentu [1; 4].

Vypočítejme hodnoty funkce na koncích prvního segmentu a v tomto bodě, tzn. pro x = 1, x = 2 a x = 4:

y (1) = 1 3 + 4 1 2 = 5 y (2) = 2 3 + 4 2 2 = 3 y (4) = 4 3 + 4 4 2 = 4 1 4

Zjistili jsme, že největší hodnota funkce m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 bude dosaženo při x = 1 a nejmenší m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 – při x = 2.

Druhý segment neobsahuje jediný stacionární bod, takže musíme vypočítat funkční hodnoty pouze na koncích daného segmentu:

y (- 1) = (- 1) 3 + 4 (- 1) 2 = 3

To znamená m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3, m i n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .

Odpovědět: Pro segment [1; 4] - ma x y x ∈ [ 1; 4] = y (2) = 3, m i n y x ∈ [ 1; 4 ] = y (2) = 3 , pro segment [ - 4 ; - 1] - ma x y x ∈ [ - 4; - 1 ] = y (- 1) = 3, m i n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .

Viz obrázek:

Před prostudováním této metody vám doporučujeme, abyste si přečetli, jak správně vypočítat jednostrannou limitu a limitu v nekonečnu, a také se naučit základní metody pro jejich nalezení. Chcete-li najít největší a/nebo nejmenší hodnotu funkce na otevřeném nebo nekonečném intervalu, proveďte postupně následující kroky.

1. Nejprve je potřeba zkontrolovat, zda daný interval bude podmnožinou definičního oboru dané funkce.
2. Určeme všechny body, které jsou obsaženy v požadovaném intervalu a ve kterých první derivace neexistuje. Obvykle se vyskytují u funkcí, kde je argument uzavřen ve znaménku modulu, au mocninných funkcí se zlomkově racionálním exponentem. Pokud tyto body chybí, můžete přejít k dalšímu kroku.
3. Nyní určíme, které stacionární body budou spadat do daného intervalu. Nejprve srovnáme derivaci s 0, vyřešíme rovnici a vybereme vhodné kořeny. Pokud nemáme ani jeden stacionární bod nebo nespadají do zadaného intervalu, pak okamžitě přistoupíme k dalším akcím. Jsou určeny typem intervalu.

• Pokud je interval ve tvaru [ a ; b) , pak potřebujeme vypočítat hodnotu funkce v bodě x = a a jednostrannou limitu lim x → b - 0 f (x) .
• Pokud má interval tvar (a; b ], pak potřebujeme vypočítat hodnotu funkce v bodě x = b a jednostrannou limitu lim x → a + 0 f (x).
• Pokud má interval tvar (a; b), pak musíme vypočítat jednostranné limity lim x → b - 0 f (x), lim x → a + 0 f (x).
• Pokud je interval ve tvaru [ a ; + ∞), pak potřebujeme vypočítat hodnotu v bodě x = a a limitu v plus nekonečnu lim x → + ∞ f (x) .
• Pokud interval vypadá takto (- ∞ ; b ] , vypočítáme hodnotu v bodě x = b a limitu v mínus nekonečnu lim x → - ∞ f (x) .
• Pokud - ∞ ; b , pak uvažujeme jednostrannou limitu lim x → b - 0 f (x) a limitu v mínus nekonečnu lim x → - ∞ f (x)
• Pokud - ∞; + ∞ , pak uvažujeme limity na mínus a plus nekonečno lim x → + ∞ f (x) , lim x → - ∞ f (x) .

1. Na konci musíte vyvodit závěr na základě získaných funkčních hodnot a limitů. K dispozici je zde mnoho možností. Pokud je tedy jednostranná limita rovna mínus nekonečnu nebo plus nekonečnu, pak je okamžitě jasné, že o nejmenší a největší hodnotě funkce nelze nic říci. Níže se podíváme na jeden typický příklad. Podrobné popisy vám pomůže pochopit, co je co. V případě potřeby se můžete vrátit k obrázkům 4 - 8 v první části materiálu.

Podmínka: daná funkce y = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 . Vypočítejte jeho největší a nejmenší hodnotu v intervalech - ∞ ; - 4, - ∞; - 3, (-3; 1], (-3; 2), [1; 2), 2; + ∞, [4; + ∞).

Řešení

Nejprve najdeme definiční obor funkce. Jmenovatel zlomku obsahuje kvadratický trinom, který by se neměl změnit na 0:

x 2 + x - 6 = 0 D = 1 2 - 4 1 (- 6) = 25 x 1 = - 1 - 5 2 = - 3 x 2 = - 1 + 5 2 = 2 ⇒ D (y) : x ∈ (- ∞ ; - 3) ∪ (- 3 ; 2) ∪ (2 ; + ∞)

Získali jsme definiční obor funkce, do které patří všechny intervaly uvedené v podmínce.

Nyní rozlišíme funkci a dostaneme:

y" = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 " = 3 e 1 x 2 + x - 6 " = 3 e 1 x 2 + x - 6 1 x 2 + x - 6 " = = 3 · e 1 x 2 + x - 6 · 1 " · x 2 + x - 6 - 1 · x 2 + x - 6 " (x 2 + x - 6) 2 = - 3 · (2 ​​​​x + 1) · e 1 x 2 + x - 6 x 2 + x - 6 2

V důsledku toho existují derivace funkce v celé její definiční oblasti.

Pojďme k hledání stacionárních bodů. Derivace funkce se stane 0 v x = -1 2 . Jedná se o stacionární bod, který leží v intervalech (- 3 ; 1 ] a (- 3 ; 2) .

Vypočítejme hodnotu funkce v x = - 4 pro interval (- ∞ ; - 4 ] a také limitu v mínus nekonečnu:

y (- 4) = 3 e 1 (- 4) 2 + (- 4) - 6 - 4 = 3 e 1 6 - 4 ≈ - 0. 456 lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 = 3 e 0 - 4 = - 1

Protože 3 e 1 6 - 4 > - 1, znamená to, že m a x y x ∈ (- ∞ ; - 4 ] = y (- 4) = 3 e 1 6 - 4. To nám neumožňuje jednoznačně určit nejmenší hodnotu Můžeme pouze dojít k závěru, že existuje omezení pod - 1, protože právě k této hodnotě se funkce blíží asymptoticky v mínus nekonečnu.

Zvláštností druhého intervalu je, že v něm není jediný stacionární bod a ani jediná přísná hranice. V důsledku toho nebudeme schopni vypočítat ani největší, ani nejmenší hodnotu funkce. Po definování limity v minus nekonečnu a vzhledem k tomu, že argument má tendenci k - 3 na levé straně, dostaneme pouze interval hodnot:

lim x → - 3 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 - 0 3 e 1 (x + 3) (x - 3) - 4 = 3 e 1 (- 3 - 0 + 3) (- 3 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0-4 = -1

To znamená, že hodnoty funkcí budou umístěny v intervalu - 1; +∞

Abychom našli největší hodnotu funkce ve třetím intervalu, určíme její hodnotu ve stacionárním bodě x = - 1 2, pokud x = 1. Budeme také potřebovat znát jednostranný limit pro případ, kdy argument má tendenci - 3 na pravé straně:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 y (1) = 3 e 1 1 2 + 1 - 6 - 4 ≈ - 1 . 644 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 - 3 + 0 + 3 (- 3 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (- 0) - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4

Ukázalo se, že funkce bude mít největší hodnotu ve stacionárním bodě m a x y x ∈ (3; 1 ] = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4. Pokud jde o nejmenší hodnotu, nemůžeme ji určit. Vše, co víme , je přítomnost spodní hranice do -4 .

Pro interval (- 3 ; 2) vezměte výsledky předchozího výpočtu a ještě jednou vypočítejte, čemu se rovná jednostranná mez při sklonu k 2 na levé straně:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e - 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = - 4 lim x → 2 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 - 0 + 3) (2 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 - 0 - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 · 0 - 4 = - 4

To znamená, že m a x y x ∈ (- 3 ; 2) = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4 a nejmenší hodnotu nelze určit a hodnoty funkce jsou omezeny zespodu číslem - 4 .

Na základě toho, co jsme dostali v předchozích dvou výpočtech, můžeme říci, že na intervalu [ 1 ; 2) funkce bude mít největší hodnotu v x = 1, ale je nemožné najít nejmenší.

Na intervalu (2 ; + ∞) funkce nedosáhne ani největší, ani nejmenší hodnoty, tzn. bude nabývat hodnot z intervalu - 1 ; + ∞.

lim x → 2 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 + 0 + 3 ) (2 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → + ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

Po výpočtu, čemu bude rovna hodnota funkce v x = 4, zjistíme, že m a x y x ∈ [ 4 ; + ∞) = y (4) = 3 e 1 14 - 4 a daná funkce v plus nekonečnu se bude asymptoticky přibližovat k přímce y = - 1 .

Porovnejme, co jsme dostali v každém výpočtu, s grafem dané funkce. Na obrázku jsou asymptoty znázorněny tečkovanými čarami.

To je vše, co jsme vám chtěli říci o hledání největších a nejmenších hodnot funkce. Sekvence akcí, které jsme uvedli, vám pomohou provést potřebné výpočty co nejrychleji a jednoduše. Pamatujte ale, že často je užitečné nejprve zjistit, v jakých intervalech bude funkce klesat a v jakých naopak zvyšovat, a poté můžete vyvodit další závěry. Tímto způsobem můžete přesněji určit největší a nejmenší hodnoty funkce a zdůvodnit získané výsledky.

Pokud si všimnete chyby v textu, zvýrazněte ji a stiskněte Ctrl+Enter

Někdy jsou v úlohách B14 „špatné“ funkce, pro které je obtížné najít derivaci. Dříve se to stávalo pouze při vzorových testech, ale nyní jsou tyto úkoly tak běžné, že je již nelze ignorovat při přípravě na skutečnou jednotnou státní zkoušku. V tomto případě fungují jiné techniky, z nichž jedna je monotónní. Definice O funkci f (x) říkáme, že je na úsečce monotónně rostoucí, pokud pro libovolné body x 1 a x 2 této úsečky platí: x 1

Definice. O funkci f (x) říkáme, že je na úsečce monotónně klesající, pokud pro libovolné body x 1 a x 2 této úsečky platí: x 1 f (x 2). Jinými slovy, pro rostoucí funkci platí, že čím větší x, tím větší f(x). Pro klesající funkci platí opak: čím větší x, tím menší f(x).

Příklady. Logaritmus monotónně roste, je-li báze a > 1, a monotónně klesá, je-li 0 0. f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0) 1 a monotónně klesá, pokud 0 0. f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0)"> 1, a monotónně klesá, pokud 0 0. f (x) = log a x (a > 0 ; a 1; x > 0)"> 1 a monotónně klesá, pokud 0 0. f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0)" title="Příklady Logaritmus se zvyšuje monotónně, pokud báze a > 1, a monotónně klesá, pokud 0 0. f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0)"> title="Příklady. Logaritmus monotónně roste, je-li báze a > 1, a monotónně klesá, je-li 0 0. f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0)"> !}

Příklady. Exponenciální funkce se chová podobně jako logaritmus: roste pro a > 1 a klesá pro 0 0: 1 a klesá při 0 0:"> 1 a klesá při 0 0:"> 1 a klesá při 0 0:" title="Příklady. Exponenciální funkce se chová podobně jako logaritmus: roste pro a > 1 a snižuje se o 0 0:"> title="Příklady. Exponenciální funkce se chová podobně jako logaritmus: roste pro a > 1 a klesá pro 0 0:"> !}

0) nebo dolů (a 0) nebo dolů (a 9 Souřadnice vrcholu paraboly Nejčastěji je argument funkce nahrazen čtvercovou trojčlenkou tvaru Jejím grafem je standardní parabola, ve které nás zajímají větve: Větve paraboly mohou stoupat (např. a > 0) nebo dolů (a 0) nebo největší (a 0) nebo dolů (a 0) nebo dolů (a 0) nebo největší (a 0) nebo dolů (a 0) nebo dolů (a title="(! LANG: Souřadnice vrcholu paraboly Nejčastěji je argument funkce nahrazen kvadratickým trinomem tvaru Jejím grafem je standardní parabola, ve které nás zajímají větve: Větve paraboly mohou stoupat nahoru (pro a > 0) nebo dolů (a

V příkazu problému není žádný segment. Proto není potřeba počítat f(a) a f(b). Zbývá vzít v úvahu pouze extrémní body; Takový bod ale existuje jen jeden – vrchol paraboly x 0, jehož souřadnice jsou vypočítány doslova ústně a bez jakýchkoli derivací.

Řešení problému je tedy značně zjednodušeno a sestává z pouhých dvou kroků: Napište rovnici paraboly a najděte její vrchol pomocí vzorce: Najděte hodnotu původní funkce v tomto bodě: f (x 0). Jestli ne dodatečné podmínky ne, to bude odpověď.

0. Vrchol paraboly: x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3" title="Najděte nejmenší hodnotu funkce: Řešení: Pod odmocninou je kvadratická funkce Graf této funkce paraboly má větve nahoru, protože koeficient a = 1 > 0. Vrchol paraboly: x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3" class="link_thumb ">18 Najděte nejmenší hodnotu funkce: Řešení: Pod kořenem je kvadratická funkce, graf této funkce je parabola s větvemi nahoru, protože koeficient a = 1 > 0. Vrchol paraboly: x 0 = b/ (2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3 0. Vrchol paraboly: x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3"> 0. Vrchol paraboly: x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3"> 0. Vrchol paraboly: x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3" title="Najít nejmenší hodnotu funkce: Řešení: Pod kořenem je kvadratická funkce, graf této funkce je parabola s větvemi nahoru, protože koeficient a = 1 > 0. Vrchol paraboly: x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3"> title="Najděte nejmenší hodnotu funkce: Řešení: Pod kořenem je kvadratická funkce, graf této funkce je parabola s větvemi nahoru, protože koeficient a = 1 > 0. Vrchol paraboly: x 0 = b/ (2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3"> !}

Najděte nejmenší hodnotu funkce: Řešení Pod logaritmem je opět kvadratická funkce Graf paraboly má větve nahoru, protože a = 1 > 0. Vrchol paraboly: x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) = 2/2 = 1 0. Vrchol paraboly: x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) = 2/2 = 1"> 0. Vrchol paraboly: x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) = 2/2 = 1"> 0. Vrchol paraboly: x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) = 2/2 = 1" title="Najít nejmenší hodnotu funkce: Řešení Pod logaritmem je opět kvadratická funkce Graf paraboly má větve nahoru, protože a = 1 > 0. Vrchol paraboly: x 0 = b/(2a) = 2/(2 1 ) = 2/2 = 1"> title="Najděte nejmenší hodnotu funkce: Řešení Pod logaritmem je opět kvadratická funkce Graf paraboly má větve nahoru, protože a = 1 > 0. Vrchol paraboly: x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) = 2/2 = 1"> !}

Najděte největší hodnotu funkce: Řešení: Exponent obsahuje kvadratickou funkci Přepišme ji do normálního tvaru: Je zřejmé, že graf této funkce je parabola, větve dolů (a = 1

Důsledky z definičního oboru funkce Někdy k vyřešení úlohy B14 nestačí jednoduše najít vrchol paraboly. Požadovaná hodnota může ležet na konci segmentu a vůbec ne v extrémním bodě. Pokud problém vůbec neurčuje segment, podíváme se na rozsah přípustných hodnot původní funkce. A to:

0 2. Aritmetika Odmocnina existuje pouze z nezáporných čísel: 3. Jmenovatel zlomku nesmí být nula:" title="1. Argument logaritmu musí být kladný: y = log a f (x) f (x) > 0 2. Aritmetická druhá odmocnina existuje pouze z nezáporných čísel: 3. Jmenovatel zlomku nesmí být roven nule:" class="link_thumb"> 26 !} 1. Argument logaritmu musí být kladný: y = log a f (x) f (x) > 0 2. Aritmetická odmocnina existuje pouze z nezáporných čísel: 3. Jmenovatel zlomku nesmí být nula: 0 2. Aritmetická odmocnina existuje pouze z nezáporných čísel: 3. Jmenovatel zlomku nesmí být roven nule: "> 0 2. Aritmetická odmocnina existuje pouze z nezáporných čísel: 3. Jmenovatel zlomku se nesmí rovnat nule: "> 0 2. Aritmeticky odmocnina existuje pouze z nezáporných čísel: 3. Jmenovatel zlomku nesmí být nula:" title="1. argument logaritmu musí být kladný: y = log a f (x) f (x) > 0 2. Aritmetická druhá mocnina odmocnina existuje pouze z nezáporných čísel: 3. Jmenovatel zlomku nesmí být roven nule:"> title="1. Argument logaritmu musí být kladný: y = log a f (x) f (x) > 0 2. Aritmetická odmocnina existuje pouze z nezáporných čísel: 3. Jmenovatel zlomku nesmí být nula:"> !}

Řešení Pod odmocninou je opět kvadratická funkce. Jeho graf je parabolický, ale větve směřují dolů, protože a = 1
Nyní najdeme vrchol paraboly: x 0 = b/(2a) = (2)/(2 · (1)) = 2/(2) = 1 Bod x 0 = 1 patří do segmentu ODZ a to je dobrý. Nyní vypočítáme hodnotu funkce v bodě x 0 a také na koncích ODZ: y(3) = y(1) = 0 Dostali jsme tedy čísla 2 a 0. Jsme požádáni, abychom našli největší číslo 2. Odpověď: 2

Pozor: nerovnost je přísná, takže konce nepatří do ODZ. Tím se logaritmus liší od kořene, kde nám konce segmentu docela vyhovují. Hledáme vrchol paraboly: x 0 = b/(2a) = 6/(2 · (1)) = 6/(2) = 3 Vrchol paraboly odpovídá ODZ: x 0 = 3 ( 1; 5). Ale protože nás konce segmentu nezajímají, počítáme hodnotu funkce pouze v bodě x 0:

Y min = y(3) = log 0,5 (6 ) = = log 0,5 (18 9 5) = log 0,5 4 = 2 Odpověď: -2

Nechte funkci y =F(X) je spojitý na intervalu [ a, b]. Jak je známo, taková funkce dosahuje na tomto segmentu maximální a minimální hodnoty. Funkce může nabývat těchto hodnot buď ve vnitřním bodě segmentu [ a, b] nebo na hranici segmentu.

Chcete-li najít největší a nejmenší hodnoty funkce na segmentu [ a, b] nutné:

1) najděte kritické body funkce v intervalu ( a, b);

2) vypočítat hodnoty funkce v nalezených kritických bodech;

3) vypočítat hodnoty funkce na koncích segmentu, tedy kdy X=A a x = b;

4) ze všech vypočtených hodnot funkce vyberte největší a nejmenší.

Příklad. Najděte největší a nejmenší hodnotu funkce

na segmentu.

Nalezení kritických bodů:

Tyto body leží uvnitř segmentu; y(1) = ‒ 3; y(2) = ‒ 4; y(0) = ‒ 8; y(3) = 1;

na místě X= 3 a v bodě X= 0.

Studium funkce pro konvexnost a inflexní bod.

Funkce y = F (X) volal konvexní mezi (A, b) , jestliže jeho graf leží pod tečnou nakreslenou v libovolném bodě tohoto intervalu a je volán konvexní dolů (konkávní), pokud její graf leží nad tečnou.

Bod, přes který je konvexnost nahrazena konkávností nebo naopak, se nazývá inflexní bod.

Algoritmus pro zkoumání konvexnosti a inflexního bodu:

1. Najděte kritické body druhého druhu, tedy body, ve kterých je druhá derivace rovna nule nebo neexistuje.

2. Nakreslete kritické body na číselnou osu a rozdělte ji do intervalů. Najděte znaménko druhé derivace na každém intervalu; if , pak je funkce konvexní směrem nahoru, if, pak je funkce konvexní směrem dolů.

3. Jestliže se při průchodu kritickým bodem druhého druhu změní znaménko a v tomto bodě je druhá derivace rovna nule, pak je tento bod úsečkou inflexního bodu. Najděte jeho pořadnici.

Asymptoty grafu funkce. Studium funkce pro asymptoty.

Definice. Zavolá se asymptota grafu funkce rovný, která má tu vlastnost, že vzdálenost od kteréhokoli bodu grafu k této přímce má tendenci k nule, když se bod na grafu nekonečně pohybuje od počátku.

Existují tři typy asymptot: vertikální, horizontální a šikmé.

Definice. Přímka se nazývá vertikální asymptota funkční grafika y = f(x), pokud je alespoň jedna z jednostranných limit funkce v tomto bodě rovna nekonečnu, tzn.

kde je bod nespojitosti funkce, to znamená, že nepatří do definičního oboru.

Příklad.

D ( y) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)

X= 2 – bod zlomu.

Definice. Rovný y =A volal horizontální asymptota funkční grafika y = f(x) v , pokud

Příklad.

Definice. Rovný y =kx +b (k≠ 0) se nazývá šikmá asymptota funkční grafika y = f(x) kde

Obecné schéma pro studium funkcí a vytváření grafů.

Algoritmus pro výzkum funkcíy = f(x) :

1. Najděte definiční obor funkce D (y).

2. Najděte (pokud je to možné) průsečíky grafu se souřadnicovými osami (pokud X= 0 a při y = 0).

3. Prozkoumejte sudost a lichost funkce ( y (‒ X) = y (X) ‒ parita; y(‒ X) = ‒ y (X) ‒ zvláštní).

4. Najděte asymptoty grafu funkce.

5. Najděte intervaly monotonie funkce.

6. Najděte extrémy funkce.

7. Najděte intervaly konvexnosti (konkávnosti) a inflexní body grafu funkce.

8. Na základě provedeného výzkumu sestrojte graf funkce.

Příklad. Prozkoumejte funkci a vytvořte její graf.

1) D (y) =

X= 4 – bod zlomu.

2) Kdy X = 0,

(0; ‒ 5) – průsečík s Ach.

Na y = 0,

3) y(‒ X)= funkce obecný pohled(ani sudé, ani liché).

4) Vyšetřujeme asymptoty.

a) vertikální

b) horizontální

c) najděte šikmé asymptoty kde

‒šikmá asymptotní rovnice

5) V této rovnici není nutné hledat intervaly monotonie funkce.

6)

Tyto kritické body rozdělují celý obor definice funkce na interval (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10) a (10; +∞). Získané výsledky je vhodné prezentovat ve formě následující tabulky.