Nulles summas spēle, kurā katra spēlētāja rīcībā ir ierobežots stratēģiju kopums. Noteikumi matricas spēle tiek noteikta ar maksājumu matricu, kuras elementi ir pirmā spēlētāja laimesti, kas vienlaikus ir arī otrā spēlētāja zaudējumi.

Matricas spēle ir antagonistiska spēle. Pirmais spēlētājs saņem maksimālo garantēto (neatkarīgi no otrā spēlētāja uzvedības) laimestu, kas vienāds ar spēles cenu, otrais spēlētājs sasniedz minimālo garantēto zaudējumu.

Zem stratēģija tiek saprasts kā noteikumu (principu) kopums, kas nosaka darbības izvēli katram spēlētāja personīgajam gājienam atkarībā no esošās situācijas.

Tagad par visu kārtībā un detalizēti.

Maksājumu matrica, tīras stratēģijas, spēles cena

IN matricas spēle tās noteikumi ir noteikti maksājumu matrica .

Apsveriet spēli, kurā ir divi dalībnieki: pirmais spēlētājs un otrais spēlētājs. Ļaujiet pirmajam spēlētājam būt viņa rīcībā m tīras stratēģijas un otrā spēlētāja rīcībā - n tīras stratēģijas. Tā kā spēle tiek izskatīta, tad likumsakarīgi, ka šajā spēlē ir uzvaras un ir zaudējumi.

IN maksājumu matrica elementi ir skaitļi, kas izsaka spēlētāju uzvaras un zaudējumus. Uzvaras un zaudējumus var izteikt punktos, naudas daudzumā vai citās vienībās.

Izveidosim maksājumu matricu:

Ja pirmais spēlētājs izvēlas i- tīrā stratēģija un otrais spēlētājs - j tīro stratēģiju, tad pirmā spēlētāja peļņa būs aij vienības, un arī otrā spēlētāja zaudējums ir aij vienības.

Jo aij + (- a ij) = 0, tad aprakstītā spēle ir nulles summas matricas spēle.

Vienkāršākais matricas spēles piemērs ir monētu mešana. Spēles noteikumi ir šādi. Pirmais un otrais spēlētājs met monētu, un rezultāts ir vai nu galvas, vai astes. Ja "galvas" un "galvas" vai "astes" vai "astes" tiek izmestas vienlaikus, tad pirmais spēlētājs laimēs vienu vienību, bet citos gadījumos viņš zaudēs vienu vienību (otrais spēlētājs laimēs vienu vienību) . Tās pašas divas stratēģijas ir otrā spēlētāja rīcībā. Atbilstošā maksājumu matrica būs šāda:

Spēles teorijas uzdevums ir noteikt pirmā spēlētāja stratēģijas izvēli, kas garantētu viņam maksimālo vidējo uzvaru, kā arī otrā spēlētāja stratēģijas izvēli, kas garantētu viņam maksimālo vidējo zaudējumu.

Kā jūs izvēlaties stratēģiju matricas spēlē?

Vēlreiz apskatīsim maksājumu matricu:

Vispirms noteiksim laimesta summu pirmajam spēlētājam, ja viņš izmanto i tīrā stratēģija. Ja pirmais spēlētājs izmanto i tīro stratēģiju, tad ir loģiski pieņemt, ka otrais spēlētājs izmantos tik tīru stratēģiju, kuras dēļ pirmā spēlētāja peļņa būtu minimāla. Savukārt pirmais spēlētājs izmantos tik tīru stratēģiju, kas viņam nodrošinātu maksimālu laimestu. Pamatojoties uz šiem nosacījumiem, pirmā spēlētāja laimests, ko mēs apzīmējam kā v1 , zvanīja maksimālais laimests vai zemāka spēles cena .

Plkst attiecībā uz šīm vērtībām pirmajam spēlētājam jārīkojas šādi. Katrā rindā pierakstiet minimālā elementa vērtību un atlasiet no tiem maksimālo. Tādējādi pirmā spēlētāja laimests būs maksimālais no minimuma. Līdz ar to nosaukums - maximin win. Šī elementa rindas numurs būs tīrās stratēģijas numurs, kuru izvēlas pirmais spēlētājs.

Tagad noteiksim zaudējumu summu otrajam spēlētājam, ja viņš izmanto j stratēģija. Šajā gadījumā pirmais spēlētājs izmanto savu tīro stratēģiju, kurā otrā spēlētāja zaudējums būtu maksimāls. Otrajam spēlētājam ir jāizvēlas tīra stratēģija, kurā viņa zaudējums būtu minimāls. Otrā spēlētāja zaudējums, ko mēs apzīmējam kā v2 , zvanīja minimālais zaudējums vai spēles augstākā cena .

Plkst problēmu risināšana par spēles izmaksām un stratēģijas noteikšana Lai noteiktu šīs vērtības otrajam spēlētājam, rīkojieties šādi. Katrā kolonnā pierakstiet maksimālā elementa vērtību un atlasiet no tām minimālo. Tādējādi otrā spēlētāja zaudējums būs minimums no maksimālā. No šejienes arī nosaukums - minimax win. Šī elementa kolonnas numurs būs otrā spēlētāja izvēlētās tīrās stratēģijas numurs. Ja otrais spēlētājs izmanto "minimax", tad neatkarīgi no pirmā spēlētāja stratēģijas izvēles viņš zaudēs ne vairāk kā v2 vienības.

1. piemērs.

.

Lielākais no mazākajiem rindu elementiem ir 2, tā ir spēles zemākā cena, tai atbilst pirmā rinda, tāpēc pirmā spēlētāja maksimālā stratēģija ir pirmā. Mazākais no lielākajiem kolonnu elementiem ir 5, tā ir spēles augšējā cena, tai atbilst otrā kolonna, tāpēc otrā spēlētāja minimax stratēģija ir otrā.

Tagad, kad esam iemācījušies atrast spēles zemāko un augšējo cenu, maximin un minimax stratēģijas, ir pienācis laiks iemācīties formāli definēt šos jēdzienus.

Tātad garantētā uzvara pirmajam spēlētājam ir:

Pirmajam spēlētājam ir jāizvēlas tīra stratēģija, kas viņam nodrošinātu maksimālo minimālo laimestu. Šis pieaugums (maksimums) tiek apzīmēts šādi:

.

Pirmais spēlētājs izmanto savu tīro stratēģiju, lai otrā spēlētāja zaudējums būtu maksimāls. Šis zaudējums ir norādīts šādi:

Otrajam spēlētājam ir jāizvēlas sava tīrā stratēģija, lai viņa zaudējums būtu minimāls. Šis zudums (minimax) ir norādīts šādi:

.

Vēl viens piemērs no tās pašas sērijas.

2. piemērs. Dota matricas spēle ar izmaksu matricu

.

Nosakiet pirmā spēlētāja maximin stratēģiju, otrā spēlētāja minimālo stratēģiju, spēles zemāko un augšējo cenu.

Risinājums. Pa labi no maksājumu matricas tās rindās izrakstām mazākos elementus un atzīmējam no tiem maksimālo, bet zem matricas - lielākie elementi kolonnās un atlasiet mazāko no tiem:

Lielākais no mazākajiem rindu elementiem ir 3, tā ir spēles zemākā cena, tai atbilst otrā rinda, tāpēc pirmā spēlētāja maksimālā stratēģija ir otrā. Mazākais no lielākajiem kolonnu elementiem ir 5, tā ir spēles augšējā cena, tai atbilst pirmā kolonna, tāpēc otrā spēlētāja minimax stratēģija ir pirmā.

Seglu punkts matricas spēlēs

Ja spēles augšējā un apakšējā cena ir vienāda, tad tiek uzskatīts, ka matricas spēlei ir seglu punkts. Ir arī otrādi: ja matricas spēlei ir seglu punkts, tad matricas spēles augšējā un apakšējā cena ir vienāda. Atbilstošais elements ir gan mazākais rindā, gan lielākais kolonnā un ir vienāds ar spēles cenu.

Tādējādi, ja , tad ir pirmā spēlētāja optimālā tīrā stratēģija un otrā spēlētāja optimālā tīrā stratēģija. Tas ir, vienādas zemākās un augšējās spēles cenas tiek sasniegtas, izmantojot vienu un to pašu stratēģiju pāri.

Šajā gadījumā matricas spēlei ir risinājums tīrās stratēģijās .

3. piemērs. Dota matricas spēle ar izmaksu matricu

.

Risinājums. Pa labi no maksājumu matricas mēs tās rindās izrakstīsim mazākos elementus un atzīmēsim no tiem maksimālo, bet zem matricas - lielākos elementus kolonnās un atlasīsim minimālo no tiem:

Spēles zemākā cena sakrīt ar spēles augšējo cenu. Tādējādi spēles cena ir 5. Tas ir. Spēles cena ir vienāda ar seglu punkta vērtību. Pirmā spēlētāja maxin stratēģija ir otrā tīrā stratēģija, bet otrā spēlētāja minimax stratēģija ir trešā tīrā stratēģija. Šai matricas spēlei ir risinājums tīrās stratēģijās.

Atrisiniet matricas spēles problēmu pats un pēc tam apskatiet risinājumu

4. piemērs. Dota matricas spēle ar izmaksu matricu

.

Atrodiet spēles zemāko un augšējo cenu. Vai šai matricas spēlei ir seglu punkts?

Matricas spēles ar optimālu jauktu stratēģiju

Vairumā gadījumu matricas spēlei nav seglu punkta, tāpēc atbilstošajai matricas spēlei nav risinājumu tīrās stratēģijās.

Bet tam ir risinājums optimālās jauktās stratēģijās. Lai tos atrastu, jums jāpieņem, ka spēle tiek atkārtota pietiekami daudz reižu, lai, pamatojoties uz pieredzi, varētu uzminēt, kura stratēģija ir labāka. Tāpēc lēmums ir saistīts ar varbūtības un vidējā (matemātiskās cerības) jēdzienu. Galīgajā risinājumā ir gan seglu punkta analogs (tas ir, spēles apakšējās un augšējās cenas vienlīdzība), gan tām atbilstošo stratēģiju analogs.

Tātad, lai pirmais spēlētājs iegūtu maksimālo vidējo uzvaru un otrajam spēlētājam būtu minimāls vidējais zaudējums, ar noteiktu varbūtību ir jāizmanto tīras stratēģijas.

Ja pirmais spēlētājs izmanto tīras stratēģijas ar varbūtībām , tad vektors tiek saukta jaukta pirmā spēlētāja stratēģija. Citiem vārdiem sakot, tas ir tīru stratēģiju “maisījums”. Šajā gadījumā šo varbūtību summa ir vienāda ar vienu:

.

Ja otrais spēlētājs izmanto tīras stratēģijas ar varbūtībām , tad vektors tiek saukta par otrā spēlētāja jaukto stratēģiju. Šajā gadījumā šo varbūtību summa ir vienāda ar vienu:

.

Ja pirmais spēlētājs izmanto jauktu stratēģiju lpp, un otrais spēlētājs - jaukta stratēģija q, tad tam ir jēga paredzamā vērtība pirmā spēlētāja uzvara (otrā spēlētāja zaudējums). Lai to atrastu, jums jāreizina pirmā spēlētāja jauktās stratēģijas vektors (kas būs vienas rindas matrica), izmaksas matrica un otrā spēlētāja jauktās stratēģijas vektors (kas būs vienas kolonnas matrica):

.

5. piemērs. Dota matricas spēle ar izmaksu matricu

.

Nosakiet pirmā spēlētāja uzvaras (otrā spēlētāja zaudējuma) matemātisko cerību, ja pirmā spēlētāja jauktā stratēģija ir , bet otrā spēlētāja jauktā stratēģija ir .

Risinājums. Atbilstoši formulai, kas paredz pirmā spēlētāja uzvaras (otrā spēlētāja zaudējuma) matemātisko cerību, tā ir vienāda ar pirmā spēlētāja jauktās stratēģijas vektora, maksājumu matricas un otrā spēlētāja jauktās stratēģijas vektora reizinājumu:

Pirmais spēlētājs tiek saukts par tādu jauktu stratēģiju, kas nodrošinātu viņam maksimālo vidējo peļņu, ja spēle tiktu atkārtota pietiekami daudz reižu.

Optimāla jaukta stratēģija otrais spēlētājs tiek saukts par tādu jauktu stratēģiju, kas nodrošinātu viņam minimālu vidējo zaudējumu, ja spēle tiktu atkārtota pietiekami daudz reižu.

Pēc analoģijas ar maksimuma un minimuma apzīmējumu tīru stratēģiju gadījumā optimālās jauktās stratēģijas tiek apzīmētas šādi (un ir saistītas ar matemātisko cerību, tas ir, pirmā spēlētāja uzvaras un otrā spēlētāja zaudējuma vidējo vērtību):

,

.

Šajā gadījumā funkcijai E ir seglu punkts , kas nozīmē vienlīdzību.

Lai atrastu optimālas jauktas stratēģijas un pamatpunktu, tas ir, atrisināt matricas spēli jauktās stratēģijās , jums ir jāsamazina matricas spēle līdz lineārai programmēšanas problēmai, tas ir, līdz optimizācijas problēmai, un jāatrisina atbilstošā lineārās programmēšanas problēma.

Matricas spēles reducēšana līdz lineārai programmēšanas problēmai

Lai atrisinātu matricas spēli jauktās stratēģijās, jums ir jāizveido taisna līnija Lineārās programmēšanas problēma Un divkāršs uzdevums. Duālā uzdevumā tiek transponēta paplašinātā matrica, kas glabā ierobežojumu sistēmas mainīgo koeficientus, brīvos terminus un mainīgo koeficientus mērķa funkcijā. Šajā gadījumā sākotnējā uzdevuma mērķa funkcijas minimums tiek saskaņots ar maksimālo duālajā uzdevumā.

Mērķa funkcija tiešā lineārā programmēšanas uzdevumā:

.

Ierobežojumu sistēma tiešā lineārā programmēšanas uzdevumā:

Duālās problēmas mērķa funkcija ir:

.

Ierobežojumu sistēma duālajā problēmā:

Tiešās lineārās programmēšanas problēmas optimālais plāns tiek apzīmēts ar

,

un duālās problēmas optimālo plānu apzīmē ar

Atbilstošo optimālo plānu lineārās formas mēs apzīmējam ar un ,

un tās jāatrod kā atbilstošo optimālo plānu koordinātu summas.

Saskaņā ar iepriekšējās rindkopas definīcijām un optimālo plānu koordinātām ir spēkā šādas pirmā un otrā spēlētāja jauktās stratēģijas:

.

Teorētiskie matemātiķi to ir pierādījuši spēles cena tiek izteikts šādi, izmantojot optimālo plānu lineārās formas:

,

tas ir, tā ir optimālo plānu koordinātu summu apgrieztā vērtība.

Mēs, praktizētāji, varam izmantot šo formulu tikai, lai atrisinātu matricas spēles jauktās stratēģijās. Patīk formulas optimālu jaukto stratēģiju atrašanai attiecīgi pirmais un otrais spēlētājs:

kurā otrie faktori ir vektori. Kā mēs jau definējām iepriekšējā punktā, optimālās jauktās stratēģijas ir arī vektori. Tāpēc, reizinot skaitli (spēles cenu) ar vektoru (ar optimālo plānu koordinātām), iegūstam arī vektoru.

6. piemērs. Dota matricas spēle ar izmaksu matricu

.

Atrodiet spēles cenu V un optimālas jauktas stratēģijas un .

Risinājums. Mēs izveidojam lineāras programmēšanas problēmu, kas atbilst šai matricas spēlei:

Mēs iegūstam tiešās problēmas risinājumu:

.

Mēs atrodam optimālo plānu lineāro formu kā atrasto koordinātu summu.

Paziņojums! Jūsu konkrētās problēmas risinājums izskatīsies līdzīgi šis piemērs, ieskaitot visas tabulas, paskaidrojošos tekstus un attēlus, kas parādīti zemāk, bet ņemot vērā jūsu sākotnējos datus...

Uzdevums:
Matricas spēli nodrošina šāda izmaksu matrica:

	Stratēģijas "B"
Stratēģijas "A"	B 1	B 2
A 1	3	5
A 2	6	3 2

Atrodiet matricas spēles risinājumu, proti:
- atrodiet spēles augstāko cenu;
- zemāka spēles cena;
- spēles neto cena;
- norāda spēlētāju optimālās stratēģijas;
- nepieciešamības gadījumā nodrošināt grafisku risinājumu (ģeometrisko interpretāciju).

1. darbība

Noteiksim spēles zemāko cenu - α

Zemākā spēles cenaα ir maksimālā uzvara, ko varam sev garantēt spēlē pret saprātīgu pretinieku, ja visas spēles garumā izmantojam vienu un tikai vienu stratēģiju (šo stratēģiju sauc par “tīro”).

Ļaujiet mums atrast katrā maksājumu matricas rindā minimums elementu un ierakstiet to papildu kolonnā (Atlasīts dzeltens skatīt 1. tabulu).

Tad atradīsim maksimums papildu kolonnas elements (atzīmēts ar zvaigznīti), tā būs spēles zemākā cena.

1. tabula

	Stratēģijas "B"
Stratēģijas "A"	B 1	B 2	Rindas minimums
A 1	3	5	3 *
A 2	6	3 2	3 2

Mūsu gadījumā zemākā spēles cena ir: α = 3, un lai garantētu uzvaru, kas nav sliktāka par 3, mums jāpieturas pie stratēģijas A 1

solis: 2

Noteiksim spēles augšējo cenu - β

Augstākā spēles cenaβ ir minimālais zaudējums, ko spēlētājs B var sev garantēt spēlē pret saprātīgu pretinieku, ja viņš visā spēlē izmanto vienu un tikai vienu stratēģiju.

Ļaujiet mums atrast katrā maksājumu matricas kolonnā maksimums elementu un ierakstiet to papildu rindiņā zemāk (izcelts dzeltenā krāsā, sk. 2. tabulu).

Tad atradīsim minimums papildu rindas elements (atzīmēts ar plusu), tā būs spēles augšējā cena.

2. tabula

	Stratēģijas "B"
Stratēģijas "A"	B 1	B 2	Rindas minimums
A 1	3	5	3 *
A 2	6	3 2	Mūsu gadījumā spēles augstākā cena ir: β = 5, un, lai garantētu zaudējumu, kas nav sliktāks par 5, pretiniekam (spēlētājam “B”) ir jāievēro stratēģija B 2 solis: 3 Salīdzināsim spēles zemākās un augšējās cenas šajā uzdevumā tās atšķiras, t.i. α ≠ β, izmaksas matrica nesatur seglu punktu. Tas nozīmē, ka spēlei nav risinājuma tīrās minimax stratēģijās, taču tai vienmēr ir risinājums jauktās stratēģijās. Jaukta stratēģija, tās ir tīras stratēģijas, kas nejauši mainās ar noteiktām varbūtībām (frekvencēm). Mēs apzīmēsim spēlētāja “A” jaukto stratēģiju S A=

kur B 1, B 2 ir spēlētāja “B” stratēģijas un q 1, q 2 ir attiecīgi varbūtības, ar kurām šīs stratēģijas tiek pielietotas, un q 1 + q 2 = 1.

Spēlētājam “A” optimālā jauktā stratēģija ir tā, kas viņam nodrošina maksimālu peļņu. Attiecīgi “B” ir minimāls zaudējums. Šīs stratēģijas ir noteiktas S A* un S B* attiecīgi. Optimālu stratēģiju pāris veido spēles risinājumu.

Vispārīgā gadījumā spēlētāja optimālā stratēģija var neietvert visas sākotnējās stratēģijas, bet tikai dažas no tām. Šādas stratēģijas sauc aktīvas stratēģijas.

solis: 4

Kur: lpp 1 , lpp 2 — varbūtības (biežums), ar kādām tiek piemērotas attiecīgi stratēģijas A 1 un A 2

No spēles teorijas ir zināms, ka, ja spēlētājs “A” izmanto savu optimālo stratēģiju un spēlētājs “B” paliek savu aktīvo stratēģiju ietvaros, tad vidējā izmaksa paliek nemainīga un ir vienāda ar spēles izmaksām. v neatkarīgi no tā, kā spēlētājs B izmanto savas aktīvās stratēģijas. Un mūsu gadījumā abas stratēģijas ir aktīvas, pretējā gadījumā spēlei būtu risinājums tīrās stratēģijās. Tāpēc, ja pieņemam, ka spēlētājs “B” izmantos tīru stratēģiju B 1, tad vidējā izmaksa v būs:

k 11 p 1 + k 21 p 2 = v (1)

Kur: k ij - maksājumu matricas elementi.

No otras puses, ja pieņemam, ka spēlētājs “B” izmantos tīru stratēģiju B 2, tad vidējā izmaksa būs:

k 12 p 1 + k 22 p 2 = v (2)

Pielīdzinot (1) un (2) vienādojuma kreisās puses, iegūstam:

k 11 p 1 + k 21 p 2 = k 12 p 1 + k 22 p 2

Un ņemot vērā faktu, ka lpp 1 + lpp 2 = 1 mums ir:

k 11 p 1 + k 21 (1 - p 1 ) = k 12 p 1 + k 22 (1 - p 1 )

Kur ir viegli atrast stratēģijas A 1 optimālo biežumu:

lpp 1 =

k 22 - k 21 k 11 + k 22 - k 12 - k 21

(3)

Šajā uzdevumā:

lpp 1 =

3 2 - 6 3 + 3 2 - 5 - 6

=

9 13

Varbūtība R 2 atrast ar atņemšanu R 1 no vienības:

lpp 2 = 1 - lpp 1 =

1

-

9 13

=

+

6

·

Kur: q 1 , q 2 - varbūtības (biežumi), ar kurām attiecīgi tiek piemērotas stratēģijas B 1 un B 2

No spēles teorijas ir zināms, ka, ja spēlētājs "B" izmanto savu optimālo stratēģiju un spēlētājs "A" paliek savu aktīvo stratēģiju ietvaros, tad vidējā izmaksa paliek nemainīga un ir vienāda ar spēles izmaksām. v neatkarīgi no tā, kā spēlētājs A izmanto savas aktīvās stratēģijas. Tāpēc, ja mēs pieņemam, ka spēlētājs “A” izmantos tīru stratēģiju A 1, tad vidējā izmaksa v būs:

k 11 q 1 + k 12 q 2 = v (4)

Kopš spēles cenas v mēs to jau zinām un apsveram q 1 + q 2 = 1 , tad stratēģijas B 1 optimālo biežumu var atrast šādi:

q 1 =

v - k 12 k 11 - k 12

(5)

Šajā uzdevumā:

q 1 =

51 13 - 5 3 - 5

=

7 13

Varbūtība q 2 atrast ar atņemšanu q 1 no vienības:

q 2 = 1 - q 1 =

1

-

7 13

=

6 13

Atbilde:

Zemākā spēles cena:	α =	3
Labākā spēles cena:	β =	5
Spēles cena:	v =	51 13

Optimāla stratēģija spēlētājam "A":	S A*= A 1 A 2 9 13 4 13
Optimāla stratēģija spēlētājam "B":	S B*= B 1 B 2 7 13 6 13

Ģeometriskā interpretācija (grafiskais risinājums):

Sniegsim aplūkotās spēles ģeometrisku interpretāciju. Paņemsim x ass posmu vienības garums un caur tā galiem novelciet vertikālas taisnas līnijas a 1 Un a 2 kas atbilst mūsu stratēģijām A 1 un A 2 . Tagad pieņemsim, ka spēlētājs “B” izmantos stratēģiju B 1 tās tīrā veidā. Tad, ja mēs (spēlētājs "A") izmantojam tīru stratēģiju A 1, tad mūsu izmaksa būs 3. Atzīmēsim atbilstošo punktu uz ass a 1 .
Ja mēs izmantojam tīru stratēģiju A 2, tad mūsu izmaksa būs 6. Atzīmēsim atbilstošo punktu uz ass a 2
(skat. 1. att.). Acīmredzot, ja mēs pielietosim, sajaucot stratēģijas A 1 un A 2 dažādās proporcijās, mūsu laimesti mainīsies pa taisni, kas iet caur punktiem ar koordinātām (0, 3) un (1, 6), sauksim to par stratēģijas B līniju. 1 (att. .1 parādīts sarkanā krāsā). Jebkura punkta abscise noteiktā taisnē ir vienāda ar varbūtību lpp 2 (biežums), ar kuru mēs pielietojam stratēģiju A 2, un ordinātu - iegūto pieaugumu k (skat. 1. att.).

1. attēls.
Izmaksas grafiks k no frekvences 2. lpp , kad ienaidnieks izmanto stratēģiju B 1.

Tagad pieņemsim, ka spēlētājs “B” izmantos stratēģiju B2 tīrā veidā. Tad, ja mēs (spēlētājs “A”) izmantojam tīro stratēģiju A 1, tad mūsu izmaksa būs 5. Ja mēs izmantojam tīro stratēģiju A 2, tad mūsu izmaksa būs 3/2 (skat. 2. att.). Tāpat, ja mēs sajaucam stratēģijas A 1 un A 2 dažādās proporcijās, mūsu laimesti mainīsies pa taisni, kas iet caur punktiem ar koordinātām (0, 5) un (1, 3/2), sauksim to par stratēģijas līniju. B 2. Tāpat kā iepriekšējā gadījumā, jebkura punkta abscisa uz šīs taisnes ir vienāda ar varbūtību, ar kādu mēs izmantojam stratēģiju A 2, un ordināta ir iegūtais pieaugums, bet tikai stratēģijai B 2 (sk. 2. att.).

2. attēls.
v un optimālā frekvence 2. lpp spēlētājam "A".

IN īsta spēle, kad saprātīgs spēlētājs “B” izmanto visas savas stratēģijas, mūsu laimesti mainīsies pa lauzto līniju, kas parādīta 2. attēlā sarkanā krāsā. Šī līnija definē tā saukto zemākais laimestu limits. Acīmredzot šīs lauztās līnijas augstākais punkts atbilst mūsu optimālajai stratēģijai. IN šajā gadījumā, tas ir stratēģijas B 1 un B 2 līniju krustošanās punkts. Lūdzu, ņemiet vērā, ka, atlasot frekvenci lpp 2 vienāds ar tās abscisu, tad mūsu ieguvums paliks nemainīgs un vienāds v jebkurai spēlētāja “B” stratēģijai, turklāt tas būs maksimums, ko varam sev garantēt. Biežums (varbūtība) lpp 2 , šajā gadījumā ir mūsu optimālās jauktās stratēģijas atbilstošā frekvence. Starp citu, no 2. attēla var redzēt frekvenci lpp 1 , mūsu optimālā jauktā stratēģija ir segmenta garums [ lpp 2 ; 1] uz x ass. (Tas ir tāpēc lpp 1 + lpp 2 = 1 )

Izmantojot pilnīgi līdzīgu argumentāciju, varam atrast spēlētāja “B” optimālās stratēģijas frekvences, kas ir ilustrētas 3. attēlā.

3. attēls.
Spēles cenas grafiskā noteikšana v un optimālā frekvence q 2 spēlētājam "IN".

Tikai viņam vajadzētu t.s zaudējumu augšējā robeža(sarkana lauzta līnija) un meklējiet tajā zemāko punktu, jo spēlētājam "B" mērķis ir samazināt zaudējumus. Tāda pati frekvences vērtība q 1 , tas ir segmenta garums [ q 2 ; 1] uz x ass.

Spēļu teorija - matemātisko metožu kopums konfliktsituāciju (interešu konfliktu) risināšanai. Spēļu teorijā spēli sauc matemātiskais modelis konfliktsituācija. Spēļu teorijā īpaši interesants priekšmets ir spēles dalībnieku lēmumu pieņemšanas stratēģiju izpēte nenoteiktības apstākļos. Nenoteiktība izriet no tā, ka divas vai vairākas puses tiecas pēc pretēju mērķu, un katras puses darbības rezultāti ir atkarīgi no partnera kustībām. Tajā pašā laikā katra puse cenšas pieņemt optimālus lēmumus, kas maksimāli īsteno izvirzītos mērķus.

Spēļu teorija viskonsekventāk tiek pielietota ekonomikā, kur rodas konfliktsituācijas, piemēram, attiecībās starp piegādātāju un patērētāju, pircēju un pārdevēju, banku un klientu. Spēļu teorijas pielietojumu var atrast arī politikā, socioloģijā, bioloģijā un militārajā mākslā.

No spēļu teorijas vēstures

Spēļu teorijas vēsture kā neatkarīga disciplīna aizsākās 1944. gadā, kad Džons fon Neimans un Oskars Morgenšterns izdeva grāmatu “Spēļu un ekonomiskās uzvedības teorija”. Lai gan ar spēļu teorijas piemēriem ir sastapušies jau iepriekš: Babilonijas Talmuda traktāts par miruša vīra mantas sadali starp sievām, kāršu spēles 18. gadsimtā, šaha teorijas attīstība 20. gs. gadsimtā, tā paša Jāņa fon Neimaņa minimaksas teorēmas pierādījums 1928. gadā, bez kura nebūtu spēļu teorijas.

20. gadsimta 50. gados Melvins Dreshers un Merila Plūda no Korporācija Rand Džons Nešs, pirmais, kurš eksperimentāli piemēroja ieslodzīto dilemmu, savos darbos par līdzsvara stāvokli divu cilvēku spēlēs izstrādāja Neša līdzsvara koncepciju.

Reinhards Saltens 1965. gadā izdeva grāmatu "The Treatment of Oligopoly in Game Theory on Demand" ("Spieltheoretische Behandlung eines Oligomodells mit Nachfrageträgheit"), ar kuru spēļu teorijas pielietošana ekonomikā saņēma jaunu dzinējspēku. Solis uz priekšu spēļu teorijas attīstībā ir saistīts ar Džona Meinarda Smita darbu “Evolutionary Stable Strategy” (1974). Ieslodzītā dilemma tika popularizēta Roberta Akselroda 1984. gadā izdotajā grāmatā Sadarbības evolūcija. 1994. gadā Džonam Nešam, Džonam Harsanji un Reinhardam Seltenam tika piešķirta Nobela prēmija par ieguldījumu spēļu teorijā.

Spēļu teorija dzīvē un biznesā

Sīkāk pakavēsimies pie konfliktsituācijas (interešu sadursmes) būtības tādā nozīmē, kā tā tiek saprasta spēļu teorijā dažādu dzīves un biznesa situāciju tālākai modelēšanai. Ļaujiet personai atrasties stāvoklī, kas noved pie viena no vairākiem iespējamiem rezultātiem, un indivīdam ir dažas personiskas izvēles attiecībā uz šiem rezultātiem. Bet, lai gan viņš zināmā mērā var kontrolēt mainīgos lielumus, kas nosaka rezultātu, viņam nav pilnīgas varas pār tiem. Dažreiz kontrole ir dažu indivīdu rokās, kuriem, tāpat kā viņam, ir kādas preferences attiecībā uz iespējamiem rezultātiem, taču kopumā šo personu intereses nav konsekventas. Citos gadījumos gala iznākums var būt atkarīgs gan no nejaušības (ko tiesību zinātnēs dažreiz sauc dabas katastrofas), un no citām personām. Spēļu teorija sistematizē šādu situāciju novērojumus un vispārīgu principu formulēšanu, lai vadītu saprātīgas darbības šādās situācijās.

Dažos aspektos nosaukums "spēļu teorija" ir nožēlojams, jo tas liek domāt, ka spēļu teorija attiecas tikai uz sociāli nenozīmīgām tikšanās reizēm, kas notiek istabas spēlēs, taču teorijai tomēr ir daudz plašāka nozīme.

Sekojošā ekonomiskā situācija var sniegt priekšstatu par spēļu teorijas pielietojumu. Pieņemsim, ka ir vairāki uzņēmēji, no kuriem katrs cenšas iegūt maksimālu peļņu, bet tiem ir tikai ierobežota vara pār mainīgajiem, kas nosaka šo peļņu. Uzņēmējam nav varas pār mainīgajiem lielumiem, kurus kontrolē cits uzņēmējs, bet kuri var būtiski ietekmēt pirmā uzņēmēja ienākumus. Šīs situācijas traktēšana kā spēle var radīt šādus iebildumus. Spēles modelis paredz, ka katrs uzņēmējs izdara vienu izvēli no apgabala iespējamās vēlēšanas un ar šīm atsevišķām izvēlēm nosaka peļņu. Acīmredzot tas praktiski nevar notikt, jo šajā gadījumā rūpniecībā nebūtu nepieciešami sarežģīti vadības aparāti. Vienkārši ir vairāki lēmumi un šo lēmumu modifikācijas, kas ir atkarīgas no citu ekonomiskās sistēmas dalībnieku (spēlētāju) izdarītajām izvēlēm. Bet principā var iedomāties, ka kāds administrators paredz visas iespējamās situācijas un sīki izklāsta katrā gadījumā veicamās darbības, nevis risina katru problēmu, kā tā rodas.

Militārs konflikts pēc definīcijas ir interešu sadursme, kurā nevienai no pusēm nav pilnīgas kontroles pār mainīgajiem lielumiem, kas nosaka iznākumu, ko izšķir vairākas cīņas. Jūs varat vienkārši uzskatīt rezultātu par uzvaru vai zaudējumu un piešķirt tiem skaitliskās vērtības 1 un 0.

Viena no vienkāršākajām konfliktsituācijām, ko spēles teorijā var pierakstīt un atrisināt, ir duelis, kas ir konflikts starp diviem spēlētājiem 1 un 2, kuriem ir attiecīgi lpp Un qšāvienu. Katram spēlētājam ir funkcija, kas norāda varbūtību, ka spēlētāja sitiens i kādā brīdī t dos sitienu, kas būs liktenīgs.

Rezultātā spēļu teorija nonāk pie šāda noteiktas interešu konfliktu klases formulējuma: ir n spēlētājiem, un katram ir jāizvēlas viena iespēja no simts konkrēta komplekta, un, veicot izvēli, spēlētājam nav informācijas par citu spēlētāju izvēlēm. Spēlētāja iespējamās izvēles apgabalā var būt tādi elementi kā "pīķa dūža spēlēšana", "tanku izgatavošana automašīnu vietā" vai vispārīgāk, stratēģija, kas nosaka visas darbības, kas jāveic visos iespējamos apstākļos. Katrs spēlētājs saskaras ar uzdevumu: kādu izvēli viņam vajadzētu izdarīt, lai viņa privātā ietekme uz iznākumu nestu viņam pēc iespējas lielāku uzvaru?

Matemātiskais modelis spēļu teorijā un uzdevumu formalizācijā

Kā jau esam atzīmējuši, spēle ir konfliktsituācijas matemātisks modelis un tam ir nepieciešami šādi komponenti:

1. ieinteresētajām pusēm;
2. iespējamās darbības katrā pusē;
3. pušu interesēs.

Spēles interesentus sauc par spēlētājiem , katrs no viņiem var veikt vismaz divas darbības (ja spēlētāja rīcībā ir tikai viena darbība, tad viņš faktiski nepiedalās spēlē, jo ir iepriekš zināms, ko viņš veiks). Spēles iznākumu sauc par uzvaru .

Reāla konfliktsituācija ne vienmēr ir, bet spēle (spēles teorijas jēdzienā) vienmēr notiek atbilstoši noteikti noteikumi , kas precīzi nosaka:

1. spēlētāju darbību iespējas;
2. katra spēlētāja rīcībā esošās informācijas apjoms par partnera uzvedību;
3. atlīdzība, ko rada katra darbību kopa.

Formalizētu spēļu piemēri ir futbols, kāršu spēle, šahs.

Bet ekonomikā rodas spēlētāju uzvedības modelis, piemēram, kad vairākas firmas cenšas ieņemt izdevīgāku vietu tirgū, vairākas personas mēģina sadalīt kādu labumu (resursus, finanses) savā starpā, lai katrs saņemtu pēc iespējas vairāk. . Spēlētāji konfliktsituācijās ekonomikā, ko var modelēt kā spēli, ir firmas, bankas, privātpersonas un citi ekonomikas aģenti. Savukārt kara apstākļos spēles modelis tiek izmantots, piemēram, labākā ieroča izvēlē (no esošā vai potenciālā), lai uzvarētu ienaidnieku vai aizsargātos pret uzbrukumu.

Spēli raksturo iznākuma nenoteiktība . Neskaidrības iemeslus var iedalīt šādās grupās:

1. kombinatoriskais (kā šahā);
2. nejaušu faktoru ietekme (kā spēlē "galvas vai astes", kauliņi, kāršu spēles);
3. stratēģisks (spēlētājs nezina, kādu darbību veiks ienaidnieks).

Spēlētāja stratēģija ir noteikumu kopums, kas nosaka viņa rīcību katrā kustībā atkarībā no pašreizējās situācijas.

Spēļu teorijas mērķis ir noteikt optimālo stratēģiju katram spēlētājam. Šādas stratēģijas noteikšana nozīmē spēles atrisināšanu. Stratēģijas optimizācija tiek sasniegts, kad vienam no spēlētājiem vajadzētu iegūt maksimālo uzvaru, bet otrs pieturas pie savas stratēģijas. Un otrajam spēlētājam ir jābūt minimālam zaudējumam, ja pirmais pieturas pie savas stratēģijas.

Spēļu klasifikācija

1. Klasifikācija pēc spēlētāju skaita (divu vai vairāku personu spēle). Divu cilvēku spēles ieņem galveno vietu visā spēļu teorijā. Spēļu teorijas pamatkoncepcija divu cilvēku spēlēm ir ļoti nozīmīgas līdzsvara idejas vispārinājums, kas dabiski parādās divu cilvēku spēlēs. Kas attiecas uz spēlēm n indivīdiem, tad viena spēles teorijas daļa ir veltīta spēlēm, kurās sadarbība starp spēlētājiem ir aizliegta. Citā spēļu teorijas daļā n tiek pieņemts, ka personas spēj sadarboties, lai gūtu savstarpēju labumu (sk. tālāk šajā punktā par nesadarbošanās un sadarbības spēles Ak).
2. Klasifikācija pēc spēlētāju skaita un viņu stratēģijas (stratēģiju skaits ir vismaz divas, var būt bezgalība).
3. Klasifikācija pēc informācijas apjoma attiecībā pret pagātnes gājieniem: spēles ar pilnīga informācija un nepilnīga informācija. Lai ir spēlētājs 1 - pircējs un spēlētājs 2 - pārdevējs. Ja 1. spēlētājam nav pilnīgas informācijas par 2. spēlētāja darbībām, tad spēlētājs 1 nedrīkst atšķirt abas alternatīvas, starp kurām viņam ir jāizdara izvēle. Piemēram, izvēloties starp diviem kāda produkta veidiem un nezinot, ka saskaņā ar dažām īpašībām produkts A sliktāks produkts B, spēlētājs 1 var neredzēt atšķirību starp alternatīvām.
4. Klasifikācija pēc laimestu sadales principiem : kooperatīvs, koalīcija no vienas puses un nesadarbīga, nekoalīcija no otras puses. IN nesadarbošanās spēle vai citādi - nesadarbošanās spēle , spēlētāji vienlaikus izvēlas stratēģijas, nezinot, kuru stratēģiju izvēlēsies otrais spēlētājs. Komunikācija starp spēlētājiem nav iespējama. IN sadarbības spēle vai citādi - koalīcijas spēle , spēlētāji var veidot koalīcijas un veikt kolektīvas darbības, lai palielinātu savus laimestus.
5. Ierobežota divu cilvēku nulles summas spēle vai antagonistiska spēle ir stratēģijas spēle ar pilnu informāciju, kurā iesaistītas puses ar pretējām interesēm. Antagonistiskas spēles ir matricas spēles .

Klasisks piemērs no spēļu teorijas ir ieslodzīto dilemma.

Abi aizdomās turamie tiek aizturēti un nošķirti viens no otra. Apgabala prokurors ir pārliecināts, ka viņi ir izdarījuši smags noziegums, taču viņam nav pietiekami daudz pierādījumu, lai viņus apsūdzētu tiesā. Viņš katram ieslodzītajam stāsta, ka viņam ir divas alternatīvas: atzīties noziegumā, kuru, pēc policijas domām, viņš izdarījis, vai neatzīt. Ja abi neatzīsies, DA viņus apsūdzēs par kādu nelielu noziegumu, piemēram, sīku zādzību vai nelikumīgu ieroča glabāšanu, un abi saņems nelielu sodu. Ja viņi abi atzīs, pret viņiem tiks ierosināta apsūdzība, taču bargāko sodu viņš nepieprasīs. Ja viens atzīs, bet otrs ne, tad tam, kurš atzinās, sods tiks mīkstināts par līdzzinātāja izdošanu, bet tas, kurš neatlaidīsies, saņems “pilnībā”.

Ja šis stratēģiskais uzdevums ir formulēts kā secinājums, tad tas izpaužas šādi:

Tādējādi, ja abi ieslodzītie neatzīsies, viņi saņems katrs 1 gadu. Ja abi atzīs, tad katrs saņems 8 gadus. Un, ja viens atzīs, otrs neatzīst, tad tas, kurš atzinās, tiks ārā ar trīs mēnešu cietumsodu, un tas, kurš neatzīsies, saņems 10 gadus. Iepriekš minētā matrica pareizi atspoguļo ieslodzīto dilemmu: ikviens saskaras ar jautājumu, vai atzīties vai neatzīt. Spēle, ko apgabala prokurors piedāvā ieslodzītajiem, ir nesadarbošanās spēle vai citādi - nesadarbošanās spēle . Ja abiem ieslodzītajiem būtu iespēja sadarboties (t.i. spēle būtu kooperatīva vai arī koalīcijas spēle ), tad abi neatzītos un katrs saņemtu gadu cietumā.

Spēļu teorijas matemātisko rīku izmantošanas piemēri

Tagad mēs turpinām apsvērt risinājumus izplatītu spēļu klašu piemēriem, kurām spēļu teorijā ir izpētes un risinājumu metodes.

Divu personu nesadarbīgas (nesadarbīgas) spēles formalizācijas piemērs

Iepriekšējā rindkopā mēs jau aplūkojām nesadarbīgas (nesadarbīgas) spēles (ieslodzīto dilemmas) piemēru. Stiprināsim savas prasmes. Tam piemērots arī klasisks sižets, ko iedvesmojis Artura Konana Doila “Šerloka Holmsa piedzīvojumi”. Var, protams, iebilst: piemērs nav no dzīves, bet gan no literatūras, bet Konans Doils nav sevi pierādījis kā zinātniskās fantastikas rakstnieks! Klasika arī tāpēc, ka uzdevumu izpildīja Oskars Morgenšterns, kā jau esam noskaidrojuši, viens no spēļu teorijas pamatlicējiem.

1. piemērs. Tiks sniegts saīsināts kopsavilkums par vienu no “Šerloka Holmsa piedzīvojumiem” fragmentu. Atbilstoši labi zināmajiem spēles teorijas jēdzieniem izveido konfliktsituācijas modeli un formāli pieraksti spēli.

Šerloks Holmss plāno doties no Londonas uz Doveru ar tālāko mērķi nokļūt kontinentā (Eiropas), lai aizbēgtu no profesora Moriartija, kurš viņu vajā. Iekāpis vilcienā, viņš uz stacijas perona ieraudzīja profesoru Moriartiju. Šerloks Holmss atzīst, ka Moriartijs var izvēlēties īpašu vilcienu un to apdzīt. Šerlokam Holmsam ir divas alternatīvas: turpināt ceļu uz Doveru vai izkāpt Kenterberijas stacijā, kas ir vienīgā starpstacija viņa maršrutā. Mēs pieņemam, ka viņa pretinieks ir pietiekami inteliģents, lai noteiktu Holmsa spējas, tāpēc viņam ir tās pašas divas alternatīvas. Abiem pretiniekiem jāizvēlas stacija, kurā izkāpt no vilciena, nezinot, kādu lēmumu katrs pieņems. Ja lēmuma pieņemšanas rezultātā abi nonāk vienā stacijā, tad noteikti varam pieņemt, ka Šerloku Holmsu nogalinās profesors Moriartijs. Ja Šerloks Holmss droši sasniegs Doveru, viņš tiks izglābts.

Risinājums. Konana Doila varoņus varam uzskatīt par spēles dalībniekiem, tas ir, spēlētājiem. Pieejams katram spēlētājam i (i=1,2) divas tīras stratēģijas:

• izkāpiet Doverā (stratēģija si1 ( i=1,2) );
• izkāpiet starpstacijā (stratēģija si2 ( i=1,2) )

Atkarībā no tā, kuru no divām stratēģijām izvēlēsies katrs no diviem spēlētājiem, tiks izveidota īpaša stratēģiju kombinācija kā pāris. s = (s1 , s 2 ) .

Katru kombināciju var saistīt ar kādu notikumu – profesora Moriartija veiktā Šerloka Holmsa slepkavības mēģinājuma iznākumu. Mēs izveidojam šīs spēles matricu ar iespējamiem notikumiem.

Zem katra notikuma ir indekss, kas norāda uz profesora Moriartija iegūšanu un tiek aprēķināts atkarībā no Holmsa glābšanas. Abi varoņi vienlaikus izvēlas stratēģiju, nezinot, ko izvēlēsies ienaidnieks. Tādējādi spēle ir nesadarbīga, jo, pirmkārt, spēlētāji atrodas dažādos vilcienos, otrkārt, viņiem ir pretējas intereses.

Kooperatīvās (koalīcijas) spēles formalizācijas un risinājuma piemērs n personām

Šajā brīdī praktisko daļu, tas ir, piemēra uzdevuma risināšanas procesu, ievadīs teorētiskā daļa, kurā iepazīsimies ar spēļu teorijas jēdzieniem kooperatīvo (nesadarbīgo) spēļu risināšanai. Šim uzdevumam spēļu teorija iesaka:

• raksturīgā funkcija (vienkāršāk sakot, tā atspoguļo ieguvuma lielumu, apvienojot spēlētājus koalīcijā);
• aditivitātes jēdziens (lielumu īpašība, kas sastāv no tā, ka daudzuma vērtība, kas atbilst visam objektam, ir vienāda ar to daudzumu vērtību summu, kas atbilst tā daļām noteiktā objekta nodalījumu klasē daļās) un raksturīgās funkcijas superaditivitāte (lieluma vērtība, kas atbilst visam objektam, ir lielāka par lielumu vērtību summu, kas atbilst tā daļām).

Raksturīgās funkcijas superaditivitāte liecina, ka pievienošanās koalīcijai ir izdevīga spēlētājiem, jo ​​šajā gadījumā koalīcijas peļņas vērtība palielinās līdz ar spēlētāju skaitu.

Lai formalizētu spēli, mums ir jāievieš formāli apzīmējumi iepriekšminētajiem jēdzieniem.

Spēlei n apzīmēsim visu tā spēlētāju kopu kā N= (1,2,...,n) Jebkura kopas apakškopa, kas nav tukša N apzīmēsim to kā T(ieskaitot sevi N un visas apakškopas, kas sastāv no viena elementa). Vietnē ir nodarbība " Kopas un darbības ar komplektiem", kas tiek atvērts jaunā logā, noklikšķinot uz saites.

Raksturīgā funkcija tiek apzīmēta kā v un tā definīcijas joma sastāv no iespējamām kopas apakškopām N. v(T) - raksturīgās funkcijas vērtība noteiktai apakškopai, piemēram, koalīcijas ienākumi, kas, iespējams, ietver koalīcijas, kurā ir viens spēlētājs. Tas ir svarīgi, jo spēļu teorijā ir jāpārbauda superadditivitātes klātbūtne visu nesadalīto koalīciju raksturīgās funkcijas vērtībām.

Divām apakškopu koalīcijām, kas nav tukšas T1 Un T2 Kooperatīvās (koalīcijas) spēles raksturīgās funkcijas aditivitāti raksta šādi:

Un superaditivitāte ir šāda:

2. piemērs. Trīs mūzikas skolas audzēkņi strādā uz pusslodzi dažādos pulciņos, savus ienākumus saņem no kluba apmeklētājiem. Nosakiet, vai viņiem ir izdevīgi apvienot spēkus (ja jā, ar kādiem nosacījumiem), izmantojot spēļu teorijas jēdzienus, lai risinātu sadarbības spēles n personas, ar šādiem sākotnējiem datiem.

Viņu vidējie ieņēmumi vienā vakarā bija:

• vijolniekam ir 600 vienību;
• ģitāristam ir 700 vienības;
• dziedātājai ir 900 vienības.

Mēģinot palielināt ieņēmumus, studenti vairāku mēnešu laikā izveidoja dažādas grupas. Rezultāti parādīja, ka, sadarbojoties, viņi varētu palielināt savus ieņēmumus par katru vakaru šādi:

• vijolnieks + ģitārists nopelnīja 1500 vienības;
• vijolnieks + dziedātājs nopelnījis 1800 vienības;
• ģitārists + dziedātājs nopelnījis 1900 vienības;
• vijolnieks + ģitārists + dziedātājs nopelnīja 3000 vienības.

Risinājums. Šajā piemērā spēlētāju skaits spēlē n= 3, tāpēc spēles raksturīgās funkcijas definīcijas domēns sastāv no 2³ = 8 iespējamām visu spēlētāju kopas apakškopām. Uzskaitīsim visas iespējamās koalīcijas T:

• viena elementa koalīcijas, no kurām katra sastāv no viena spēlētāja - mūziķa: T{1} , T{2} , T{3} ;
• divu elementu koalīcija: T{1,2} , T{1,3} , T{2,3} ;
• trīs elementu koalīcija: T{1,2,3} .

Katram spēlētājam piešķirsim sērijas numuru:

• vijolnieks - 1. spēlētājs;
• ģitārists - 2. spēlētājs;
• dziedātājs - 3. spēlētājs.

Pamatojoties uz problēmas datiem, mēs nosakām spēles raksturīgo funkciju v:

v(T(1)) = 600 ; v(T(2)) = 700 ; v(T(3)) = 900 ; šīs raksturīgās funkcijas vērtības tiek noteiktas, pamatojoties uz attiecīgi pirmā, otrā un trešā spēlētāja izmaksām, ja viņi neapvienojas koalīcijā;

v(T(1,2)) = 1500 ; v(T(1,3)) = 1800 ; v(T(2,3)) = 1900 ; šīs raksturīgās funkcijas vērtības nosaka katra koalīcijā apvienotā spēlētāju pāra ieņēmumi;

v(T(1,2,3)) = 3000 ; šo raksturīgās funkcijas vērtību nosaka vidējie ieņēmumi gadījumā, ja spēlētāji apvienojas trijatā.

Tādējādi mēs esam uzskaitījuši visas iespējamās spēlētāju koalīcijas, kā tam vajadzētu būt, jo spēles raksturīgās funkcijas definīcijas domēns sastāv no tieši astoņām iespējamām visu spēlētāju kopas apakškopām. Tas ir tas, ko prasa spēļu teorija, jo mums ir jāpārbauda superaditivitātes klātbūtne visu nesadalīto koalīciju raksturīgās funkcijas vērtībām.

Kā šajā piemērā tiek izpildīti superaditivitātes nosacījumi? Noskaidrosim, kā spēlētāji veido nesadalītas koalīcijas T1 Un T2 . Ja daži spēlētāji ir koalīcijas sastāvā T1 , tad visi pārējie spēlētāji ir koalīcijas sastāvā T2 un pēc definīcijas šī koalīcija veidojas kā visa spēlētāju kopuma un komplekta starpība T1 . Tad ja T1 - viena spēlētāja koalīcija, tad koalīcijā T2 būs otrie un trešie spēlētāji, ja būs koalīcijā T1 būs pirmais un trešais spēlētāji, tad koalīcija T2 sastāvēs tikai no otrā spēlētāja utt.

Saturs 1 Galvenā informācija 2 1.1 Spēles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Kustības. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3. Stratēģijas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.4 Matrix spēle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2 Takas punkts. Tīras stratēģijas 7 2.1. Piemēri. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1. piemērs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2. piemērs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 3 Jauktas stratēģijas 9 3.1 Spēle 2×2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 3.1.1. Piemēri. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 3. piemērs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 4. piemērs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 3.1.2. Ģeometriskā interpretācija. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 3.2 Spēles 2×n un m×2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 5. piemērs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 1. Vispārīga informācija no spēļu teorijas 1.1. Spēles Spēļu teorija ir konfliktsituāciju matemātiska teorija, t.i. situācijas, kurās saduras divu vai vairāku pušu intereses, kuru mērķis ir dažādi mērķi. Spēle ir ar noteiktiem noteikumiem regulēta konfliktsituācija, kurā jānorāda: spēles vai maksājuma kvantitatīvais rezultāts (laimests, zaudējums), pie kura noved dotā gājienu kopa; par otras puses uzvedību. Dubultspēle ir spēle, kurā piedalās tikai divas puses (divi spēlētāji). Nulles summas pāru spēle ir pāru spēle, kurā maksājumu summa ir nulle, t.i. Viena spēlētāja zaudējums ir vienāds ar otrā spēlētāja ieguvumu. Atkarībā no katra spēlētāja attieksmes pret izmaksas funkcijas vērtību tiek sadalītas pāru spēles: Pāru spēle ar nulles summu (antagonistiska) - pāru spēle, kurā maksājumu summa ir vienāda ar nulli, t.i. Viena spēlētāja zaudējums ir vienāds ar otrā spēlētāja ieguvumu. Neantagonistiska spēle ir pāru spēle, kurā spēlētāji tiecas pēc dažādiem, bet ne tieši pretējiem mērķiem. 2 1.2. Moves Move - vienas no spēles noteikumos paredzētām darbībām apzināta izvēle viena no spēles noteikumos paredzētajām darbībām + šīs izvēles īstenošana Nejaušs gājiens - Nejaušs gājiens ir izvēle no vairākām iespējām, kas tiek veikta nevis pēc spēlētāja lēmuma, bet ar kādu nejaušas izvēles mehānismu. Tālāk mēs aplūkojam nulles summas pāru spēles, kurās ir tikai personīgi gājieni. Katrai pusei trūkst informācijas par otras uzvedību. 3 1.3. Stratēģijas Spēlētāja stratēģija ir noteikumu kopums, kas nosaka darbību izvēli katram šī spēlētāja personīgajam gājienam atkarībā no situācijas, kas rodas spēles laikā. Atkarībā no iespējamo stratēģiju skaita spēles tiek iedalītas ierobežotās un bezgalīgās. Bezgalīga spēle- spēle, kurā vismaz vienam no spēlētājiem ir bezgalīgs skaits stratēģiju. Ierobežota spēle ir spēle, kurā katram spēlētājam ir tikai ierobežots skaits stratēģiju. Jebkura spēlētāja secīgo gājienu skaits nosaka spēļu sadalījumu vienā gājienā un vairākos gājienos vai pozicionālajās. + Viena gājiena spēlē katrs spēlētājs izdara tikai vienu izvēli no iespējamajiem variantiem un pēc tam nosaka spēles iznākumu. + Laika gaitā attīstās vairāku gājienu jeb pozicionālā spēle, kas atspoguļo secīgu posmu sēriju, no kuriem katrs notiek pēc viena no spēlētājiem gājiena un atbilstošas ​​situācijas maiņas. Viena gājiena spēlē katrs spēlētājs izdara tikai vienu izvēli iespējamie varianti un pēc tam nosaka spēles iznākumu. Spēlētāja optimālā stratēģija ir stratēģija, kas, spēlei atkārtojot vairākas reizes, nodrošina šim spēlētājam maksimāli iespējamo vidējo uzvaru (vai, kas ir tas pats, minimālo iespējamo vidējo zaudējumu). Spēļu teorijā visi ieteikumi tiek sniegti, pamatojoties uz pieņēmumu par spēlētāju saprātīgu uzvedību. Spēlētāju aprēķini un kļūdas, kas ir neizbēgamas katrā konfliktsituācijā, kā arī azarts un riska elementi spēles teorijā netiek ņemti vērā. 4 1.4. Matricas spēle Matricas spēle ir viena gājiena galīgās nulles summas spēle. Matricas spēle ir konfliktsituācijas spēles teorētiskais modelis, kurā pretinieki, lai sasniegtu diametrāli pretējus mērķus, izdara vienu izvēli (gājienu) no galīgas. numuru iespējamie veidi darbības saskaņā ar izvēlētajām darbības metodēm (stratēģijām), tiek noteikts sasniegtais rezultāts. Apskatīsim piemēru. Lai ir divi spēlētāji A un B, no kuriem viens var izvēlēties i-to stratēģiju no m tās iespējamās stratēģijas A1, A2, ...Am, bet otrs izvēlas j-tā stratēģija no savām iespējamām stratēģijām B1, B2, ...Bm. Rezultātā pirmais spēlētājs iegūst vērtību aij, bet otrais zaudē šo vērtību. No skaitļiem aij izveidojam matricu   a11 a11 · · · a1n  a21 a22 · · · a2n    A = (aij) =  .. .. ..   . . . .  am1 am2 · · · amn Matricu A = (aij), i = 1, m, j = 1, n sauc par izmaksas matricu jeb m × n spēles matricu. Šajā matricā rindas vienmēr ir paredzētas uzvarošā (maksimizējošā) spēlētāja A stratēģijām, tas ir, spēlētāja, kurš cenšas palielināt savu laimestu. Ailes tiek piešķirtas zaudējušā spēlētāja B stratēģijām, tas ir, spēlētāja, kurš cenšas samazināt efektivitātes kritēriju. Spēles normalizācija ir process, kurā pozicionālā spēle tiek reducēta uz matricas spēli konfliktsituācija, kurā pretinieki secīgi izdara vienu izvēli (gājienu) no ierobežota skaita iespējamo rīcības virzienu katrā šīs situācijas attīstības stadijā. Spēles risinājums ir abu spēlētāju optimālo stratēģiju atrašana un spēles cenas noteikšana. Spēles cena ir spēlētāju sagaidāmais ieguvums (zaudējums). Spēles risinājumu var atrast vai nu tīrās stratēģijās - kad spēlētājam ir jāievēro viena stratēģija, vai arī jauktās, kad spēlētājam ir jāizmanto divas vai vairākas tīras stratēģijas ar noteiktām varbūtībām. Pēdējos šajā gadījumā sauc par aktīviem. 5 Viena spēlētāja jauktā stratēģija ir vektors, kura katra sastāvdaļa parāda atbilstošās tīrās stratēģijas spēlētāja lietošanas biežumu. Spēles maksimālā vai zemākā cena - skaitlis α = max min aij i j Maksimālā stratēģija (rinda) - stratēģija, kuru spēlētājs izvēlējās, lai maksimāli palielinātu savu minimālo laimestu. Acīmredzot, izvēloties vispiesardzīgāko maksimuma stratēģiju, spēlētājs A nodrošina sev (neatkarīgi no pretinieka uzvedības) garantētu izmaksu vismaz α. Spēles maksimālā jeb augšējā cena - skaitlis β = min max aij j i Minimax stratēģija (kolonna) - stratēģija, kuru spēlētājs izvēlējās, lai samazinātu maksimālos zaudējumus. Acīmredzot, izvēloties vispiesardzīgāko minimax stratēģiju, spēlētājs B nekādā gadījumā neļauj spēlētājam A uzvarēt vairāk par β. Spēles zemākā cena vienmēr nepārsniedz spēles augšējo cenu α = max min aij 6 min max aij = β i j j i 1. teorēma (matricas spēļu teorijas galvenā teorēma). Katrai ierobežotai spēlei ir vismaz viens risinājums, iespējams, jauktu stratēģiju jomā. 6 2. Spēles ar seglu punktu. Risinājums tīrās stratēģijās Spēle ar seglu punktu ir spēle, kurai α = max min aij = min max aij = β i j j i Spēlēm ar seglu punktu risinājuma atrašana ir optimālo maximin un minimax stratēģiju izvēle. Spēles tīrās izmaksas - spēles apakšējās un augšējās cenas kopējā vērtība α=β=ν 2.1. Piemēri 1. piemērs Atrodiet risinājumu tīrās spēles stratēģijās, ko sniedz matrica   8 4 7 A= 6 5 9  7 7 8 Risinājums: nosakiet spēles augšējo un apakšējo cenu. Lai to izdarītu, mēs atrodam skaitļu aij minimumu i-tā rinda αi = min aij j un skaitļu aij maksimums j-tajā kolonnā βj = max aij i Ciparus αi (rindas minimumi) rakstām blakus maksājumu matricai labajā pusē papildu kolonnas veidā. Zem matricas ierakstām skaitļus βi (kolonnas maksimumus) papildu rindas veidā: αi 8 4 7 4 6 5 9 5 7 7 8 7 βj 8 7 9 7 Atrodiet skaitļu maksimumu αi α = max αi = 7 i un skaitļu minimums βj β = min βj = 7 j α = β - spēlei ir seglu punkts. Spēlētājam optimālā stratēģija ir stratēģija A3, bet spēlētājam B stratēģija B2, spēles neto cena ν = 7 2. piemērs Maksājumu matrica ir dota:   2 2 1 1 2  0 1 1 1 1  A=  1 1 1 1 2   1 2 1 1 2 Atrodiet spēles risinājumu tīrās stratēģijās. Risinājums: 2 2 1 1 2 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 βj 2 2 1 1 2 α = β = 1. Spēlei ir seši seglu punkti. Optimālās stratēģijas būs: A1 un B3 vai B4 A3 un B3 vai B4 A4 un B3 vai B4 8 3. Spēles risinājums jauktās stratēģijās Kad α = β. Gadījumā, ja, izvēloties savas stratēģijas, abiem spēlētājiem nav informācijas par otra izvēli, spēlei ir risinājums jauktās stratēģijās. SA = (p1, p2, ..., pm) - spēlētāja A jaukta stratēģija, kurā tiek pielietotas stratēģijas A1, A2, ..., Am ar varbūtībām ∑ m p1, p2, ..., pm, pi = 1, pi > 0, i = 1, m i=1 SB = (q1, q2, ..., qn) - spēlētāja B jaukta stratēģija, kurā tiek pielietotas stratēģijas B1, B2, ..., Bm ar varbūtībām ∑ n q1, q2 , ..., qm , qi = 1, qi > 0, i = 1, n i=1 Ja: SA∗ ir spēlētāja A optimālā stratēģija, SB∗ ir spēlētāja B optimālā stratēģija, tad spēles izmaksas ir ∑ n ∑ m ν = aij · p∗i · qi∗ j=1 i=1 Sekojošā teorēma atbild uz jautājumu, kā atrast risinājumu spēlēm 2 × 2, 2 × n, m × 2 2. teorēma (kā atrast atrisinājumu spēlēm 2 × 2, 2 × n, m × 2). Ja kāds no spēlētājiem izmanto optimālu jauktu stratēģiju, tad viņa izmaksa ir vienāda ar spēles izmaksām ν, neatkarīgi no varbūtības, ar kādu otrais spēlētājs izmantos optimālajā (ieskaitot tīrās stratēģijas) iekļautās stratēģijas. 9 3.1. Spēle 2 × 2 Apsveriet 2 × 2 spēli ar matricu: () a11 a21 a21 a22 Lai spēlei nebūtu risinājuma tīrās stratēģijās. Atradīsim optimālās stratēģijas SA∗ un SB∗. Pirmkārt, mēs definējam stratēģiju SA∗ = (p∗1 , p∗2). Saskaņā ar teorēmu, ja puse A pieturas pie stratēģijas ν, tad neatkarīgi no partijas B darbības virziena izmaksa paliks vienāda ar spēles izmaksām ν. Līdz ar to, ja puse A ievēro optimālo stratēģiju SA∗ = (p∗1 , p∗2), tad puse B var pielietot jebkuru no savām stratēģijām, nemainot tās atdevi. Tad, kad spēlētājs B izmanto tīru stratēģiju B1 vai B2, spēlētājs saņems vidējo izmaksu, kas vienāda ar spēles izmaksām: a11 p∗1 + a21 p∗2 = ν ← stratēģijai B1 a12 p∗1 + a22 p∗. 2 = ν ← stratēģijai B2 Ņemot vērā, ka p∗1 + p∗2 = 1: p∗1 = a2 2−a2 1 a11 +a22 −a12 −a21 p∗2 = a1 1−a1 2 a11 +a22 −a12 −a21 Spēles cena: a22 a11 − a12 a21 ν= a11 + a22 − a12 − a21 Spēlētāja B optimālā stratēģija atrodama līdzīgi: SB∗ = (q1∗ , q2∗). Ņemot vērā, ka q1∗ + q2∗ = 1: q1∗ = a2 2−a1 2 a11 +a22 −a12 −a21 q2∗ = a1 1−a2 1 a11 +a22 −a12 −a21 3.1.1. Piemēri 3. piemērs Atrodi atrisinājumu spēlei ar matricu () −1 1 A= 1 −1 10 Risinājums: spēlei nav seglu punkta, jo α= -1, β = 1, α ̸= β. Mēs meklējam risinājumu jauktās stratēģijās. Izmantojot formulas p∗ un q∗, iegūstam p∗1 = p∗2 = 0,5 un q1∗ = q2∗ = 0,5, ν = 0 Tādējādi SA∗ = (0,5, 0,5) SB∗ = (0,5, 0,5) ) 4. piemērs Atrodi atrisinājumu spēlei ar matricu () 2 5 A= 6 4 Risinājums: spēlei nav seglu punkta, jo α= 4, β = 5, α ̸= β. Mēs meklējam risinājumu jauktās stratēģijās. Izmantojot formulas p∗ un q∗, iegūstam p∗1 = 0,4, p∗2 = 0,6 un q1∗ = 0,2 q2∗ = 0,8, ν = 4,4 Tādējādi SA∗ = (0,4, 0,6) SB∗ = ( 0,2, 0,8) 11 3.1.2. Ģeometriskā interpretācija Spēlei 2 × 2 var sniegt vienkāršu ģeometrisko interpretāciju. Ņemsim vienu abscisu ass posmu, kura katru punktu saistām ar kādu jauktu stratēģiju S = (p1, p2) = (p1, 1 − p1) un stratēģijas A1 varbūtība p1 būs vienāda ar attālumu no punkts SA sekcijas labajā galā, un varbūtība p2 , stratēģija A2 - attālums līdz kreisajam galam. .y .I .I I .B1′ .N .B1 .a21 .a11 .I I .I .∗ .x .P2 .SA∗ .P1∗ Jo īpaši atbilst sadaļas kreisais gals (punkts ar abscisu = 0). uz stratēģiju A1, segmenta labais gals (x = 1) - stratēģija A2 Nogriežņa galos tiek atjaunoti divi perpendikuli pret x asi: I ass - I - atmaksa stratēģijai A1 tiek atlikta II ass - II - stratēģijas A2 izmaksa tiek atlikta. Ļaujiet spēlētājam B piemērot stratēģiju B1; tas dod uz asīm I − I un II − II attiecīgi punktus ar ordinātām a11 un a21. Caur šiem punktiem novelkam taisnu līniju B1 − B1′. Jebkurai jauktai stratēģijai SA = (p1, p2), spēlētāja izmaksu nosaka punkts N uz taisnes B1 − B1′, kas atbilst punktam SA uz x ass, kas sadala segmentu proporcijā p2: p1. Acīmredzot taisni B2 − B2′, kas nosaka atdevi stratēģijai B2, var izveidot tieši tādā pašā veidā. 12 .y .I .I I .B2 .N .a21 .B2′ a . 22 .I I .I .∗ .x .P2 .SA∗ .P1∗ Nepieciešams atrast optimālo stratēģiju SA∗ , t.i. tā, lai spēlētāja A minimālā peļņa (ņemot vērā spēlētāja B sliktāko uzvedību viņam) pārvērstos par maksimālo. Lai to izdarītu, konstruējiet spēlētāja A izmaksu apakšējo robežu stratēģijām B1, B2, t.i. lauzta līnija B1 N B2′ ;. Uz šīs robežas atradīsies spēlētāja A minimālā izmaksa par jebkuru no viņa jauktajām stratēģijām, punkts N, kurā šī izmaksa sasniedz maksimumu un nosaka spēles lēmumu un cenu. .y .I .I I .B2 .B1′ .N .B1 .B2′ .I I .I .∗ .x .P2 . A∗ S . 1∗ P Punkta N ordināta nav nekas vairāk kā spēles izmaksas ν, tās abscisa ir vienāda ar ∗2, un attālums līdz segmenta labajam galam ir vienāds ar ∗1, t.i. attālums no punkta SA∗ līdz segmenta galiem ir vienāds ar spēlētāja A optimālās jauktās stratēģijas stratēģiju A2 un A1 varbūtībām ∗2 un ∗1. šajā gadījumā spēles atrisinājumu noteica stratēģiju B1 un B2 krustpunkts. Zemāk ir gadījums, kad optimāla stratēģija spēlētāja stratēģija ir tīra A2. Šeit stratēģija A2 (jebkurai ienaidnieka stratēģijai) ir ienesīgāka nekā stratēģija A1, 13 .y .y .I .I I .I I. I .B2′ . 1′ B .B1′ B . 2 .B2′ B . 2 .B1 .ν = a21 .B1 .ν = a21 I. I I. I .I . .x .I . .x. 2∗ P . A∗S = A2. 2∗ P . A∗ S = A2 Pa labi redzams gadījums, kad spēlētājam B ir acīmredzami neizdevīga stratēģija. Ģeometriskā interpretācija ļauj arī vizualizēt spēles zemāko cenu α un augšējo cenu β .y .I .I I .B2. .B1′ .N .B1 .B2′ .β = a21 .α = a22 .I I .I .∗ .x .P2 . A∗ S . 1∗ P Šajā pašā grafikā varam sniegt arī spēlētāja B optimālo stratēģiju ģeometrisku interpretāciju. Ir viegli pārbaudīt, vai optimālās jauktās stratēģijas SB∗ = (q1∗ , q2∗) stratēģijas B1 daļa ir vienāda ar segmenta KB2 garuma attiecību pret segmentu KB1 garumu summu. un KB2 uz I − I ass: .y .I .I I .B2 .B1′ .N .K .L .B1 .B2′ .I I .I .∗ .x .P2 . A∗ S . 1∗ P 14 KB2 q1∗ = KB2 + KB1 vai LB2′ q1∗ = LB2′ + LB1′ Optimālo stratēģiju SB∗ = (q1∗ , q2∗) var atrast citā veidā, ja apmainām spēlētājus B un B, un tā vietā laimestu apakšējās robežas maksimums, ņemiet vērā augšējās robežas minimumu. .y .I .I I .A2 .A′1 .N .A1 .A′2 .I I .I . .x .q2∗ . B∗ S .q1∗ 15 3.2. 2 × n un m × 2 spēles 2 × n un m × 2 spēļu atrisinājums ir balstīts uz šādu teorēmu. Teorēma 3. Jebkurai galīgā spēle m × n ir risinājums, kurā katras puses aktīvo stratēģiju skaits nepārsniedz mazāko no skaitļiem m un n. Saskaņā ar šo teorēmu 2 × n spēlei vienmēr ir risinājums, kurā katram spēlētājam ir ne vairāk kā divas aktīvas stratēģijas. Kad esat atradis šīs stratēģijas, 2 × n spēle pārvēršas par 2 × 2 spēli, kuru var atrisināt elementāri. Aktīvo stratēģiju atrašanu var veikt grafiski: 1) tiek konstruēta grafiskā interpretācija; 2) tiek noteikta laimesta apakšējā robeža; 3) pie izmaksas apakšējās robežas tiek identificētas divas otrā spēlētāja stratēģijas, kas atbilst divām līnijām, kas krustojas punktā ar maksimālo ordinātu (ja šajā punktā krustojas vairāk nekā divas līnijas, tiek ņemts jebkurš pāris) - šīs stratēģijas attēlo spēlētāja B aktīvās stratēģijas. Tādējādi spēle 2 × n tiek reducēta līdz spēlei 2 × 2. Var atrisināt arī spēli m × 2 ar atšķirību, ka ir nevis apakšējā, bet augšējā izmaksas robeža. konstruēts, un uz tā tiek meklēts nevis maksimums, bet gan minimums. 5. piemērs Atrodiet spēles risinājumu () 7 9 8 A= 10 6 9 Risinājums: izmantojot ģeometrisko metodi, izvēlamies aktīvās stratēģijas. Tiešās līnijas B1 − B1′, B2 − B2′ un B3 − B3′ atbilst stratēģijām B1, B2, B3. Lauztā līnija B1 N B2 ir spēlētāja laimestu apakšējā robeža. Spēlei ir risinājums S∗A = (23, 31); S∗B = (0,5; 0,5; 0); v = 8. 16 .y .I .I I . 1′ B B . 2 .B3′ .N .B3 .B1 .B2′ .I I .I . .x. 2∗ P . A∗ S . 1∗ P 17 Rādītāja spēle, 2 gājieni, 3 2 × 2, 10 personīgi, 3 2 × 2, 9 nejauši, 3 ģeometrija, 12 neto spēles cena, 7 piemēri, 10 2 × n, 9, 16 m × 2, 9 , 16 bezgalīgas, 4 parastā formā, 5 ierobežotas, 4 vairāku kustību, 4 vienas kustības, 4 matricas, 5 pārī, 2 nulles summas, 2 antagonistiskas, 2 neantagonistiskas, 2 risinājums, 5 jauktās stratēģijās, 5 , 9 tīrās stratēģijās , 5 ar seglu punktu, 7 cena, 5 augšējie, 6 apakšējie, 6 tīrie, 7 maksimumi, 6 spēļu matrica, 5 izmaksa, 5 minimax, 6 spēles normalizēšana, 5 stratēģijas, 4 maksimumi, 6 minimālie maksimumi, 6 optimāls, 4 jauktas, 5 spēles teorija, 2 18

No populārā amerikāņu emuāra Cracked.

Spēļu teorija ir par to, kā pētīt veidus, kā veikt vislabāko gājienu un rezultātā iegūt pēc iespējas vairāk laimesta pīrāga, daļu no tā nogriežot no citiem spēlētājiem. Tas māca analizēt daudzus faktorus un izdarīt loģiski līdzsvarotus secinājumus. Es domāju, ka tas ir jāpēta pēc cipariem un pirms alfabēta. Vienkārši tāpēc, ka pārāk daudz cilvēku pieņem svarīgus lēmumus, balstoties uz intuīciju, slepeniem pareģojumiem, zvaigžņu atrašanās vietu un tamlīdzīgi. Esmu pamatīgi apguvis spēļu teoriju, un tagad vēlos pastāstīt par tās pamatiem. Varbūt tas jūsu dzīvei pievienos veselo saprātu.

1. Ieslodzīto dilemma

Berto un Roberts tika arestēti par bankas aplaupīšanu, jo nebija pareizi izmantojuši zagtu automašīnu, lai aizbēgtu. Policija nevar pierādīt, ka viņi bija tie, kas aplaupīja banku, taču pieķēra viņus zagtā automašīnā. Viņi tika nogādāti dažādās telpās, un katram tika piedāvāts darījums: nodot līdzdalībnieku un nosūtīt viņu uz 10 gadiem cietumā un pašam tikt atbrīvotam. Bet ja abi nodos viens otru, tad katrs saņems 7 gadus. Ja neviens neko neteiks, tad abi ies cietumā uz 2 gadiem tikai par auto zādzību.

Izrādās, ja Berto klusē, bet Roberts viņu padod, Berto nonāk cietumā uz 10 gadiem, un Roberts tiek brīvībā.

Katrs ieslodzītais ir spēlētājs, un katra labums var izpausties kā "formula" (ko saņem abi, ko iegūst otrs). Piemēram, ja es tev trāpītu, mans uzvaras modelis izskatītos šādi (es gūstu aptuvenu uzvaru, tu cieši daudz sāpju). Tā kā katram ieslodzītajam ir divas iespējas, rezultātus varam parādīt tabulā.

Praktiskais pielietojums: sociopātu identificēšana

Šeit mēs redzam galveno spēļu teorijas pielietojumu: identificēt sociopātus, kuri domā tikai par sevi. Patiesa spēļu teorija ir spēcīgs analītisks instruments, un amatierisms bieži vien kalpo kā sarkans karogs, kas apzīmē kādu, kam nav goda sajūtas. Cilvēki, kas veic intuitīvus aprēķinus, uzskata, ka labāk ir izdarīt kaut ko neglītu, jo tas nozīmēs īsāku cietumsodu neatkarīgi no tā, ko dara otrs spēlētājs. Tehniski tas ir pareizi, bet tikai tad, ja esat tuvredzīgs cilvēks, kas liek skaitļus augstākus cilvēku dzīvības. Tāpēc spēļu teorija ir tik populāra finanšu jomā.

Ieslodzīto dilemmas patiesā problēma ir tā, ka tā ignorē datus. Piemēram, tā neņem vērā iespēju, ka jūs tikties ar tās personas draugiem, radiem vai pat kreditoriem, kuru nosūtījāt cietumā uz 10 gadiem.

Sliktākais ir tas, ka visi, kas ir iesaistīti ieslodzīto dilemmā, rīkojas tā, it kā viņi par to nekad nebūtu dzirdējuši.

Un labākais solis ir klusēt un pēc diviem gadiem kopā ar labu draugu izmantot to pašu naudu.

2. Dominējošā stratēģija

Šī ir situācija, kurā jūsu darbības dod vislielāko peļņu neatkarīgi no jūsu pretinieka darbībām. Neatkarīgi no tā, kas notiek, jūs visu izdarījāt pareizi. Tāpēc daudzi cilvēki ar ieslodzīto dilemmu uzskata, ka nodevība noved pie "labākā" iznākuma neatkarīgi no tā, ko dara otrs, un šai metodei raksturīgā realitātes nezināšana padara to ļoti vieglu.

Lielākajai daļai spēļu, kuras mēs spēlējam, nav stingri dominējošu stratēģiju, jo pretējā gadījumā tās būtu briesmīgas. Iedomājieties, ja jūs vienmēr darītu to pašu. Akmens-papīra-šķēres spēlē nav dominējošas stratēģijas. Bet, ja jūs spēlējaties ar cilvēku, kuram ir cepeškrāsns dūraiņi un kurš varētu rādīt tikai akmeni vai papīru, jums būtu dominējošā stratēģija: papīrs. Jūsu papīrs iesaiņos viņa akmeni vai rezultāts būs neizšķirts, un jūs nevarat zaudēt, jo jūsu pretinieks nevar parādīt šķēres. Tagad, kad jums ir dominējoša stratēģija, jūs būtu muļķis, ja mēģinātu kaut ko citu.

3. Dzimumu cīņa

Spēles ir interesantākas, ja tām nav stingri dominējošas stratēģijas. Piemēram, dzimumu cīņa. Anjali un Borislavs dodas uz randiņu, taču nevar izvēlēties starp baletu vai boksu. Andžali ļoti patīk bokss, jo viņai patīk redzēt, kā plūst asinis, par prieku kliedzošam skatītāju pūlim, kuri domā, ka ir civilizēti tikai tāpēc, ka ir samaksājuši par to, lai kādam tiktu sasista galva.

Borislavs vēlas skatīties baletu, jo saprot, kam balerīnas pārdzīvo liela summa traumas un grūtākais treniņš, zinot, ka viena trauma var beigt visu. Baletdejotāji ir izcilākie sportisti uz Zemes. Balerīna tev var iesist pa galvu, bet viņa to nekad nedarīs, jo viņas kāja ir daudz vērtīgāka par tavu seju.

Katrs no viņiem vēlas doties uz savu iecienītāko pasākumu, bet nevēlas to izbaudīt vienatnē, tāpēc mēs iegūstam shēmu viņu uzvarai: lielākā vērtība ir darīt to, kas viņam patīk, mazākā vērtība- vienkārši būt kopā ar otru cilvēku, un nulle - būt vienam.

Daži cilvēki iesaka spītīgu stulbumu: ja jūs darāt to, ko vēlaties, lai arī ko darītu, otrai personai ir jāpakļaujas jūsu izvēlei vai jāzaudē viss. Kā jau teicu, vienkāršotā spēļu teorija lieliski palīdz identificēt muļķus.

Praktisks pielietojums: Izvairieties no asiem stūriem

Protams, šai stratēģijai ir arī būtiski trūkumi. Pirmkārt, ja jūs izturēsities pret randiņiem kā pret "dzimumu kauju", tas nedarbosies. Šķirieties, lai katrs no jums atrastu kādu, kas viņam patīk. Un otrā problēma ir tā, ka šajā situācijā dalībnieki ir tik nepārliecināti par sevi, ka nevar to izdarīt.

Patiesi uzvarošā stratēģija ikvienam ir darīt to, ko viņi vēlas. un pēc, vai nākamajā dienā, kad viņi ir brīvi, ejiet kopā uz kafejnīcu. Vai pārmaiņus starp boksu un baletu, līdz izklaides pasaulē notiek revolūcija un tiek izgudrots boksa balets.

4. Neša līdzsvars

Neša līdzsvars ir kustību kopums, kurā neviens pēc fakta nevēlas kaut ko darīt savādāk. Un, ja mēs spēsim to panākt, spēļu teorija aizstās visu filozofisko, reliģisko un finanšu sistēmu uz planētas, jo “vēlme neizjukt” ir kļuvusi par spēcīgāku dzinējspēku cilvēcei nekā uguns.

Ātri sadalīsim $100. Mēs ar jums izlemjam, cik no simtiem mums ir nepieciešams, un tajā pašā laikā paziņojam summas. Ja mūsu kopsumma ir mazāka par simtu, katrs saņem to, ko gribēja. Ja kopā ir vairāk nekā simts, tad tas, kurš prasīja vismazāko, saņem to, ko gribēja, un mantkārīgākais saņem to, kas paliek pāri. Ja mēs prasām vienādu summu, visi saņem 50 USD. Cik tu prasīsi? Kā jūs sadalīsiet naudu? Ir tikai viens uzvarošs gājiens.

Pieprasot $51, jūs iegūsit maksimālo summu neatkarīgi no tā, ko izvēlēsies jūsu pretinieks. Ja viņš prasīs vairāk, jūs saņemsiet $51. Ja viņš prasīs $ 50 vai $ 51, jūs saņemsiet $ 50. Un, ja viņš prasīs mazāk nekā 50 USD, jūs saņemsit 51 USD. Jebkurā gadījumā nav citas iespējas, kas jums nopelnītu vairāk naudas nekā šī. Neša līdzsvars – situācija, kurā mēs abi izvēlamies $51.

Praktisks pielietojums: vispirms padomā

Tā ir visa spēles teorijas būtība. Jums nav jāuzvar, vēl jo mazāk jākaitē citiem spēlētājiem, taču jums ir jāizdara vislabākais gājiens sev neatkarīgi no tā, ko apkārtējie jums ir sagatavojuši. Un vēl labāk, ja šis solis ir izdevīgs citiem spēlētājiem. Šī ir tāda matemātika, kas varētu mainīt sabiedrību.

Interesanta šīs idejas variācija ir dzeršana, ko var saukt par laika atkarīgu Neša līdzsvaru. Kad tu dzer pietiekami daudz, tev vienalga par citu cilvēku rīcību, lai ko viņi arī darītu, bet nākamajā dienā tu tiešām nožēlo, ka neizdarīji kaut ko savādāk.

5. Izmest spēle

Iemetiens tiek izspēlēts starp 1. un 2. spēlētāju. Katrs spēlētājs vienlaikus izvēlas galvas vai astes. Ja viņi uzmin pareizi, 1. spēlētājs saņem 2. spēlētāja pensu. Ja nē, 2. spēlētājs saņem 1. spēlētāja monētu.

Uzvarētāju matrica ir vienkārša...

...optimāla stratēģija: spēlējiet pilnīgi nejauši. Tas ir grūtāk, nekā jūs domājat, jo atlasei ir jābūt pilnīgi nejaušai. Ja jums ir priekšroka galvas vai astes, jūsu pretinieks var to izmantot, lai atņemtu jūsu naudu.

Protams, patiesā problēma šeit ir tāda, ka būtu daudz labāk, ja viņi viens otram iemestu vienu santīmu. Rezultātā viņu peļņa būtu tāda pati, un no tā izrietošā trauma varētu palīdzēt šiem nelaimīgajiem cilvēkiem sajust ko citu, nevis šausmīgu garlaicību. Galu galā šis sliktākā spēle kādreiz pastāvoša. Un šis ir ideāls modelis soda sitienu sērijai.

Praktiskais pielietojums: Sods

Futbolā, hokejā un daudzās citās spēlēs papildlaiks ir soda sitienu sērija. Un tie būtu interesantāki, ja tie būtu balstīti uz to, cik reizes spēlētāji pilnā formā varētu veikt ratu ratu, jo tas vismaz būtu viņu fizisko spēju rādītājs un būtu jautri skatīties. Vārtsargi nevar skaidri noteikt bumbas vai ripas kustību pašā tās kustības sākumā, jo diemžēl mūsu sporta sacensībās joprojām nepiedalās roboti. Vārtsargam ir jāizvēlas kreisais vai labais virziens un jācer, ka viņa izvēle sakrīt ar pretinieka sitienu pa vārtiem. Tam ir kaut kas kopīgs ar monētu spēlēšanu.

Tomēr ņemiet vērā, ka šis nav ideāls piemērs līdzībai ar galvu un astes spēli, jo pat ar pareizu virzienu vārtsargs var neķert bumbu, un uzbrucējs var netrāpīt vārtos.

Tātad, kāds ir mūsu secinājums saskaņā ar spēļu teoriju? Bumbu spēlēm jābeidzas "vairāku bumbu" veidā, kur katru minūti viens pret vienu spēlētājiem tiek dota papildu bumba/ripa, līdz viena puse sasniedz noteiktu rezultātu, kas liecina par spēlētāju patieso meistarību, un nav iespaidīga nejauša sakritība.

Dienas beigās ir jāizmanto spēļu teorija, lai padarītu spēli gudrāku. Tas nozīmē, ka tas ir labāk.